Giáo án Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số43216

GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHƯƠNG : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ CẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1: QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f/(x) > x  I hàm số f đồng biến khoảng I b) Nếu f/(x) < x  I hàm số f nghịch biến khoảng I c) Nếu f/(x) = x  I hàm số f lấy giá trị không đổi khoảng I Ví du 1ï: Chứng minh hàm soá : a) f(x) = x3 – 6x2 + nghịch biến đoạn [ ; ] b) f(x) = - x3 + 3x + 10 Ví du 2: Xét chiều biến thiên hàm số : a) y = x + b) y = x x – 2x2 + x – 3 10 d) y = 2x5 + 5x4 + x – 3 c) y = x –x + 2x – 3 Bài tập tự luận: Bài 1: Chứng minh : a) Hàm số y = x3 + x – 11 đồng biến R b) Hàm số y = sin2x – x + 11 nghịch biến R c) Hàm số y = x 1 nghịch biến khoảng ( ; +  ) d) Hàm số y = 3x3 – 6x2 + 4x – đồng biến R x2 đồng biến khoảng xác định x2  x  2x  f) Hàm số y = nghịch biến khoảng xác định x 1 3 g) Hàm số y = x5 – x4 + x3 – đồng biến R e) Hàm số y = h) Hàm soá y = x3 + x – cosx – đồng biến R i) Hàm số y = x + sinx cosx - 10 đồng biến R j) Hàm số y = x – sinx đồng biến khoảng [ ; +  ) Bài 2: Xét chiều biến thiên hàm số : a) y = x2 + 3x + b) y = x3 – 2x2 + x + c) y = x + x d) y = x - -1DeThiMau.vn x GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ e) y = x4 – 2x2 – f) y = x4 + x3 – 11 g) y = 3x3 – 3x2 + x – 12 h) y = x4 – x3 + 2x2 – x + 3 1 x x  8x  k) y = m) y = 2 x x5 1 n) y = 2x – i) y = x3 2 x Bài tập trắc nghiệm: §2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Hàm số f có tập xác định D x0  D x0 điểm cực trị hàm số f  f/(x0) = * Xác định điểm cực đại cực tiểu hàm số Cách 1:  Nếu f//(x0) < x0 điểm cực đại  Nếu f//(x0) > x0 điểm cực tiểu Cách 2: Lập bảng biến thiên , dựa vào bảng biến thiên để kết luận Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm số : x – x2 – 3x + 3 c) f(x) = x4 – 2x2 + a) f(x) = b) f(x) = x + -5 x d) f(x) = x  x Bài tập tự luận: Bài 1: Tìm cực trị hàm số : x + 2x2 + 3x – d) f(x) = x + x x  3x  f) f(x) = x 1 x h) f(x) = x 1 a) f(x) = x2 – 3x + b) f(x) = x – x2 + 2x – 10 1 e) f(x) = x5 – x3 c) f(x) = g) f(x) =  x Bài 2: Tìm hệ số a, b, c, d hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Sao cho haøm số đạt cực tiểu điểm x = ; f(0)= đạt cực đại điểm x = ; f(1) = -2DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 3: Tìm hệ số a, b, c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị điểm x = - đồ thị hàm số qua điêm A( ; ) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ §3: Định nghóa : Giả sử hàm số f(x) xác định tập hợp số thực D a) Nếu tồn điểm x0  D cho f(x)  f(x0 ) , x0  D số M = f(x0 ) đgl GTLN hàm số f tập D kí hiệu: M = max f ( x) xD b) Nếu tồn điểm x0  D cho f(x)  f(x0 ) ,  x0  D số m = f(x0 ) đgl GTNN hàm số f tập D kí hiệu: m f ( x) = xD Chú ý: Muốn tìm GTLN GTNN hàm số khoảng ( đoạn ) ta lập bảng biến thiên khoảng ( đoạn tính giá trị đầu mút ) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Ví dụ: Tìm GTLN GTNN hàm số : a) f(x) = b) f(x) = x3 – 3x + đoạn [- 3;  x2 c) f(x) = x + x 1 khoảng ( ; +  ) Bài tập tự luận: Tìm GTLN GTNN hàm số sau: a) f(x) = x2 +2x – ñoaïn [ - ; ] x3 + 2x2 + 3x – đoạn [ - ; ] c) f(x) = x + treân khoaûng ( ; +  ) x b) f(x) = d) f(x) = - x2 + 2x + đoạn [ 2; ] x  5x  đoạn [ ; ] x2 f) f(x) = x – đoạn ( ; ] x e) f(x) = -3DeThiMau.vn ] GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ Định nghóa : 1) Đường thẳng y = y0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc tiệm cận ngang ) đồ thị hàm số y = f(x) lim f ( x)  y lim f ( x)  y x   x   2) Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc tiệm cận đứng ) đồ thị hàm số y = f(x) lim f ( x)   x  x0 f ( x)   xlim x Chú ý: Cách tìm tiệm cận 1) Muốn tìm tiệm cận đứng ta giải phương trình mẫu số không tìm nghiệm ( VD:hàm số f(x) = x  5x  có tiệm cận đứng x = - ) x2 2) + Hàm số có bậc tử = bậc mẫu tiệm cận ngang y = hệ số bậc cao chia ( VD: hàm số y = 1 x có tiệm cận ngang y = - ) 2 x + Hàm số có bậc tử < bậc mẫu tiệm cận ngang y = + Hàm số có bậc tử > bậc mẫu