Goc giua hai duong thang

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG I Phương pháp giải 1 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a , b lần lượt song song với[.]

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG I Phương pháp giải Định nghĩa góc hai đường thẳng Trong khơng gian cho đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a  , b song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a  b khơng thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a  b qua điểm song song với a b Cách xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b u; v   góc đường thẳng a b     90 180     90    180 Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0 Góc đường thẳng góc có số đo    90 Phương pháp tính góc hai đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng không gian cần nhớ công thức sau: AB2  AC2  BC2 ■ Định lý hàm số cosin tam giác ABC: cos BAC  2.AB.AC Tương tự ta có: cos ABC  BA  BC2  AC2 CA  CB2  AB2 cos ACB  2.BA.BC 2.CA.CB Chú ý: AB.AC  AB.AC cos BAC  AB2  AC  BC   ■ Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào   công thức cos AB;CD  AB.CD AB CD  cos  AB;CD   AB.CD từ suy góc hai đường AB CD thẳng AB CD II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA   ABC SA  a Gọi M, N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải a Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM  CE  Khi AE / /CM   AE; CM    AN; AE    Mặt khác SC  SA2  AC2  2a  độ dài đường trung tuyến AN AN  SC a  a.AE  CM  2 Do ABC nên CM  AM  AMCE hình chữ nhật Khi CE  AE mà CE  SA  CE  SAE   CE  SE SEC vuông E có đường trung tuyến EN  SC  a Ta có: cos NAE  AN  AE  NE 3    cos   2.AN.AE 4 Cách 2: Ta có: AN     1 AS  AC ;CM  AM  AC  AB  AC 2  1 a 3a 1  Khi AN.CM  AS  AC  AB  AC   AB.AC  AC  a cos 60   2 2  Lại có: AN  SC a  a;CM   cos   2 3a a a  Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  a;AC  a BC  a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải Cách 1: Gọi M, N, P trung điểm SA, SB AC     MP / /SC  SC; AB  MP; MN  N / /AB Khi  Ta có: MN  AB a SC a  ; MP   2 2 Mặt khác SAC vuông S  SP  AC a  2 BA2  BC2 AC2 a BP    a  BP  2 PS2  PB2 SB2 3a a    NP  Suy PN  4 2 Khi cos NMP    MN  MP  NP    NMP  120    SC; AB  60 2.M N.MP   Cách 2: Ta có: AB  SB  SA  AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  1 a2 2 2 2 SB  SC  AC  SA  SC  AB     2  2 a 2 Suy cos SC; AB    SC; AB   60 a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB  x1 , CD  x ; AC  y1 , BD  y , BC  z1, AD  z Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải   Ta có: BC.DA  BC DC  CD  CB.CD  CB.CD  1 CB2  CD  BD    CB2  CA  AB2    AB2  CD  BD  CA   2 Khi cos  BC; DA   BC.DA BC.DA  x12  x 22  y12  y 22 2z1z         BC; AD   Đặc biệt: Nếu AB  CD  x; AC  BD  y BC  AD  z ta đặt   AB;CD ta có:     AC; BD  y2  z2 x  y2 z2  z2 cos   ;cos   ;cos   z2 x2 y2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh 2a, SA   ABCD  SB  a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng SM DN Lời giải ■ Cách 1: Do SA   ABCD  Ta có: SA  SB2  AB2  a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN / /BE / /MI Tacó: AM  a; AI  AE a  2 5a Mặt khác: SM  SA  AM  2a ;SI  5a SM2  MI2  SI2 10 MI  AI  AM  Do cosSMI    cos(SM; DN) 2.SM.MI 2   ■ Cách 2: Ta có: SM.DN  SM SN  SD  SM.SN  SM.SD = 1 SM  SN  MN    SM  SD  MD   2 Mặt khác: SN  SA  AN  SA  AB2  BN  6a , MN  Do SM.DN  2a  cos SM; DN   2a 2 SM.DN  AC  a 2,SD  5a , MD  5a 2a 10  a 2.a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a; AD  a 2, SA   ABCD  SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải a) Do BC / /AD  (SD; BC)  (SD; AD)  SDA SAD vuông A  cosSDA  AD AD   2 SD AD  SA b) Gọi M, K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK / /SB , mặt khác MC / /AI Suy (SB; AI)  (MK;CM) 3a SB SA  AB2 a   Ta có: MK  ; MC  MB2  BC  ; KC  KA2  AC2  2a 2 2 Khi cosKMC    KM + MC2  KC2 1   cos SB; AI  2.KM.MC 5   Cách khác: Ta có: SB.AI  SB SI  SA  SB.SI  SB.SA  1 SB2  SI  IB2    SB2  SA  AB2   2 Do SB2  5a ;SI  SA  AD2  DI  25a 3a ; AI  AD  DI   IB Suy SB.AI  SB.AI a2 a  cos SB; AI     SB.AI a 3a Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC  60 Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30 Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC, với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD) Lời giải a) Do AB  BC  a , ABC  60  ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH  AB  SAB    ABCD  Mặt khác   AB   SAB   ABCD  ABC nên CH   SH   ABC    a , SC;  ABC   SCH  30 a Ta có: SH  HC tan 30  Do ABC  60  BAD  120  HD  AH2  AD2  2AH.ADcos120  Suy SA  SH2  HA2  a , SD  SH  HD2  a Mặt khác AD / /BC   BC;SD    AD;SD  , cosSDA    Do cos BC;SD   a DS2  DA  SA  2.DS.DA  b) Ta có SC.DH  SC SH  SD  SC.SH  SC.SD  1 3a 2 2 2 SH  SC  HC  SC  SD  CD     2  3a SC; DH   Mặt khác: SC  SH  HC2  a  cos SC; DH   SC.DH 14 a a DH / /BI Cách khác: Gọi I trung điểm CD   a , gọi M trung điểm SD DH  BI    MI/ / SC a  2  SC a Lại có: BD  a ; SB  SH  HB  MI    2 Do BM2  BD2  BS2 SD2 5a MI2  IB2  MB2 17    cos MIB   4 2.IM.IB 14   Suy cos DH;SC  17 14 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  2AB  2CD  2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải a) Ta có: AC  AB2  BC2  a   Do SA   ABCD   SC;  ABC   SCA  60 Khi SA  AC tan 60  a Do AD / /BC   BC;SD    AD;SD  Mặt khác cos ADS   2a 6a  4a  AD AD  SD SA2  AD2 10  cos BC;SD  b) Gọi E trung điểm AD  AE  DE  BC  a  ABCE hình vng cạnh a Do CE  AD  ACD vng C Ta có: CD  CE2  ED2  a  ID    a Lại có: AI.SD  SI  SA SD  SI.SD  SA.SD  Trong AI2  AC2  CI2  SI  SD  DI   SA  SD  AD   2 5a 17a  SI  SA  AI  2 Do AI.SD  3a  cos  AI;SD   3a 3a   AI.SD a 10 MI / /SD a 10 SC Cách khác: Gọi M trung điểm SC   SD a 10 , AI  , AM   a  MI   2 IM  IA  AM  Khi MIA  2.IM.IA Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A xuống mặt đáy (ABC) trung với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính tan góc tạo BC AC b) Cosin góc tạo CC AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC Ta có: BC/ / BC   BC; AC    BC; AC   ACH   Mặt khác AH   ABC   AA;  ABC   AAH  60 AH  a 3a  AH  AH tan 60  2 Xét tam giác vuông AHC ta có: tan ACH  AH  HC Vậy  BC; AC   b) Do CC / /AA   CC; AB    AA; AB  Ta có: AA  AH2  HA2  a AB  AH2  HB2  a 10 AA2  AB2  AB2  cos AAB   2.AA.AB Vậy cos  CC;AB  ... SC a  a;CM   cos   2 3a a a  Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ... chữ nhật có AB  a; AD  a 2, SA   ABCD  SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải a) Do BC / /AD  (SD; BC)  (SD; AD)... a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB  x1 , CD  x ; AC  y1 , BD  y , BC  z1, AD  z Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải   Ta có: BC.DA  BC DC  CD  CB.CD  CB.CD  1 CB2  CD  BD 