ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG T[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu Chương Đa giác đa diện 1.1 Một số yếu tố toán đa giác 1.2 Dựng đa giác thước kẻ compas 12 1.3 Đa diện phân loại đa diện 26 Chương Một số đa giác đa diện đặc biệt 37 2.1 Ngũ giác 37 2.2 Yếu tố khối Platon 44 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 56 i Mở đầu Hình học (geometry) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ geo- "đất", -metron "đo đạc", nghĩa đo đạc đất đai Cùng với Số học, Hình học hai ngành toán học người nghiên cứu từ thời cổ đại Hình học cổ điển (Hình học Euclid) tập trung vào xây dựng hình dựa compas thước kẻ Euclid cách mạng hóa hình học cách giới thiệu phương pháp chứng minh toán học tiên đề mà ngày cịn sử dụng Cuốn sách ơng "Cơ sở hình học" (The elements) coi sách giáo khoa có ảnh hưởng thời đại Trong thời đại, khái niệm hình học khái quát hóa đến mức độ trừu tượng cao phức tạp Hình học trở thành đối tượng phương pháp Giải tích Đại số trừu tượng Nhiều ngành đại hình học khác biệt với hình học cổ điển đời Hình học đại số Hình học giải tích Trong Hình học cổ điển, đa giác đa giác có tất cạnh góc đỉnh Đa giác chia làm hai loại đa giác lồi đa giác Luận văn tìm hiểu đa giác lồi đều, gọi tắt đa giác Đa giác nghiên cứu chi tiết phổ thơng Chúng khơng xuất tốn học mà xuất tự nhiên, tác phẩm nghệ thuật, cơng trình kiến trúc, mà người tạo Mục đích thứ luận văn tìm hiểu tính chất đa giác số đa giác đặc biệt Ở phổ thông ta làm quen với tam giác hình vng Mặc dù cịn nhiều điều thú vị, chẳng hạn xem tài liệu "Mysteries of the equilateral triangle" Brian J McCartin cho tam giác đều, khn khổ luận văn tìm hiểu loại đa giác ngũ giác Nội dung mục đích thứ tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu chủ yếu theo ba tài liệu báo "A Study of the regular pentagon with a classic geometric approach" A C Sparavigna M M Baldi; báo cáo môn học "A Constructibility for a regular polygons" Eric T.Eekhoff Chú ý báo cuối tìm hiểu dựng đa giác 17 cạnh nội tiếp đường tròn nghiên cứu Carl Friedrich Gauss Năm 1796, nhà toán học Carl Friedrich Gauss tìm cách vẽ đa giác có 17 cạnh thước thẳng compas, cách xem đỉnh đa giác vòng tròn nghiệm phương trình số phức z 17 − = Năm năm sau, ông khám phá lý thuyết mà sau gọi “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học) Lý thuyết giúp ơng tìm điều kiện đủ để đa giác vẽ thước kẻ compas Điều kiện sau “Một đa giá có n cạnh vẽ thước kẻ compas n tích số luỹ thừa với số số Fermat nguyên tố khác nhau” Gauss cho điều kiện điều kiện cần không chứng minh Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh điều kiện Gauss Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu khối đa diện khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh Đa diện chia thành đa diện lồi lõm Luận văn tìm hiểu số