KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước 1 Tập xác định Tìm tập xác định Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2 Chiều biến thiên Tính c[.]
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung khảo sát vẽ đồ thị: Gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn - Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang - Tính đạo hàm cấp một, dấu dương hay âm - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, hay khoảng nghịch biến Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ 1/1: y ax b với c 0, ad bc cx d II Ví dụ minh họa Bài toán Cho hàm số y x 1 x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 2) Tìm (H) điểm có tọa độ ngun Giải 1) ● Tập xác định D \ 2 ● Sự biến thiên: lim y lim y nên đường tiệm cận đứng x x 2 x 2 lim y 1 lim y 1 nên đường tiệm cận ngang y 1 x x y' x 2 0, x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ; 2; ● Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành 1;0 , cắt trục tung 0; nhận giao điểm 2 I 2; 1 hai tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Ta có y x x 1 1 x2 x2 x2 Điểm M x; y thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên x ước 1: x hay x 1 x hay x Vậy điểm M x; y thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên M 3; 2 M 1;0 Bài toán Cho hàm số y x 3 2 x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng Giải a) ● Tập xác định D \ 2 ● Sự biến thiên: lim y lim y nên đường thẳng x tiệm cận đứng x 2 x 2 lim y 1 lim y 1 nên đường thẳng y 1 tiệm cận ngang x x y' 1 0, x 2 x ; 2; \ 2 : Hàm số khơng có cực trị, hàm số nghịch biến khoảng Bảng biến thiên ● Đồ thị: Cho x y ; y x b) Giao điểm hai tiệm cận I 2; 1 x X y Y 1 Áp dụng công thức chuyển hệ phép tịnh tiến vectơ OI : Đồ thị (C) hệ tọa độ IXY :Y Vì Y F X X 2 Y X 2 X hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I tâm đối xứng X Bài toán Cho hàm số y x2 x 1 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x 1 3m Giải 1) ● Tập xác định D \ 1 ● Sự biến thiên: Ta có lim y lim y x 1 x 1 Do đường thẳng x tiệm cận đứng y lim y nên đường thẳng y tiệm cận ngang Vì xlim x Ta có y ' x 1 0, x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ;1 , 1; ● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox 2;0 , cắt Oy 0; , (C) nhận giao điểm I 1;1 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Vì x khơng nghiệm nên phương trình x x 1 3m x2 3m x 1 x2 x x x Ta có: y x 1 x x x Suy đồ thị (C’) y x2 gồm phần x 1 (C) ứng với x đối xứng phần (C) ứng với x qua trục hồnh Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C’) đường thẳng y 3m : Xét 3m hay 3m hay 3m 1 m 1 hay m hay m phương trình có nghiệm 3 Xét 3m m phương trình có nghiệm 3 Xét 1 3m m phương trình vơ nghiệm Bài tốn Cho hàm số y 2x 1 x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên Giải a) ● Tập xác định D y nên tiệm cận ● Sự biến thiên: lim y , lim y nên tiệm cận đứng: x Ta có xlim x 1 x 1 ngang y y' 1 x 1 0, x Hàm số khơng có cực trị BBT Hàm số nghịch biến khoảng ;1 1; ● Đồ thị: Cho x y 1; y x Đồ thị nhận giao điểm I 1; hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) y 2x 1 2 x 1 x 1 Điểm M x; y C có tọa độ nguyên x 1 Suy (C) có điểm 0;1 2;3 có tọa độ số nguyên Bài toán Cho hàm số y (1) mx a) Khảo sát vẽ đồ thị m b) Tìm điểm cố định đồ thị (1) điểm mà đồ thị (1) không qua với m Giải a) Khi m y 2 x ● Tập xác định D \ 2 ● Sự biến thiên: y ' 2 x 0, x nên hàm số đồng biến khoảng xác định ; , 2; Hàm số khơng có cực trị Đường thẳng x tiệm cận đứng, lim y , lim y x 2 x 2 Đường thẳng y (trục hồnh) tiệm cận ngang x x lim y lim x Bảng biến thiên ● Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm A 0; Đồ thị nhận giao điểm I 0; hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Gọi M xo ; yo điểm cố định đồ thị (1): yo xo , m mxo yo Vậy đồ thị (1) luôn qua điểm cố định M 0; Gọi N xo ; yo điểm mà đồ thị (1) không qua: yo xo m mxo yo Vậy tập hợp điểm mà đồ thị (1) không qua đường thẳng x (trục tung) trừ điểm cố định M 0; Bài toán Cho hàm số: y x 3 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Tính khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến đường thẳng d : y x Giải 1) ● Tập xác định D \ 1 ● Sự biến thiên: lim y ; lim y nên tiệm cận đứng x 1 x 1 x 1 lim y 1; lim y nên tiệm cận ngang y x x Ta có y ' x 1 0, x 1 Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ; 1 1; ● Đồ thị: Đồ thị cắt Ox 3; ; cắt Oy 0; 3 nhận giao điểm I 1;1 hai tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Phương trình d : y x x y Tâm đối xứng điểm I 1;1 Ta có khoảng cách d I , d Bài toán Cho hàm số y 2 1 2x x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Suy đồ thị C ' : y 2x x 1 Giải a) ● Tập xác định D \ 1 ● Sự biến thiên: y ' x 1 0, x D nên hàm số nghịch biến khoảng ;1 1; lim y lim y nên TCĐ: x x 1 x 1 lim y lim y 2 nên TCN: y 2 x x Bảng biến thiên ● Đồ thị: cắt trục tung điểm 0; 3 trục hoành điểm ; 3 2x x 2x x 1 b) Ta có y nên đồ thị (C’) giữ nguyên phần đồ thị (C) phía x 1 2x x 1, x x Ox, phần Ox lấy đối xứng qua Ox Bài toán Cho hàm số y x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 x y x y nhỏ Giải 1) ● Tập xác định D \ 1 ● Sự biến thiên: Ta có lim y lim y x 1 x 1 Do đường thẳng x tiệm cận đứng y lim y nên đường thẳng y tiệm cận ngang Vì xlim x Ta có y ' 2 x 1 0, x Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng ;1 , 1; ● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox 1; , cắt Oy 0; 1 nhận giao điểm I 1;1 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Giả sử M x0 ; x0 d x0 C , x0 Tổng khoảng cách là: x0 3 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 5 2 x0 x0 x0 x0 x0 x0 5 x0 x0 5 x0 Dấu đẳng thức xảy x0 x0 Vậy điểm M thỏa mãn là: M 1 2;1 , M 1 2;1 ... biến thi? ?n: Ta có lim y lim y x 1 x 1 Do đường thẳng x ti? ??m cận đứng y lim y nên đường thẳng y ti? ??m cận ngang Vì xlim x Ta có y '' x 1 0, x Bảng biến thi? ?n... nghịch biến khoảng Bảng biến thi? ?n ● Đồ thị: Cho x y ; y x b) Giao điểm hai ti? ??m cận I 2; 1 x X y Y 1 Áp dụng công thức chuyển hệ phép tịnh ti? ??n vectơ OI : Đồ thị (C)... 1 x 1 a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) b) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên Giải a) ● Tập xác định D y nên ti? ??m cận ● Sự biến thi? ?n: lim y , lim y nên ti? ??m cận đứng: x Ta