Lục giác đều, đa giác, đa giác đều – Tính chất và bài tập

Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó.. Giải (h.51).[r]

ĐA GIÁC ĐA GIÁC ĐỀU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Đa giác lồi đa giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác

2 Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc nhau. 3 Bổ sung

 Tổng góc đa giác n cạnh (n > 2) (n - 2).180  Số đường chéo đa giác n cạnh (n > 2)

(n - 3).n

 Tổng góc ngồi đa giác n cạnh (n > 2) 360° (tại đỉnh chọn góc ngồi)

 Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác Có đường tròn tâm O qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ Cho ngũ giác ABCDE điểm P cho DPE Tính APC

Hình 48  Nếu P ngũ giác (h.48) thì: AEP = CDP = 108° - 60° = 48°.  Từ AEP ; CDP cân ta có APE = CPD = 180° - 48° : = 66°.    Vậy APC = 360° - 60° - 2.66° = 168°

 Nếu P phía ngồi ngũ giác (h.49) thì:

 

   

AEP = CDP = 108° + 60° = 168°

=> APE = CPD = l80° - 168° : = 6°

Vậy APC = 60° - 2.6° = 48°

Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M trung điểm EF N trung điểm BĐ Chứng minh AMN tam giác

Giải (h.50)

Gọi I, K trung điểm AB,CD Ta có BCNI hình bình hanh => BI // CN, BI = CN => AI // CN ; AI = CN

=> AICN hình bình hành => CI = AN

+ Ta có MNKE hình bình hành, suy MN = KE + Mặt khác : BCI = DEK = FAM (c.g.c) => CI = EK = MA

Ví dụ Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đường chéo

Giải (h.51)

Áp dụng tính chất quan hệ cạnh tam giác, ta có :

AB+BC+CD+DE+EA<(AN+NB)+(BP+PQ+(OQ+QD)+(DK+KE)+(EM+MA) Mặt khác : AN + PC < AC

BP + DQ < BD CQ + KE < CE DK + MA < DA EM + NB < EB Suy điều phải chứng minh

Nhận xét Những toán bất đẳng thức độ dài, ta nên đưa bất đẳng thức

1 Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi M, N, P, R H K trung điểm AB,

BC, CD, DE, MP NR Chứng minh HK song song với AE HK = 4AE.

2 Cho ngũ giác lồi ABCDE, gọi M, P, N, Q trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh MN qua trung điểm PQ MN // CD

3 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M nằm tam giác Gọi

1 1

A ; B ; C là điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh AA ; BB ; CC1 1đồng quy ;

b) Xác định vị trí M để hình lục giác AB CA BC1 1có cạnh

4 Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CD, EF R, S, Q trung điểm cạnh AF, BC, DE Chứng minh hai tam giác MNP RSQ trọng tâm trùng

5 Một đa giác lồi có tất đường chéo Hỏi đa giác có nhiều cạnh ?

6 Chứng minh, ngũ giác lồi ln chọn ba đường chéo để từ dựng tam giác

7 Cho lục giác lồi ABCDEF có độ dài cạnh Chứng minh ba đoạn AD, BE, CF tồn đoạn có độ dài không lớn

9 Cho ngũ giác lồi ABCDE có cạnh góc bé hơn 120  Chứng minh góc ngũ giác lồi góc tù.