Chuyên đề Đại số 9 Dãy số có quy luật51985

Chuyên đề đại số dÃy số có quy luật ******************* Tạ Phạm Hải Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng hà , Thái bình Người biên soạn : Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán - Cách : Truy toán - Cách : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách : Dùng quy nạp toán học - Cách : Đưa tính ngiệm phương trình - Cách : Vận dụng tổng hợp cách đà học Ví dụ : Cho A     cã 100 dấu Chứng minh A số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > Sau ta chứng minh A < Thật 2  22   22   2 2 < A 2 2   22   2 < Do vËy ta cã < A < , chøng tá A N ( dpcm ) C¸ch giải thường gọi truy toán Ví dụ : Rót gän dÉy tÝnh sau  1  2 3   n 1  n Víi n lµ sè tự nhiên lớn Giải : Xét số hạng tỉng qu¸t n  n 1 1    n  n 1   n n n 1  n n  n 1 VËy :  1  2 3 DeThiMau.vn   n 1  n Trang = = (  1)  (  2)  (  3)   ( n  n  1) n 1 Nh­ cho n giá trị cụ thể ta lại toán Cách giải gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dơ : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn dương n ta có 1 1     < 2 ( n  1) n Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : 1  1  n  1    n    n    (n  1) n (n  1)n  n n 1   n n   n n     1   1   n n         n  n n 1  n n n 1   n =  n VÝ dô : n = Từ tiếp tục giải toán dễ dàng Tính giá trị biểu thức B   13   13  13 Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn lần Gi¶i : NhËn xÐt B > Ta thÊy : B   13   13   13   ( B2 – )2 = 13 + B  B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B  B4 – 10 B2 – B + 12 =  B4 – B2 – B2 + – B + =  B2 ( B – )( B + ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) =  ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – ] =  ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – ) – ] = V× B > nên B2 > B + > nªn ( B + 3)( B2 – 1) – > 11 DeThiMau.vn ®ã B – = VËy B = Trang C¸ch giải ví dụ gọi đưa tính ngiệm phương trình Ví dụ : Tính giá trị biểu thức C 1 1 1 1            12 22 22 32 32 42 992 1002 Gi¶i : Xét số hạng tổng quát : 1 với k số nguyên k ( k  1) 2 d­¬ng , ta cã 1   1 1          k (k  1) k k      : 2 1          1      1       2 1  k   k 1   k   k  k    k    k 1 1  k   1 1    2 2     0       V× : k k k k k ( k 1)             1 1         VËy : k (k  1)2  k (k  1)  Nªn : 1 1 1 1        k (k  1) k (k 1) k k áp dung vào 1   1  1  1  C  1     1     1      1     2  3  4  99 100  1 1 1 1 1  99            100   99,99 2 3 4 99 100 100 VÝ dô : Chứng minh với số nguyên dương n ta ®Ịu cã 4 4   < Giải : Ta chứng minh quy nạp toán học DeThiMau.vn < Đúng Với n = ta cã D1 = Trang Gi¶ sử toán với n = k , tức lµ ta cã : Bk    < k Ta c/m toán với n = k + Bk 1      =     Bk k 1 V× Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 =  Bk <  < VËy toán với n = k + Do toán với n Ví dụ : Cho biÓu thøc A 2 2 2   2 2 2  tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A > Giải : Đặt : an     an2   an1 Ta cã :  cã biÓu thức có n dấu a100 a99  a100     a100   a100   a100 an 1  an2  2  a100  a100 A   VËy : 2  (a100  2)  a100 vµ A a100 < b»ng truy to¸n Ta cã a1  < Sau ta c/m a2   a1 < 22   a3      a2 < DeThiMau.vn 22   a100   a99 < Trang 1 VËy : a100  < + = , nªn : >  a100 ( dpcm ) Bài toán đà giải vận dụng tổng hợp kiến thức đà học Tõ ®ã A > VÝ dơ : Chøng minh r»ng : 2003 2004 < Giải : Đặt : ak k (k 1) (k  2) (n  1) n vµ n k số nguyên dương Ta chøng minh Ph¶n chøng : Gi¶ sư ak  k  Víi n > k ak  k  theo cách đặt ta có : ak2 2 ak  k ak 1  a  k ak 1  ak 1  mµ ak  ( k  1) k 2 ak (k  1) k  2k  k  2k    k 2 nªn ak 1  k k k k k víi mäi sè nguyªn dương k , tức điều vô lý VËy ak  k  2002 2003  2003 phải sai Vậy ak k Do a2 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ : Tìm ngiệm tự nhiên phương trình x  x  x  x   x  x  x Gi¶i : DƠ thÊy x = lµ mét ngiƯm NÕu x = , ta cã : DeThiMau.vn Trang      3.1    Vậy x = ngiệm phương trình Nếu x = , ta cã :  2  2  2   2     VËy x = ngiệm phương trình Nếu x = , xét ta có : x  x x = nªn x  3x   3.3 Căn lµ : x  x  x    3.3 trình lặp lại , ta cã :  2.3  ®óng Vậy x = ngiệm phương tr×nh NÕu x > , th× x  x  x  x   x  x  x  x  x  x  x  x   x  x  x2 = x + 2x  x2 – 3x =  x = hc x = Nhưng x > nên trường hợp phương trình vô ngiệm Vậy phương trình có hai ngiƯm lµ vµ DeThiMau.vn Trang Bµi tËp lun tËp d·y tÝnh cã quy lt Bµi : Tính giá trị biểu thức sau a) A     v« hạn dấu b ) B    Bµi : Chøng minh : vô hạn dấu a) C         n 3 D       b)    n Bµi tËp : Dùng quy nạp toán học chứng minh : Tn  a  a  a   a  a  ; Víi n  Z+    n Bµi tËp : Chøng minh r»ng 1 1     1 1   (n  1) n  n n  víi mäi sè nguyen dương n Bài : Chứng minh với n nguyên dương n > , ta ®Òu cã n 3 1 1      n 2 n Bài : Rút gọn biểu thức sau a) A 1 1     1 4 7  10 97  100 b) B 1 1     2 3 4 100  101 Bµi : Chøng minh r»ng DeThiMau.vn S  1 1 1      100 số tự nhiên Trang Bài : Dùng quy nạp toán học chứng minh : 1 1       n Bµi : Cho 100 sè : cho ta cã : n , víi mäi n  Z+ a1 , a2 , a3 , a4 , , a100 100 số tự nhiên 1 1      a1 a2 a3 a4  20 a100 Chøng minh r»ng tồn hai số Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 2001      3(1  2) 5(  3) 7(  4) 4003( 2001  2002) 2003 Bµi 11 : Chøng minh r»ng : 1 1      12  22 22  32 32  42 20022  20032 Bµi 12 : Chøng minh r»ng : 15 n2      ,  n  N vµ n > 16 n số nguyên Bài 13 : a ) Chưng minh r»ng  n  Z+ ta ®Ịu cã  n 1 n 1  1 n n(n  1) b ) ¸p dơng chøng minh 2007   3 44 55 2008     2008  2008 2007 Bµi 14 : Tìm ngiệm nguyên phương trình x x x  x   x  z  y vế trái có y dấu DeThiMau.vn ... 2  3  4  99 100  1 1 1 1 1  99            100   99 ,99 2 3 4 99 100 100 VÝ dô : Chứng minh với số nguyên dương n ta ®Ịu cã 4 4   < Giải : Ta chứng minh quy nạp toán học... 1 V× Bk < ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 =  Bk <  < VËy toán với n = k + Do toán với n Ví dụ : Cho biÓu thøc A 2 2 2   2 2 2  tử có 100 dấu , mẫu có 99 dấu Chứng minh A > Giải... gọi cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dơ : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn dương n ta có 1 1     < 2 ( n  1) n Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : 1  1  n  1    n