Khao sat va ve do thi ham huu ti

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ Dạng toán HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1 Sơ đồ chung khảo sát vẽ đồ thị: Gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn - Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang - Tính đạo hàm cấp một, dấu dương hay âm - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, hay khoảng nghịch biến Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ 1/1: y  Bài toán Cho hàm số y  ax  b với c  0, ad  bc  cx  d x 1 x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số 2) Tìm (H) điểm có tọa độ nguyên Giải 1) ● Tập xác định D  \ 2 ● Sự biến thiên: lim y   lim y   nên đường tiệm cận đứng x  x  2 x 2 lim y  1 lim y  1 nên đường tiệm cận ngang y  1 x  y'  x   x  2  0, x  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng  ;   2;   ● Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành 1;0  , cắt trục tung  0;   nhận giao  2 điểm I  2; 1 hai tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Ta có y   x   x  1   1  x2 x2 x2 Điểm M  x; y  thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên x  ước 1: x   hay x   1  x  hay x  Vậy điểm M  x; y  thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên M  3; 2  M 1;0  Bài toán Cho hàm số y  x 3 2 x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng Giải a) ● Tập xác định D  \ 2 ● Sự biến thiên: lim y   lim y   nên đường thẳng x  tiệm cận đứng x  2 x 2 lim y  1 lim y  1 nên đường thẳng y  1 tiệm cận ngang x  x  y'  1 2  x  0, x  \ 2 : Hàm số cực trị, hàm số nghịch biến khoảng  ;   2;   Bảng biến thiên ● Đồ thị: Cho x   y   ; y   x  b) Giao điểm hai tiệm cận I  2; 1 x  X   y  Y 1 Áp dụng công thức chuyển hệ phép tịnh tiến vectơ OI :  Đồ thị (C) hệ tọa độ IXY :Y   Vì Y  F  X    X  2   Y    X  2 X hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I tâm đối xứng X Bài toán Cho hàm số y  x2 x 1 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x    x  1 3m Giải 1) ● Tập xác định D  \ 1 ● Sự biến thiên: Ta có lim y   lim y   x 1 x 1 Do đường thẳng x  tiệm cận đứng y  lim y  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang Vì xlim  x  Ta có y '   x  1  0, x  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng  ;1 , 1;   ● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox  2;0  , cắt Oy  0;  , (C) nhận giao điểm I 1;1 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Vì x  khơng nghiệm nên phương trình x    x  1 3m  x2 x 1  3m x2 x  x   x  Ta có: y   x 1  x    x   x  Suy đồ thị (C’) y  x2 x 1 gồm phần (C) ứng với x  đối xứng phần (C) ứng với x  qua trục hồnh Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C’) đường thẳng y  3m : Xét 3m  hay 3m  hay 3m  1 m 1 hay m  hay m   phương trình có nghiệm 3 Xét  3m    m  phương trình có nghiệm 3 Xét 1  3m     m  phương trình vơ nghiệm Bài toán Cho hàm số y  2x 1 x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên Giải a) ● Tập xác định D  ● Sự biến thiên: lim y  , lim y   nên tiệm cận đứng: x  Ta có xlim y  nên tiệm  x 1 x 1 cận ngang y  y'  1  x  1  0, x  Hàm số cực trị BBT Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   ● Đồ thị: Cho x   y  1; y   x  Đồ thị nhận giao điểm I 1;  hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) y  2x 1  2 x 1 x 1 Điểm M  x; y    C  có tọa độ nguyên x   1 Suy (C) có điểm  0;1  2;3 có tọa độ số ngun Bài tốn Cho hàm số y  (1)  mx a) Khảo sát vẽ đồ thị m  b) Tìm điểm cố định đồ thị (1) điểm mà đồ thị (1) không qua với m Giải a) Khi m  y  2 x ● Tập xác định D  \ 2 ● Sự biến thiên: y '  2  x  0, x  nên hàm số đồng biến khoảng xác định  ; 2 ,  2;   Hàm số khơng có cực trị Đường thẳng x  tiệm cận đứng, lim y  , lim y   x  2 x  2 Đường thẳng y  (trục