KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước l Tập xác định Tập xác định D Hàm số chẵn Bước 2 Chiều biến thiên Tính các giới hạn Tín[.]
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG I Phương pháp giải Sơ đồ chung khảo sát vẽ đồ thị: Gồm bước: Bước l: Tập xác định - Tập xác định D Hàm số chẵn Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để điểm uốn - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ - Vẽ đồ thị, hàm trùng phương hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung trục đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax bx c, a Chú ý: Điểm đặc biệt họ đồ thị: Cm : y f x, m 1) Điểm cố định họ điểm mà đồ thị qua: M x0 , y0 Cm , m y0 f x0 , m m 2) Điểm mà họ khơng qua điểm mà khơng có đồ thị họ qua với tham số: M x0 , y0 Cm , m y0 f x0 , m m Nhóm theo tham số áp dụng mệnh đề sau: Am B 0, m A 0, B Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C Am B 0, m A 0, B Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C A 0, B AC II Ví dụ minh họa Bài tốn Cho hàm số y x x4 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận số nghiệm phương trình: x x4 m theo tham số m Giải a) Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thiên: xlim y x x3 x x , y x x 2 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ; 2 , 0; nghịch biến 2;0 , 2; Hàm số đạt CĐ 2;5 CT 0;1 Đồ thị: y 3x , y x uốn nên đồ thị có điểm 29 ; làm tâm đối xứng b) Số nghiệm phương trình: x x4 m số giao điểm đường thẳng y = m đường cong (C) Dựa vào đồ thị ta có: Nếu m m phương trình có nghiệm Nếu m phương trình có nghiệm Nếu m phương trình có nghiệm Nếu m phương trình vơ nghiệm Bài toán Cho hàm số y x 2mx m3 m2 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị Giải a) Khi m y x x Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thiên: xlim y x3 x x x 1 , y x x 1 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 1; , 1; , hàm số nghịch biến khoảng ; 1 , 0;1 Hàm số đạt cực đại x 0, yCÑ đạt cực tiểu x 1, yCT 1 Đồ thị: y 12 x , y x nên đồ thị có điểm uốn 5 ; làm tâm đối xứng 9 b) y x3 4mx x x m Nếu m x m với x nên đồ thị điểm cực trị Nếu m y x 0, x m nên đồ thị có điểm cực trị Vậy m giá trị cần tìm Bài tốn Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y x x b) y x4 x2 2 Giải Tập xác định D Hàm số chẵn y lim y Sự biến thiên: xlim x y 4 x3 x 4 x x 1 , y x x 1 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ;0 nghịch biến khoảng 0; Hàm số đạt cực đại điểm x 0, yCÑ Đồ thị: y 12 x 0, x nên đồ thị khơng có điểm uốn Cho y x 1 b) Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thiên: xlim y x3 x x x 1 , y x x 1 Bảng biến thiên – Hàm số đồng biến khoảng 0; , nghịch biến khoảng ;0 đạt cực tiểu 3 0; 2 Đồ thị: y x 0, x nên đồ thị khơng có điểm uốn Giao điểm với trục tung 0; 2 Giao điểm với trục hoành 1; 1;0 Bài toán Cho hàm số y x4 x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để phương trình x x 12 m có nghiệm phân biệt Giải 1) Tập xác định D Hàm số chẵn Sự biến thiên: y x3 x x x y x hay x 2 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 2;0 , 2; , hàm số nghịch biến khoảng ; 2 , 0; Hàm số đạt cực đại x 0, yCÑ đạt cực tiểu x 2, yCT 1 Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng 2) Ta có phương trình: x x 12 m Đồ thị C hàm số y m x 2x2 4 x x suy từ đồ thị (C) cách giữ nguyên phần nằm phía Ox, cịn phần nằm phía Ox lấy đối xứng qua Ox Số nghiệm phương trình y m x x2 giao điểm đồ thị C đường thẳng 4 m Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt Bài toán Cho hàm số y x4 mx2 