Đa thức hệ số nguyên và bài tập liên quan

Đại số là một trong ba nhánh lớn của cây đại thụ toán học. Mà trên đó, đa thức là một cành quan trọng. Đa thức nói chung và đa thức hệ số nguyên nói riêng có những tính chất lí thú đẹp[r]

Chuyên đề:



…Lời giới thiệu: Toán học ngành khoa học mà hàng triệu người đam mê theo đuổi Đại sốlà ba nhánh lớn câyđại thụtoán học Mà đó, đa thức cành quan trọng Đa thức nói chung đa thức hệsốnguyên nói riêng có tính chất lí thú đẹp đẽvà nhiều ứng dụng

Chun đềnày chúng tơi trình bày đa thức hệsốnguyên Kiến thức chuyên đềnày đơn giản dễhiểu Nội dung bao gồm định nghĩa, định lí tập trình bày cụ thể sau :

I) Kiến thức cần nhớ II)Bài tốn ví dụ III)Bài tập áp dụng

I) Kiến thức cần nhớ : 1)Khái niệm :

 Nếu đa thức

1

( ) n n ,

n n n

f x a x a x   a xa a  có hệsố ai,i0,n ta nói f(x) đa thức hệsốngun

 Ta kí hiệu tập hợp đa thức hệsốnguyên Z x  2)Các định lí :

 Định lí 1:Nếu đa thức f(x) có nghiệm ngun x f x( ) ( x) ( )g x với g(x) đa thức hệsố

nguyên

 Định lý 2:Cho f(x)là đa thức hệsốnguyên:

1

( ) n n

n n

f x a x a x  a xa (ai;i0,1, 2, ,n) a,blà hai sốnguyên khác Khi dó

( ) ( ) ( )

f a  f b  a b Chứng minh:

Ta có: ( )

n n

n n

f a a a a a  a aa

( ) n 1 n 1 0

n n

f b a b a b  a ba

Suy ra: 1

1

( ) ( ) ( n n) ( n n ) ( )

n n

f a  f b a a b a a  b   a a b

Vì k k ( ),

a b  a b  k nên f a( ) f b( ) ( a b ) (đpcm)

 Định lý 3:Cho đa thức hệsốnguyên

0

( ) ,

n i

i n

i

f x a x a



  Nếu x p, ( , ) 1,p q q q

   nghiệm

f(x) p a| 0 |q an Chứng minh:

Giảsửphân sốtối giản pqlà nghiệm đa thức f(x) Khi đóta có :

1 0

n n

n n n n

p p p p

f a a a a

q q q q

               (1) Và (2) Từ(1) suy n

n

a p chia hết q mà ( , ) 1p qn  nên anchia hết q Từ(2) suy

n

a q chia hết p mà ( , ) 1p qn  nên a0 chia hết q.Suy đpcm

1

1

( )

n n n n

n n

a p q a p  a q  p a q 

     

1

0 ( )

n n n n

n n

Bài toán 2:Cho f(x), g(x)là hai đa thức với hệsốnguyên thỏa điều kiện F x( ) f x( )3 xg x( )3 chia hết cho đa thức x2 x 1 Chứng minh f(x), g(x) cùng chia hêt cho ( 1)

x

Bài toán 1:[Vĩnh Long_2010] Tồn hay không đa thức với hệsốnguyên mà f(26) 1931 (3) 1995

f  ?

II) Bài tập ví dụ :

1) Dạng 1: Bài tốn liên quan đến tính chia hết:

Giải

Giảsửtồn đa thức với hệsốnguyên thỏa điều kiện đềbài Ta ln có : f(26) f(3) (26 3) 23  

Nhưng f(26) f(3) 1931 1995   64 23

Do khơng tồn đa thức hệsốnguyên thoảmãn đềbài(đpcm)

Giải

Ta có: ( ) ( )3 (1) ( )3 (1) (1) (1)

F x f x  f x g x g  f xg (2.1)