hoành) tiệm cận ngang lim y  lim x  x   2 x Bảng biến thiên ● Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm A  0;  Đồ thị nhận giao điểm I  0;  hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b) Gọi M  xo ; yo  điểm cố định đồ thị (1): yo   xo  , m    mxo  yo  Vậy đồ thị (1) luôn qua điểm cố định M  0;  Gọi N  xo ; yo  điểm mà đồ thị (1) không qua: yo   xo  m    mxo  yo  Vậy tập hợp điểm mà đồ thị (1) không qua đường thẳng x  (trục tung) trừ điểm cố định M  0;  Bài toán Cho hàm số: y  x 3 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Tính khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến đường thẳng d : y  x  Giải 1) ● Tập xác định D  \ 1 ● Sự biến thiên: lim  y  ; lim  y   nên tiệm cận đứng x  1 x  1 x  1 lim y  1; lim y  nên tiệm cận ngang y  x  x  Ta có y '  Bảng  x  1  0, x  1 biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;   ● Đồ thị: Đồ thị cắt Ox  3;0  ; cắt Oy  0; 3 nhận giao điểm I  1;1 hai tiệm cận làm tâm đối xứng 2) Phương trình d : y  x   x  y  Tâm đối xứng điểm I  1;1 2   Ta có khoảng cách d  I , d   Bài toán Cho hàm số y  1   2x x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Suy đồ thị  C ' : y   2x x 1 Giải a) ● Tập xác định D  \ 1 ● Sự biến thiên: y '    x  1  0, x  D nên hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   lim y   lim y   nên TCĐ: x  x 1 x 1 lim y  lim y  2 nên TCN: y  2 x  x  Bảng biến thiên ● Đồ thị: cắt trục tung điểm  0; 3 trục hoành điểm  ;0    3  2x  x    2x  x 1 b) Ta có y  nên đồ thị (C’) giữ nguyên phần đồ thị (C)   x x 1   x  1, x   x  phía Ox, phần Ox lấy đối xứng qua Ox Bài toán Cho hàm số y  x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng 1  x  y   2  x  y   nhỏ Giải 1) ● Tập xác định D  \ 1 ● Sự biến thiên: Ta có lim y   lim y   x 1 x 1 Do đường thẳng x  tiệm cận đứng Vì xlim y  lim y   nên đường thẳng y  tiệm cận ngang  x  Ta có y '  2  x  1  0, x  Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 , 1;   ● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox  1;0  , cắt Oy  0; 1 nhận giao điểm I 1;1 hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng  Giả sử M  x0 ;  x0  d x0      C  , x0  Tổng khoảng cách là: x0   3 x0  x0   x0       x0   x0   x0  x0   5  2 x0    x0   x0   x0  x0  x0  5     x0    x0   5  x0   Dấu đẳng thức xảy  x0      x0   Vậy điểm M thỏa mãn là: M 1  2;1   , M 1  2;1   BBT Hàm số đồng biến khoảng  ; 2   2;   , nghịch biến khoảng  2;   0;2  Hàm số đạt cực đại điểm x  2, yCÑ  4 Hàm số đạt cực tiểu điểm x  2, yCT  ● Đồ thị: Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận O  0;  Bài toán Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số: y  1 x2 x Giải Ta có y  1 x2  x  x x  Tập xác định: D  R \ 0 Hàm số lẻ  Sự biến thiên: TCĐ: x  , TCX: y   x y  1   0, x  D x2 Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng  ;   0;    Đồ thị: y   x  1 Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận O  0;  Bài toán Cho hàm số y  x2  2x  x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:   x  x   m2  2m   x  1 Giải a) y  x2  2x   x 1 x 1 x 1  Tập xác định D  R \ 1  Sự biến thiên: y   x2  2x   , y   x  1, x  3 x 1 x    Ta có lim y  , lim y   nên TCĐ: x  1 x  1  x  1   lim y   x  1  lim x  x    nên TCX: y  x  x 1 Bảng biến thiên Hàm số đồng biến  ; 3 , 1;   , nghịch biến  3; 1 ,  1;1 Hàm số đạt CĐ  3; 4  , CT 1;   Đồ thị: Cho x   y  Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận I  1;  b) Vì x  1 khơng nghiệm nên phương trình cho tương đương với: x2  2x   m2  2m  x 1 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y x2  2x  với đường thẳng y  m2  2m  x 1 Phương trình có hai nghiệm dương khi: m  1  m  2m     2  m  Bài toán Cho hàm số y  x2  2x  x 