Chuyên đề Đại số tổ hợp23941

Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật ĐẠI SỐ TỔ HP I HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP: 1.Qui tắc cộng qui tắc nhân: a) Qui tắc cộng : Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2,… , mn cách chọn đối tượng xn, cách chọn đối tượng xi không trùng cách chọn đối tượng xj (i≠j; i,j=1,2,…,n) có m1+m2+…+mn cách chọn đối tượng cho Cách khác: Một công việc thực qua nhiều trường hợp độc lập Trường hợp có m1 cách thực hiện, trường hợp có m2 cách thực hiện, …trường hợp n có mn cách thực số cách thực công việc m1+m2+…+mn b) Qui tắc nhân : Nếu phép chọn thực qua n bước liên tiếp nhau, bước có m1 cách, bước có m2 cách, , bước n có mn cách, phép chọn thực theo m1 m2 … mn cách khác Cách khác: Một công việc thực qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn có m1 cách thực hiện, giai đoạn có m2 cách thực hiện, …giai đoạn n có mn cách thực số cách thực công việc m1 m2 … mn 2.Hoán vị: A Hoán vị thẳng: a) Định nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách thứ tự n phần tử (n≥1) tập hợp A gọi hoán vị n phần tử b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị n phần tử Pn, thì: Pn = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 = n ! Qui ước: 0!=1 B Hoán vị có lặp lại: a) Định nghóa: Có n vật, vào n vị trí Trong đó: n1 vật giống n2 vật giống … nk vật giống ( Hẳn nhiên n= n1+n2+…+nk) b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại n vật là: Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật C Hoán vị tròn : a) Định nghóa: Có n vật, vào n vị trí chung quanh đường tròn b) Định lý: Số hoán vị tròn n vật là: Pn−1= (n−1)! 3.Chỉnh hợp: a) Định nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k của n phần tử b) Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: A nk = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = n! (n − k )! n Đặc biệt: Khi k = n ⇒ An = Pn 4.Tổ hợp: a) Định nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho k b) Số tổ hợp chập k n phần tử là: C n = n! k! (n − k )! c) Tính chất: k n− k 1) C n = C n k− k k 2) C n − + C n − = C n k k 3) A n = k! C n II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1.Công thức nhị thức Newton: Với hai số thực a b n∈N ta có công thức: (a + b) n = C 0n a n + C1n a n − b + + C nk a n − k b k + + C nn b n 2.Các tính chất: a) Vế phải có n+1 số hạng b) Trong số hạng tổng số mũ a b n c) Số hạng thứ k+1 công thức khai triển có dạng : Tk +1 = C kn a n − k b k (k = 0,1,2,3, , n) d) Các hệ số cách số hạng đầu cuối e) C 0n + C 1n + C 2n + + C nn = n f ) C 0n − C 1n + C 2n + + (− 1) n C nn = n! n ! n ! n k ! ThuVienDeThi.com Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật BÀI TẬP: I VỀ ĐẠI SỐ TỔ HP 1) Cho chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, a) Từ chữ số trên, thành lập số tự nhiên, số gồm 5 chữ số khác nhau? Kết quả: A = 2520 b) Trong số nói a), có số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080 c) Trong số nói a), có số thiết phải có mặt chữ số 7? Kết quả: A 64 = 1800 2) Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, a) Từ chữ số trên, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Kết quả: A = 720 b) Trong số nói có số lẻ? Kết quả: A = 360 c) Trong số nói có số có mặt chữ số 2? Hướng dẫn kết quả: Liệt kê tập có chứa 2, tạo 4.5!= 480 số 3) Cho chữ số 0,1, 3, 6, a) Từ chữ số ấy, lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Kết quả: 4.A = 96 b) Trong số nói có số chẵn? Kết quả: A + 3.A = 42 c) Trong số nói có số chia hết cho 3? Hướng dẫn kết quả: Chọn tập chứa phần tử chia hết cho A={ 0,3,6,9} Vậy có A = 3.3! = 18 số chia hết cho 4) Cho chữ số 0,1, 2, 3, 4, a) Tư ø chữ số thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Kết quả: A = 600 Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật 5) Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ chữ số 1, 2, 4, Hỏi có số : a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24 b) Bắt đầu chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6 c) Không bắt đầu chữ số 2? Kết quả: P4− 1.P3 =18 6) Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ chữ số 1,2, 3, 4, và lớn 300.000 Kết quả: 4.5!