( )3 (1) ( 1) ( 1)

f x  f  x   x  x ( )3 (1) ( 1) ( 1)

g x g  x   x  x Theo giảthiết, ( ) 1

F x x  x nên từ(2.1) suy (1) (1) 1

f xg x  x Mà f(1)xg(1) có bậc bé

hoặc nên f(1)xg(1) 0  f(1) g(1) 0 Theo dịnh lý Bezout suy f x( ) ( x1) ( ) ( 1)

g x  x

 Nhận xét : Đểhai đa thức f(x), g(x) chia hết cho x1, theo định lý Bezout ta cần chứng

minhx0 1 nghiệm f(x) g(x), tức f(1) g(1) 0 Một cách tựnhiên ta thêm bớt f(1), g(1) vào

và áp dụng định lý để đến kết

Bài toán :Cho hai đa thức ( )

f x ax bx cxd g x( )dx3cx2bxacó hệsốa,b,c,d nguyên d không chia hết cho Giảsửf(m) chia hết cho 5, m Chứng minh có thểtìm

n, n, cho g(n) chia hết cho

Giải Ta có:

3

( )

Bài toán :Cho đa thức P(x) với hệsốnguyên, chia hết cho x lấy giá trịnguyên k,k+1,k+2 Chứng minh rằng:

( ) 3,

P m   m

Bài toán 5: Cho P x( ) Q x( ) hai đa thức hệsốnguyên thỏa mãn điều kiện:

3

( ) ( )

P x xQ x x  x

Gọi d ƯCLN hai số P(2007) Q(2007) Chứng minh d2006

Ta có: ( ) ( ) 3( ) ( )

n f m g n n am bm cmd  dn cn bna a m n( 3 1) bn m n( 2 1) cn mn2( 1) ( mn1) g n( ) ( mn1) 5

Vậy sốnguyên n thỏa mn 1 (mod 5) g n( ) 5

 Nhận xét : Ta có: ( ) ( ) ( )

f m g n am bm cm d dn cn bna Ta cần làm hệsốtựdo (a d) đểxuất nhân tửchung Nhân f(m) với n3 rồi trừcho g(n), ta có ( ) ( ) 1

n f m g n mn  Lại có m5 nên tồn số nguyên n để mn 1 (mod 5) Từ đến đpcm

Giải Với hai sốnguyên m n phân biệt ta có:

( ) ( ) ( )

P m P n  m n

Ta có:

Các số P m( )P k( ), ( )P m P k( 1) P m( )P k( 2) theo thứtựchia hết cho

, ( 1), ( 2)

mk m k m k  với mọim{ ,k k1,k2}.Vì mk m, (k 1),m(k2) ba sốnguyên

liên tiếp nên có sốchia hết cho

Do số P m( )P k( ), ( )P m P k( 1) P m( )P k( 2) có sốchia hết cho Mặt

khác, theo giảthiết, số P k( ), (P k1), (P k2) chia hết cho

Vậy : P m( ) 3,  m

Giải Ta có

3 3

( ) ( ) ( ) (1) ( ) (1) (1) (1)

P x xQ x P x P x Q x Q xQ P (5.1)

Rõ ràng ( )3 (1) 1 1

P x P x  x  x (5.2) ( )3 (1) 1 1

Q x Q x  x  x (5.3) Từ (5.1), (5.2), (5.3) từgiảthiết suy

xQ(1)P(1)x2 x (5.4) Ta có degxQ(1)P(1)1, degx2  x 1 2, thếtừ (5.4) suy xQ(1)P(1) 0 , hay

(1) (1)

Bài toán 6:Cho đa thức P(x) bậc có hệsốnguyên P(x) chia hết cho với x nguyên Chứng minh hệsốcủa đa thức P(x) chia hết cho

Vì x1là nghiệm P x( ) Q x( ) nên

2 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) P x x R x Q x x R x

 



  

 với R x1( ) R x2( ) hai đa thức hệ sốnguyên Thay x2007 ta có

1 (2007) (2006) (2007) (2007) (2006) (2007)

P R

Q R

 

 

 (5.5) Do R1(2007) R2(2007) sốnguyên nên từ (5.5) suy P(2007) 2006 Q(2007) 2006. Điều chứng tỏrằng

 (2007), (2007) 2006

d  P Q  (đpcm)

 Nhận xét: Tương tựbài toán 2, ta thêm bớt P(1), (1)Q vào đểáp dụng định lý Ngoài ra, tốn

trên cịn có áp dụng định lý để R x1( ) R x2( ) hai đa thức hệsố nguyên Đây tốn hay có áp dụng nhiều định lý

Giải

Xem đa thức : ( )

P x ax bx cx dx e , với a b c d e, , , , , a0

Ta có : P x( ) 7  x Do đó:

P(0) 7 e7 (6.1) P(1)    a b c d e7 (6.2) P( 1)     a b c d e7 (6.3)

(1) ( 1) 2 7

P P a b e a c

          (6.4)

(1) ( 1) 2 7

P P b d b d

         (6.5)

(2) 16

P  a b c de

2a b 4c 7d

    

2c d

   (6.6)

( 2) 16

P   a b c de

(2) ( 2) 32 7

P P a c e a c

          (6.7) Mà ac7

Do đó: 7a a7 (6.8) Từ(6.4) (6.8)c7 (6.9) Từ(6.6) (6.9)d7(6.5)b7

Vậy: Các hệsốa,b,c,d,e thỏa yêu cầu toán

 Nhận xét:

Bài tốn 1:Tìm a, b cho đa thức chia hết cho đa thức

Bài tốn : Tìm đa thức f x( )không đồng với hệsốnguyên nhận số a 3234 làm nghiệm

Chẳng hạn:

Q x( ) ( x 1)(x2) (x7) 7,  x ( ) 7,

H x x x  x

2)Vậy bậc P x( ) bé két luận có khơng? Câu trảlời có Khi

deg ( ) 1, 2,3, 4,P x  P x( ) 7 với x nguyên luôn kéo theo hệsốcủa P x( ) chia hết cho

3)Số7 sốnguyên tố Nếu ta thay sốngun tốkhác có kết quảgì? Cho sốnguyên tốp lớn đa thức:

( )  

f x ax bx cx dx e  x , f x p( ) ,  x

thì a b c d e p, , , , 

Ta sẽxét toán ởphần tập rèn luyện

2) Dạng 2: Bài toán xác định đa thức:

Giải Viết lại đa thức P(x) dạng sau:

(1.1)

Vì nên từ (1.1) suy đa thức bật

chia hết cho đa thức ( ) 3

Q x x  x b Do deg ( ) 2Q x  , deg ( ) 1R x  , nên từ R x Q x( ) ( ) suy R x( ) 0 , hay:

10 10

5 50

b b

a b a

   

 



     

 

Vậy hai đa thức cần tìm là: ( ) 8 5 50

P x x  x  x Q x( )x23x10

 Nhận xét:

1)Bài tốn sửdụng tính chất vềbậc đa thức để có R x( ) 0

2) P(x) đa thức có bậc nhỏ(degP3) nên ta có thểgiải tốn phương pháp đồng

hệ số Giả sử ( ) ( 3 )( )

P x  x  x b x c  Qua bước nhân, rút gọn đồng hệ số ta

50, 10 ( 5)

a  b  c

Bài tốn 3:Hãy tìm đa thức khơng đồng với hệ số nguyên nhận số 23 3 làm nghiệm.

3 3

3

6 6 6( 4) 6

a

a

  

  

 

hay a36a 6 0.

Rõ ràng a nghiệm đa thức ( ) 6 6

f x x  x Vây f x( ) đa thức cần tìm

 Nhận xét:

1) Ta lập phương số a đểlàm Việc lũy thừa sốa có thểphải thực nhiều lần Ởbài tốn sau ta dùng phương pháp khác

2) Ta có thểmởrộng thành tốn xác định sốa sốvô tỉhay sốhữu tỉ Ta thực theo bước:

Bước 1:Lập đa thức với hệsốnguyên nhận xa làm nghiệm

Bước 2:Chứng minh đa thức tìm khơng có nghiệm ngun, sốtất cảcác nghiệm ngun có thểcó đa thức khơng có nghiệm a

Ví dụ:Số 32 34

a  sốvô tỉhay hữu tỉ?

