Chuyên đề Đại số 9: Dãy số có quy luật46066

Chuyên đề đại số dÃy số có quy luật ******************* Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán - Cách : Truy toán - Cách : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách : Dùng quy nạp toán học - Cách : Đưa tính ngiệm phương trình - Cách : Vận dụng tổng hợp cách đà học Ví dụ : Cho A      có 100 dấu Chứng minh A số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > Sau ta chứng minh A < ThËt vËy 22   2  22   2 2 < A 2 2   22   2 < Do vËy ta cã < A < , chøng tá A N ( dpcm ) Cách giải thường gọi truy toán VÝ dơ : Rót gän dÉy tÝnh sau  1  2 3   n 1  n Víi n số tự nhiên lớn Giải : Xét số hạng tổng quát 1 n n    n  n 1 n  n 1 n 1  n n  n 1  VËy : 1  2 3   n 1  Trang = (  1)  (  2)  (  3)   ( n  n  1) ThuVienDeThi.com n = n 1 Như cho n giá trị cụ thể ta lại toán Cách giải gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát VÝ dơ : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dương n ta có 1 1     < 2 ( n  1) n Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : 1  1  n  1    n    n    (n  1) n (n  1)n  n n 1   n n   n n     1   1   n n         n  n n 1  n n n 1   n =  n VÝ dô : n = Từ tiếp tục giải toán dễ dàng Tính giá trị biểu thøc B   13   13 13 Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > Ta thấy : B   13   13   13   ( B2 – )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 =  B4 – B2 – B2 + – B + =  B2 ( B – )( B + ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) =  ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – ] =  ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – ) – ] = V× B > nên B2 > B + > nªn ( B + 3)( B2 – 1) – > 11 ®ã B – = VËy B = Trang ThuVienDeThi.com Cách giải ví dụ gọi đưa tính ngiệm phương trình Ví dụ : Tính giá trị biểu thức C 1 1 1 1            12 22 22 32 32 42 992 1002 Giải : Xét số hạng tổng quát : 1 với k số nguyên k ( k  1) 2 d­¬ng , ta cã 1   1 1          k (k  1) k k      : 2 1          1      1       2 1  k   k 1   k   k  k    k    k 1 1  k   1 1    2 2     0       V× :  k   k k 1   k 1   k (k  1)   1 1         VËy : k (k  1)2  k (k  1)  Nªn : 1 1 1 1        k (k  1) k (k  1) k k áp dung vào 1   1  1  1  C  1     1     1      1     2  3  4  99 100  1 1 1 1 1  99            100   99,99 2 3 4 99 100 100 VÝ dô : Chøng minh với số nguyên dương n ta cã 4 4   < Giải : Ta chứng minh quy nạp toán học Víi n = ta cã D1 =  < Đúng Trang ThuVienDeThi.com Giả sử toán với n = k , tức ta cã : Bk     < k Ta c/m toán với n = k + Bk 1      =    Bk k Vì Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = Bk < < Vậy toán ®óng víi n = k + Do ®ã toán với n Ví dụ : Cho biÓu thøc A 2 2 2   2 2 2   tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A > Giải : Đặt : an    an2   an1 Ta cã :  cã biÓu thøc cã n dấu a100 A  a99  a100   2  a100 2  a100   a100 an 1  an2  2  a100  a100 A   VËy : 2  (a100  2)  a100 a100 < b»ng truy toán Ta có a1 < Sau ®©y ta c/m a2     a1 < a3      a2 < 22   22   a100   a99 < ThuVienDeThi.com Trang 1 VËy : a100  < + = , nªn : >  a100 ( dpcm ) Bài toán đà giải vận dụng tổng hợp kiến thức đà học Từ A > VÝ dô : Chøng minh r»ng : 2003 2004 < Gi¶i : §Ỉt : ak  k (k  1) (k  2) (n  1) n vµ n vµ k số nguyên dương Ta chứng minh Phản chøng : Gi¶ sư ak  k  Víi n > k ak  k  th× theo cách đặt ta có : ak2 2 ak  k ak 1  a  k ak 1  ak 1  mµ ak  ( k  1) k ak2 (k  1) k  2k  k  2k    k 2 nªn ak 1  k k k k k với số nguyên dương k , tức điều vô lý Vậy ak k 2002 2003 2003 phải sai Vậy ak k Do ®ã a2  Ta cã ®iỊu phải chứng minh Ví dụ : Tìm ngiệm tự nhiên phương trình x x x  x   x  x  x Gi¶i : DƠ thÊy x = lµ mét ngiƯm NÕu x = , ta cã : Trang ThuVienDeThi.com      3.1     VËy x = ngiệm phương trình NÕu x = , ta cã :  2  2  2   2    Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , xét cïng ta cã : x  x x = nªn x  3x   3.3  Căn : x  x  x    3.3   trình lặp lại , ta có :  2.3  ®óng VËy x = ngiệm phương trình Nếu x > , th× x  x  x  x   x  x  x  x  x  x  x  x   x  x  x2 = x + 2x  x2 – 3x =  x = hc x = Nh­ng x > nên trường hợp phương trình vô ngiệm Vậy phương trình có hai ngiệm vµ Trang ThuVienDeThi.com Bµi tËp lun tËp d·y tính có quy luật Bài : Tính giá trị c¸c biĨu thøc sau a) A   vô hạn dấu b ) B     Bài : Chứng minh : vô hạn dấu a) C       n 3 D       b)    n Bài tập : Dùng quy nạp toán häc chøng minh r»ng : Tn  a  a  a   a  a  ; Víi n  Z+    n Bµi tËp : Chøng minh r»ng 1 1     1 1   (n  1) n  n n với số nguyen dương n Bài : Chứng minh với n nguyên dương n > , ta có n 3 1 1      n 2 n Bµi : Rót gän c¸c biĨu thøc sau a) A 1 1     1 4 7  10 97  100 b) B 1 1     2 3 4 100  101 Bµi : Chøng minh r»ng S  1 1 1      kh«ng phải số tự nhiên Trang ThuVienDeThi.com 100 Bài : Dùng quy nạp toán học chøng minh r»ng : 1 1       n Bµi : Cho 100 sè : cho ta cã : n , víi mäi n  Z+ a1 , a2 , a3 , a4 , , a100 lµ 100 sè tù nhiªn 1 1      a1 a2 a3 a4  20 a100 Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt hai sè b»ng Bµi 10 : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1 1 2001      3(1  2) 5(  3) 7(  4) 4003( 2001  2002) 2003 Bµi 11 : Chøng minh r»ng : 1 1      12  22 22  32 32  42 20022  20032 Bµi 12 : Chøng minh r»ng : 15 n2      , n N n > 16 n số nguyên Bài 13 : a ) Ch­ng minh r»ng  n  Z+ ta ®Ịu cã  n 1 n 1  1 n n(n  1) b ) ¸p dông chøng minh 2007   3 44 55 2008     2008  2008 2007 Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên phương trình x x x x  x  z    y vÕ trái có y dấu ThuVienDeThi.com ... lại toán Cách giải gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1 1     < 2 ( n 1) n Giải : Xét số hạng tổng qu¸t ta cã : 1  1  n  1 ...  99,99 2 3 4 99 100 100 VÝ dô : Chứng minh với số nguyên dương n ta ®Ịu cã 4 4   < Gi¶i : Ta chøng minh b»ng quy nạp toán học Với n = ta có D1 =  < §óng Trang ThuVienDeThi.com Giả sử toán... k 1 V× Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 =  Bk <  < Vậy toán với n = k + Do toán với n Ví dơ : Cho biĨu thøc A 2 2 2   2 2 2  tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A >