TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP A LÝ THUYẾT Ta đã biết một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 0180 Đảo lại[.]
TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP A LÝ THUYẾT Ta biết tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 Đảo lại, tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Từ kiến thức ta rút hệ sau: a) Góc đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối diện Đảo lại, góc ngồi đỉnh tứ giác góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp đường tròn ABCD nội tiếp BAD DCx (hình bên) b) Hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân Cách nhận biết tứ giác nội tiếp 1) Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh tứ giác có hai góc đối bù (hoặc tứ giác có góc góc ngồi đỉnh đối diện) 3) Dựa vào khái niệm cung chứa góc: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại hai góc tứ giác nội tiếp đường tròn B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cho tứ giác ABCD Nếu A C B D 1800 tứ giác ABCD nội tiếp Dựa vào hệ quả, cách nhận biết để giải toán Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn: AD CE hai đường cao cắt H, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M điểm đối xứng B qua O, I giao điểm BM DE, K giao điểm AC HM a) Chứng minh tứ giác AEDC DIMC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OK AC c) Cho số đo góc AOK 600 Chứng minh tam giác HBO cân Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh AD CD lấy điểm M N cho MBN 450 BM BN cắt AC theo thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác BENC BFMA nội tiếp đường tròn b) Chứng tỏ MEFN tứ giác nội tiếp c) Gọi H giao điểm MF NE, I giao điểm BH MN Tính độ dài đoạn BI theo a Bài Giả sử tứ giác lồi ABCD có điểm M cho tứ giác ABMD hình bình hành CBM CDM Dựng hình bình hành BMCN a) Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp b) Chứng minh ACD BCM Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Giả sử M điểm cung BC không chứa A (M khác B, M khác C) Gọi N, P theo thứ tự điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp b) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng c) Tìm vị trí M để độ dài đoạn NP lớn Bài Cho tam giác cân ABC AB AC, A 900 , đường cao BD Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm đoạn BC, BM BD Tia NI cắt cạnh AC K Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp b) BC CACK Bài Cho tam giác nhọn ABC AB AC , hai đường cao BD CE cắt H (D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB) Gọi I trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp BEI đường tròn ngoại tiếp CDI cắt K (K khác I) a) Chứng minh BDK CEK b) Đường thẳng DE cắt BC M Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp ! Sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng ta thấy: Nếu hai cát tuyến AB CD đường trịn cắt M MA.NB MC.MD (xem hình dưới) Đảo lại, ta chứng minh được: Nếu hai đường thẳng BA CD cắt điểm M cho MA.NB MC.MD bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Đây cách nhận biết tứ giác nội tiếp Bài Cho hình thang vng ABCD A D 900 Gọi E trung điểm AD Kẻ AH vng góc với BE, DI vng góc với CE, K giao điểm AH DI a) Chứng minh tứ giác BHIC nội tiếp b) Chứng minh EK BC Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Dựa vào cách chứng minh tam giác, tứ giác nội tiếp Dựa vào kết quả: Nếu IM IH IN IK bốn điểm H, M, N, K nằm đường tròn Bài Cho đường tròn tâm O, đường kính AB dây cung CD vng góc với AB điểm H Gọi I điểm đối xứng với H qua D, K trung điểm đoạn HD Vẽ dây cung EF qua K Chứng minh bốn điểm E, H, I, F nằm đường tròn Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B C tiếp điểm) Gọi I giao điểm OA BC Kẻ dây cung DE đường tròn (O) qua I a) Chứng minh bốn điểm A, D, O, E nằm đường tròn b) Chứng minh BAD CAE ! Kết tốn khơng thay đổi ta hốn đổi vị trí hai điểm D E đường tròn (O) Bài (Định lí Ptơ-lê-mê) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh AB.CD BC AD AC.BD Bài Cho hình chữ nhật ABCD, I trung điểm CD, E thuộc cạnh BA Qua I kẻ IM vng góc với DE, cắt AD H Qua I kẻ IN vng góc với CE, cắt BC K Gọi G giao điểm EI HK Chứng minh rằng: a) Bốn điểm H, M, N, K nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm E, G, N, K, B thuộc đường tròn c) Năm điểm E, G, M, H, A thuộc đường tròn Bài Cho tam giác nhọn ABC với đường cao AD Gọi M điểm đối xứng D qua AB, N điểm đối xứng D qua AC, E F theo thứ tự giao điểm MN với AB AC Chứng minh rằng: a) Năm điểm A, F, D, C, N thuộc đường tròn b) Ba đường AD, BE, CF đồng quy ... P thẳng hàng c) Tìm vị trí M để độ dài đoạn NP lớn Bài Cho tam giác cân ABC AB AC, A 90 0 , đường cao BD Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm đoạn BC, BM BD Tia NI cắt cạnh AC K Chứng... c) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp ! Sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng ta thấy: Nếu hai cát tuyến AB CD đường trịn cắt M MA.NB MC.MD (xem hình dưới) Đảo lại, ta chứng minh được: Nếu hai... D nằm đường tròn Đây cách nhận biết tứ giác nội tiếp Bài Cho hình thang vng ABCD A D 90 0 Gọi E trung điểm AD Kẻ AH vuông góc với BE, DI vng góc với CE, K giao điểm AH DI a) Chứng minh