Dang bai tap phuong trinh bac hai nghiem phuc

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC I Phương pháp giải Phương trình bậc hai nghiệm phức 2 0Az Bz C   với , ,A B C là các số phức, 0A  Lập biệt thức 2 4B AC   Nếu 0  thì phương trình có nghiệm ké[.]

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC I Phương pháp giải Phương trình bậc hai nghiệm phức Az  Bz  C  với A, B, C số phức, A  Lập biệt thức:   B2  AC Nếu   phương trình có nghiệm kép z  B 2A Nếu   ta tìm bậc hai   phương trình có nghiệm phân biệt z1,2  B   2A Đặc biệt,  số thực   : z1,2   B  i  B  i    : z1,2  2A 2A Chú ý: 1) Khi  số thực âm phương trình bậc khơng có nghiệm thực 2) Ngồi cách giải tổng qt, ta dùng biệt thức   thu gọn biến đổi dạng phương trình thiếu B C : Az  Bz  0, Az  C  3) Phương trình bậc hai: Az  Bz  C  Nếu có A  B  C  có nghiệm z  Nếu có A  B  C  có nghiệm z  1 II Ví dụ minh họa Bài tốn Giải phương trình tập số phức: b) z  z   a) z  z  10  Giải a) Phương trình bậc hai z  z  10  có    10  9   3i  Vậy phương trình có hai nghiệm z1  1  3i, z2  1  3i b) Phương trình bậc hai z  z   có     3   i  Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  1  i Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z  z  b) z  10  2 Giải a) Phương trình bậc hai z  z   z  z     z  hay z  7 Vậy phương trình có hai nghiệm z1  0, z2  7 b) Phương trình bậc hai z  10   z  10   i 10  Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  i 10 Bài toán Giải phương trình tập số phức: b) z  1  3i  z  1  i   a) z    i  z    4i   Giải a) z    i  z    4i       i     4i   4  4i nên   có bậc hai 2i Do đó: z1    i    2i    i, z2    i    2i    3i Vậy phương trình có hai nghiệm z1   i, z2   3i b) z  1  3i  z  1  i     1  3i   1  i   2i  1  i  2 nên phương trình có hai nghiệm là: 1 z1  1  3i  1  i   2i, z2  1  3i  1  i   1  i 2 Bài tốn Tìm nghiệm phức phương trình: b) z    4i  z   5i  a) z    2i  z  28  4i  Giải a)     2i    28  4i   35  12i  x  y  35 2 xy  12 Ta tìm bậc hai x  yi  :  x  yi   35  12i   Ta có: x2  y  352  122  1369  37 Do giải bậc là:  1  6i  nên phương trình có nghiệm: z1   4i z2   2i b)     4i    1  5i   3  4i  1  2i  2  có hai bậc hai  1  2i  nên phương trình có hai nghiệm là: z1    4i   1  2i    i, z 2  3  4i   1  2i    3i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: a) z  1  i  z  5i  b) 2iz  3z   i  Giải a) Phương trình z  1  i  z  5i  có biệt thức   1  i   20i   2i   20i  2i  1  i  Hai nghiệm z1  z2  3 1  i   1  i  3 1  i   1  i  2  2  i  1  2i Kết z  2  i z  1  2i b) 2iz  3z   i     8i   i    32i  8i  17  32i Ta tìm bậc hai a  bi với a, b   a  bi    256 a  a  17 a  b  17  17  32i    2ab  32 b   16  a Từ đó, phương trình cho có nghiệm phức: 1313  17   3 4  1313  17   i;    1313  17   3 4  Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: z   cos   i sin   z  i sin  cos   Giải Phương trình z   cos   i sin   z  i sin  cos      cos   i sin    4i sin  cos   cos    i sin    2i.sin  cos    cos   i sin   2 Nên  có hai bậc hai   cos   i sin   Vậy phương trình có nghiệm: z1  cos  , z2  i sin  1313  17  i   Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  z i Giải Phương trình z  z  13  có    13  4   2i  Do z   2i hay z   2i Với z   2i , ta có: z 6   2i    2i   i   i  17 z i  3i Với z   2i , ta có z 6   2i    2i  z i 3i 3i   2i    i   24  7i  10 Cách khác: z  z  13    z  3  4   z  3   2i  Bài toán Cho số phức z thỏa mãn: Tính mơđun số phức w  2 z 1  z 3 z2 z i z  2i Giải Ta có z 1  z   z    z  3 z   , z  z2  z  2  i  z2  4z      z  2  i Với z  2  i , ta có w  Do w  z i 10  z  2i Với z  2  i , ta có w  Do w  z  i 2  2i    i z  2i 2  i 5 z i 2    i z  2i 2  3i 13 13 z i  13 z  2i Bài toán Gọi z1 ; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z  3z   Hãy tính: S  z1  z2 ; P  z1.z2 ; T  z12  z22 Giải Phương trình z  3z   có    24  21   21i  Do có nghiệm z1  Ta có S  z1  z2  P  z1.z2    i 21   i 21 ; z2  4   i 21   i 21    4   i 21   i 21  21 24    4 16 16 Và có 2    i 21     i 21  18 9 z12  z22           21  4 16     16 Bài toán 10 Gọi z1 ; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z  z  10  Hãy tính: A  z1  z2 2 Giải Phương trình z  z  10  có    10  9   3i  Do có nghiệm z1  1  3i; z2  1  3i Ta có A  z1  z2  1    1    20 2 Bài toán 11 Gọi z1 ; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z    i  z   5i  Hãy tính: z12  z22 , z14  z24 Giải Phương trình z    i  z   5i  có     i     5i     4i  12  20i  9  24i    4i  Do có nghiệm z1  5  5i  3i ; z2  2 Nên S  z1  z2  2  i, P  z1 z2   5i Ta có: z12  z22  S  P   2  i     5i   3  14i  z14  z24  z12  z22   z12 z22   3  14i     5i   155  24i 2