=480 7) Có sốtự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số Kết quả: Có tập X1={1;2;6} , X2={1;3;5} X3={2;3;4} có tổng phần tử Vậy có 3.3!=18 số 8) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? Hướng dẫn kết quả: Cách 1: Xếp chữ số trước: cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: Xếp chữ số 3: Xếp chữ số 4: Xếp chữ số 5: Xếp chữ số vào ô lại: cách (Không thứ tự) Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5880 số Hoặc: c) Trong chữ số có số có mặt chữ số 0? Hướng dẫn kết quả: Hoán vị phần tử tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số mặt chữ số Phần bù: 600−120=480 số có mặt chữ số 0 Muốn có số cần tìm ta xếp chữ số 0, 2, 3, vào ô vuông, sau xếp chữ số vào ô lại (không thứ tự ) Vậy có A 85 = 6720 số, kể số có chữ số đứng đầu ( có 1.A 47 = 840 số) Vậy có 6720−840=5880 số 9) Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 6! = 360 số Kết quả: 2! Hoặc: Muốn có số cần tìm ta xếp chữ số 2, 3, vào ô vuông, sau xếp chữ số vào ô lại (không có thứ tự ) Vậy có A 64 = 360 số b) Trong chữ số có số chẵn ? Kết quả: 600−4 A (lẻ)=312 10) Có số tự nhiên có chữ số khác Biết tổng chữ số 12? Kết quả: Có tập hợp chứa phần tử khác có tổng 12 có tập hợp chứa phần tử có phần tử có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số ThuVienDeThi.com Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật 11) Với chữ số 2, 3, 5, 6, 7, có cách lập số gồm chữ số khác nhau, biết: a) Các số < 5000? Kết quả: A Ï =120 số b) Các số chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số ; d≠8 có 3.4.3.2=72 số Vậy có 48+72=120 số 12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} lập số mà số có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 5? Kết quả: x= abcde : a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số 4 Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: A − 5.A (không có chữ số 5)=1560 13) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta lập thành số có chữ số khác nhau? Kết quả: A = 3024 14) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho Kết quả: 54 số 15) Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh tổng tất số chia hết cho Kết quả: 7!=5040 số S=2520.8888888 M 16) Có số có chữ số khác lập thành từ chữ số 2, 4, Kết quả: A + A + A + A = 64 số 17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, phải có mặt chữ số 1? Hướng dẫn kết quả: Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} lấy C8 = tập có phần tử Hợp tập với {0,1} ta có tập có phần tử có Từ tập hợp tạo 8.8!=322560 Vậy có 8.322560=2580480 số Cách 2: Cho xuất trước: Có cách ( không đứng đầu) Cho xuất kế tiếp: Có cách Tiếp theo ta xếp chữ số lại vào vị trí lại: Có A = 40320 cách Vậy có: 8.8.40320=2580480 số Cách 3: Có loại số 9.A = 3265920 số tạo có chữ số khác nhau: Có số xuất (không có 1), xuất (không có 0), có số xuất Có 9!=362880 số xuất (không có 0) có 9!−8!=322560 số xuất (không có 1) Vậy có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có 18) Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, đó: Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật a) chữ số 1và đứng cạnh nhau? b) chữ số 1và không đứng cạnh nhau? Hướng dẫn kết quả: a) Giai đoạn 1: Cho chữ số vào ô liền nhau, chữ số 3, 4, vào ô lại: Có 4!=24 cách xếp Giai đoạn 2: Vì nằm ô liền nên có 2!=2 cách xếp Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số b) Có 5!