yếu tố đa diện lồi gọi tắt đa diện Trong không gian ba chiều, có khối đa diện lồi gọi khối đa diện Platon tứ diện (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron), bát diện (octahedron), thập nhị diện (dodecahedron) nhị thập diện (icosahedron) Chúng tìm thấy nhiều vùng khác Scotland trở thành tảng kiến trúc giới cổ đại Xuất từ sớm thời điểm cách 2500 năm quy luật tốn học xung quanh vấn đề khối đa diện Platon lần đề cập tới nghiên cứu sâu rộng Một điều thú vị theo Platon đa diện đại diện cho yếu tố vũ trụ: lửa (tứ diện đều), nước (hình lập phương), khơng khí (bát diện đều), trái đất (thập nhị diện đều) vũ trụ (nhị thập diện đều) Tài liệu trình bày mục đích cơng trình "A geometric analysis of the platonic solids and other semi-regular polyhedra" K.J.M Maclean Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số vấn đề đa giác (một số tính chất bản, dựng đa giác nội tiếp đường tròn thước kẻ compas), đa diện (một số tính chất bản, Định lý Euler mối liên hệ số cạnh, số đỉnh, số mặt đa diện phân loại đa diện) Chương trình bày lớp đa giác đặc biệt ngũ giác (một số tính chất liên quan đến tỉ số vàng, cách dựng ngũ giác), khối Platon (thể tích, diện tích xung quang, số khoảng cách, góc bản) Trong q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học khóa Cao học Tốn khóa 11B (2017-2019) - trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Tác giả Đặng Tài Tuệ Chương Đa giác đa diện 1.1 Một số yếu tố toán đa giác Định nghĩa 1.1.1 (Đường gấp khúc) Đường gấp khúc n cạnh hình hợp thành n đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An An+1 , hai đoạn thẳng liên tiếp Ai−1 Ai Ai Ai+1 không nằm đường thẳng (i=2,3, ,n) Đường gấp khúc kí hiệu A1 A2 An+1 Các điểm Ai gọi đỉnh đường gấp khúc (có n + đỉnh), cịn đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi cạnh đường gấp khúc Từ định nghĩa ta suy hai cạnh liên tiếp Ai−1 Ai Ai Ai+1 có điểm chung đỉnh Ai Hình 1.1: Các đường gấp khúc Định nghĩa 1.1.2 (Đa giác) Đa giác n cạnh đường gấp khúc n cạnh (n ≥ 3) A1 A2 An+1 cho đỉnh đầu A1 đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1 A2 cạnh cuối An An+1 (cũng coi hai cạnh liên tiếp) không nằm đường thẳng Đa giác kí hiệu A1 A2 An Đa giác n cạnh gọi n-giác Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác, đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi cạnh đa giác Góc Ai−1 Ai Ai+1 gọi góc đa giác đỉnh Ai (Hình 1.1b) Hình 1.2: Các đa giác Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác lồi) Đa giác lồi đa giác mà nằm phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Ở Hình 1.2b) đa giác lồi, đa giác cịn lại khơng phải đa giác lồi Nội dung luận văn phần đa giác tác giả trình bày nội dung xoay quanh đa giác lồi Định nghĩa 1.1.4 (Đường chéo đa giác lồi) Đường chéo đa giác lồi đường thẳng nối đỉnh không liên tiếp n(n + 3) Mệnh đề 1.1.6 