57 bai toan ve tu giac dieu hoa chi tiet chon loc

Mục lục Lời nói đầu Lý 1.1 1.2 1.3 5 thuyết Lí thuyết sở Các hàng điểm điều hòa chùm điều hòa đặc biệt Tứ giác điều hòa Đề Lời giải 15 Bài tập rèn luyện 87 Tài liệu tham khảo 91 MỤC LỤC 57 toán tứ giác điều hịa Lời nói đầu Trong chủ đề hình học phẳng chủ đề tứ giác điều hịa khơng cịn q xa lạ với số bạn Tứ giác điều hòa hay gọi tứ giác đẹp lẽ kèm với tính chất thú vị, giúp giải nhiều tập khác Chắc hẳn tiếp xúc với tứ giác này, có khơng biết tên gọi lên bậc THPT biết định nghĩa, tính chất rõ ràng cụ thể tứ giác điều hịa Chính vậy, thơng qua sách tác giả muốn trình bày tới bạn đọc từ định nghĩa, tính chất đến dạng tập tứ giác điều hòa cách chân thực khách quan Đây sách mà tác giả ấp ủ ý định thực bước chân vào lớp 10 Các toán chủ yếu tác giả lấy từ nhiều nguồn khác đồng thời tác giả nghiên cứu sáng tác số toán thú vị mà bạn đọc tiếp xúc Một số tốn xuất lâu, khơng biết rõ nguồn gốc mong bạn đọc coi tác giả sưu tầm Tác giả muốn cảm ơn tới gia đình tác giả ln ủng hộ suốt trình làm sách Tác giả gửi lời cảm ơn tới người thầy giáo tác giả thầy Kiều Đình Minh ln người thầy cần mẫn giúp tác giả tiến lên ngày Cuốn sách quà kỷ niệm ba tháng tác giả học đội tuyển VMO anh lớp 11 anh lớp 12 Tác giả xin chân thành cảm ơn anh Trần Minh Hiếu - Khóa 34 dành thời gian thiết kế bìa sách cho tác giả Xin gửi lời cảm ơn dành tặng sách tới anh Trần Minh Hiếu, Nguyễn Hoàng Phi, Nguyễn Hải Dương, Bùi Ngọc Tân - Khóa 34 ln giúp đỡ tác giả trình học đội tuyển tạo kỉ niệm đẹp ba tháng vừa qua Tác giả xin chúc cho hai anh Nguyễn Hải Dương Bùi Ngọc Tân đạt kết tốt kì thi TST tới Mặc dù tài liệu tác giả biên soạn kĩ lưỡng sai sót điều khơng thể tránh khỏi Mong bạn đọc thơng cảm ý kiến đóng góp xin gửi địa email khoanguyen17112003@gmail.com Xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, ngày 12 tháng năm 2019 Nguyễn Đăng Khoa Khóa 36 - THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ MỤC LỤC 57 toán tứ giác điều hịa Chương Lý thuyết 1.1 Lí thuyết sở Định nghĩa 1.1.1 Một hàng điểm A, B, C, D gọi hàng điểm điều hòa tỉ số kép (A, B; C, D) = CA DA : CB DB có giá trị -1, ta nói A, B liên hợp điều hịa với C, D Nhờ tính chất tỉ số kép ta thấy A, B liên hợp điều hòa với C, D ta có (A, B; C, D) = (C, D; A, B) = (B, A; D, C) = (D, C; B, A) = (B, A; C, D) = (C, D; B, A) = (A, B; D, C) = (D, C; A, B) = −1 Nhận xét Trong nhiều tài liệu có cách viết khác tỉ số kép ví dụ (AB, CD) (A, B, C, D) Trong tài liệu thống dùng kí hiệu (A, B; C, D) để biểu diễn tỉ số kép điểm A, B, C, D Định nghĩa 1.1.2 Một chùm đường thẳng đường thẳng đồng quy Định nghĩa 1.1.3 Cho chùm đường thẳng a, b, c, d đồng quy O Với bốn điểm A, B, C, D khác O nằm a, b, c, d, ta định nghĩa tỉ số kép a, b, c, d −→ −→ −−→ −→ sin (OC, OA) sin (OD, OA) (a, b; c, d) = O(A, B; C, D) = −→ −−→ : −−→ −−→ sin (OC, OB) sin (OD, OB) Nhận xét Định nghĩa tỉ số kép chùm thực chất không phụ thuộc vào cách lấy A, B, C, D Bạn đọc tự chứng minh tính chất sau để chứng tỏ định nghĩa tỉ số kép hàng điểm chùm bốn đường thẳng tương đương Tính chất 1.1.4 Một chùm đường thẳng a, b, c, d đồng quy O đường thẳng ∆ cắt