=120 số tự nhiên có chữ số khác lập nên từ chữ số cho có đứng cạnh nhau; không đứng cạnh Vậy có 120−48=72 số không đứng cạnh 19) Từ chữ số 0,1,2,3 lập số tự nhiên có chữ số , chữ số xuất lần, chữ số 0, 1, xuất lần Hướng dẫn kết quả: Tương tự 8b): Có A − A = 180 số Ta giải cách khác: Với ô : Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số vào trước: Có cách (bỏ ô đầu tiên) Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số vào ô lại: Có cách Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số vào ô lại: Có cách Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số vào ô lại: Có cách (không thứ tự) Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số 20) Có số tự nhiên có chữ số, cho chữ số kề phải khác nhau? Kết quả: 9.9.9.9.9=59049 21) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên có chữ số khác cho có mặt chữ số chữ số hàng ngàn chữ số 1? 2 Kết quả: 1.3 A5 =60 số (1 cách xếp chữ số 1, cách xếp chữ số A5 cách xếp 2,3,4,5,6 vào vị trí lại) 22) a) Có số tự nhiên (được viết hệ đếm thập phân) gồm chữ số mà chữ số lớn đôi khác nhau? b) Hãy tính tổng tất số tự nhiên nói trên? Kết quả: a) A =120 b)60X155554 = 9333240 23) Cho chữ số:1, 2, 3, 4, Có thể lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác từ chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 24) Có số tự nhiên khác nhau, nhỏ 10000 tạo thành từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625 25) Với 10 chữ số từ đến 9, lập số tự nhiên chẵn có chữ số, mà chữ số khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296 ThuVienDeThi.com Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật 26) Có số tự nhiên gồm chữ số khác khác biết tổng ba chữ số Kết quả: Có tập có tổng phần tư ûbằng Vậy có 2.3!=12 số 27) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho lập số tự nhiên : a) Gồm chữ số khác số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156 b) Gồm chữ số khác nhỏ 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120 c) Gồm chữ số khác chia hết cho Kết quả: a1a a a M ⇔ a a M Có 72 số d) Gồm chữ số khác chia hết cho Kết quả: 108 e) Gồm chữ số khác chia hết cho Kết quả: 216 28) Cho cầu trắng bán kính khác cầu xanh bán kính khác Hỏi có cách xếp 10 cầu thành dãy từ trái sang phải, cho cầu màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800 29) Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, có nam nữ Từ hội đồng quản trị người ta muốn lập ra1 ban thường trực, người nam Hỏi có cách chọn ban thương trực có người? Kết quả: 161 30) Nhân ngày sinh nhật, bạn tặng Hồng Nhung bó hoa gồm 10 hồng trắng bó hoa gồm 10 hồng nhung Hồng Nhung muốn chọn để cắm bình Hỏi Hồng Nhung có cách chọn phải có : a) trắng nhung b) trắng nhung Kết quả: a)10800 b)15000 31) Lúc khai mạc hội nghị có đại biểu Các đại biểu bắt tay Hỏi có tất bắt tay? Kết quả: 10 32) Có cách xếp đặt người đàn ông, người đàn bà ngối ghế dài cho người phái ngồi cạnh nhau? Kết quả: 24 33) Gieo hột xúc xắc vào chén, hỏi có kết khác thảy ? Kết quả: 63=216 - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật Đại số tổ hợp 34) Có đường nối thành phố X Y, có đường nối thành phố Y Z Muốn từ X đến Z phải qua Y a) Hỏi có cách chọn đường từ X đến Z? b) Hỏi có cách chọn đường từ X đến Z lại X đường khác nhau? Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240 35) Có đường chéo hình thập giác lồi? Kết quả: 35 36) Vẽ đường thẳng song song tờ giấy Sau vẽ tiếp đường thẳng song song khác cắt đường thẳng vẽ lúc đầu Có hình bình hành tạo được? 2 Kết quả: C C = 150 37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt mặt phẳng : a) Có tam giác có đỉnh lấy P điểm lấy P thẳng hàng? Kết quả: C10 = 120 b) Cũng câu hỏi câu a) P có điểm thẳng hàng 3 Kết quả: C10 − C4 = 116 38) Một nhóm gồm 10 học sinh ( nam nữ ) Có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc cho học sinh nam đứng liền Kết quả: 4!.7!