Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 35 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
35
Dung lượng
1,24 MB
Nội dung
Chủ đề 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đường trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác I Phương pháp chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB = D = 600 , CD = AD Chứng minh bốn điểm Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB < CD) có C A, B, C , D thuộc đường tròn Hướng dẫn giải IC = AB Gọi I trung điểm CD , ta có ⇒ ICBA hình hành ⇒ BC = AI (1) IC / / AB Tương tự AD = BI (2) = D = 600 nên ABCD hình thang cân(3); mà ABCD hình thang có C Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B, C , D thuộc đường trịn Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R S hình chiếu O AB, BC , CD DA Chứng minh bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 01 Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC , BD ; AC , BD phân giác góc A, B, C , D nên ON OP OS hay bốn điểm M , N , R S thuộc ∆MAO = ∆SAO = ∆NCO = ∆PDO ⇒ OM === đường trịn Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Chứng minh B, K , H , C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm CB , ∆CHB; ∆CKB vuông H , K nên IC = IB = IK = IH hay B, K , H , C nằm đường tròn tâm I Mức độ 2: TH Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải C E F A I O B D = 900 (gt) Tứ giác BEFI có: BIF BEF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF Từ điểm A nằm ngồi đường tròn ( O; R ) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC , MI ⊥ AB, MK ⊥ AC ( I ∈ AB, K ∈ AC ) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường trịn Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 02 b) Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC ) Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải A K I B M H C P O AKM a) Ta có: = AIM = 900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = 900 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM = 900 ( I M khơng trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải K N M B C I E A D a)Tứ giác BIEM : IBM = IEM = 900 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME = IBE = 450 (do ABCD hình vng) c) ∆EBI ∆ECM có BE = CE , BEI = CEM ( IEM = BEC = 900 ) ⇒ ∆EBI =∆ECM (g-c-g) ⇒ MC =IB ⇒ MB =IA Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 03 Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA = Suy IM song song với BN = MN MC IB (định lí Thalet đảo) = 450 (2) Lại có BCE = IME ⇒ BKE = 450 (do ABCD hình vng) Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải x N C M D E A I H O B Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO = MCO = 900 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO 900 (1) ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ ADM = Lại có: OA = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC ⇒ AEM = 900 (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Cho hai đường trịn ( O ) (O′) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường kính hai đường tròn ( O ) (O′) a) Chứng minh ba điểm C , B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) E ; đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) F ( E , F khác A ) Chứng minh bốn điểm C , D, E , F nằm đường tròn Hướng dẫn giải Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 04 F E d N A I M O/ O D K C B a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) (O′) ⇒ ABC = ABD = 900 Suy C , B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có: CFD = CFA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) CED = AED = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/) ⇒ CFD = CED = 900 suy CDEF tứ giác nội tiếp Cho đường tròn ( O ) (O′) cắt hai điểm A B phân biệt Đường thẳng OA cắt ( O ) , (O′) điểm thứ hai C D Đường thẳng O′A cắt ( O ) , (O′) điểm thứ hai E E, F Chứng minh đường thẳng AB , CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: I E A D O' O B C P H F Q = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: ABC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng AB , CE DF đường ABF cao tam giác ACF nên chúng đồng quy Do IEF = IBF = 900 suy BEIF nội tiếp đường tròn Mức độ 4: VDC Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn ( O ) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua V vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 05 a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải y x D N C K I M A O B a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 900 (gt) MAC = 900 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có: ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB ∆CMD (g.g) c) ∆ANB ∆CMD ⇒ CMD = ANB = 90o (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Suy IMK = INK = 900 ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N hình chiếu B đường thẳng AC , AD Chứng minh bốn điểm A, B, M , N nằm đường tròn HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M , N nằm đường trịn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H Chứng minh bốn điểm A, D, H , E nằm đường tròn (gọi tâm O) HD Chứng minh bốn điểm A, D, H , E nằm đường tròn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O; R ) Các đường cao BE CF cắt H Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: Tứ giác AEHF có: AEH = AFH = 900 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC = BFC = 900 (gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp II Phương pháp chứng minh “Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù ( tổng hai góc đối diện 1800 ) CÁC VÍ DỤ Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 06 Mức độ 1: NB Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường trịn? Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có hình chữ nhật hình thang cân có tổng hai góc đối diện bù nên chúng nội tiếp đường tròn Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M MA.MD = MB.MC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Hướng dẫn giải Xét hai tam giác MAB , MCD Có AMB = CMD MA.MD = MB.MC ⇒ MA MC = MB MD ∆MAB ∆MCD hay hay = MAB ⇒ DAB + BCD = 180o hay tứ giác ABCD nội tiếp MCD Cho đường tròn ( O; R ) ,đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường trịn Hướng dẫn giải B Ta có E trung điểm AC ⇒ OE ⊥ AC O I A = Mà Bx 90o nên tứ giác OBME nội tiếp ⊥ AB ⇒ ABx E C Mức độ 2: TH M x Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải C E F A I O B D = 900 (gt) BEF Tứ giác BEFI có: BIF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 07 Cho đường trịn tâm O đường kính AB , điểm M nửa đường trịn ( M khác A , B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H , cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải X I F M H E K 2 A B O = Ta có: AMB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ⇒ KMF 90o (vì hai góc kề bù) = AEB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ KEF 90o (vì hai góc kề bù) + KMF = ⇒ KEF 180o EFMK tứ giác nội tiếp Cho đường trịn tâm O đường kính AB , Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E ) Chứng minh: ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp X E C D A O F B Hướng dẫn giải: = 1) ∆ADB có ABD + BAD 90o (vì tổng ba góc ADB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ tam giác 180o )(1) = ABF = 90o ( BF tiếp