Giải Theo tốn ta có a nghiêm đa thức ( ) 6 6

f x x  x

Theo định lý 3, f x( ) có nghiệm hữu tỉthì nghiệm phải thuộc tập hợp    1, 2, 3, 6

Bằng cách thửtrực tiếp ta thấy    1, 2, 3, nghiệm đa thức f x( ) Do a nghiêm ( )

f x nên a sốvô tỉ

Ta sẽxét toán tương tự ởphần tập rèn luyện

Giải

Đa thức ( ) 2 33

Q x  x  nhận x0  233 nghiệm

Xét đa thức R x( ) xác định sau:    

2

3

( ) ( ) 2

R x Q x  x  x  

 

x 233x 2 2 x 22 3339

 

   

 23 3 3 2 6 2 3

x x x x

       

Ta thấy

0

x   nghiệm đa thức R x( )

Xét đa thức P x( ) xác định bởi: P x( ) R x( )x36x 3 3 x22

 6 3 2 3 2  6 3 2 3 2

x x x x x x

   

            

 6 32 2 3 22

x x x

    

6 6 12 36 1

x x x x x

Bài tốn :Tìm đa thức bậc dạng ( )

f x x ax bx c cho f x( ) chia hết cho (x2)và f x( )

chia cho 1

x  dư 2x

Vậy ( ) 6 6 12 36 1

P x x  x  x  x  x đa thức không đồng với hệ số nguyên nhận 233 làm nghiệm

 Nhận xét :

1)Trong toán trên, ta nhân biểu thức liên hiệp thích hợp vào đa thức để làm bậc hai, bậc ba

2) Đa thức P x( ) tìm có phải đa thức hệsốngun có bậc nhỏnhất nhận nhận 233 làm

nghiệm không?

Giảsửcó đa thức có bậc khơng lớnhơn với hệsốnguyên

5

5

( )

G x a x a x a x a x a xa

cũng nhận 233làm nghiệm Ta có:

( 3)

G  

 4  3   2 

5

3 3 3

5( 3) 3 2 3 0

a a a a a a

            (3.1)

Thực khai triển rút gọn (3.1) ta có: 3 3

0 2 3 9

b b b b b b (3.2) Trong đó:

0

1

2

3

4

5

2 50

2 12

6 20

3 12

2 15

3 20

b a a a a a

b a a a a

b a a a a

b a a a

b a a a

b a a

                               (3.3)

Vì ai  , i 0, nên suy bi sốnguyên,  i 0,5 Từ(3.2) suy bi   0, i 0,5 Do từ(3.3) suy hệ phương trình sau:

0

1

1

2

2

3

2 50

2 12

6 20

3 12

2 15

3 20

a a a a a

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a a                               

Giải hệ phương trình ta ai   0, i 0, Vậy đa thức không đồng với hệsố ngun có bậc bé khơng thểnhận 233.

Tóm lại, ( ) 6 6 12 36 1

Bài toán :Xác định đa thức f x( ) dạng :

5

( )

f x x  x  x ax bxc Biết chia hết cho đa thức (x1)(x1)(x2)

Bài toán :Cho P(x) đa thức bậc cho :

(1) ( 1), (2) ( 2), (3) ( 3)

P  P  P  P  P  P 

Chứng minh : P x( ) P(x),x

Giải Vì f x( ) chia hết cho x-2 nên f(2) 4  a2b c

Do f x( ) chia cho x2 1 dư 2x nên g x( ) f x( ) 2 x chia hết cho (x21)

Suy g(1) 1  a (b2) c hay a b c  1và g( 1)       1 a b c hay a b c   1

Ta có hệ phương trình

4 10

1 19

1 10

a b c a

a b c b

a b c c

     

 

      

 

       

 

Vậy đa thức cần tìm có dạng :