=120960 39) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A; người địa điểm B người trực nhật đồn Có cách phân công? Kết quả: C9 C6 = 1260 40) Có 10 câu hỏi ( câu lý thuyết câu tập ) Một đề thi gồm có câu có lý thuyết tập Có cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có t.h) 41) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam 15 nữ) Cần chọn nhóm gồm học sinh Hỏi có cách : a) Chọn học sinh Kết quả: C 40 =9880 b) Chọn học sinh gồm nam hai nữ Kết quả: 2625 c) Chọn học sinh có nam Kết quả: 9425 42) Có tem thư khác bì thư khác Chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm Kết quả: C6 C5 3! = C6 A 3 =1200 ThuVienDeThi.com Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật 43) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, phải có mặt đồng thời chữ số 2?Kết quả:720−240=480 số 44) Tìm n cho: n− a) An C n = 48 A 4n 24 b) A − C n− = 23 n+ n 1 c) C n − C n = C n Người soạn: Phạm Văn Luật  5C xy − = 3C xy −  y y−  Cx = Cx Kết quả: x = y = 52) Tính hệ số số hạng chứa x khai triển của: P(x) = (2x + 1) − (3x + 1) + (x + 1) Kết quả:−65 n P thứ khai triển Kết quả:126x Pn − Pn − 1 = Pn + Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = V n = 45) Giải phương trình: a) P2 x − P3 x = 2 b) 2A x + 50 = A x , x ∈ N c) C x + C x + C x = Trang 10 - 1  53) Khai triển  x −  có tổng hệ số số hạng đầu 28 Tìm số haïng x  n+ d) P A n − = 210 n− e) Đại số tổ hợp 51) Giải hệ phương trình: x Kết quả: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 46) Giải phương trình: Kết quả: n = V n = Kết quả: −8064 55) Khai triển: (x+2) Kết quả: x4+8x3+24x2+32x+16 56) Tìm hệ số a b khai triển (a + b) Kết quả:56 57) Tìm hai số hạng khai triển:(x – xy)15 Kết quả: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8 12 2 A x− 1 b) C1 − C = 6C1 x x+ x+  C yx = 49) Giải hệ phương trình:  y  A x = 12 50) Tìm n biết: A n − C n <  1  x    Kết quả:T9=495 58) Tìm số hạng không chứa x khai triển:  x +  x  a) C x − − C x− = Kết quả: a) x=9, b) x = V x = n− 47) Giải phương trình A n + C n =14n 48) Giải phương trình A n − 2C n = A n 10  54) Tìm số hạng không chứa x khai triển của:  2x − 59) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển:   + x Kết quả:n=5 Kết quả: n=6 V n=11 Kết quả:x=4 y=2 n  x  bieát : C nn ++ 14 − C nn + = 7(n + 3)  Kết quả: n = 12 a9=495 60) Đa thức P(x) = ( 1+x) + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 Tính hệ số a9 Kết quả:3003 15 21 12 61) Xét khai triển của: (x + xy) Tính hệ số hạng tử chứa x y Kết quả: 455 62) Tìm n biết khai triển ( x + x6 bốn lần hệ số x4 n ) thành đa thức biến x, hệ số Kết quả: n=10 12 63) Tìm số hạng không chứa ẩn x khai triển nhị thức ( + x ) x Kết quả: 495 ThuVienDeThi.com Đại số tổ hợp - Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật 64) Tìm số hạng không chứa ẩn x khai triển : (x2+ 10 ) x Kết quả: k=4 ⇒ C10 = 210 65) Tìm hệ số x101y99 khai triển (2x−3y)200 101 99 Kết quả: C200 99 66) Chứng minh rằng: 2n 2n− a) C2 n + C2 n +… + C2 n = C2 n + C2 n +…+ C2 n Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = , b = −1 n b) Cn +2 Cn +3 Cn +…+n Cn = n2n−1 Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n thay x=1 2n n 67) Chứng minh rằng: C n + C n + C n + C n + + C n = 68) Chứng minh rằng: a) 12 C1n + 2 C 2n + C 3n + + n C nn = (n + n)2 n − Hướng dẫn : Lấy f' ' (1) + f' ' ' (1) với f(x) = (1 + x) n 1 2 n+ − C n + C n + + C nn = n+ n+ 1 69) Tính S= C6 + C6 + + C6 b) C 0n + Hướng dẫn: Xét (x+1)6 thay x=1.Kết quả: 64 2 3 4 5 70) Tính T= C5 + 2C5 + C5 + C5 + C5 + C5 Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2 Kết quả: 243 71) Viết khai triển biểu thức ( 3x –1 ) 16 Từ chứng minh 316 C160 − 315 C161 + 314 C162 − + C1616 = 216 Hướng dẫn: Thay x=1 72) Tìm số âm dãy số: x n = A 4n + 143 − Pn + 4Pn 63 23 , x2 = − k k+ k+ 73) Tìm k∈N để C 14 , C 14 , C 14 lập thành cấp số cộng Kết quả: x = − 74) Tìm số tự nhiên x cho: A + A = 9A 10 x x x Kết quả: k=4 V k=8 Kết quả: x=11 ThuVienDeThi.com .. .Đại số tổ hợp - Trang - Người soạn: Phạm Văn Luật BÀI TẬP: I VỀ ĐẠI SỐ TỔ HP 1) Cho chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, a) Từ chữ số trên, thành lập số tự nhiên, số gồm 5 chữ số khác nhau?... số 8) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? Hướng dẫn kết quả: Cách 1: Xếp chữ số trước: cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: Xếp chữ số 3: Xếp chữ số. .. 47 = 840 số) Vậy có 6720−840=5880 số 9) Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 6! = 360 số Kết quả: 2! Hoặc: Muốn có số cần tìm ta xếp chữ số 2, 3,