tuyến ) ⇒ AFB + BAF 90o (vì tổng ba góc tam giác ∆ABF có 180o ) (2) Từ (1) (2) ⇒ ABD = DFB 2) Tứ giác ACDB nội tiếp ( O ) ⇒ ABD + ACD = 180o + = ⇒ ECD ACD = 180o ∠ ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD DBA Mà EFD = , ECD = DBA ⇒ ECD = + DFB Theo DFB 180o ( Vì hai góc kề bù) ABD = DFB + nên ⇒ ECD AEFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 08 Cho đường tròn ( O; R ) ; AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn ( O; R ) cắt đường thẳng AC , AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải A C E D O B F a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy CAD = BCE = 900 (1) Lại có CBE = sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD = sđ AD (góc nội tiếp), mà 2 = AD (do BC = AD ) ⇒ CBE BC = ACD (2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ∆CBE c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE = DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD = DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Cho nửa đường trịn đường kính BC = R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường tròn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải = 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) a) Ta có BAC Tương tự có BDH = CEH = 90o ADH Xét tứ giác ADHE có = A = AEH = 90o hay ADHE hình chữ nhật Từ DE = AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH = 10.40= 202 ( BH = 10; CH = 2.25 − 10= 40 ) ⇒ DE= 20 A E D B O1 H O O2 (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH = C = ADE (1) b) Ta có: BAH = ADE C + BDE = (Vì ADHE hình chữ nhật) => C 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Cho đường tròn ( O, R ) đường kính AB Các tia AC , AD cắt Bx E F ( F nằm B E ) Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 09 C Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải X E C F D O A B (1) (cùng phụ với DBF ) ABD = BFD = Mặt khác A, B , C , D nằm đường tròn nên ECD ABD (2) = BFD ⇒ ECD + EFD = 180o hay CEFD tứ giác nội tiếp Từ (1) (2) ECD Mức độ 4: VDC Cho ∆ABC cân A , I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh bốn điểm B, I , C , K thuộc đường tròn tâm O A I B H C O K Hướng dẫn giải: =B , B =B Mà B +B = 1800 B +B +B +B = Theo giả thiết ta có: B 900 4 = 900 +C Tương tự C Xét tứ giác BICK có B + C = 1800 ⇒ bốn điểm B, I , C , K thuộc đường trịn tâm O đường kính IK Cho tam giác ∆ABC vuông A ( AB > AC ) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 010 c) Chứng minh AK AC BK BI AB d) Nếu sin BAC Gọi H giao điểm EK AB Chứng minh KH KH 2HE 2HE KE Câu 20 Cho đường trịn O đường kính AB 2A , điểm C thuộc đường tròn C A,C B Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn O Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB MQ , tính BC theo R Câu 21 Cho đường tròn O; R đường kính AC Trên đoạn thẳng OC lấy điểm B vẽ đường trịn O ' có đường kính BC Gọi M trung điểm AB , qua M kẻ dây cung vng góc với AB cắt đường tròn O D E Nối CD cắt đường tròn O ' I a) Tứ giác DAEB hình có đặc tính gì? Vì sao? b) Chứng minh MD MI MI tiếp tuyến đường tròn O ' c) Gọi H hình chiếu vng góc I BC Chứng minh CH MB BH MC Câu 22 Cho tam giác ABC đều, dựng nửa đường tròn tâm D đường kính BC tiếp xúc với AB, AC K , L Lấy điểm P thuộc cung nhỏ KL , dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn P cắt cạnh AB, AC M , N BC a) Chứng minh BMD CDN suy BM CN S MN b) Chứng minh MDN S ABC 2BC c) Gọi E , F nằm cạnh AB, AC cho chu vi AEF nửa chu vi 600 ABC Chứng minh EDF Câu 23 Cho tam giác ABC có AC 2AB nội tiếp đường trịn O; R Các tiếp tuyến đường tròn O A,C cắt M BM cắt đường tròn O D Chứng minh rằng: a) MA AD MB AB