KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA I Phương pháp giải Điểm uốn của đồ thị Cho y f x có đạo hàm cấp 2 trên một khoảng (a;b) chứa điểm 0x Nếu 0 0f x và "f x đổi dấu khi x qua điếm 0x thì[.]
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA I Phương pháp giải Điểm uốn đồ thị: Cho y f x có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0 Nếu f x0 f " x đổi dấu x qua điếm x0 I x0 ; f x0 điểm uốn đường cong C : y f x Điểm uốn I x0 ; f x0 đường cong C : y f x khoảng a, x0 , x0 , b tiếp tuyến điểm I nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Nếu y p x y r x tung độ điểm uốn x0 y0 r x0 Sơ đồ chung khảo sát vẽ đồ thị: Gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tập xác định D - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để điểm uốn - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ - Vẽ đồ thị, hàm bậc có tâm đối xứng điểm uốn Các dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax3 bx cx d , a Tâm đối xứng điểm uốn Chú ý: 1) Từ đồ thị C : y f x suy đồ thị: y f x cách lấy đối xứng qua trục hoành y f x cách lấy đối xứng qua trục tung y f x cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ y f x cách lấy phần đồ thị phía trục hồnh, cịn phần phía trục hồnh đối xứng qua trục hoành y f x hàm số chẵn, cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, lấy đối xứng phần qua trục tung 2) Bài tốn biện luận số nghiệm phương trình dạng g x, m Đưa phương trình dạng f x h m vế trái hàm số xét, vẽ đồ thị C : y f x số nghiệm số giao điểm đồ thị C với đường thẳng y h m II Ví dụ minh họa Bài tốn Cho hàm số y x3 3mx m 1 x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C m 1 Chứng minh C có tâm đối xứng b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A 1; 9 Giải a) Khi m 1 y x3 3x Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x y 3x x, y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ;0 2; , hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) Hàm số đạt CĐ (0; 1), CT(2; -3) • Đồ thị: y x 6, y x nên đồ thị có điểm uốn I 1; 1 Cho x y x X 1 y Y 1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI : Thế vào (C) thành: Y X 1 X 1 Y X X Ta có Y F X X X hàm số lẻ đpcm b) Đồ thị hàm số y x3 3mx m 1 x qua điểm A 1; 9 9 3m m 4m 12 m 3 Bài toán Cho hàm số y x3 x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt phương trình x3 x m Giải a) Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x Đạo hàm: y x 6, y x 1 x y x ; 1 1; ; y x 1;1 Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; , nghịch biến khoảng 1;1 Hàm số đạt cực đại x 1, yCĐ đạt cực tiểu x 1, yCT 3 Đồ thị: y 12 x, y x nên điểm uốn I 1;0 tâm đối xứng Đồ thị cắt trục Oy điểm 0;1 b) Phương trình cho tương đương x3 x m Do đó, số nghiệm phương trình cho số điểm chung đồ thị (C) đường thẳng y m Dựa vào đồ thị (C), ta được: - Nếu m m 3 phương trình có nghiệm - Nếu m m 3 phương trình có nghiệm - Nếu 3 m phương trình có nghiệm phân biệt Bài toán Cho hàm số y x3 m 1 x2 m 3 x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m b) Xác định m để hàm số đồng biến khoảng 0;3 Giải a) Khi m y x3 x2 3x Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x y x x 3, y x x 3 Bảng