3

( ) 10 19 10

f x x  x  x

 Nhận xét: Bài toán áp dụng định lý Bezout vềnghiệm đa thức Lần lượt thay nghiệm vào đa thức ta có hệ phương trình suy a,b,c

Giải Ta có f x( ) chia hết cho (x1)(x1)(x2) chỉkhi

(1)

( 1)

(2)

f a b c f a b c

f a b c

    

       

    



Giải hệ phương trình ta thu a 1,b 3,c2

Vậy đa thức cần tìm : ( ) 3 2 3 2

f x x  x  x x  x

 Nhận xét:

1) Đối với lớp toán xác định hệsố để đa thức trên, hệsốtìm khơng sốngun

2) Khi cần xác định n hệsố chưa biết, thông thường, ta cần n dữkiện Trong toán trên, cần xác định ba hệsốa,b,c, ta thấy ba dữkhiện đềbài

3) Các dạng khác :

Ta có :

6

6

( )

P x a x a x a x a x a x a xa

Với a6 0,ai,(i0,1, ,6)

Xem đa thức f x( ) P x( )P(x), ta có

5

5

( ) 2

f x  a x  a x  a x

deg ( ) 5f x

 

Ta có : f(1) 0, (2) 0, (3) 0, ( 1) 0, ( 2) 0, ( 3) 0 f  f  f   f   f  

Đa thức f x( ) có deg ( ) 5f x  có nghiệm số Do f x( ) 0

Vậy : P x( ) P(x),x

 Chú ý:Áp dụng định lý vềnghiệm đa thức: Nếu f(x) có bậc khơng q n có q n nghiệm thi f(x) đa thức khơng

Giải Ta có: ( )

f x ax axax bx c  ( ) ( )

a x x a b x c

    

( 1) ( )

x x

a  a b x c

    (2.1) i) Giảsử f x( ) nhận giá trịnguyên với x nguyên

Lấy x 0 c nguyên

Lấy x 1 f x( )    a b c a b nguyên

Lấy x 2 f x( ) 4 a2b c 2a2(a b  ) c 2a nguyên

ii) Đảo lai, giảsử ,a a b c ,  từ(2.1) ( 1) x x 

ta có f x( ),  x Vậy điều kiên cần đủ chứng minh

Giải Ta có :

 

         

   

2

2

P P x x P x x p P x x q

x px q x p x px q x q

     

        

Bài toán 2:Chứng minh ( )

f x ax bxc nhận giá trịnguyên với x nguyên chỉkhi ,a a b clà sốnguyên

Bài toán :Chođa thức P x( )x2 pxq p q; , nguyên.Chứng minh tồn k nguyên cho

( ) (2005) (2006)

     

   

      

   

2 2

2

2

x px q x px q x x p x px q xp q

x px q x px q 2x p x px q x p x q P x P x

           

       

      

 

Đặt k P 2005  2005 Vì p,q nguyên suy P(x) đa thức hệsố nguyên Do k sốnguyên Suy

( ) (2005) (2006)

P k  P P (đpcm)

 Nhận xét:Phân tích đpcm ta thấy: P(2005) (2006)P  P(2005) (2005 1)P  có dạng P x( ).(x1)

Lại tiếp tục phân tích ngược 2  

( ).( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( )

P x x  x  pxq  x  p x qP P x x Từ

đó ta có điều cần chưng minh để đến kết

Giải Nếu phương trình 0

ax bx c , với hệsốnguyên, có nghiệm hữu tỉthì nghiệm ngun Do

 số phương

a) Nếu  1994  2 (mod 4), vô lý b) Nếu  1995  3 (mod 4), vô lý Suy đpcm

Giải

Đa thức có dạng

1

( ) n n ,

n n n

P x a x a x   a xa a  Giảsửtồn ba sốnguyên a b c, , đôi

khác thỏa điều kiện đềbài

Vì P a( )P b( )a b P a( )P b( )   b c b c a b 

   b c a b (5.1)