Tổng góc đa giác n-cạnh (n − 2)180o Mệnh đề 1.1.5 Số đường chéo đa giác n-cạnh Hình 1.3: Chứng minh Chia đa giác n cạnh thành tam giác Hình 1.3 Có n − tam giác, lại có tổng ba góc tam giác 180o Suy tổng góc đa giác n cạnh (n − 2)180o Hệ 1.1.7 Tổng số đo góc ngồi đa giác (mỗi đỉnh xét góc ngồi) 360o Chứng minh Giả sử đa giác có n-cạnh Khi có n góc n góc ngồi Tại đỉnh có góc góc ngồi nằm vị trí kề bù với (α + α0 = 180o ) Tổng số đo cặp góc n180o , mà ta có tổng số đo góc đa giác n-cạnh (n − 2)180o theo Mệnh đề 1.1.6 Vậy tổng số đo góc đa giác n-cạnh n180o − (n − 2)180o = 360o Hình 1.4: Số cạnh 10 Tên gọi Tam giác Hình vng Ngũ giác Lục giác Thất giác Bát giác Cửu giác Thập giác Tên tiếng Anh Equilateral triangle Square Pentagon Hexagon Heptagon Octagon Nonagon Decagon Bảng 1.1: Bảng tên gọi đa giác Định nghĩa 1.1.8 (Đa giác đều) Đa giác đa giác có tất cạnh góc đỉnh Đa giác chia làm hai loại là: đa giác lồi đa giác Ở nội dung luận văn tác giả trình bày đa giác lồi gọi tắt đa giác lồi đa giác Chú ý 1.1.9 (Nhóm đối xứng) Cho H tập điểm hình Một phép s H gọi phép đẳng cự với M, N ∈ H, khoảng cách hai điểm M, N khoảng cách hai điểm s(M ), s(N ) Tập hợp phép đẳng cự hình H làm thành nhóm với phép hợp thành ánh xạ, ta gọi nhóm phép đẳng cự H Giả sử H tập điểm nằm cạnh tam giác với đỉnh 1, 2, Khi độ dài cạnh lớn độ dài đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý H Vì phép đẳng cự hình H biến đỉnh thành đỉnh Theo tiêu chuẩn này, ta kiểm tra có phép đẳng cự hình H , phép quay 1200 , 2400 , 3600 với tâm quay trọng tâm tam giác chiều quay ngược kim đồng hồ; phép đối xứng qua đường cao Nếu ta đồng phép quay 1200 , 2400 , 3600 với phép (123), (132), (1); đồng phép đối xứng qua đường cao qua đỉnh 1, 2, với phép (23), (13), (12) bảng tốn nhân nhóm phép đẳng cự H trùng với bảng tốn nhân nhóm phép S3 Nhóm gọi nhóm nhị diện hay nhóm đối xứng tam giác Tổng quát nhóm đối xứng (nhóm nhị diện) đa giác n cạnh gọi theo tên tiếng Anh nhóm dihedral group Dn Nó bao gồm phép quay quanh tâm Cn (tâm đối xứng), với n số trục qua tâm Nếu n số chẵn nửa số trục đối xứng qua hai đỉnh đối đa giác nửa lại qua trung điểm hai cạnh đối Nếu n lẻ tất trục đối xứng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Mệnh đề 1.1.10 Tồn đường tròn ngoại tiếp nội tiếp đa giác Hơn hai đường tròn đồng tâm \ BCD \ Chứng minh Gọi O giao điểm đường phân giác ABC c2 = C c3 Kéo theo 4OBC cân O OB = OC \ = BCD \ nên B Vì ABC Ta có 4OCB = 4OCD c5 = C c4 (c − g − c) nên OB = OD Suy D Hình 1.5: c5 = D c6 Do OD \ = CDE \ nên D Theo Định nghĩa 1.1.8, BCD \ Tiếp tục ta có O tâm đường trịn ngoại phân giác cuả góc CDE tiếp đa giác Từ ta có O cách cạnh đa giác với khoảng cách OH, H trung điểm BC Chú ý 1.1.11 Như đa giác n cạnh tâm đường trịn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp trùng giao điểm đường phân