2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số b) Tìm điểm  C  có tọa độ số nguyên Chứng minh đồ thị  C  có tâm đối xứng Giải a) Ta có y  x  x 2  Tập xác định D  R \ 2  Sự biến thiên: lim y   lim y   nên TCĐ: x  x 2  lim  y  x   lim x  y   x   x  2 x 2   nên TCX: y  x x 2  với x  Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng  ;2   2;    Đồ thị: Cho x   y  y   x  1, x  b) Điểm M  x; y   C  có tọa độ nguyên x  ước số của nên x   1,  Do  C  có điểm có tọa độ nguyên: 1;4 , 3;0 ,  1;0  5;  Giao điểm tiệm cận I  2;2  chuyển trục phép tịnh tiến vectơ x  X  OI :  y  Y  Đồ thị C  : Y    X    Vì Y  F  X  : X  3 Y  X X  X  2  hàm số lẻ nên đồ thị  C  nhận gốc I  2;2  làm tâm đối xứng X Bài toán Cho hàm số y  x2  x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tính góc tiệm cận b) Biện luận m số nghiệm PT: x  m2   x m Giải a) Hàm số y  x  x  Tập xác định D  R \ 0 Hàm số lẻ  Sự biến thiên: y  x2 1 , y   x  1 x  x2 lim y  , lim y   nên TCĐ: x  x 0 x 0  nên TCX: y  x x  x lim  y  x   lim x  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến  ; 1 , 1;   , nghịch biến  1;0  ,  0;1 Hàm số đạt CĐ  1; 2  , CT 1;2   Đồ thị: Đối xứng qua gốc O TCĐ: x  , TCX: y  x nên hai tiệm cận hợp góc 45 b) Khi m  PT vơ nghiệm Khi m  số nghiệm phương trình y  thẳng y  m2   f (m) số giao điểm đồ thị với đường m m2   f (m ) m Dựa vào đồ thị ta có: Nếu m2   2 m m2  2 m  m  0, m  1 , PT có nghiệm m2   2 Nếu m m2  2 m  m  1 m  PT có nghiệm Bài tốn Cho hàm số y  x2  2x có đồ thị  C  x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị  C  b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị  C  suy đồ thị y x2  2x x 1 Giải a)  Tập xác định D  R \ 1 Ta có y  x   x 1  Sự biến thiên: y    x  1  x2  2x   x  1 , y   x   lim y  , lim y   nên TCĐ: x  x 1 x 1   nên TCX: y  x  x  x   lim y   x  3  lim x  Bảng biến thiên:     , CT 1      Hàm số đồng biến ;1  ,  3;  , nghịch biến  3;0 , 0;1   Hàm số đạt CĐ  3;   Đồ thị: y   x  x  2  3;  b) Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị là:     A  3;4  B  3;4  Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị đường thẳng d có vectơ phương u  AB  1;2  qua điểm A nên có phương trình: x  1   y      2x  y    x2  2x   x  hay x  x2  2x   x 1 Ta có y   x 1  x  x x  hay  x    x 1 nên có đồ thị giữ nguyên đồ thị  C  phần phía Ox lấy đối xứng phần phía Ox qua Ox Bài toán Cho hàm số y  mx  mx  1 x 1 a) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1) b) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m  Suy đồ thị hàm số y  x2  x  x 1 Giải a) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định đồ thị (1):   m x02  x0  mx02  mx0  y0  , m  y0  , m x0  x0   x02  x0  0, x0   x       y0  1  y0  x    Vậy đồ thị luôn qua M  0; 1 b) Khi m  y  x2  x  1  x x 1 x 1  Tập xác định D  R \ 1  Sự biến thiên y    x2  2x  x  1  x  1 2 , y   x  0, x  lim y  , lim y   nên TCĐ: x  x 1 x 1  nên TCX: y  x x  x  lim  y  x   lim x  Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến  ;0  ,  2;   , nghịch biến  0;1 , 1;2  Hàm số đạt CĐ  0; 1 , CT  2;3  Đồ thị Ta có y  x2  x  x 1 hàm số chẵn nên đồ thị  C   đối xứng qua Oy Khi x  lấy phần đồ thị  C  , sau lấy đối xứng phần qua Oy đồ thị C   Bài toán Cho hàm số y  x   m  1 x  1 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m  b) Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2  3 Giải a) Khi m  y  x2  x   x   1 x x 1  Tập xác định D  R \ 1  Sự biến thiên: y  1   x  1  x2  2x   x  1 y   x  1 x  lim y  , lim y   nên TCĐ: x  x 1 x 1   4  nên TCX: y   x  x  x  lim y    x    lim x  Bảng biến thiên Hàm số đồng biến  1;1 , 1;3 , nghịch biến  ; 1 ,  3;   Hàm số đạt CĐ  3; 7 , CT  1;1  Đồ thị: Cho x   y  Tâm đối xứng I 1; 3 b) D  R \ 1 Ta có y  x2  2x  m  1  x  y   x  x  m   0, x      