a, b, c, d A, B, C, D Khi (a, b; c, d) = O(A, B; C, D) = (A, B; C, D) Định nghĩa 1.1.5 Cho chùm đường thẳng a, b, c, d Khi a, b, c, d gọi chùm điều hòa (a, b; c, d) = −1 Ta nói a, b liên hợp điều hịa với c, d Tính chất 1.1.6 (Tính chất hàng trung điểm) Chùm O(A, B; C, D) = −1 với A, B, C thẳng hàng có C trung điểm AB AC k OD CHƯƠNG LÝ THUYẾT 57 toán tứ giác điều hòa O D A C B Do tính chất đặc biệt tỉ số kép −1 nên ta có loạt hệ thức sau tương đương với định nghĩa hàng điểm điều hịa Tính chất 1.1.7 (Các hệ thức hàng điểm điều hòa) Cho hàng điểm A, B, C, D I trung điểm AB, J trung điểm CD ta có khẳng định sau tương đương (A, B; C, D) = −1 Hệ thức Descartes: 1 = + AB AC AD Hệ thức Newton: IA2 = IB = IC · ID Hệ thức Maclaurin: AB · AJ = AC · AD Tính chất 1.1.8 (Tính chất chùm phân giác) Cho chùm (a, b; c, d) = −1 Các mệnh đề sau tương đương c ⊥ d c phân giác góc tạo a b d phân giác góc tạo a b 1.2 Các hàng điểm điều hòa chùm điều hòa đặc biệt Tính chất 1.2.1 Cho tam giác ABC có AD, AE phân giác phân giác ngồi tam giác Khi (B, C; D, E) = −1 kéo theo A(B, C; D, E) = −1 A E D B C CHƯƠNG LÝ THUYẾT 57 tốn tứ giác điều hịa Tính chất 1.2.2 Cho tam giác ABC điểm P bất kì, gọi D, E, F giao điểm đường thẳng P A, P B, P C với BC, CA, AB Gọi EF giao BC G Khi (B, C; D, G) = −1 A E F P C G B D Tính chất 1.2.3 Cho P điểm nằm ngồi đường trịn (O) Từ P kẻ hai tiếp tuyến P A, P B tới (O) Một đường thẳng qua P cắt (O) C, D Nếu AB cắt CD Q (P, Q; C, D) = −1 A D Q C O P B 1.3 Tứ giác điều hòa Tính chất 1.3.1 (Tỉ số kép bốn điểm đường tròn) Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn (O) Lấy điểm M đường trịn (O), tỉ số kép M (A, B; C, D) không đổi M di động (O) Tỉ số kép không đổi gọi tỉ số kép bốn điểm đường trịn, kí hiệu (A, B; C, D) Định nghĩa 1.3.2 (Tứ giác điều hòa) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) gọi tứ giác điều hòa (A, C; B, D) = −1 CHƯƠNG LÝ THUYẾT 57 tốn tứ giác điều hịa Tính chất 1.3.3 (Tính chất tứ giác điều hịa) Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp đường tròn (O) Khi khẳng định sau tương đương (A, C; B, D) = −1 AB · CD = AD · BC AC · BD = · AB · CD Tiếp tuyến A, C (O) BD đồng quy Tiếp tuyến B, D (O) AC đồng quy AC đường đối trung hai tam giác ABD CBD BD đường đối trung hai tam giác BAC DAC Nếu M trung điểm BD BD đường phân giác ∠AM C E A B D F M O C Hình vẽ minh họa tính chất tứ giác điều hịa Trên tác giả nêu chi tiết lý thuyết từ hàng điểm điều hòa đến tứ giác điều hịa Cách chứng minh tính chất đơn giản xuất nhiều tài liệu tham khảo khác nên tác giả không chứng minh lại Ngoài bạn đọc phải tự trang bị cho kiến thức phép biến hình, cực đối cực, định lý tiếng phổ biến hình học phẳng Bây đến với phần tập CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 tốn tứ giác điều hịa Gọi K giao điểm HT với RS Ta dễ thấy BT k DF CT k DE Áp dụng định lý sin vào hai tam giác HBT HCT kết hợp BT = CT ta có sin ∠BHT sin ∠HBT sin ∠HSD = = sin ∠CHT sin ∠HCT sin ∠HRD Ta lại áp dụng định lý sin vào hai tam giác HSD HRD ý DH phân giác ∠EDF nên ta có HR sin ∠HSD = sin ∠HRD HS Suy sin ∠SHK · HS = sin ∠RHK · HR ⇒ SHSK = SHRK hay ta có K trung điểm RS Vậy