Tương tự, ta có: a b  c a (5.2) c a  b c (5.3) Từ(5.1), (5.2), (5.3) suy a b    b c c a Vì a b c, , đơi khác nên từ ta suy ra:

Bài tốn :Cho phương trình bậc hai sau có nghiệm hữu tỉ:

2 0

ax bx c với hệsốnguyên Chứng minh biệt số của phương trình khơng thểbằng

1994 khơng thểbằng 1995

Bài toán 5:Cho đa thức P x( ) với hệsốnguyên Chứng minh không tồn ba sốphân biệt , ,

2

2

2 a b b c a b c

b c c b b c b c c a a c b

    

       

      

  , vô lý

Vậy giảthiết sai suy đpcm

Giải Phân tích f x( ) theo lũy thừa (x m ) ta

1

1

( ) ( )n ( )n ( ) ( )

n n

f x a x m b xm   b xm  b g x m

Vì m sốnguyên nên b ii, 0,n sốnguyên Ta có: f m( )b0 Thay x p

q ta

p p p mq

f g m g

q q q

       

     

     

Do p mq q 

là nghiệm g x( ) Áp dụng định lý pmq ước b0  f m( ) (đpcm)

III) Bài tập áp dụng:

Bài toán 1:Cho đa thức ( ) 9 24 97

P x x  x  x

Chứng minh với sốtựnhiên n tồn sốnguyên an cho ( )P an chia hết cho 3n

Hướng dẫn :  x P(3x 1) 27 ( )Q x Với Q x( )x32x2 x

27 (3 )Q x  P(9x 1) P(9x 1) 81 ( )R x

Với R x( ) 9 x36x2 x 1 Vì 3, 3,1 ( ) 3n

n

R b



   

2

(9 1) 81 ( );

( ) 81 ( )

n n

n n

n

n n

P b R b a b

P a R b 

   

 

(đpcm)

Bài toán 2:Cho P(x) đa thức với hệsốnguyên Chứng minh sốP(0),P(1),…,P(m-1) không chia hết cho m (m số nguyên dương) đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun

Hướng dẫn : Cm phản chứng :

( ) ( ) ( )

P x  xc Q x

Tính P(0); (1) P P m(  1) (m 1 c Q m) ( 1)

0-c,1-c,…,m-1-c n sốnguyên liên tiếp

(0 1)

k k m

     thoả kc m

( ) P k m

  mâu thuẫn suy đpcm

Bài toán 6: Chứng minh phân sốtối giản p

q nghiệm đa thức với hệsốnguyên

1

1

( ) n n

n n

f x a x a x   a xa

Bài toán :Cho đa thức P(x) bậc có hệsốnguyên P(x) chia hết cho với x nguyên Chứng minh hệsốcủa đa thức P(x) chia hết cho

Hướng dẫn: Làm tương tựbài toán (dạng 1)

Bài tốn :Cho đa thức có dạng :

5

( )

P x x x  x ax bx c Biết P(x) chia hết cho (x2)(x2)(x3) Hãy tìm đa thức P(x)

Hướng dẫn : P(2)P( 2)  P( 3) 0  (định lý Bezout)

Đáp số: a  1;b 20;c 12

Bài tốn : Tìm đa thức P(x) dạng

4

( )

P x  x ax bx c ,

Biết P(x) chia hết cho đa thức x+2, chia cho đa thức x21 thì phần dư x.

Hướng dẫn :

2

( 2) 0; ( ) ( )

(1) ( 1)

P Q x P x x x

Q Q

    

  



Đáp số: 28; 1; 22

3

a  b c

Bài toán :Cho P(x) đa thức với hệsốnguyên không âm không lớn GiảsửP(9)=32078 Hãy tìm đa thức P(x)

Đáp số: ( ) 4 8 2

P x  x  x 

Bài tốn : Tìm đa thức hệsốnguyên bậc nhỏnhất nhận 1 2 3làm nghiệm Đáp số: ( ) 4 4 16 8

P x x  x  x  x

Bái toán : Tìm đa thức P x( ) 0 , thoảmãn điều kiện

( 1) ( 3) ( ),

xP x  x P x x

Hướng dẫn :