c) AB.CD AD.BC AC BD b) AD.BC AB.CD d) CBD cân Câu 24 Trên nửa đường tròn tâm O; R , đường kính AB lấy hai điểm M , E theo thứ tự A, M , E , B Hai đường thẳng AM BE cắt C , AE BM cắt D a) Chứng minh tứ giác MCED nội tiếp CD vng góc với AB Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 021 b) Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE BC BH BA c) Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn O cắt điểm I thuộc CD 450 , BAE 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R d) Cho BAM Câu 25 Cho tam giác ABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC Các điểm D, E di 600 động cạnh AB, AC cho DOE a) Chứng minh BD.CE không đổi, b) Chứng minh tia DO tia phân giác BDE c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE AC d) Gọi P,Q tiếp điểm O với AB, AC I N giao điểm PQ với OD OE Chứng minh DE 2IN Câu 26 Cho đường tròn O; R điểm A bên ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O ( B,C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh AM AO AB.AI c) Gọi G trọng tâm tam giác ACM Chứng minh MG / /BC d) Chứng minh IG vng góc với CM Câu 27 Cho đường tròn O; R nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh AB, AC D E a) Gọi O ' tâm đường trịn nội tiếp ADE , tính OO ' theo R C cắt đường thẳng DE M N Chứng b) Các đường phân giác B minh tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn c) Chứng minh MN DM EN BC AC AB B.HƯỚNG DẪN GIẢI Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 022 A B C M O D Câu Giải: Gọi O trung điểm BC 600 tam giác OCD nên OCD AB / /CD Để chứng minh: BM 2MC Ta cần chứng minh AB 2CD Xét tam giác vng BDC ta có: CD BC sin 300 BC suy BC AB 2CD Câu Giải: D Ta gọi giao điểm AM cung BC M B C MAC BD DC D Ta có BAM OD BC O ' M / /OD A O O' ' ADO AMO ' ADO ta Để chứng minh: AMO dựa vào tam giác cân O ' AM OAD Câu Giải: A Vẽ đường kính AD đường 900 trịn O , suy ACD (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét HBA CDA có: O B C H D Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 023 ACD 900 ; HBA CDA (góc nội tiếp chắn ), AHB AC HBA CDA Do AH AB AB.AC AD.AH Mà AD 2R Do AB.AC 2R.AH AC AD A Câu Giải: D Vẽ đường kính BD đường trịn O; R O 900 (góc nội tiếp BCD B C chắn nửa đường tròn) 900 nên BC BD sin BDC Ta lại có BD 2R; BDC BAC (góc nội tiếp BCD có C ) nên BC 2R sin BAC chắn BC Từ toán ta cần ghi nhớ kết quan trọng: Trong tam giác ABC ta có: a b c 2R sin A sin B sin C Câu Giải: E D A , Ta có: AB tia phân giác CAF H K F C Vẽ BH CD, BK EF O' O Thì suy BH BK B Ta có: CBD$ EBF suy CD BH CD EF Đó điều phải chứng minh EF BK N Câu Giải: Dựng đường kính HN đường tròn C cắt đường tròn O K D C ta có M CN CH HK MC MK MH MN MD.ME MC MK HC MC HC MC A O H E B K MC MK HC MC MC (MC MK ) HC Hay MC (MC MK ) HC MC 2HC HC HC 2MC điều phải chứng minh Câu Giải: Dựng đường kính AE đường Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 024 ABD tròn O; R Ta có AEC (cùng chắn cung AC ) A suy DBA CEA , từ suy OAC BAD Câu O BDC (cùng chắn cung ) Ta có: BEC B BDC (so le trong) BC ABD C D E E ABD suy BEC B A Vì tia BD tia tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE x Câu Giải: D + Vẽ đường trịn đường kính AB MBD vng M có MB MD D C x N C (gt) nên tam giác vuông cân M A 450 Từ ta có ACM B ACM 450 (hai góc nội ANM E ) tiếp chắn AM y MNB 900 ; ANM ANB N thuộc đường trịn đường kính AB ( khác ) Ta có + Gọi E giao điểm MN AB E N MNB 450 AE E cố định Vậy EB ANM MN qua điểm cố định E Câu 10 Giải: A Dựng đường kính AH O Ta chứng minh H trực tâm 900 BDC Thật ta có: ACH CH AC CH BD Tương tự ta có: O B C H BH AB BH CD Như H trực tâm BDC Suy trực tâm H điểm cố định D