Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 1 ) x + m + 5 = 0 .
Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2011-2012 53 Giáo viên: Đặng Thị Hương a/ Giải phương trình với m = 5.
b/ Trong trường hợp phương trình có nghiệm x1 ,x2 , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ,x2 không phụ thuộc vào m.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của x12 +x22.
Bài toán 2: Cho phương trình x2 + (2m - 1 )x - m = 0 . a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với m.
b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị của m để A=x12 +x22 −6x x1 2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 3 : Cho hàm số 1 2
y x
= −2 (P) và điểm M (1; -2).
a/ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và có hệ số góc m luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.
b/ Gọi xA ; xB là hoành độ của A và B. Tìm m để xA2 +xB2 −2x xA B(xA+xB)
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này.
Bài toán 4 : Cho hàm số y=2x2 −6x− +m 1 ( )* với m là tham số.
a/ Khi m = 9 tìm x để y = 0.
b/ Tìm m để đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số (*) tại hai điểm phân biệt.
Tìm tung độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó.
Bài toán 5 : Giải hệ phương trình:
a/
2 2
x xy y 7 x y 5
− + =
+ =
b/
2 2
4 4
x y xy 3 x y 17
+ + =
+ =
c/
( ) ( )
2 2
x x y y 18 x y 1 y x 1 72
+ + + =
+ + + =
Bài toán 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình x3 y 3 2
x y m
− =
− =
có nghiệm.
Bài toán 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình x2 y 2 xy m
x y m
+ + =
+ =
vô nghiệm.
Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2011-2012 54 Giáo viên: Đặng Thị Hương KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
* KẾT QUẢ CỤ THỂ
Qua trắc nghiệm và khảo sát các đối tượng HS, sau khi cung cấp cho HS nội dung kiến thức kỹ năng các ứng dụng của Vi-et, kết quả bước đầu thu được:
-100% số HS biết kiểm tra nghiệm của 1 phương trình bậc 2 bằng hệ thức Viet.
- 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 ở 2 trường hợp:
a + b + c = 0 ; a – b + c = 0.
- 80% số HS biết nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng định lý Viet đảo:
=
= +
p x x
s x x
2 1
2 1
. x1, x2 là nghiệm phương trình bậc 2
- 100% số HS biết tìm 2 số biết tổng, tích và lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước.
- 85% số HS tính được giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước.
- 80% số HS tìm được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm số không phụ thuộc tham số.
- 85% số HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức (điều kiện cho trước).
- 90% số HS xét dấu được các nghiệm số của một phương trình bậc 2.
HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm phương trình bậc 2 có dấu cho trước.
- 85% số HS sử dụng hệ thức Viet vào tìm phương trình đường thẳng đi qua A (xA,yA); B (xB,yB) thuộc parabol y = mx2 (m 0).
Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabôn (p) tại M(xM, yM).
- 90% số HS vận dụng hệ thức Vi -et vào tìm cực trị ở các trường hợp:
a) S = x1 + x2 (không đổi) P thay đổi, P = x1 . x2
Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2011-2012 55 Giáo viên: Đặng Thị Hương b) P= x1 . x2(không đổi) S thay đổi
- 80% số HS biết tìm cực trị của biến trong hệ điều kiện ràng buộc.
- 90% số HS vận dụng được hệ thức Vi-et và ứng dụng vào bài tập chứng minh bất đẳng thức.
- 85% số HS biết vận dụng hệ thức Vi-et vào giải bài toán hình học.
- 90% số HS vận dụng được hệ thức Vi-et vào giải bài toán có liên quan đến số học.
* BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số). Với các hệ số a, b, c từ đó hình thành các hệ thức Vi- ét đến phát biểu được nội dung của định lý Vi-ét là một công việc có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy toán theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú.
2. Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra được các ứng dụng quan trọng như tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phương trình)… Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng như ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan.
3. Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập.
- Tìm 2 số biết tổng và tích.
- Lập một phương trình biết hai nghiệm.
- Nhẩm nghiệm phương trình.
4. Nêu ra một hệ thống ứng dụng của định lý Vi-ét vào các bài toán có ý nghĩa thiết thực trong rèn luyện kĩ năng và vận dụng hệ thức vào suy luận ở cấp độ tư duy cao như: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số …
5. Thường xuyên động viên HS có thói quen giải một phương trình bậc hai, trước tiên là sử dụng Vi-ét. Tạo cho HS một động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp
Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2011-2012 56 Giáo viên: Đặng Thị Hương lí) bài toán có phương trình. Đặc biệt là thói quen tính nhẩm trong các trường hợp đã nêu.
6. Thường xuyên “cảnh giác” cho HS trước khi sử dụng hệ thức Vi-ét là tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) là một hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức trong suy luận và rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ trong giải toán cho HS.
7. Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán như:
Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình… Đã làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét.
8. Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài toán về phương trình bậc hai luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt.
9. Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các em được vững chắc hơn.