bổ đề chứng minh Bây ta quay lại toán ban đầu A L E P F H K I R S B C D O′ T Lấy DE giao HC R, DF giao HB S Theo bổ đề ta có HT qua trung điểm I RS Ta có ∠AKH = 90◦ , mặt khác theo bổ đề ta có AO′ ⊥ RS ⇒ HK k RS Suy H(L, K; E, F ) = H(I, K; S, R) = −1 Vậy ta có tứ giác LEKF tứ giác điều hòa Chú ý tứ giác P EHF tứ giác điều hịa theo 18 Từ sử dụng bổ đề ta có HK, EF, P L đồng quy (đpcm) 77 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 tốn tứ giác điều hịa Bài 53 (USA TST 2019, problem 6) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I Lấy D BC cho ∠AID = 90◦ Các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Chứng minh tứ giác AB1 A1 C1 nội tiếp AD tiếp tuyến (DB1 C1 ) Lời giải Ta cần có bổ đề sau Bổ đề (USA TST for EGMO 2019, Problem 5) Đường tròn bàng tiếp tam giác ABC đối diện đỉnh A tiếp xúc với BC A1 Xác định B1 CA C1 AB cách tương tự Ký hiệu γ đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 giả sử γ qua đỉnh A a) Chứng minh AA1 đường kính γ b) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I △ABC nằm B1 C1 IB A IC C1 I B1 A1 B C Chứng minh a) Gọi IA , IB , IC tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A, B, C tam giác ABC Ta biết kết quen thuộc IA A1 , IB B1 , IC C1 đồng quy điểm V (điểm Bevan) Ta có ∠V C1 A = ∠V B1 A = 90◦ nên V ∈ (AB1 C1 ) Suy (A1 B1 , A1 C1 ) = (AB1 , AC1 ) = (V B1 , V C1 ) (mod π) Ta thấy V, A1 nằm phía so với B1 C1 mà V nằm IA A1 nên dễ có V ≡ A1 hay ta có AA1 đường kính ω b) Ta thấy IC , C1 , A1 IB , B1 , A1 thẳng hàng dựa theo phần a) Từ áp dụng định lý Pappus cho điểm IC , A, IB B, A1 , C ta có I, B1 , C1 thẳng hàng Vậy bổ đề chứng minh Bây ta quay lại toán ban đầu 78 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa IB A IC M C1 D B B1 I A1 H C Lấy S giao điểm IB IC với BC, H hình chiếu A lên BC Khi A1 (H, A, B1 , C1 ) = A1 (S, A; IB , IC ) = −1 Suy tứ giác AC1 HB1 tứ giác điều hòa nên tiếp tuyến A, H (A1 B1 C1 ) cắt M nằm B1 C1 Ta thấy ∠AIM = ∠AB1 I + ∠IAB1 = ∠M AC1 + ∠IAC1 = ∠M AI ⇒ M A = M I nên ta có M tâm (AIH) Để ý giả thiết ta có ∠AID = ∠AHD = 90◦ nên M tâm (AIHD) đồng thời trung điểm AD Suy M D2 = M A2 = M C1 · M B1 Vậy ta có AD tiếp tuyến (DB1 C1 ) 79 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa Bài 54 (Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF Lấy K, L thuộc EF cho CK = CF BL = BE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ALE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKF I Chứng minh tứ giác ABIC tứ giác điều hòa A K Y E X M F B D C Z L I Lời giải (Trịnh Huy Vũ) Gọi M trung điểm EF Ta định nghĩa lại điểm I giao điểm tia AM với (O) Dễ có AM đường đối trung tam giác ABC nên ABIC tứ giác điều hòa Ta chứng minh I ∈ (ALE) I ∈ (AKF ) Đường tròn (B, BE) cắt (O) hai điểm Y, Z Gọi D hình chiếu A lên BC X hình chiếu E lên AB Ta có ∠M XF = ∠M F X = ∠AF E = ∠BF D ⇒ XM k DF Ta thấy BY = BZ = BE = BX · BA ⇒ △BXY ∼ △BY A △BXZ ∼ △BZA Suy ∠BXY + ∠BXZ = ∠BY A + ∠BZA = 180◦ ⇒ X, Y, Z thẳng hàng Mặt khác ta dễ có Y Z ⊥ BO ⇒ Y Z k DF Do ta có Y Z qua M Suy M L · M E = M Y · M Z = M A · M I Từ ta có A, L, E, I đồng viên nên (ALE) qua I Chứng minh tương tự ta có (AKF ) qua I Vậy ta có điều phải chứng minh 80 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa Bài 55 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với BC D Lấy M trung điểm BC, đường trịn đường kính IM cắt (BIC) L khác I IL cắt BC S Đường thẳng AD, AS cắt (O) điểm thứ hai H, K KL cắt BC J Chứng minh J tâm đường tròn nội tiếp tam giác KHM P A H L I J D B S M K C Q E Lời giải Mục đích tốn KL phân giác ∠BKC Cách (Lê Đức Minh) P L cắt (BIC) E khác L Ta định nghĩa lại điểm J giao P E với BC Ta có SB·SC = SI ·SL = SD·SM Do M trung điểm BC suy (S, D; B, C) = −1 Ta thấy tứ giác BLCE tứ giác điều hịa nên ta có I(S, D; B, C) = I(L, D; B, C) = I(L, E; B, C) = −1 Từ ta I, D, E thẳng hàng BJ BE cos ∠IBC Ta có EJ đường đối trung tam giác BEC nên = = JC CE cos ∠ICB KB BD AB cos ∠IBC J ′B = : = Bây ta lấy P K cắt BC J ′ Khi ′ = JC KC CD AC cos ∠ICB Vậy ta có J ′ ≡ J hay điểm J ta định nghĩa lại thỏa mãn điều kiện ban đầu ta có bốn điểm P, L, K, J thẳng hàng 81 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hịa Ta lại có A(H, K; B, C) = A(S, D; B, C) = −1 Suy tứ giác HBKC tứ giác điều hịa nên ta có M J phân giác ∠HM K Và ta có KH đường đối trung tam giác BKC hay KH, KM hai đường đẳng giác góc ∠BKC Từ ta có KJ phân giác góc ∠HKM Vậy ta có J tâm đường trịn nội tiếp tam giác KHM (đpcm) Cách (Duy Hoàng) Ta sử dụng kết quen thuộc AD ⊥ SI Ta có QL2 = QB = QM · QP ⇒ △QM L ∼ △QLP Suy ∠LP Q = ∠M LQ = 90◦ − ∠QLI = 90◦ − ∠QIL = ∠DAI = ∠KP Q Từ ta có P, L, K thẳng hàng hay ta có KJ phân giác ∠BKC Làm tương tự cách ta có điều phải chứng minh Nhận xét Từ tốn ta dễ dàng chứng minh HP, KQ BC đồng quy điểm JM tâm bàng tiếp ứng với đỉnh M tam giác KHM 82 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa Bài 56 (Iran TST 2006) Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Giả sử AM cắt đường tròn nội tiếp tam giác K, L Từ K, L kẻ hai dây cung đường tròn nội tiếp tam giác KX, LY cho KX k LY k BC Lấy AX, AY cắt BC P Q Chứng minh BP = CQ Lời giải Ta phát biểu chứng minh bổ đề sau Bổ đề Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F DI cắt EF X Khi AX qua trung điểm M BC Chứng minh A E X Y Z F I B D M C Qua X kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự Y, Z Ta có ∠IXY = ∠IF Y = ∠IXZ = ∠IEZ = 90◦ Suy tứ giác XY F I XEZI nội tiếp Từ ta có ∠IY X = ∠IF X = ∠IEX = ∠IZX ⇒ XY = XZ Suy ta có AX qua trung điểm BC Vậy bổ đề chứng minh Ta quay lại toán ban đầu 83 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa A X K E Z F X′ I L Y′ Y B Q D M P C Gọi D, E, F tiếp điểm (I) với ba cạnh BC, CA, AB Lấy Z giao điểm DI với EF Khi theo bổ đề ta có Z nằm KL theo tính chất đối xứng ta có X, Y, Z thẳng hàng AX cắt Y L Y ′ Ta thấy tứ giác KELF tứ giác điều hòa nên ta có X(K, L; Y ′ , Y ) = X(K, L; A, L) = −1 Mặt khác XK k Y Y ′ nên ta có L trung điểm Y Y ′ Suy M trung điểm P Q hay ta có BP = CQ 84 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 tốn tứ giác điều hịa Bài 57 Cho tam giác cân ABC có M trung điểm BC Lấy điểm K nằm tam giác cho BK = BM CK vng góc với AB Trung trực BK cắt cung nhỏ AM đường tròn (ABM ) L Chứng minh ∠KM L = 90◦ A G H L K D M B C Lời giải (Trần