Dang bai tap phuong trinh bac hai nghiem phuc

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC I Phương pháp giải Phương trình bậc hai nghiệm phức 2 0Az Bz C   với , ,A B C là các số phức, 0A  Lập biệt thức 2 4B AC   Nếu 0  thì phương trình có nghiệm ké[.]

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC I Phương pháp giải

Phương trình bậc hai nghiệm phức

20Az Bz C  với A B C, , là các số phức, A0Lập biệt thức: 24BAC 

Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép

2BzA

Nếu  0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1,22BzA Đặc biệt, nếu  là số thực 1,20 :2B izA    và 0 : 1,22B izA   Chú ý:

1) Khi  là số thực âm thì phương trình bậc 2 khơng có nghiệm thực

2) Ngồi cách giải tổng qt, ta có thể dùng biệt thức  thu gọn hoặc biến đổi dạng về phương trình thiếu B hoặc C:

220,0Az Bz Az  C3) Phương trình bậc hai: 20Az Bz C Nếu có A B C  0 thì có nghiệm z1Nếu có A B C  0 thì có nghiệm z 1 II Ví dụ minh họa

Bài tốn 1 Giải phương trình trong tập số phức: a) 22100z  z b) 21 0z   zGiải a) Phương trình bậc hai 22100z  z có  21 109 3i    

Vậy phương trình có hai nghiệm z1  1 3 ,i z2   1 3i

b) Phương trình bậc hai 2

1 0

z   z có  2

1 43 i 3

     

Vậy phương trình có hai nghiệm 1,2 1 3

2

iz   

Bài tốn 2 Giải phương trình trong tập số phức: a) 2

70

z  z b) 2

100

Trang 2

Giải a) Phương trình bậc hai 2 

70700

z  z z z  z hay z 7

Vậy phương trình có hai nghiệm z10, z2 7

b) Phương trình bậc hai  2

22

1001010

z  z    i

Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  i 10

Bài tốn 3 Giải phương trình trong tập số phức:

a) 2  2 2740z i z i  b) 2 1 32 10z   i z iGiải a) 2  2 2740z i z i  2  22 i 74i 44i

     nên  có 2 căn bậc hai là 2i

Do đó: z12 i  2i  2 i z,22 i  2i  2 3i

Vậy phương trình có hai nghiệm z1 2 i z, 2  2 3i

b) 2 1 32 10z   i z i2 21 3i 8 1 i 2i 1 i    

nên phương trình có hai nghiệm là:

  12111 312 ,1 31122z    ii  i z    ii   i Bài tốn 4 Tìm các nghiệm phức của phương trình:

a) 2 2z 2 5 2 i z28 4 i 0 b) 2 3 41 50z   i z  iGiải a) 2 5 2i 2 28 4i 35 12i    

Ta tìm các căn bậc hai xyi của 2 2 2 35

:35 12212xyxyiixy      Ta có: x2y2352122136937

Do đó giải được 2 căn bậc 2 là:  1 6i

nên phương trình có 2 nghiệm: z1 3 4i và z2 2 2i

b) 2 2

3 4i 41 5i 3 4i 1 2i

Trang 3

 có hai căn bậc hai là  1 2i nên phương trình có hai nghiệm là:   123 41 23 41 21,2 322iiiiz   i z   i  

Bài toán 5 Giải các phương trình nghiệm phức: a) 2 3 150z i z i b) 22iz 3z  4 i 0Giải a) Phương trình 2 3 150z i z i có biệt thức 2   29 1 i 20i 9 2i 20i 2i 1 i    Hai nghiệm    13 1122iiz    i      23 111 22iiz    i  Kết quả z  2 i và z  1 2ib) 22iz 3z  4 i 0 29 8 4ii 9 32i 8i 17 32i    

Ta tìm các căn bậc hai a bi với a b, của 

222 22256171717 3216232aabaa biiabba      

Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:

11313 1711313 1711313 1711313 173;34242 i 4242 i            

Bài toán 6 Giải các phương trình nghiệm phức:



2

cossinsin cos0

z i  zi 

Giải

Phương trình 2 

cossinsin cos0

z i  zi 

2

cos isin4 sin cosi 

 

2 2 2

cos isin2 sin cosi cos isin



Nên  có hai căn bậc hai là cosisin

Trang 4

Bài toán 7 Cho số phức z thỏa mãn 26130z  z Tính z 6ziGiải Phương trình 26130z  z có  29 134 2i    Do đó z 3 2i hay z 3 2iVới z 3 2i, ta có: 663 23 214173 3ziiiizii        Với z 3 2i, ta có 6663 23 233ziiz iii     6  13 2324 75105iii   Cách khác: 2 2   2261303432z  z  z   z i

Bài toán 8 Cho số phức z thỏa mãn: 1 32zzz Tính mơđun của số phức 2z iwziGiải Ta có 1 3132 ,22zzzzzzz      224502zizzzi        Với z  2 i, ta có 2 2 2 62552z iiwiizi   Do đó 2 1052z iwziVới z  2 i, ta có 2 4 62 313132z iwiizi Do đó 2 5132z iwzi

Bài tốn 9 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

2z 3z 30

Hãy tính: 22

12;1 ;212

S  zzPz z T z z

Trang 5

Phương trình 22z 3z 30 có  23 2421 21i    Do đó có 2 nghiệm 1 3 21; 2 3 2144iiz  z Ta có 1 2 3 21 3 21 3442iiS  zz      1. 2 3 21. 3 21 3 21 24 34416162iiPz z      Và có 22221232132111893 214416164iizz           

Bài toán 10 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

2100z  zHãy tính: A z12 z2 2Giải Phương trình 22100z  z có  21 109 3i    Do đó có 2 nghiệm z1  1 3 ;i z2   1 3iTa có 22  121 91 920A z  z    

Bài toán 11 Gọi z z1;2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2 