giác (2 đường trung trực) góc (2 cạnh) Định nghĩa 1.1.12 Tâm (center of regular polygon) đa giác tâm đường tròn ngoại tiếp (nội tiếp) đa giác Mệnh đề 1.1.13 Góc tâm đa giác góc tia xuất phát từ tâm tới đỉnh liên tiếp đường tròn ngoại tiếp đa giác 360o n Định nghĩa 1.1.15 Trung đoạn đa giác đoạn nối tâm đa giác Mệnh đề 1.1.14 Số đo góc tâm đa giác trung điểm cạnh đa giác Chú ý 1.1.16 Gọi cạnh đa giác s, trung đoạn a, bán kính đường s a trịn ngoại tiếp R, ta có R = π = sin( n ) cos( πn ) Định lý 1.1.17 Diện tích A đa giác n cạnh, cạnh s, trung đoạn a Hình 1.6: Đa giác n cạnh bán kính đường trịn ngoại tiếp R, chu vi P cho công thức 1 π π 2π A = nsa = P a = ns2 cot( ) = na2 tan( ) = nR2 sin( ) 2 n n n Chứng minh Diện tích tam giác OAB as Chia đa giác thành n tam giác Hình 1.6, ta có A = P a Xét tam giác vng OHB ta có HB s π π \= \ = , tan HOB = , nên s = 2a Do HOB n OH 2a n π A = nsa = na2 tan( ) n Tương tự π π a = s cot( ) = R cos( ), n n s = 2R sin π n nên 1 π A = nsa = ns2 cot( ) n π π = n.4R2 sin2 ( ) cot( ) n n π π = nR2 sin( ) cos( ) n n 2π = nR sin n Ở phổ thơng tốn học thực tế có nhiều tốn liên quan đến đa giác đều, luận văn trình bày số toán tổ hợp Bài toán 1.1.18 Cho đa giác H có 2n đỉnh (n ≥ 2) (i) Tìm số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh 2n đỉnh đa giác? (ii) Tìm xác suất để đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật? (iii) Tìm số tam giác vng, tam giác tù mà đỉnh tam giác đỉnh H ? (iv) Biết số hình thang cân có đỉnh đỉnh đa giác 14100 Tìm n? (v) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh đa giác, xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông Tìm n? Giải (i) Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm Cứ đường chéo qua tâm tương ứng với hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác Vậy số hình chữ nhật Cn2 Vậy xác suất để đỉnh (ii) Số cách chọn tứ giác từ đỉnh C2n C chọn đỉnh hình chữ nhật 2n C2n (iii) Có n cách chọn cạnh huyền đường chéo qua tâm Mỗi cách chọn cạnh huyền có 2n − cách chọn đỉnh góc vng Suy có n(2n − 2) tam giác vuông Giả sử 4ABC tù đỉnh A Ta nói BC có độ dài k cung nhỏ BC chứa k đỉnh H khác B, C , k = 1, , n − (Ở coi H nội tiếp đường tròn tâm O) Với k ta có 2n cạnh độ dài k Với cách chọn cạnh BC có độ dài k có k cách chọn điểm A Từ ta có (1 + + (n − 2)).2n = n(n − 1)(n − 2) tam giác tù (iv) Gọi M số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác Theo (i) M = Cn2 Gọi N số hình thang cân có đỉnh đỉnh đa giác đều, ta tính N : Số hình thang cân có trục đối xứng qua đỉnh đa giác đều: Với hình thang cân nội tiếp đường tròn trục đối xứng đường kính đường trịn Số đường chéo đường kính đường tròn ngoại tếp đa giác n Ứng với trục đối xứng có Cn−1 cách chọn hình thang cân Vậy có P = nCn−1 hình thang cân có trục đối xứng qua đỉnh đa giác 10 Hình 1.7: Số hình thang cân có trục đối xứng khơng qua đỉnh đa giác tương tự trên, trục đối xứng không qua đỉnh (đi qua trung điểm cạnh đối diện) Vậy số cách chọn Q = n.Cn2 Suy Hình 1.8: N = P + Q − M = n.Cn2 + n.Cn−1 − Cn2 = (n − 1)Cn2 + n.Cn−1 = 11 n.