tiệm cận ngang Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số sau: a) y = c) y = 2x  x2 x2  x 1  3x 1 x2 x2 1 d) y = x 1 b) y = Bài tập tự luận: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số sau: x2 3x  c) y = – x  2x  x3 d) y = + x f) ) y = x 1 a) y = b) y = 2x x  11x  10 g) y =  x2 e) y = h) y = -4DeThiMau.vn 2 x  32 GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  3x x i) y = j) y = x2  x m) y =  x2 1 k) y = x  5x  §5:     x2   3x n) y = 1 x2 x2 1 l) y = x TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA HÀM SỐ f//(x) > ,  x  ( a; b ) = > đồ thị hàm số f(x) lõm  x  ( a; b ) f//(x) < ,  x  ( a; b ) = > đồ thị hàm số f(x) lồi  x  ( a; b ) f//(x0) = = > x0 điểm uốn Điểm uốn trung điểm cực đại cực tiểu Bài tập 1: Tìm khoảng lồi ,lõm điểm uốn đồ thị hàm số sau : x  3x  2 a) y = 2x3 – 6x2 + 2x b) y = x2  x  x x x2 e) y =  2 d) y = x3 + 6x – c) y = f) y = 3x5 – 5x4 + 3x – Bài tập 2: Tìm a b để đồ thị hàm số y = x3 – ax2 + x + b nhận điểm I ( 1; ) làm điểm uốn Bài tập 3: Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 – ax2 + a) có hai điểm uốn b) điểm uốn Bài tập 4: chứng minh đường cong y = đường thẳng -5DeThiMau.vn x 1 có điểm uốn nằm x2 1 GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §6: PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ  OI Công thức chuyển hệ toạ độ: Tịnh tiến theo vectơ M(x; y) hệ toạ độ Oxy M( X; Y) hệ toạ độ IXY Với I( x0;y0) M  ( )  y = f(x) hệ toạ độ Oxy M  ( )  Y + y0 = f( X + x0 ) hệ toạ độ IXY  x  X  x0   y  Y  y0 Ví du1 ï: Cho ( P ):y = x2 + 2x – a) Xác định toạ độ đỉnh ( P )  b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( P )đối với toạ độ IXY Ví du2 ï: Cho ( P ):y = 2x2 – 4x a) Xác định toạ độ đỉnh ( P )  b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( P )đối với toạ độ IXY Ví du ï: Cho ( H ):y = 2x  x 1 a) Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị ( H )  b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY Ví du ï: Cho ( H ):y = x 1 x2 a) Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị ( H )  b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY Bài tập tự luận: Bài 1: Xác định toạ độ đỉnh ( P ) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh  tiến theo vectơ OI viết phương trình ( P )đối với toạ độ IXY a) y = 2x2 – 3x + b) y = x – 4x2 Bài 2: -6DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị ( H ) hàm  số Viết công thức chuyễn hệ trục toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY a) y = 3x  x 1 b) y = 1 x 1 Baøi 3:  x  x 1 Nếu a) Vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = f(x) =   x  10 x  Nếu x  b) Chứng minh khoảng ( -  ; ) đồ thị ( C ) nằm phí đường thẳng y = 2x lhoảng ( ; +  ) đồ thị ( C ) nằm phí đường thẳng c) Từ đồ thị ( C ), cách vẽ đồ thị hàm số y = - f(x) vaø y = | f(x) | Baøi 4: Cho hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – ( C ) a) Xác định điểm I ( x0; y0 ) thuộc đồ thị ( C ) hàm số cho , x = x0 nghiệm phương trình f// (x) =  b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY c) Từ , suy điểm I tâm đối xứng đường cong ( C ) §7: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác định xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn hàm số ( có ) Bước 2: Xét biến thiên hàm số  Tìm giới hạn vô cực đường tiệm cận hàm số ( có )  Lập bảng biến thiên hàm số từ suy hàm số đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu , lồi , lõm , điểm uốn ( Nếu có ) Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số  Vẽ đường tiệm cận hàm số ( có )  Tìm giao điểm với trục toạ độ ( Nếu đồ thị không cắt trục toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua )  Tìm số điểm khác , điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ thị xác -7DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 – 9x – b) y = – x3 + 3x2 – 4x + * Các kiến thức thường Định nghóa giá trị tuyệt đối :  A A   A sử dụng: Định lý bản: B  A B A  B A0 A0 Một số tính chất đồ thị: a) Đồ thị hai hàm số y= f(x) y= -f(x) đối xứng qua trục hoành b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng * Ba dạng