Câu 11 Giải: AB cắt O B F Vì AEH $ ADO Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 025 suy AE AD AH AO AM A Để chứng minh E trực tâm tam giác ABC , ta cần chứng F minh AFE 900 , nghĩa cần có AF AB AE AD Nhưng ta có: AF AB AM (Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến) N E M H B D C O dùng tam giác đồng dạng A Câu 12 Giải: Gọi D, E giao điểm đường tròn O với cạnh AC , AB D E H N H M giao điểm BD,CE AMN , Chứng minh AMH B K C O từ có M , H , N thẳng hàng Câu 13 Giải: Hai tam giác cân ABC , DAB A , có chung góc đáy ABC O ADC Suy BA tiếp BAC M tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD B C Câu 14 Giải: D A Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn O D ACB góc tạo xAB tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AB O nên x O B C I ACB xAB ACB góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung ABD ACB BD I nên ABD ABD Ax / /BD Mà OA Ax ,OA BD suy OA BD Do xAB Liên hệ word tốn zalo: 039.373.2038 Trang 026 Câu 15 Giải: Giả sử CA cắt O F EF B BE đường kính A; AB , ta có BF D BFD , (vì BA EF ) Ta có: BED F O C E A BCE sđ BF DE BCF sđ BE DE sđBD BFD 2 ECB Từ suy BED chung, BED ECB Xét tam giác BCE , BED có B BCE $ BED BC BE DB.CB EB BE BD Câu 16 Giải: 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn a) Ta có OA OC a OAC cân O Mà ADO O ' ) OD AC OD đường phân giác AOC , nghĩa AOD DOM (hai góc tâm DM AD N C nên cung chắn nhau) M E D AD DM ADM cân D H A b) AOE COE có OE (chung); O' B O K ECO 900 hay COE (cmt); OA OC a , AOE COE (c.g.c) EAO AOE EA AB A , OA a bán kính O EA tiếp tuyến O O ' Câu 17 Giải: C M P A I D O H B K N Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 027 a) Do BD, BH hai tiếp tuyến cắt đường tròn M HBD Lý luận tương B1 B2 A BAC A tự AM tia phân giác BAC 2 900 B 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A b) AMB 1 BM tia phân giác ABD BAC HBD 1800 Vậy BAC 900 HBD AC / /BD , mà MD BD, MC AC (gt) nên M ,C , D thẳng hàng Ta có OM đường trung bình hình thang vng ABDC nên OM / /AC mà CD AC (gt) OM CD M , CM bán kính M CD tiếp tuyến đường tròn O M c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn, có: AC AH AC BD AH BH AB 2R const Áp dụng hệ thức lượng tam BD BH CD 2 giác vuông: AC BD AH BH MH (do CHD vng có HM trung tuyến ứng với cạnh huyền) d) Ta có IP / /AM (vì vng góc với MB ).Kéo dài IP cắt AN K ; AMN có IK đường trung bình K trung điểm AN Mà A, N cố định nên K cố định Điểm P nhìn hai điểm K , B cố định góc vng nên P chuyển động đường trịn đường kính KB Câu 18 Giải: E 900 (góc nội tiếp a) Ta có AIB chắn nủa đường tròn) BI AE C F Tương tự AC BE AEB có K hai đường cao AC , BI cắt A K K trực tâm AEB H O B EK AB (tính chất ba đường cao) IC IBA IBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung IA b) Do I điểm AC IBA IBC (hai góc nội tiếp chắn IC ) IAC nhau) Mà IAC FAK có AI đường cao AI BI đồng thời đường trung tuyến ( F K đối xứng qua I) Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 028 IAK Ta có FAK cân A FAI FAI IAB IAK IAB IBA IAB 900 AF AB A AF tiếp tuyến FAB KH mà O c) sin KAH AK sin BAC KH AK AK 3 HK ABE có BI vừa đường cao vừa đường phân giác ABE cân B nên BI đường trung trực KA KE K BI EH EK KH 1 KH Ta có KH KH 2HE KH KH 1 KH KH 1 HK HK Và 2HE KE 2 HK Suy KH KH 2HE 2HE KE Q N Câu 19 Giải: C a) Do M điểm AC M ABM NBM MC MA (hai góc nội tiếp chắn hai cung B A O nhau) BM đường phân ABM giác ABN [ Mặt BMA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BAN có BM vừa đường cao vừa đường phân giác BAN cân B BNA Ta lại có (vì bù ) Do CMN BAN BAN MCN BCM BNA MCN cân M MQB MCB MNQ (vì bù với hai b) Do MB MQ (gt) BMQ cân