KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 2/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước 1 Tập xác định Tìm tập xác định Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2 Chiều biến thiên Tính c[.]
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 2/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung khảo sát vẽ đồ thị: Gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn - Tìm tiệm cận đứng tiệm cận xiên - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận đứng tiệm cận xiên ax bx c Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y a 0, a 0 ax b II Ví dụ minh họa x2 Bài toán Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số: y x Giải ● Tập xác định D R \ 0; y x hàm số lẻ x ● Sự biến thiên: lim , lim nên đường thẳng x tiệm cận đứng x 0 x 0 nên đường thẳng y x tiệm cận xiên x x lim y x lim x Ta có: y x2 ; y x 2 x2 x2 BBT Hàm số đồng biến khoảng ; 2 2; , nghịch biến khoảng 2; 0;2 Hàm số đạt cực đại điểm x 2, yCÑ 4 Hàm số đạt cực tiểu điểm x 2, yCT ● Đồ thị: Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận O 0; Bài toán Khảo sát vẽ đồ thị C hàm số: y 1 x2 x Giải Ta có y x2 x x x Tập xác định: D R \ 0 Hàm số lẻ Sự biến thiên: TCĐ: x , TCX: y x y 1 0, x D x2 Bảng biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng ; 0; Đồ thị: y x 1 Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận O 0; Bài toán Cho hàm số y x2 2x x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x x m2 2m x 1 Giải x2 2x a) y x 1 x 1 x 1 Tập xác định D R \ 1 Sự biến thiên: y x2 2x , y x 1, x 3 x 1 x Ta có lim y , lim y nên TCĐ: x 1 x 1 x 1 nên TCX: y x x x lim y x 1 lim x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến ; 3 , 1; , nghịch biến 3; 1 , 1;1 Hàm số đạt CĐ 3; 4 , CT 1; Đồ thị: Cho x y Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận I 1; b) Vì x 1 khơng nghiệm nên phương trình cho tương đương với: x2 2x m2 2m x 1 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số x2 2x với đường thẳng y m2 2m y x 1 Phương trình có hai nghiệm dương khi: m 1 m 2m 2 m Bài toán Cho hàm số y x2 2x x 2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số b) Tìm điểm C có tọa độ số nguyên Chứng minh đồ thị C có tâm đối xứng Giải a) Ta có y x x 2 Tập xác định D R \ 2 Sự biến thiên: lim y lim y nên TCĐ: x x 2 lim y x lim x y x x 2 x 2 nên TCX: y x x 2 với x Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến khoảng ;2 2; Đồ thị: Cho x y y x 1, x b) Điểm M x; y C có tọa độ nguyên x ước số của nên x 1, Do C có điểm có tọa độ nguyên: 1; , 3; , 1; 5; Giao điểm tiệm cận I 2;2 chuyển trục phép tịnh tiến vectơ x X OI : y Y Đồ thị C : Y X Vì Y F X : X 3 Y X X X 2 hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc I 2;2 làm tâm đối xứng X Bài toán Cho hàm số y x2 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tính góc tiệm cận b) Biện luận m số nghiệm PT: x m2 x m Giải a) Hàm số y x x Tập xác định D R \ 0 Hàm số lẻ Sự biến thiên: y x2 1 , y x 1 x x2 lim y , lim y nên TCĐ: x x 0 x 0 lim y x lim x x nên TCX: y x x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến ; 1 , 1; , nghịch biến 1; , 0;1 Hàm số đạt CĐ 1; 2 , CT 1;2 Đồ thị: Đối xứng qua gốc O TCĐ: x , TCX: y x nên hai tiệm cận hợp góc 45 b) Khi m PT vơ nghiệm Khi m số nghiệm phương trình y đường thẳng y m2 f (m) số giao điểm đồ thị với m m2 f (m) m Dựa vào đồ thị ta có: Nếu m2 2 m m2 2 m m 0, m 1 , PT có nghiệm Nếu m2 2 m m2 2 m m 1 m PT có nghiệm Bài toán Cho hàm số y x2 2x có đồ thị C x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị C b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị C suy đồ thị y x2 2x x 1 Giải a) Tập xác định D R \ 1 Ta có y x x 1 Sự biến thiên: y x 1 x2 2x x 1 , y x lim y , lim y nên TCĐ: x x 1 x 1 nên TCX: y x x x lim y x 3 lim x Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến ;1 , 3; , nghịch biến 3;0 , 0;1 Hàm số đạt CĐ 3; , CT 3; Đồ thị: y x x 2 b) Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị là: A 3;4 B 3;4 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị đường thẳng d có vectơ phương u AB 1;2 qua điểm A nên có phương trình: x 1 y x y x2 2x x hay x x x x Ta có y x 1 x x x hay x x nên có đồ thị giữ nguyên đồ thị C phần phía Ox lấy đối xứng phần phía Ox qua Ox Bài tốn Cho hàm số y mx mx 1 x 1 a) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số (1) b) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m Suy đồ thị hàm số y x2 x x 1 Giải a) Gọi M x0 ; y0 điểm cố định đồ thị (1): m x02 x0 mx02 mx0 y0 , m y0 , m x0 x0 x02 x0 0, x0 x y0 1 y0 x Vậy đồ thị luôn qua M 0; 1 x2 x 1 b) Khi m y x x 1 x 1 Tập xác định D R \ 1 Sự biến thiên y x 1 x2 2x x 1 , y x 0, x lim y , lim y nên TCĐ: x x 1 x 1 nên TCX: y x x x lim y x lim x Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến ; , 2; , nghịch biến 0;1 , 1;2 Hàm số đạt CĐ 0; 1 , CT 2;3 Đồ thị Ta có y x2 x x 1 hàm số chẵn nên đồ thị C đối xứng qua Oy Khi x lấy phần đồ thị C , sau lấy đối xứng phần qua Oy đồ thị C Bài toán Cho hàm số y x m 1 x 1 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m b) Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 3 Giải a) Khi m y x2 x x 1 x x 1 Tập xác định D R \ 1 Sự biến thiên: y 1 x 1 y x 1 x x2 2x x 1 lim y , lim y nên TCĐ: x x 1 x 1 4 nên TCX: y x x x lim y x lim x Bảng biến thiên Hàm số đồng biến 1;1 , 1;3 , nghịch biến ; 1 , 3; Hàm số đạt CĐ 3; 7 , CT 1;1 Đồ thị: Cho x y Tâm đối xứng I 1; 3 b) D R \ 1 Ta có y x2 2x m 1 x y x x m 0, x m 2 m Hàm số đạt cực trị x1 , x2 x1 x2 3 m 3 m ... nguyên x ước số của nên x 1, Do C có điểm có tọa độ nguyên: 1; , 3; , 1; 5; Giao điểm ti? ??m cận I 2;2 chuyển trục phép tịnh ti? ??n vectơ x X OI : y Y Đồ... lẻ Sự biến thi? ?n: TCĐ: x , TCX: y x y 1 0, x D x2 Bảng biến thi? ?n Hàm số nghịch biến khoảng ; 0; Đồ thị: y x 1 Tâm đối xứng giao điểm ti? ??m cận O 0;... Bảng biến thi? ?n Hàm số đồng biến ; 1 , 1; , nghịch biến 1; , 0;1 Hàm số đạt CĐ 1; 2 , CT 1;2 Đồ thị: Đối xứng qua gốc O TCĐ: x , TCX: y x nên hai ti? ??m cận