bản: Bài toán tổng quát: (C1 ) : y  f ( x)  Từ đồ thị (C): y = f(x), suy đồ thị hàm số sau: (C ) : y  f ( x )  (C ) : y  f ( x) Daïng 1: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x)  (C1 ) : y  f ( x) Cách giải  f ( x) f(x)  (1) B1 Ta coù : (C1 ) : y  f ( x)   (2)  f ( x) f(x)  B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) )  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) )  Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1) Minh họa y y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 y=x3-3x+2 6 y = x3-3x+2 (C1 ) : y  x  x  2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 y = x -3x+2 y=x3(C): -3x+2 -2 -2 -1 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -8DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 2: Từ đồ thị (C ) : y  f ( x)  (C ) : y  f ( x) ) ( hàm số chẵn) Cách giải    (1)  f ( x) neáu x  B1 Ta coù : (C ) : y  f ( x) )   (2)  f ( x) x  B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) ) Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do tính chất hàm chẵn ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta đượ (C2) Minh hoïa: y y x y=x3-3x+2 y y f(x)=x^3-3*x+2 8 6 4 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 y = x3-3x+2 (C2 ) : y  x  x  2 x x x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y=x3-3x+2 (C ) : y  f ( x)  (C ) : y  f ( x) -2 Daïng 3: -8 -2 (C): y = x3-3x+2 Từ đồ thị -4 -4 -6 -6 -8 -8 Cách giaûi  f ( x)   B1 Ta coù : (C ) : y  f ( x)   y  f ( x)  y   f ( x)  (1) (2) B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C3) sau:  Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) )  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) )  Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C3) Minh họa: y y y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=-(x^3-3*x+2) 8 y=x3-3x+2 y = x3-3x+2 (C3 ) : y  x3  3x  x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x x -2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 3-3x+2 (C): y = x -3x+2 y=x -6 -2 -4 -8 -6 -9DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số : y   x  x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau: a) y   x  3x b) y   x  x c) y   x  x x 1 (1) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau: x 1 x 1 x 1 x 1 a) y  b) y  c) y  d) y  x 1 x 1 x 1 x 1 Bài 2: Cho hàm số : y  e) y  x 1 x 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 2.BÀI TOÁN : Bài toán tổng quát: (C ) : y  f(x) Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :  (C2 ) : y  g(x) y y y M1 y1 (C1 ) y (C1 ) M2 (C ) M0 x x x1 O O x x2 O (C ) (C ) (C1) (C2) điểm chung (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp xúc Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1) * Khảo sát nghiệm số phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: (C1 ) Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) - 10 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chú ý : * (1) vô nghiệm  (C1) (C2) điểm điểm chung * (1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung Chú ý : * Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0) y y0 x x0 O Áp dụng: 2x  đường thẳng (d ) : y  3 x  x 1 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y  Minh họa: y f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t)=-1 , y(t)=t 15 f(x)=2 ` 10 -20 -15 -10 (C ) : y  -5 -5 10 2x  x 1 15 x 20 25 -10 -15 -20 (d ) : y  3 x  b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : Định lý : f(x)  g(x) (C1) tiếp xúc với (C2)  hệ :  ' có nghiệm ' f (x)  g (x) - 11 DeThiMau.vn y (C1 ) M x O (C )  GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Áp dụng:  x  2x  Ví dụ: Cho ( P) : y  x  x  vaø (C ) : y  Chứng minh (P) (C) tiếp xúc x 1 Minh họa: y f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1) 15 (C ) (P ) 10 x -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 -5 -10 -15 BAØI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số y  ( x 1)( x mx m) (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt x 3 x (C) Bài 2: Cho hàm số y  Gọi (d) đườngthẳng qua điểm