M MBQ góc nhau) BCM QNM (g.g) BC CM (do CMN cân M nên QN MN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét CM MN ) QN BC BCA BAQ vuông A , AC BQ có: AB BC BQ BC BN NQ BC AB BC (1) Đặt BC x , x , biết AB 2R , từ (1) cho 4R x 2R x x 2Rx 4R ' R 4R 5R ' R , x R R x R R (loại) Vậy BC Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 1 R Trang 029 Câu 20 Giải: a) Đường kính AC vng góc với dây DE M MD ME Tứ giác ADBE có MD ME , MA MB (gt), AB DE ADBE hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vng góc nhau) 900 (góc nội tiếp chắn nủa đường trịn b) Ta có BIC O ' ) 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ADC O ) BI CD AD DC nên AD / /BI , mà BE / /AD E , B, I thẳng hàng (tiên đề Ơclit) DIE có IM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MI MD Do MI MD (cmt) MDI cân M MID MDI + O ' I O 'C R O ' IC cân O ' O ' IC O 'CI Suy O O MID ' IC MDI 'CI 900 ( MCD vuông M ) Vậy MI O ' I I , O ' I R ' bán kính đường trịn O ' MI tiếp tuyến đường tròn O ' BIM (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn BI ) BCI BIH (cùng c) BCI BIH IB phân giác ) BIM phụ HIC MIH MIH Ta lại có BI CI IC phân giác đỉnh I MIH Áp dụng tính chất phân giác MIH có: BH IH CH CH MB BH MC MB MI CM A Câu 21 Giải: KAL 1800 Xét tứ giác AKDL có KDL 1800 600 1200 L 900 ) KDL (vì K Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt M P N L K B C PDL D ta có DM , DN tia phân giác KDP KDP PDL KDL 120 600 Ta có: MDN 2 B BMD 600 NDC (góc ngồi MDC MDN NDC 600 NDC ; MDC BMD ) BMD , mà NDC MBD DCN 600 ( ABC đều) BMD CDN (g.g) BM BD BC BM CN BD.CD CD CN Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 030 b) Ta có S MDN S ABC MN PD MN PD MN KD MN BC AD BC AD 2BC AD.BC Vì D MD tia phân giác BMN DK DP , AKD có 300 KD AD KD 900 , KAD K AD 2 c) Dựng đường trịn bàng tiếp góc A có tâm O AEF Do AD đường trung tuyến Suy O AC Gọi P ', K ', L ' ABC nên AD tia phân giác BAC tiếp điểm O với EF , AB, AC Ta có AK ' AL '; P ' E EK '; P ' F FL ' (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) PAEF AE EF FA AE EP ' P ' F FA AE EK ' FL ' FA AK ' AL ' 2AK ' Mà PAEF PABC (gt) 3 AB (vì AK ' K ' B AB ) 2AK ' PABC AB ( ABC đều) AK ' AB BK ' 4 2 BD BC AB 2 Mặt khác BD ( D trung điểm BC ); AB BC BK '.AB 4 ( ABC đều) BK '.AB BD BKD ' BDA (c.g.c) BK ' D BDA 900 Ta lại có ' B 900 O D (vì O, D AD ) Mà K OK ' AL ' K ' DL ' 1800 (vì AK ' DL ' tứ giác nội tiếp) mà K ' AL ' 600 K ' DL ' 1200 EDF 600 (tia phân giác hai góc kề) Câu 22 Giải: M chung; a) Xét MAD MBA có AMB D ) MBA (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn AD MAD A E MAD$ MBA (g.g) B C O MA AD MD MB AB MA b) Ta có MA MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt đường tròn) MD MD MD CD Lập luận tương tự, ta có Suy MA MC MC BC AD CD AD.BC AB.CD AB BC ADB c) Dựng điểm E AC cho EDC Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 031 EDC ECD (cách dựng), ABD (hai góc nội tiếp chắn DAB DEC có ADB ) DAB$ DEC (g.g) AB BD AB.DC EC BD (1) Do AD EC DC ADB BDC ADE , nên EDC DAE $ DBC (g.g) AD.BC BD.AE (2) Từ (1) (2) ta có AB.CD AD.BC BD AE EC BD.AC AD.BC AB.CD c) Ta có 2AB.CD AC BD AD.BC AB.CD AC BD Mà AC 2AB (gt) 2AB.CD 2AB.BD CD BD Suy tam giác BCD cân D Câu 23 Giải: C a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp E I chắn nửa đường trịn ta có: M D 900 , AMB AEB AEC 900 BMC A H B O BMC 1800 Tứ giác AEC MCED nội tiếp đường trịn ABC có hai đường cao BM , AE cắt D D trực tâm ABC CD AB b) cos ABC BE BH BE BC BH AB AB BC c) + Gọi I giao điểm tiếp tuyến M đường tròn O với CD Trong đường tròn MAB O có IMD ), (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn MB IMD cân