Quân) Trung trực BK cắt cung lớn AM (ABM ) D Đường thẳng DK, BK cắt (ABM ) điểm thứ hai G H Ta có ∠KHM = ∠BHM = ∠BAM = ∠M CK (do CK ⊥ AB) Suy tứ giác HKM C nội tiếp mà BK = BM (giả thiết) nên tứ giác HKM C hình thang cân từ K trung điểm BH Ta thấy △BDK cân D nên △KHG cân H Để ý BM = BK = HK = HG nên △BKM = △HGK ⇒ ∠BKM = ∠HKG = ∠DKB Từ ta có tứ giác HDBM tứ giác điều hòa Suy ∠DBK = ∠DKB = ∠DHM ⇒ D điểm cung HM Ta có ∠BHA = 90◦ ⇒ HA k DL ⇒ DM = DH = AL ⇒ AD k M L Mặt khác dễ có BD k M K nên AD ⊥ M K Từ suy M K ⊥ M L hay ta có ∠KM L = 90◦ 85 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa 86 Chương Bài tập rèn luyện Bài (Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC D Đường thẳng qua D vng góc với AD cắt đường thẳng IB IC M , N Chứng minh tam giác M AN cân Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ω đường cao BE, CF cắt H Đường trịn đường kính AH cắt lại ω G Lấy M trung điểm AH Kẻ đường kính M N đường trịn ngoại tiếp tam giác GM H Chứng minh N, E, F thẳng hàng Bài (Emmanuel José García) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Ω Lấy P điểm đối xứng C qua B Từ P kẻ hai tiếp tuyến P K, P L tới Ω KL cắt AB, BC M, N Chứng minh M A = M B N C = 2N B Bài (USA TST 2017, Evan Chen) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), lấy T BC cho ∠T AO = 90◦ Đường tròn đường kính AT cắt (BOC) hai điểm A1 , A2 với OA1 < OA2 Xác định tương tự với B1 , B2 C1 , C2 Chứng minh a) AA1 , BB1 , CC1 đồng quy b) AA2 , BB2 , CC2 đồng quy Bài (Vietnam TST 2001) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ω1 ω2 cắt A B Một tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn tiếp xúc với ω1 P ω2 T Các tiếp tuyến P T đường tròn ngoại tiếp tam giác AP T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh A, H, S thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có A cố định B, C thay đổi (O) song song với đường thẳng cố định cho trước Các tiếp tuyến (O) B, C cắt K Gọi M trung điểm BC, N giao điểm AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định B, C thay đổi Bài (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao BE, CF cắt trực tâm H Qua H kẻ đường vng góc với AO cắt BC J Tiếp tuyến B, C (O) giao P Gọi M trung điểm BC EM cắt P C X, F M cắt P B Y a) Chứng minh điểm X, Y, P, M đồng viên b) Chứng minh (P XY ) tiếp xúc với (J, JH) Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) điểm P tam giác AP , BP , CP cắt BC, CA, AB D, E, F DE cắt P C K DF cắt P B L Lấy P , Q theo thứ tự giao điểm tia AK, AL với đường tròn (O) AP cắt lại (O) T Chứng minh P Q, BC tiếp tuyến T (O) đồng quy 87 CHƯƠNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 tốn tứ giác điều hịa Bài (APMO 2012) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD Lấy M trung điểm BC H trực tâm tam giác ABC Lấy E giao điểm tia M H với đường tròn ngoại tiếp Γ tam giác ABC F giao điểm thứ hai ED với Γ BF AB Chứng minh = CF AC Bài 10 Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) M trung điểm BC Lấy D AM Gọi E, F hình chiếu D lên AB, AC EF cắt BC, AO theo thứ tự M, N Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N cắt lại (O) K M K cắt (O) L khác K Chứng