M(0;-1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y  x  x  (C) Gọi (d) đườngthẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt x mx m (1) Bài : Cho hàm số y  Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt x 2 x (1) Bài 5: Cho hàm số y  x 2 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt x2  x 1 Bài 6: Cho hàm số y  (1) x 1 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt x 4 x Bài 7: Cho hàm số y  x2 Tìm giá trị m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị mx x m Bài 8: Cho hàm số y  (1) x 1 - 12 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành t hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dương x mx (1) Bài 9: Cho hàm số y  x 1 Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho OA  OB x mx Baøi 10: Tìm m để tiệm cận xiên hàm số y  cắt trục toạ độ hai điểm A,B x 1 cho diện tích tam giác OAB x2  Bài 11: Cho hàm số y  x 1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2; ) cho (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân A,B M trung điểm AB  x  3x  (1) Bài 12: Cho hàm số y  2( x  1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A,B cho AB=1 ( x 1)( x mx m) (1) Bài 13: Cho hàm số y  Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành Xác định tọa độ tiếp điểm trường hợp tìm x2  x 1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) tiếp xúc Bài 14: Cho hàm số y  x 1 với đồ thị hàm số x  3x  Bài 15: Cho hàm số y  (C) x2 Tìm (C) tất cặp điểm đối xứng qua điểm I ( ;1) 2 x  2x  Bài 16: Cho hàm số y  (C) hai đường thẳng (d1 ) : y   x  m & (d ) : y  x  x 1 Tìm tất giá trị m để (C) cắt (d1) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua (d2) Bài 17: Cho hàm số y  x  (1) x Chứng minh đường thẳng (d ) : y  x  m cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB, tìm m để I nằm đường thẳng () : y  x  - 13 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3.BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ; y )  (C) y (C): y=f(x) y0 M  x x0 Phương pháp: - 14 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm y0=f(x0) k : hệ số góc tiếp tuyến tính công thức : k = f'(x0) Áp dụng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  taïi điểm uốn `b Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho y (C): y=f(x) trước  y0 M x x0 Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) laø tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f ' ( x0 )  k , từ suy y0  f ( x0 ) =? Bước 3: Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước y y (C): y=f(x) 1 2 ka y  ax  b (C): y=f(x)  x k  1 / a O x  : y  ax  b Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc (  ) là: - 15 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ k  a Định lý 2: Nếu đường thẳng (  ) qua hai điểm A( x A ; y A ) B(x B ; yB ) với x A  x B hệ số góc (  ) laø : k  yB  y A xB  x A Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) (  // k 1 k  k 1 k 2) Khi đó: Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): y  x x 2x 3 Vieát phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2 x2  Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y  x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng () : y  3 x c Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA) y O (C ) : y  f ( x) A( x A ; y A ) x  : y  y A  k(x  xA )  y  k(x  xA )  y A Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (  ) qua A có hệ số góc k công thức: y  yA k( x x A ) y k ( x x A ) y A (*) Bước 2: Định k để (  ) tiếp xúc với (C) Ta có: f(x)=k(x-x A )  y A  tiếp xúc (C) hệ  ' có nghiệm (1) f ( x )  k - 16 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm Áp dụng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) 2x  Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y  x 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C) hàm số y  x  x  x điểm uốn chứng minh  tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ x2  x 1 Bài 2: Cho đường cong (C): y  x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng () : y  x  x  3x  Bài 3: Cho hàm số y  (C) x 1 Tìm đồ thị (C) điểm mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d ) : y  x x x Bài 4: Cho đường cong (C): y  x 1 Tìm điểm (C) mà tiếp tuyến với (C) vuông góc với tiệm cận xiên (C) x2  x 1 (C) Bài 5: Cho hàm số y  x 1 Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến điểm với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) m (Cm) Bài 6: Cho hàm số y  x  x  3 Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;-7) 4.BÀI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ - 17 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cơ sở phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2):y=g(x) y (C1 ) (C ) x x0 Daïng : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : Phương pháp: Bước 1: Xem (*) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thò: (C ) : y f ( x ) : (C) đồ thị cố định  ( ): y m : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) (  ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (  ) (C) Từ suy số nghiệm phương trình (*) (C ) : y  f ( x) Minh hoïa: y m2 x O m1  - 18 DeThiMau.vn (0; m) ym f(x) = m (*) GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 2: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phương pháp: Đặt k=g(m) Bước 1: Xem (**) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: (C ) : y f ( x ) : (C) đồ thị cố định  ( ): y k : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;k) Bước 2: Vẽ (C) (  ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm (  ) (C) Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy m Từ kết luận số nghiệm phương trình (**) y Minh hoïa: K2 O M1  K (0; k ) x yk Áp dụng: Ví dụ: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  12 x  2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x  12 x   m  3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  x  12 x  m BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x2 x2 m m a b x 1 x 1 Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3 x k 3k Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x  3mx Bài :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  x 2m x - 19 DeThiMau.vn GIẢI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:  x 3 x 2 log2 m Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm phương trình : e3 x  2e x 3e x m Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: t 91  (a 2).31 t2 2a HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN 5: BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y  f ( x, m) ( m tham số ) Biện luận theo m số đường cong họ (C m ) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y ) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong (C m ) qua điểm M ( x0 ; y )  y  f ( x , m) (1) Xem (1) laø phương trình theo ẩn m Tùy theo số nghiệm phương trình (1) ta suy số đường cong họ (Cm) qua M0 Cụ thể:  Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt có n đường cong họ (Cm) qua M0  Nếu phương trình (1) vô nghiệm đường cong họ (Cm) không qua M0  Nếu phương trình (1) nghiệm với m đường cong họ (Cm) qua M0 Trong trường hợp ta nói M0 điểm cố định họ đường cong (C m ) Áp dụng: Ví dụ: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y   x  m   m2 Tìm m để tiệm cận xiên (Cm) xm qua điểm A(2;0) Ví dụ: Cho hàm số y  x  3mx  x  (1) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y=x+1 TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y  f ( x, m) ( m tham số ) Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Goïi M ( x0 ; y ) điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) qua Khi phương trình: y  f ( x0 , m) nghiệm  m - 20 DeThiMau.vn (1) ... TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số : y   x  x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm. .. phân biệt thuộc nhánh đồ thị mx x m Bài 8: Cho hàm số y  (1) x 1 - 12 DeThiMau.vn GIAÛI TÍCH 12 – C I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT` VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục... đối xứng đường cong ( C ) §7: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác định xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hoàn hàm số ( có ) Bước 2: Xét biến thiên hàm