biến thiên 0 Hàm số đồng biến 3;1 , nghịch biến khoảng ; 3 1; Hàm số đạt cực đại tại: x 1, yCĐ y 1 Hàm số đạt cực tiểu tại: x 3, yCT y 3 13 23 Đồ thị: y 2 x 2, y x 1 nên điểm uốn I 1; tâm đối xứng 3 Đồ thị cắt trục Oy điểm 0; 4 b) y x m 1 x m 3 ; m2 m 0, m nên y ln có hai nghiệm phân biệt Vì a 1 nên điều kiện đồng biến (0; 3): y 0, x 0;3 m 3 y m 12 12 m y 3 7m 12 m Vậy m 12 Bài toán Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) y x3 3x 3x a) y x3 3x x Giải a) Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x Ta có: y 3x x 0, x nên hàm số nghịch biến Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: x y y Đồ thị: y 6 x 6, y x nên đồ thị có điểm uốn I 1;0 Cho x y Cho y x3 3x x x 1 x x x b) Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x Ta có: y 3x x x 1 0, x nên hàm số đồng biến trị Bảng biến thiên: x y y , hàm số khơng có cực Đồ thị: y x 6, y x nên đồ thị có điểm uốn I 1; Cho x y 1 Bài toán Cho hàm số: y x3 mx m , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 3 2) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số Giải 1) Khi m 3 , hàm số trở thành y x3 3x Tập xác định D Sự biến thiên: y 3x x x 1 Ta có y Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; , hàm số nghịch biến khoảng 1;1 Đồ thị: Đồ thị cắt Ox 2;0 , cắt Oy điểm 0; 2 , y x, y x nên đồ thị nhận điểm uốn I 0; 2 làm tâm đối xứng 2) Gọi M x0 ; y0 điểm cố định đồ thị: y0 x03 mx0 m 1, m m x0 1 x03 y0 0, m x0 1 x0 y0 x0 y0 Vậy đồ thị qua điểm cố định M 1;0 Bài toán Cho hàm số: y x3 3x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Chứng minh bất đẳng thức x 3x với x 2 Giải 1) Tập xác định D Hàm số lẻ Sự biến thiên: y x2 3, y x 2 BBT Hàm số đồng biến khoảng ; 2 2; , nghịch biến 2; Hàm số đạt cực đại 2; , cực tiểu 2; 4 Đồ thị: y x, y x nên đồ thị nhận gốc O làm điểm uốn Cho y x x 2 b) Dựa vào BBT ta có y 4 với x 2 x3 3x 4 với x 2 Vậy x 3x , với x 2 Bài toán Cho hàm số: y x3 m 3 x m2 3m x , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để đồ thị hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Giải 1) Với m hàm số trở thành y x3 x x Tập xác định D Sự biến thiên: y 3x 12 x y x 3 x 1 Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ;3 1; , hàm nghịch biến khoảng 3; 1 Hàm số đạt cực đại x 3, yCÑ đạt cực tiểu x 1, yCT 3 Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm (0;1) y x 12 , y x 2 nên điểm uốn I 2; 1 tâm đối xứng đồ thị 2) D y 3x m 3 x m 3m y 3x m 3 x m 3m Hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 m 3 m2 3m 3m m Ta có x1 x2 m 3 ; x1.x2 m2 3m Do x1 x2 x1 x2 m 32 3m m 5m 11 2 m 5m 11 m 5m 1 m m m 11 m m 18 Kết hợp chọn: m Bài toán Cho đồ thị Cm : y x3 mx2 3mx a) Tìm điểm cố định đồ thị b) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m 1 Suy đồ thị C : y x3 x 3x 5 Giải Gọi M x0 ; y0 điểm cố định đồ thị Cm : 5 y0 x03 mx02 3mx0 , m y0 m x02 3x0 x03 , m 3 3 5 x02 x0 x0 0, y0 5 y0 x0 x 3, y 32 3 32 5 Vậy đồ thị qua điểm cố định: M1 0; M 3; b) Khi m y x3 x2 3x Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x y x x 3, y x 1 x Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ; 1 3; ; nghịch biến khoảng 1;3 Hàm số đạt cực đại x 1, yCÑ đạt cực tiểu x 3, yCT 16 Đồ thị: y x 2, y x 1nên đồ thị có điểm uốn I 1; Cho x y , y x 1 x 3 32 1 x x x x 3 Ta có y x3 x 3x nên đồ thị C giữ nguyên phần đồ 5 3 1 x x x x 3 thị C x lấy đối xứng phần x C qua Ox Bài toán Cho hàm số y x3 3x mx (1), m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m b) Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến khoảng 0; Giải a) Khi m hàm số trở thành y x3 3x Tập xác định D y lim y Sự biến thiên xlim x Đạo hàm: y 3x x Ta có: y x x Bảng biến thiên 0 Hàm số đồng biến 0; , nghịch biến ;0 , 2; có điểm CĐ 2;2 , CT 0; 2 Đồ thị: y 6 x , y x Điểm uốn I 1;0 b) Ta có y 3x3 x m Hàm số nghịch biến 0; y 0, x 0; m 3x x, x 0; Ta có g x x 6, g x x – Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m 3 Bài toán 10 Cho hàm số y x3 x 3mx m , m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m b) Tìm m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách chúng 65 Giải a) Khi m hàm số trở thành y x3 x x Tập xác định D Sự biến thiên: y 3x 12 x y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ;1 3; , nghịch biến 1;3 Hàm số đạt cực đại x 1, yCÑ đạt cực tiểu x 3, yCT 1 Đồ thị: y x 12 , y x nên tâm đối xứng điểm uốn I 2;1 Cho x y 1 b) Ta có y 3x 12 x 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu phương trình y có hai nghiệm phân biệt 36 9m m Gọi điểm cực trị A x1; y1 , B x2 ; y2 x1 x1 x1 x1 m Theo định lý Viet Ta có y1 2m 8 x1 m , y2 2m 8 x2 m AB x1 x2 2m 8 x2 x1 2 1 2m 8 x x 4x x 4m 2 2 32m 65 16 4m nên AB 65 4m2 32m 65 16 4m 1040 4m3 48m2 193m m 4m 48m 193 m (thỏa mãn) Vậy m Bài toán 11 Cho hàm số: y x3 m 1 x m , với m tham số ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị cho điểm I 3;1 nằm đường thẳng qua cực trị Giải 1) Khi m , hàm số trở thành y x3 3x Tập xác định D Sự biến thiên: y x x y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ;0 1; , nghịch biến khoảng 0;1 Hàm số đạt cực đại x 0, yCÑ đạt cực tiểu x 1, yCT Đồ thị: y 12 x ; y x nên đồ thị nhận điểm uốn I ; làm tâm 2 2 đối xứng 2) Ta có y x m 1 x y x hay x m Đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B m Khi hai điểm cực trị đồ thị A 0; m B m 1; m m 1 Với m 1, ba điểm I, A, B thẳng hàng IA k IB 3 k m 1 m 1 m 3 m k m 1 Bài toán 12 Cho hàm số y x3 3x x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Biện ỉuận theo m số nghiệm phương trình: x3 3x2 x m3 3m2 9m Giải a) Tập xác định D Sự biến thiên y 3x x , y x 1 x Bảng biến thiên Đồ thị có cực đại A 1;5 , cực tiểu B 3; 27 Đồ thị: y x , y x nên đồ thị có điểm uốn I 1; 11 Cho x y b) Đặt f x x3 3x x phương trình: f x f m Ta có y x 1 x 5; y 27 x 3 x Dựa vào đồ thị, ta có: Khi m 3 m PT có nghiệm Khi m 3 m = -1 m m PT có nghiệm Khi 3 m 5, m 1, m PT có nghiệm ... sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt phương trình x3 x m Giải a) Tập xác định D y lim y Sự biến thi? ?n... , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số m 3 2) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số Giải 1) Khi m 3 , hàm số trở thành y x3 3x Tập xác định D Sự biến thi? ?n: y... x 6, g x x – Từ bảng biến thi? ?n suy giá trị cần tìm m 3 Bài toán 10 Cho hàm số y x3 x 3mx m , m tham số a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số m b) Tìm m cho