CÁC CHUYÊN đề đại số 9 cơ bản và NÂNG CAO

HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT Các đẳng thức đáng nhớ thường sử dụng (a + b) = a + 2ab + b ( a + b) = a  + 3ab(a + b) + b3 (a − b) = a − 2ab + b (a − b)(a + b) = a − b (a − b) a3 + b3 = (a + b)(a − ab + b2 ) = a − 3a 2b + 3ab − b3 a3 − b3 = (a − b)(a + ab + b2 ) Các đẳng thức mở rộng thường sử dụng (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + ( a + b )(b + c )( c + a ) Các phép biến đổi thức Các công thức bậc  A ( A  0) A2 = A =  − A ( A  0) ( A = B ( A, B  ) A.B = A B = A− B A2 B = A B ( B  0) A+ B A− B )( A+ B ) = A B A+ B ; A− B ( A  0, B  ) = A+ B ( A− B A+ B )( A− B ) = A− B A− B Các công thức thức bậc cao A3 = A A−3 B = 2k k +1 A2k = A A2k +1 = A A− B 3 A + A.B + B A+3 B = A+ B A − A.B + B II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Rút gọn biểu thức chứa thức: 1) Các tốn biến đổi đại số thơng thường Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh) Tính giá trị biểu thức: A = − + 14 − Lời giải Ta có: A = − + 14 − = ( ) −1 + (3 − ) = −1 + − = Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) Rút gọn A = 127 − 48 − 127 + 48 Lời giải Ta có: A = 127 − 48 − 127 + 48 = (8 − 7)2 − (8 + 7)2 = | − | − | + | = − − − (8>3 ) = −6 Ví dụ (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hịa Bình Năm 2010-2011) HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, Cho a = 11 + + 11 − Chøng minh r»ng a lµ mét sè nguyªn Lời giải a = 11 + + 11 − = (3 + 2)2 + (3 2)2 = Từ a số nguyªn Ví dụ (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013) 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 Rút gọn biểu thức: A= 10 + 30 − 2 − : = 10 − 2 −1 Lời giải Ta có: 2 ( − 1) + ( − 1) − + 3 −1 + 3 −1 +1 −1 = = = = 2 2 2 2 ( − 1) Ví dụ (Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) Tính giá trị biểu thức N= 4+ + 4− + 13 + 27 − 10 Lời giải Ta có: 2( + + − ) N= + 13 + 25 − 10 + 2( + + − ) = + (5 − 2)2 (4 + 3) + + − + (4 + 3) = 2( + + − ) ( 4+ + 4− 3) + (5 − 2) = 2( + + − ) 4+ + 4− + 5− = +5− = Ví dụ (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012) Không sử dụng máy tính, thực phép tính: A= 15 10 23 Lời giải 1/ Ta có: A= 15 10 23 15 3 5 2 46 3 15 23 5 5 10 2 HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, =1 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017) 2+ Rút gọn biểu thức: B = + 2+ 2− + − 2− Lời giải Ta có: B 2+ 2− 2+ 2− = + = + 2+ 4+ 2− 4−2 3+ 3− B (2 + 3)(3 − 3) + (3 + 3)(2 − 3) + + − = = (3 + 3)(3 − 3) B =1  B = 2 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017) 20172 − − 20162 − So sánh 2.2016 20172 − + 20162 − Lời giải Ta có: ( 20172 − − 20162 − 1)( 2017 − + 20162 − 1) 20152 − − 20142 − = = 20172 − + 20162 − (20152 − 1) − (20142 − 1) 2017 − + 2016 − 2 2017 + 2016 = 2017 − + 2016 − 2 =  2017 − 20162 2017 − + 2016 − 2 = (2017 − 2016)(2017 + 2016) 2017 − + 20162 − 2.2016 2017 −1 + 20162 −1 Vậy 20172 −1 − 20162 −1 > 2.2016 20172 − + 20162 − Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Kim Thành năm học 2012-2013) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x−5 