minh AL qua điểm cố định D thay đổi AM Bài 11 (Trần Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Lấy K (O) trung trực HK cắt AC, AB E, F BE cắt CF G Lấy P giao điểm khác G (BGE) (CGE) Tia AP cắt lại (O) L Chứng minh KL qua điểm cố định K thay đổi (O) Bài 12 (VMO 2014, problem 5) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), B, C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M, N cho M A = M C N A = N B Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N ABC cắt P khác A Đường thẳng M N cắt BC Q a) Chứng minh ba điểm A, P , Q thẳng hàng b) Gọi D trung điểm BC Các đường trịn có tâm M, N qua A cắt K khác A Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt BC E Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F khác A Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định A thay đổi Bài 13 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Giả sử AM cắt đường tròn nội tiếp tam giác K, L Từ K, L kẻ hai dây cung đường tròn nội tiếp tam giác KX, LY cho KX k LY k BC AX, AY giao (I) điểm thứ hai X ′ Y ′ a) Tiếp tuyến X ′ , Y (I) cắt X1 , tiếp tuyến X, Y ′ (I) cắt Y1 Chứng minh K, L, X1 , Y1 thẳng hàng b) Tiếp tuyến X, Y (I) cắt X2 , tiếp tuyến X ′ , Y ′ (I) cắt Y2 Chứng minh A, X2 , Y2 nằm đường thẳng song song với cạnh BC Bài 14 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn Ω qua B, C cắt AC, AB E, F Lấy D giao điểm BE CF Gọi M trung điểm BC AD, AM cắt lại (AEF ) điểm thứ hai K L Chứng minh EF, KL, BC đồng quy Bài 15 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có trung điểm cung BC chứa A không chứa A I, J Đường tròn (I, IJ) cắt tia AB, AC P, Q Đường thẳng JP, JQ cắt lại (O) điểm thứ hai theo thứ tự K L Chứng minh tứ giác AKJL tứ giác điều hòa Bài 16 (IMO 2003, problem 4) Cho ABCD tứ giác nội tiếp Lấy P , Q, R hình chiếu D lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh P Q = QR phân giác ∠ABC ∠ADC cắt AC 88 CHƯƠNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 toán tứ giác điều hòa Bài 17 (THTT số 437) Cho tam giác ABC cân A, đường tròn (O) tiếp xúc AB, AC cắt BC hai điểm phân biệt K, L AK cắt (O) M Gọi P, Q điểm đối xứng K qua B, C Chứng minh M, O tâm đường tròn (M P Q) thẳng hàng Bài 18 Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Lấy D, E điểm đối xứng với P qua cạnh AC, AB Lấy I, K hình chiếu P AC AB Đường tròn (ADE) cắt đường trịn đường kính AP X khác A Chứng minh tứ giác P IXK tứ giác điều hòa Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF đồng quy H Lấy HI đường đối trung △HBC Gọi K hình chiếu A lên HI Tia AH cắt (O) điểm L, tia M H cắt (O) điểm P Chứng minh a) Tứ giác P BLC tứ giác điều hòa b) Đường tròn (M IK) tiếp xúc (O) Bài 20 (Định lý Brocard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Hai đường chéo cắt M AD cắt BC E AB cắt CD F Chứng minh O trực tâm tam giác M EF Bài 21 Cho tam giác ABC không cân A Đường tròn nội tiếp (I) tam giác tiếp xúc với BC D Điểm M thuộc đoạn AD Các đường thẳng M B, M C theo thứ tự cắt lại (I) B1 , B2 ; C1 , C2 (BB1 < BB2 ; CC1 < CC2 ) Chứng minh BC, B1 C1 , B2 C2 đồng quy Bài 22 Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F AD cắt lại (I) X; BX, CX theo thứ tự cắt lại (I) Y, Z; AY, AZ theo thứ tự cắt lại (I) R, S Chứng minh AD, ES, F R đồng quy Bài 23 Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA D, E AD cắt lại (I) P Giả sử ∠BP C = 90◦ Chứng minh rằng: EA + AP = P D Bài 24 Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C nằm (O) khác A B Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Gọi giao điểm tiếp tuyến (O) B C N Đường thẳng AN cắt (O) D cắt BC F Đường thẳng OC cắt đường thẳng qua M song song với AB I Đường thẳng OD cắt đường thẳng qua N song song với AB J Gọi K giao điểm M D N C Giả sử IJ cắt M N E Chứng minh K tâm đường tròn qua bốn điểm C, D, E, F Bài 25 Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt A B Lấy điểm M di động đường tròn (O1 ) Đường thẳng M A, M B cắt (O2 ) điểm thứ hai K L Gọi N trung điểm KL Chứng minh M N qua điểm cố định M thay đổi đường tròn (O1 ) Bài 26 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), đường tròn (I) tiếp xúc với BC D AD cắt lại (I) E Lấy điểm F khác D nằm AD cho CF = CD Lấy G giao điểm BE với CF Chứng minh F trung điểm CG 89 CHƯƠNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN 57 toán tứ giác điều hòa Bài 27 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC chứa điểm A (O) lấy điểm D Gọi E giao điểm AD BC Phân giác ∠BDC cắt đường trịn đường kính AE M N Chứng minh tứ giác BM CN tứ giác điều hòa 90 Tài liệu tham khảo [1] Đồn Quỳnh (chủ biên), Tài liệu chun Tốn hình học 10, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Linh, 108 tốn hình học sơ cấp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2018 [3] Lớp 10 chun Tốn khóa 17, trường THPT chun Lê Q Đơn Bình Định, Chun đề tứ giác điều hòa, 2015 [4] Bùi Đắc Hiên, Tứ giác điều hịa số tốn, 2018 [5] Diễn đàn Mathscope, Chuyên đề: Tứ giác điều hịa, 2012 [6] Nguyễn Hồng Phi, Chun đề tứ giác điều hòa, 2018 http://khoalinhmathematics.blogspot.com/2018/07/chuyen-e-tu-giac-ieu-hoa.html [7] IMO problems with solutions https://www.imo-official.org/problems.aspx [8] Nguyễn Văn Linh, Euclidean Geometry Blog https://nguyenvanlinh.wordpress.com/ [9] Trần Quang Hùng, Blog hình học sơ cấp http://analgeomatica.blogspot.com/ [10] Nguyễn Đăng Khoa, Blog Toán học Khoa Nguyễn https://khoalinhmathematics.blogspot.com/ [11] AoPS forum https://artofproblemsolving.com/ [12] Diễn đàn Toán học - VMF forum https://diendantoanhoc.net/ [13] Diễn đàn Mathscope http://mathscope.org/ [14] Group Hình học phẳng https://www.facebook.com/groups/205466756603509/ [15] Tạp chí Pi, Tạp chí Toán học tuổi trẻ 91 ... tiếp xúc với (O) L Tiếp tuyến B, C (O) cắt Y Tiếp tuyến K, L (O) cắt Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Bài 43 (Turkey TST 2018, P4) Cho tam giác không cân ABC có trung tuyến AD Lấy E, F AC, AB... thêm tiếp tuyến xuất nhiều tốn liên quan đến tứ giác điều hịa 19 CHƯƠNG LỜI GIẢI 57 toán tứ giác điều hòa Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (O), tiếp tuyến A... ∠BAQ = ∠CAP CHƯƠNG ĐỀ BÀI 57 tốn tứ giác điều hịa Bài 10 (APMO 2013, Problem 5) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ω Lấy P thuộc AC cho P B P D tiếp tuyến ω Tiếp tuyến C ω cắt P D Q cắt AD