m  2  m  Hàm số đạt cực trị x1 , x2 x1 x2  3   m   3  m  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Cho hàm số y  x  x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số b) Chứng minh  C  có tâm đối xứng HD-ĐS a)  Tập xác định: D  R \ 2  Sự biến thiên: Tiệm cận đứng x  2 lim y  , lim y   x    x    Tiệm cận ngang y  1 xlim y  1;  y  4  x  2 Bảng  0, x  2 biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2   2;    Đồ thị: Cho x   y  1; y   x  b) Tiệm cận đứng x  2 Tiệm cận ngang y  1 Chuyển trục đến giao điểm tiệm cận I  2; 1 Kết I  2; 1 Bài tập 2: Cho hàm số y  3x  x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Suy đồ thị y  3x  x 1 HD-ĐS a) y   x  1  0, x  D Bảng biến thiên  3x  3x  0  3x   x  x  b) y   x   3x  3x   0  x  x 1 Đồ thị giữ nguyên phần trục hồnh, phần cịn lại lấy đối xứng qua trục hoành Bài tập 3: Cho hàm số y  3mx  mx  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m  b) Tìm điểm cố định hàm số HD-ĐS a) Khi m  hàm số y  3x  x 1 Tiệm cận đứng x  Tiệm cận ngang y  y'  1  x  1  0, x  Hàm số khơng có cực trị BBT b) Gọi M  x; y  điểm cố định hàm số: y 3mx  vợi m mx   3mx    mx  1 y với m   3x  xy  m  y   với m Kết M  0;2  Bài tập 4: Cho hàm số y  xm (với m tham số) x 2 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m  b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có môt điểm cách hai trục tọa độ, đồng thời hoành độ tung độ điểm trái dấu HD-ĐS a) Khi m  y  x 1 x 2 tiệm cận đứng x  Tiệm cận ngang y  b) Gọi M  x; y  thuộc đồ thị cách trục: y  x   xm  x , x2 x 2 xm xm  x   x, x  x 2 x 2 Vì hồnh độ tung độ điểm trái dấu nên chọn: xm   x, x  x 2 Kết m   Bài tập 5: Cho hàm số y  x  x  2m  Cm  x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m  b) Tìm m cho hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số HD-ĐS a) Khi m  hàm số y  x2  2x  x 1 Tiệm cận đứng x  Tiệm cận xiên y  x  b) Tập xác định D  R \ 1 y  x  x   2m  x  1 Công thức khoảng cách điểm: AB  Kết m  x  x A    yB  y A  B 13 x2  4x  Bài tập 6: Cho hàm số y  x 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số b) Tìm giá trị m để phương trình: x  x   m  x   có nghiệm dương phân biệt HD-ĐS a) Tập xác định D  R \ 2 Tiệm cận đứng x  Tiệm cận xiên y  x  y  x2  4x   x  2  với x  nên hàm số đồng biến khoảng  ;2   2;   Bảng biến thiên: b) Xét x  phương trình vơ nghiệm Xét x  phương trình x2  4x  x 2  m x2  4x  x2  4x  Dùng đồ thị y  suy đồ thị: y  x 2 x 2 Kết m   Bài tập 7: Cho hàm số: y  x  3x (m tham số) xm a) Khảo sát hàm số (1) m  1 b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến 1;   HD-ĐS a) Khi m  1 hàm số: y  x  3x x 1 Tiệm cận đứng x  1 Tiệm cận xiên y  x  b) Tập xác định D  R \ m Hàm số (1) đồng biến 1;   y  với x  Chú ý x  m nên m  Kết 1  m  Bài tập 8: Cho hàm số: y  2x2  x  x 1 C  a) Khảo sát vẽ đồ thị  C  b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M đồ thị  C  đến hai đường tiệm cận ln số HD-ĐS a) Tập xác định D  R \ 1 Ta có y  2x2  x   2x 1 x 1 x 1 b) Hai tiệm cận x  1 y  x  Khoảng cách từ điểm M0  x0 ; y0  đến đường thẳng    : Ax  By  C  : d  Kết d1 d2  số Ax0  By0  C A B ... biến thi? ?n: Ta có lim y   lim y   x 1 x 1 Do đường thẳng x  ti? ??m cận đứng y  lim y  nên đường thẳng y  ti? ??m cận ngang Vì xlim  x  Ta có y ''   x  1  0, x  Bảng biến thi? ?n... Bước 2: Chiều biến thi? ?n - Tính giới hạn - Tìm ti? ??m cận đứng ti? ??m cận xiên - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thi? ?n khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực ti? ??u Bước 3: Vẽ đồ... Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) b) Tìm điểm (C) có tọa độ số nguyên Giải a) ● Tập xác định D  ● Sự biến thi? ?n: lim y  , lim y   nên ti? ??m cận đứng: x  Ta có xlim y  nên ti? ??m  x 1