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị đỉnh tam giác m 1 m Giải a) Khi m y x4 x2 Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thiên: xlim y x3 3x x x x x y x x Hàm số đồng biến khoảng ; 0; y x 3x Hàm số nghịch biến khoảng 3;0 , 3; Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ; , 0; nghịch biến 3;0 , 3; Hàm số đạt CĐ 3; CT 0;0 Đồ thị: y 3x , y x 1 nên đồ thị có điểm uốn 1; Đồ thị cắt trục tung điểm 0;0 , cắt trục hoành ba điểm 6;0 , 0;0 b) y x3 3mx x x 3m y x x 3m 4 Điều kiện đồ thị (1) có cực trị 3m m Khi điểm cực trị: O 0;0 , A 3m ; m2 , B 3m ; m2 4 OA OB 81 OA AB m3 3m m4 3m 16 OA AB Tam giác OAB 3m 81 16 m 12m m3 m (chọn) 16 Bài toán Cho hàm số: y x 2mx 2m , với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông Giải 1) Khi m , hàm số trở thành y x x Tập xác định D , hàm số chẵn Sự biến thiên: y x3 12 x x x 3 y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 3;0 , nghịch biến khoản ; , 0; 3; Hàm số đạt cực đại x 0, yCÑ đạt cực tiểu x 3, yCT 4 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy trục đối xứng 2) Ta có D , y x x m y x x m x x m Hàm số có điểm cực trị y có nghiệm phân biệt m Khi điểm cực trị đồ thị hàm số là: A m; m2 2m , B 0;2m 1 , C m; m2 2m 1 Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân B Oy, A C đối xứng qua Oy ABC tam giác vuông tam giác ABC vuông cân B AC AB m2 m m m Vậy chọn m Bài toán Cho hàm số: y x mx 2m , với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị cho điểm cực trị với gốc tọa độ đỉnh hình thoi Giải 1) Khi m , hàm số trở thành y x x Tập xác định D , hàm số chẵn Sự biến thiên: y x3 x x x 1 y x , x 1 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 1; 1; , nghịch biến khoảng ; 1 0;1 Hàm số đạt cực đại điểm x , giá trị cực đại yCÑ ; hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 , giá trị cực tiểu yCT Đồ thị: y 12 x , y x2 1 x 3 Hai điểm uốn 22 ; Đồ thị đối xứng qua Oy 2) y x3 2mx x y x3 2mx 2 x m Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình y có nghiệm phân biệt m0 Khi điểm cực trị: m m2 m m2 A ; 2m 1 , B 0; 2m 1 , C ; 2m 1 4 Vì tam giác ABC cân B, AC song song Ox nên O, A, B, C đỉnh hình thoi OABC hình thoi O B đối xứng qua AC yO yB yA 2m m2 2m m2 4m m (thỏa mãn) Vậy m Bài toán Cho hàm số: y x4 3m 1 x m 1 , với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị ba đỉnh tam giác có trọng tâm gốc tọa độ Giải 1) Khi m hàm số trở thành y x4 x Tập xác định D , hàm số chẵn Sự biến thiên: y x3 x x x y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng 2;0 ; 0; 2; , hàm số nghịch biến khoảng Hàm số đạt cực đại x với yCÑ ; hàm số đạt tiểu x x với yCT cực Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng 2) y x3 3m 1 x x x 3m 1 y x x 3m 1 Hàm số cho có điểm cực trị 3m m Khi điểm cực trị đồ thị là: A 0;2m 2 , B 6m 2; 9m2 4m , C 6m 2; 9m2 4m Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân A thuộc trục Oy, B, C đối xứng qua Oy O trọng tâm tam giác ABC y A yB yC 2m 9m 4m 1 m 9m 3m Chọn giá trị m m ... phương trình: x x4 m theo tham số m Giải a) Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thi? ?n: xlim y x x3 x x , y x x 2 Bảng biến thi? ?n Hàm số đồng biến khoảng... (1) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số m b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị Giải a) Khi m y x x Tập xác định D Hàm số chẵn y Sự biến thi? ?n: xlim y ... giá trị cần tìm Bài tốn Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số a) y x x b) y x4 x2 2 Giải Tập xác định D Hàm số chẵn y lim y Sự biến thi? ?n: xlim x y 4 x3 x