(0) (1) (2) ( ) ( 1)( 2) ( )

P P P

P x x x x Q x

  

  

Q x(  1) Q x( ) : Hàm sốtuần hoàn

Đáp số: P x( ) x x( 1)(x2)

Bài toán :Xác định xem số a xác định sau sốhữu tỉhay vô tỉ

125 125

3 9

7

a      

Hướng dẫn :

3 5 6 0 1

Bài toán 10 :[Đềthi vào lớp 10 chuyên toán TP.HCM năm 1982]

Đặt 8

3 3

a a a a

x a    a   Chứng mkinh với

a x sốtựnhiên Hướng dẫn: Lũy thừa sốx ta có ( 1)( 2 ) 0

x x  x a  Biện luận đểcó x1 Bài tốn 11 : Lập đa thức với hệsốnguyên nhận a 2 3làm nghiệm Đáp số: ( ) 10 1

f x x  x 

Bài toán 12 : Cho n sốtự nhiên Xác định đa thức ( ) 2n n 1

P x x x  , biết P x( )x2 x Hướng dẫn: Xét ba trường hợp n3 ,k n3k1,n3k2k  Đáp án: n3

Bài toán 13 : Chứng minh phân sốtối giản p

q nghiệm đa thức hệsốnguyên

1

1

( ) n n

n n

f x a x a x   a xa

thì pq ước f(1) pq nghiệm f( 1)

Hướng dẫn: Cmtt toán Với m1 m 1

Bài toán 14:Đa thức P(x) bậc có hệsốbậc cao thoảmãn điều kiện P(1)=3, P(3)=11 P(5)=27 Chứng minh P(-2)+7P(6)=1112

Hướng dẫn : Xét ( ) 2; (1) 3; (3) 11, (5) 27

f x x  f  f  f  Q x( )P x( ) f x( ); deg ( ) deg ( ) 4Q x  P x 

Hệsốbậc cao P x( )Q x( )cũng

(1) (3) (5) ( ) ( 1)( 3)( 5)( )

Q Q Q  Q x  x x x xk

Với k số

( 2) 216 105

P    k

(6) 128 15

P   k  đpcm Đáp số: 1112

Bài toán 15 :Cho đa thức : ( )

P x x ax bx cxd Biết P(1)=10, P(2)=20, P(3)=30 Chứng minh rằng:

(12) ( 8)

22 2006 10

P  P  

Hướng dẫn : Xét

 

0

( ) ( ) 10 ;deg deg ( )

(1) (2) (3) ( ) ( 1)( 2)( 3) ( )

( ) ( ) ( 1)( 2)( 3)( )

Q x P x x P x Q x

Q Q Q Q x x x x R x

R x x x P x x x x x x

   

       

        

Bài toán 16: Giảsử P(x) đa thức bậc 1991 với hệsố nguyên Xét đa thức ( ) 2( ) 9.

Q x P x  Chứng minh sốnghiêm nguyên đa thức Q(x) không vượt 1995

Hướng dẫn:Chứng minh phản chứng nghiệm Q x( ) 1996

Bài toán 17:Cho P(x) đa thức với hệsốnguyên Chứng minh sốP(0),P(1),…,P(m-1) không chia hết cho m (m số nguyên dương) đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun

Hướng dẫn : Cm phản chứng :

( ) ( ) ( )

P x  xc Q x

Tính P(0); (1) P  P m(  1) (m 1 c Q m) ( 1)

0-c,1-c,…,m-1-c n sốnguyên liên tiếp

(0 1)

k k m

     thoả kc m

( ) P k m

  mâu thuẫn suy đpcm

Tài liệu tham khảo:

- Chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học sở: Đa thức [Phan Huy Khải] - Chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học sở: Sốhọc [Nguyễn Vũ Thanh] - Tuyển tập 216 toán sốhọc chọn lọc [Võ Đại Mau]

- Một sốbài toán đa thức phân thức [Nguyễn Văn Mậu] - Tuyển tập năm toán học tuổi trẻ