x +6 x − 3− x Lời giải Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x−5 x +6 x − 3− x ĐKXĐ: x  4; x  x −9 ( x −2 = ( ( )( x −3 )( x − )( x +1 ) − x + x +1 x − − x + + 2x − x − + = = x −2 x −3 x −2 x −3 )= x − 3) x −2 ( )( ) ( x− x −2 x −2 )( x −3 x +1 x −3 2) Các tốn rút gọn có sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa tốn ) HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, Ví dụ Rút gọn biểu thức: A = − − 7 +  7− 74 +  7−   7 + 343 Lời giải Đặt a =  a = a = ta có: 2 − 2a 13a + a A= −a− + + = + 1  a3 a a a (a + 1) 2 a− a a +  a a  a + a − 2a − 2a + 13a + a 2a (7 − a ) = = =0 a (a + 1) a (a + 1) a2 − Do a4 = Ví dụ Rút gọn biểu thức: B = − − 25 − 125 4 Lời giải Đặt b =  b = 25, b3 = 125, b = 5, b6 = 5b , b5 = 5b Ta có: B = − 3b + 2b − 3b3 Mặt khác: 1 (b3 + 3b) + (2b + 4) = = b3 − 2b + 3b − (b3 + 3b) − (2b + 4) (b3 + 3b) − (2b + 4) = b3 + 3b + 2b + (b3 + 2b + 3b + 4)(b − 3) b5 + 2b − 2b − 9b − 12 = − = −2b − 2(b − 9) −b − 2b −  b +1  = = −    2  4 = Vậy B =   = b +1 +1  b +1  Dạng Rút gọn biểu thức thức chứa hay nhiều ẩn số Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013) Rút gọn biểu thức: A = ( x − 50 − x + 50 ) x + x − 50 với x  50 Lời giải a) Ta có : A2 = ( ) (x + x - 50 - x + 50 ( )( ) )( ( x - 50  A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 ) (  A = 2x - x - 50 x + x - 50  A = x - x + 50 Vậy: A2 =100 Nhưng theo giả thiết ta thấy A = ( ) x - 50 - x + 50 ) x + x - 50 a  b a−b a+ b b− a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết (1 − a )(1 − b ) + ab = Lời giải Rút gọn M= ab với a, b>0 a  b a− b -Ta có (1 − a )(1 − b ) +  ab = ( a− b ab =  ab − a − b + + ab = ) ( ab ) =1 a− b ab =1 a− b + Nếu a>b>0  a  b  a − b  0; ab    ab 0 a− b ab ab ab =  =1 M =1 a− b a− b a− b + 0 x= 2 2 2 2 ( 1) 3( x 2) 2( x 5) (3 2) (3 2) 2 2 x>1 Vậy P=0 2) Tìm giá trị ẩn để biểu thức số cho trước Ví dụ (Trích đề thi HSG thành phố Thanh Hóa năm 2016-2017)  x+2 x  x −1 + + Với x  0, x  : x x − x + x + 1 − x   Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, Lời giải a) Ta có:   x+2 x  x −1  P= + + = : x x − x + x + 1 − x     = x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) ( )( ) x −1 x + x +1 x − x +1 = ( = x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 :  x  x −1 + − : x + x + x −  x −1  x+2 ( ) x −1 2 x −1 b) Với x  0, x  Ta có: P= 2  =  x + x +1= 7 x + x +1  x + x − =  ( x − 2)( x + 3) = Vì x − =  x = (t/m) x +  nên Vậy P = x = Ví dụ (Trích đề thi HSG Ninh Bình năm học 2012-2013) x2 - x 2x + x 2(x - 1) + Cho biểu thức: P = x+ x +1 x x -1 (x > 0, x  1) Rút gọn P Tìm giá trị x để P = Lời giải 1/ Ta có: P = = x ( x3 − 1) x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1) − + x + x +1 x x −1 x ( x − 1)( x + x + 1) − x − + 2( x + 1) x + x +1 = x − x +1 2/ Ta có: P =  x − x + =  x − x − = Đặt t = −1 ( L) t = (TM ) x = t, t  ta pt t − t − =   Ta có t = ta x =  x = (thỏa mãn ĐK) Vậy x = P = Ví dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013) Cho biểu thức: P = x y xy − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )( x + 1) ( x + 1)(1 − y ) HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = Lời giải 1) Điều kiện để P xác định : x  ; y  ; y  ; x + y  P= = ( x(1 + x ) − y (1 − ( x + x + )( y ( y x − )(1 + x y +x− )( x + y ) − xy = x + xy − ( ) x = )( ( ) x +1 − ) y 1+ y − (1 − y ) y ( ) ( x +1 + y 1+ (1 + x )(1 − y ) ( y 1− y ) y x + xy − y = với x  ; y  ; y  ; x + y  2) P =  (  ) y x 1− = (1 − y ) y xy + y − xy x 1− x − y + y − y x = ) = ( x − y) + ( x x + y y ) − xy ( x + y ) y) ( x + y )(1 + x )(1 − y ) x + )(1 − )( y 1+ ( x 1+ ) ( y 1  Ta cã: + ) y − y + = 1 ( )( x −1 1+ ) y =1 x −    x   x = 0; 1; 2; ; Thay vào P ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Ví dụ (Trích đề Thi HSG huyện lớp 9) x −9 Cho biêu thức M = x−5 x +6 + x +1 x −3 + x+3 2− x a Tìm giá trị x để biểu thức M có nghĩa rút gọn biểu thức M b Tìm x để M = Lời giải a/ ĐK x  0; x  4; x  Rút gọn M = x −9− ( ( Biến đổi ta có kết quả: = = ( ( )( x − 3)( x +1 )= x − 2) x −2 b/ Ta có: )( ) ( )( x + x − + x +1 x −2 x −3 ( )( x− x −2 x −2 )( ) x −2 ) ) x −3 x +1 x −3 M = 5 x −1 =5 x −3  x =  x = 16(TM ) 3) Tìm giá trị ẩn đê biểu thức thỏa mãn bất đẳng thức Ví dụ (Trích đề Thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013) Cho biểu thức: A = x+2 x +1 + + với x  0, x  x x −1 x + x +1 1− x 1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: A  )( x 1− x ) HocToan123.com - Website chia sẻ kiến thức Toán cấp 1, 2, Lời giải Ta có: 1) A = A= A= ( x+2 )( ) x −1 x + x +1 + x +1 − x + x +1 x −1 x + + x −1 − x − x −1 ( ( )( ) x −1 x + x +1 x− x )( ) x ( x − 1) A= = ( x −1)( x + x + 1) x + x −1 x + x +1 2) Xét x , với x  0, x  x +1 ( ) x −1 1 x −A = − = 3 x + x + 3(x + x + 1) Do x  0, x   ( ) 1  x −  x + x + =  x +  +  2  1  −A  0 A  3 Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Vĩnh Lộc –Thanh Hóa năm 2016-2017) Cho biểu thức P = 3x + x − x+ x −2 − x +1 x +2 − x −2 x −1 a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P < Lời giải a) Tìm ĐKXĐ: x  0, x  Ta có 3x + x − x +1 x −2 3x + x − ( x + 1)( x − 1) ( x − 2)( x + 2) − − = − − x+ x −2 x +2 x − ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) = 3x + x − − x + − x + x+3 x +2 = ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) = ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 1) x +1 x −1 b) - Ta có: P <  x +1 0 x −1  x −  0(do x +  0)  x 1  x 1 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với  x  P < Ví dụ (Trích đề thi HSG huyện Cam Lộ) ...   z + y =   y = − z   y 20 09 = − z 20 09   y 20 09 + z 20 09 =    z 2011 = − x 2011  z 2011 + x 2011 =  x + z =  z = − x   nên P = Câu (Trích đề thi HSG Thanh Oai năm 2015-2016)... x −1 1+ ) y =1 x −    x   x = 0; 1; 2; ; Thay vào P ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả m·n Ví dụ (Trích đề Thi HSG huyện lớp 9) x ? ?9 Cho biêu thức M = x−5 x +6 + x +1 x −3 + x+3 2− x... = −63b 21 Câu (Trích đề thi HSG Nghi Xuân năm 2013-2014) Cho ba số x, y, z khác thoả mãn:  x + y + z =  1 1 =  2+ 2+ 2+ x y z xyz  1 1  + + 0 x y z ( 20 09 + z 20 09 Tính giá trị biểu