(n − 1).(2n − 3) (phải trừ M hình chữ nhật có trục đối xứng nên bị đếm n(n − 1)(2n − 3) lần) Theo giả thiết = 14100, ta n = 25 Lưu ý hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân nên số hình thang có đỉnh đỉnh đa giác số hình thang cân có đỉnh đỉnh đa n(n − 1)(2n − 3) giác (v) Số tam giác tạo thành chọn ngẫu nhiên điểm là: C2n Ta đưa lập luận khác tính số tam giác vng Số đường chéo qua tâm n nên số hình chữ nhật đường chéo qua tâm làm đường chéo Cn2 Số tam giác vuông tạo thành là: 4Cn2 = n(2n − 2) (Chú ý cạnh huyền tam 4Cn2 giác vng đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) Ta có = C2n suy n = Bài toán 1.1.19 Cho đa giác H gồm 16 đỉnh Ta đánh số thứ tự đỉnh H cách ngẫu nhiên Chứng minh cách đánh số thứ tự đỉnh ta ln tìm ba đỉnh liên tiếp mà tổng số thứ tự chúng 26 Giải Với đỉnh đánh thứ tự H ta đặt vào số viên bi số thứ tự đánh Gọi S tập hợp viên bi 16 đỉnh H Đặt A1 , , A16 tập hợp viên bi ba đỉnh liên tiếp Khi viên bi tập S nằm tập hợp Ai Suy ra, t = 3, k = 16 |S| = 136 Áp dụng nguyên lý Dirichlet suy rộng ta có trung bình cộng 3.136 = 25.5 Suy tồn |A1 |, , |A16 | lớn 16 tập Ai chứa 26 phần tử 1.2 Dựng đa giác thước kẻ compas Cho E tập điểm mặt phẳng có điểm Kí hiệu LE tập đường thẳng nằm mặt phẳng qua hai điểm phân biệt E Kí hiệu CE tập đường tròn mặt phẳng có tâm điểm tập E có bán kính với khoảng cách hai điểm phân biệt E 12 Với A, B ∈ E với A 6= B , ta kí hiệu L(A; B) đường thẳng qua A, B , C(O; AB) đường trịn tâm O bán kính AB với O ∈ E Chẳng hạn, E = {A, B, D} tập điểm mặt phẳng LE = {L(A; B), L(A; D), L(B; D)}, CE = {C(A; AB), C(A; AD), C(A; BD), C(B; BA), C(B; BD), C(B; AD), C(D; AB), C(D; DB), C(D; DA)} Định nghĩa 1.2.1 (i) Điểm A mặt phẳng gọi dựng thước kẻ compas qua bước từ tập E A thỏa mãn điều kiện sau: A giao hai đường thẳng LE ; A giao đường thẳng LE đường tròn CE ; A giao hai đường tròn CE (ii) Một điểm P mặt phẳng gọi dựng từ E tồn dãy hữu hạn n điểm P1 , P2 , , Pn mặt phẳng cho S Pn = P Pi điểm dựng qua bước từ tập E {Pj , j < i} với i = 1, 2, n Chú ý 1.2.2 Ở phổ thông ta làm quen với số toán dựng hình thước kẻ compas (i) Cho A; B điểm phân biệt cho trước Dựng trung điểm đoạn thẳng AB (ii) Dựng hình chiếu điểm M cho trước đường thẳng d cho trước (iii) Cho O A điểm khác mặt phẳng với độ dài OA = Dựng hệ tọa độ trực chuẩn từ điểm (iv) Dựng đường thằng qua điểm cho trước song song với đường thẳng cho trước (v) Cho M điểm thuộc đường thẳng d Dựng đường thẳng vng góc với d M (vi) Dựng đường phân giác góc cho trước (vii) Dựng đường tròn nội tiếp tam giác cho trước (viii) Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác cho trước (ix) Tìm tâm đường tròn cho trước 13 (x) Cho trước đường thẳng d điểm M không thuộc d Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với d (xi) Cho trước đoạn thẳng có độ dài Dựng đoạn thẳng có độ dài 2, 3, 4, 5, (xii) Cho trước đoạn thẳng có độ dài Dựng đoạn thẳng có 1 độ dài , , , (xiii) Cho trước đoạn thẳng có độ dài cho đoạn thẳng khác có độ dài x y Dựng đoạn thẳng có độ dài xy (xiv) Cho trước đoạn thẳng có độ dài cho đoạn thẳng khác có độ dài z > Dựng đoạn thẳng có độ dài 1/z (xv) Cho trước đoạn thẳng có độ dài Dựng đoạn thẳng có độ dài m/n với m, n số nguyên dương tùy ý (xvi) Cho trước đoạn thẳng có độ dài Dựng đoạn thẳng có √ độ dài (xvii) Cho trước đoạn thẳng có độ dài cho đoạn thẳng √ khác có độ dài x Dựng đoạn thẳng có độ dài x Chú√ý 1.2.3 √ Từ tốn trên, ta dựng đoạn có độ dài √ 2+ √ √ 2, , m, từ đoạn thẳng có độ dài Giả sử E tập hợp có điểm mặt phẳng Gọi E + tập hợp điểm nhận phép dựng hình (1), (2), (3) Định nghĩa 1.2.1 Ta có E ⊆ E + Ta xây dựng chuỗi tập điểm quy + tắc sau: E0 := E En := En−1 với n > Các điểm En S điểm nhận từ E sau n phép dựng (1), (2), (3), Tập F (E) = En n≥1 gọi tập điểm dựng thước kẻ compas từ E Chú ý ta ln có F + (E) = F (E) ta dựng thêm điểm từ F (E) Thật vậy, điểm F + (E) tạo từ hữu hạn điểm F (E) qua phép dựng (1), (2), (3), Các điểm phải nằm tập En điểm tạo phải nằm F (E) Tiếp theo ta tìm tiêu chuẩn để điểm cho trước dựng thước kẻ compas, tức tìm điều kiện để điểm nằm F (E) Ta thấy vấn đề đại số 14 Hình 1.9: Trước tiên ta chọn hệ tọa độ mặt phẳng E chứa điểm nên ta chọn điểm O(0; 0) I(1; 0) điểm thuộc E Đồng điểm P (a; b) với số phức a + bi Khi E tập chứa số 0; ta gọi số F (E) số dựng từ E Định nghĩa 1.2.4 (i) Một số thực a gọi số thực dựng |a| khoảng cách hai điểm dựng (ii) Một đường thẳng qua điểm cho trước gọi đường thẳng dựng Một đường tròn gọi đường tròn dựng tâm điểm dựng bán kính số thực dựng (iii) Một hình gọi hình dựng ta dựng điểm xác định hình Ví dụ góc gọi dựng xác định điểm mà tam giác chúng có góc góc cho Mệnh đề 1.2.5 Một điểm P (a; b) dựng a b số thực dựng Ta công nhận số kiến thức sau lý thuyết trường (xem [3]) Mệnh đề 1.2.6 Tập hợp số thực dựng làm thành trường trường R Mệnh đề 1.2.7 Nếu số thực a dựng √ a dựng Hệ 1.2.8 Cho F ⊆ C trường trường C số thực dựng √ Nếu < k ∈ F F ( k) ⊆ C Định lý 1.2.9 Cho Q ⊂ F1 ⊂ F2 · · · ⊂ Fn dãy trường thỏa mãn q Fj+1 = Fj ( bj ) với < bj ∈ Fj ; j = 0, 1, , n − 15 Khi phần tử Fn dựng Định lý 1.2.10 Một số thực a dựng tồn dãy bậc hai Q ⊂ F1 ⊂ F2 · · · ⊂ FN cho a ∈ FN Định lý 1.2.11 Cho a số thực dựng Khi [Q(a) : Q] = 2m với m ∈ N Chứng minh Đặt = n Nếu ta chọn điểm tâm đường tròn điểm đỉnh đa giác đỉnh khác đa giác đơn vị , , n−1 Vì tốn quy việc tìm số tự nhiên n cho dựng từ tập E = {0; 1} Kí hiệu Φn (X) đa thức tối thiểu trường Q Người ta gọi Φn đa thức