I IM ID MDI MDI (cùng phụ với ACH ) IMD MAB ICM (cùng phụ với hai góc nhau) MIC cân I IM IC Ta lại có IMC Vậy IM ID IC I trung điểm CD + CED có EI trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IE IC ID IM , CED IED có IM IE (cmt), OI chung, OM OE R IMO IEO IMO 900 IE OE ,OE R nên IE tiếp tuyến đường tròn O (c.c.c) IEO E Nghĩa tiếp tuyến M , E đường tròn O cắt điểm I thuộc CD 900 , CAH 450 AHC vuông cân H CH AH x d) AHC có H 300 EBA 600 ; cot EBA HB cot 600 HB HC x EAB 3 HC Ta có AB AH HB 2R x Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 x 6R 3 R 3 Trang 032 Vậy S ABC AB.CH 2R.R R (đvdt) 2 Câu 24 Giải: 0 BDO BOD 180 B 120 , COE a) Ta có BDO 0 BOD COE 180 DOE 120 B 600 mà DOE A BDO COE (g.g) BD OB OC CE E BC (không đổi) BD.CE OB.OC D P b) BDO COE I Q N B C D OD BD BD mặt khác OE OC OB ODE , mà tia DOE 600 BDO ODE (c.g.c) BDO DBO DO nằm hai tia DB, DE DO tia phân giác BDE , mà DO c) ABC nên đường trung tuyến AO đường phân giác BAC phân giác đỉnh D O tâm đường trịn bàng tiếp góc A ADE ĐƯờng trịn O ln tiếp xúc DE , AC d) AP AQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), AB AC AP AQ ACB 600 , mà IOE 600 ;O,Q PQ / /BC IQA DOE 600 IQE AB AC hai đỉnh liên tiếp tứ giác IOQE Tứ giác IOQE nội tiếp (cùng thuộc cung chứa góc) 900 Vậy tứ giác DINE ( DIE DNE 900 Lý luận tương tự DNE EQO Suy EIO nhìn DE góc vng) ONI ODE Vậy ONI ODE (g.g) IN ON cos 600 DE 2NI DE OD Câu 25 Giải: B a) Do AB, AC hai tiếp tuyến cắt đường tròn O M E O G' I H ACO 900 B,C nên ABO A G K C Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 033 thuộc đường trịn đường kính OA có tâm I trung điểm OA AB b) Ta có AM AO 2AI AB.AI c) Gọi E trung điểm MA , G trọng tâm CMA nên G CE GE Mặt khác CE MA MB ME GE ME BE (vì ME nên ME ) , theo định lý Ta-lét đảo CE BE 2 BE MG / /BC d) Gọi G ' giao điểm OA CM G ' trọng tâm ABC Nên G 'M GE , theo CM CE ' định lý Ta-lét đảo GG '/ /ME (1) MI đường trung bình OAB MI / /OB , mà AB OB (cmt) MI AB , nghĩa MI ME (2) Từ (1) (2) cho MI GG ' , ta lại có GI ' MK (vì OA MK ) nên I trực tâm MGG ' GI G ' M tức GI CM Câu 26 Giải: A a) Gọi O ' giao điểm AO O' với cung nhỏ DE đường tròn N O O ' thuộc đường phân giác ADE Ta có A E D M O B C ' O EOA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DO 'E DOA ' sđ DO '; EDO ' sđO O ' tâm Mà ADO ' E ADO ' EDO ' DO ' phân giác D 2 đường trịn nội tiếp ADE Do OO ' R b) Do AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ADE cân A nên ABC 1800 BAC BAC (do Mà ADE ABM NMB NMB ADE 90 BO 2 ADE B 900 BAC ABC ACB Mặt ABC ) NMB nên ABM phân giác ABC 2 2 ACB (do ) Suy NMB NCB , mà khác NCB CO tia phân giác ACB M ,C hai đỉnh liên tiếp tứ giác BCMN Tứ giác BCMN nội tiếp (vì thuộc cung chứa góc) BOC (đối đỉnh); NMO BCO (cmt) NMO $ BCO c) NMO BCO có NOM OM ON MN DM OM (g.g) Tương tự DMO $ ACO (g.g) ; NEO $ BAO OC OB BC AC OC (g.g) -//// Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 034 Liên hệ word toán zalo: 039.373.2038 Trang 035 ... ABC O ADC Suy BA tiếp BAC M tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD B C Câu 14 Giải: D A Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn O D ACB góc tạo xAB tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn... tiếp tuyến nên: MAO = MCO = 900 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO 900 (1) ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ ADM = Lại có: OA = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến)... giác ABC , tiếp tuyến AM , AN với đường tròn O ( M , N tiếp điểm) MN cắt AD E Chứng minh E trực tâm tam giác ABC Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Từ A vẽ tiếp tuyến AM , AN với