phân cầu Do Φn (X) ước đa thức X n − mà Q() lại chứa tất nghiệm X n − nên Q() trường phân rã Φn (X) Q Do [Q() : Q] = deg Φn (X) Vì vậy, ta cần xét xem deg Φn (X) lũy thừa Ta gọi đơn vị ζ nguyên thủy bậc n 1, ζ, , ζ n−1 tập tất đơn vị bậc n Dễ thấy ζ nguyên thủy bậc n ζ = ζ n với (n, r) = Ta thấy tập nghiệm Φ(X) tập nguyên thủy bậc n Q Bổ đề 1.2.12 Φn (X) := (i,n)=1 (X − i ) Chứng minh Đặt g = Φn Cho ζ nghiệm tùy ý g Do g ước đa thức X n −1 nên ζ đơn vị bậc n Khi tồn đẳng cấu Ψ Q()/Q cho Ψ() = ζ Do Ψ(j ) = ζ j với j = 0, 1, , n − Vì 1, ζ, , ζ n−1 đơn vị khác Do ta có n đơn vị bậc n nên ta kết luận tập tất đơn vị bậc n ζ nguyên thủy Tiếp theo, ta chứng minh p nghiệm g cho số nguyên tố p với (p, n) = Do g ước đa thức X n − nên ta có X n − = gh với h ∈ Q(x) Do g, h có hệ số bậc cao nên g, h có hệ số nguyên Thật vậy, cho a, b số nguyên dương cho ag = g1 , bh = h1 đa thức với hệ số nguyên hệ số g1 hay h1 khơng có ước chung Ta 16 có ab(X n − 1) = g1 h1 Nếu ab có ước bất khả quy q hệ số g1 h1 chia hết cho q Điều mâu thuẫn với giả thiết g1 h1 Vì ab khơng có ước thực nào, có nghĩa a, b = g = g1 , h = h1 Vì g, h đa thức có hệ số nguyên Giả sử p khơng nghiệm g Khi nghiệm h Gọi f đa thức tối thiểu Q(X) Do f ước h nên h = f k với k ∈ Q(x) Do h có hệ số nguyên hệ số bậc cao h, f, k nên f, k đa thức có hệ số nguyên Do nghiệm f (X p ) nên f (X p ) chia hết cho g Nếu f g khơng có ước chung bậc dương dùng thuật tốn Euclid ta tìm thấy đa thức h1 , h2 cho f h1 + gh2 = Ta thấy (f h1 + gh2 )p = f p hp1 + g p hp2 = Do f p = f (X p ) chia hết cho g nên chia hết cho g Đây điều vô lý deg g > Vì tồn đa thức u bậc dương ước chung f g Khi đó, X n − = f gh chia hết cho u2 Lấy đạo hàm ta thấy nX n−1 chia hết cho u Vì (p, n) = nên tồn m cho mn = 1(modp) Từ suy X n − chia hết cho mu u chia hết cho X, dẫn đến điều vô lý X n − chia hết cho X Vậy nghiệm g Bây giờ, ta xét nguyên thủy n tùy ý với (i, n) = Giả sử i = p1 ps với p1 , , ps số nguyên tố Đặt % = p1 ps−1 Do (p1 ps−1 , n) = nên % nguyên thủy bậc n Quy nạp theo s ta giả thiết % nghiệm g Khi g đa thức tối thiểu % Do (ps , i) = nên lập luận tương tự ta thấy n = %ps nghiệm g Nhận xét: deg Φn = |{0 < i < n | (i, n) = 1}| = ϕ(n) ϕ(n) hàm Euler Giả sử n = pa11 · · · pas s với p1 , , ps số nguyên tố khác a1 , , as > Khi ϕ(n) = (p1 − 1) · · · (ps − 1)pa11 −1 · · · pas s −1 Bây ta xét xem ϕ(n) lũy thừa Nhận 17 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... đích thứ hai luận văn tìm hiểu khối đa diện khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh Đa diện chia thành đa diện lồi lõm Luận văn tìm hiểu số yếu tố đa diện lồi gọi tắt đa diện Trong khơng... giác đa giác có tất cạnh góc đỉnh Đa giác chia làm hai loại đa giác lồi đa giác Luận văn tìm hiểu đa giác lồi đều, gọi tắt đa giác Đa giác nghiên cứu chi tiết phổ thông Chúng không xuất tốn học