Dang bai tap phuong trinh logarit

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải Phương trình lôgarit cơ bản loga x b ( 0, 1)a a  Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất bx a Phương trình lôgarit log ( ) log ( ),a af x g x ([.]

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I Phương pháp giải - Phương trình lôgarit bản: log a x  b (a  0, a  1) Phương trình lơgarit ln có nghiệm x  ab - Phương trình lơgarit  f ( x)  hay g ( x)  log a f ( x)  log a g ( x), (a  0, a  1)    f ( x)  g ( x) Phương pháp: - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Mũ hóa - Sử dụng tính chất hàm số, đánh giá hai vế Chú ý: Ngồi phương pháp để giải phương trình lơgarit, ta dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích số, dùng bất đẳng thức,… II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Giải phương trình sau: b) log2 (9  2x )  10log(3 x ) a) log [x( x 1)]  Giải a) PT: log2 [x( x 1)]   x( x 1)   x2  x    x  1 x  b) Điều kiện x  PT: log2 (9  2x )  10log(3 x )   2x  233  22 x  9.2x    2x  x  Chọn nghiệm x  Bài toán 2: Giải phương trình sau: a) 1  3  4logx  logx b) log ( x)  log x2 Giải a) Với x  0, đặt t  log x PT:   3, t  , t  1  2t  3t    t  t  (chọn)  4t  t Suy nghiệm x  10 x  10 b) ĐK: x  0, PT: log2 ( x)  log ( x)  log ( x).(5  log ( x))  log ( x)   x  1 x  225  log ( x)  Bài toán 3: Giải phương trình: a) log2 x  log ( x 1)  b) log2 x  log3 x  log4 x  Giải a) ĐK: x  1, PT  log2 x( x 1)   x( x 1)   x2  x   Chọn nghiệm x  b) ĐK: x  0, PT: (1  log3  log4 2).log2 x   (3  log3 2) log x   log x  Vậy nghiệm x  3 2log3  log3 Bài tốn 4: Giải phương trình: a) log3 (3x  1).log3 (3x1  3)  12 b) log x1   log ( x 1) Giải a) ĐK: x  : PT: log3 (3x 1)[1  log3 (3x 1)]  12 Đặt t  log3 (3x  1) PT: t (1  t )  12  t  t  12   t  4 t   log3 (3x  1)  4 log3 (3x  1)   3x    3x  3x   27 81 82 3x  28  x  log3 82  x  log3 28 81 b) ĐK: x  1, x  2, PT :   log ( x  1) log ( x  1) Đặt t  log2 ( x  1) PT:  1 t  t2  t   t  t  t  2 Giải nghiệm x  Bài tốn 5: Giải phương trình: a) log [( x  2)( x  3)]  log b) log4 ( x  12).log x  x2 2 x3 x  3 Giải ( x  2)( x  3)   x  3 a) ĐK:  x   x   x   x2  PT: log ( x  2)( x  3)  log 16  x   16  x  3   x2  20  x  2 (chọn) 1 log ( x  12)  log x b) ĐK: x  0, x  1, PT :  log2 ( x  12)  log x2  x  12  x  x  x  12  Chọn nghiệm x  Bài toán 6: Giải phương trình: a) 1 log ( x  2)   log 3x  b) log3 x log 27 x  log9 3x log81 27 x Giải a) ĐK: x  2, phương trình trở thành: 1 log ( x  2)  log (3x  5)   log ( x  2)(3x  5)  6  ( x  2)(3x  5)   x  x  Chọn nghiệm x  3 b) ĐK: x  0, x  , x  , đặt t  log3 x PT: 27 t 2(2  t )   t  3t    t  t  4  t 3(3  t ) Suy nghiệm x  x  81 Bài toán 7: Giải phương trình: a) log 21 (4 x)  log 2 x2 8 b) log 2 x  3log x  log x  2 Giải a) ĐK: x  0, ta có log x2  log x  log  2log x    log (4 x)   log  log x   (2  log x)  (2  log x)  2  2 Đặt t  log x PT: (2  t )2  2t    t  6t    t  t  7 Suy nghiệm x  27 x  b) ĐK: x  0, đặt t  log x PT: t2  t  t   t2  t   2  t  t  2 Giải nghiệm x  , x  2 Bài tốn 8: Giải phương trình: b) log x 16  log2 x 64  a) log4 log2 x  log2 log4 x  2 Giải a) ĐK: x  1, phương trình trở thành 1  log 22 log x  log log 22 x   log log x  log  log x   2 2  1  log log x  log  log log x   log log x  2  log log x   log x   x  16 (chọn) b) ĐK: x  0, x  1, x  2log x  PT: 6 3  3  log x log x  log x Đặt t  log x PT:    3t  5t   t 1 t 1  t  t   Suy nghiệm x  4, x  Bài toán 9: Giải phương trình a) log5 x.log3 x  log5 x  log3 x b) 2log2 x.log5 x  log x 10log5 x  Giải a) ĐK: x  0, ta có x  nghiệm Nếu x  PT: 1   log x 5log x log x log x  log x  log x   log x 15   x  15 (chọn) b) ĐK: x  0, PT: log2 x(2log5 x  1)  5(2log5 x  1)   (log2 x  5)(2log5 x  1)   log x  2log5 x  1  x  32 x  (chọn) Bài tốn 10: Giải phương trình a) log2 x   x b) log2 (1  x )  log3 x Giải a) ĐK: x  0, hàm số vế trái đồng biến, hàm số vế phải nghịch biến x  nghiệm nên nghiệm b) ĐK: x  0, đặt log3 x  y x  3y y y 1  3 PT: log (1  )  y           2   y y y Ta có y  thỏa mãn phương trình, vế trái hàm nghịch biến nên PT có nghiệm y  nên x  Bài toán 11: Giải phương trình: x2  x  b) log3  x  3x  2x  4x  a) 2log x  x Giải x a) ĐK: x  0, PT: log x   Xét hàm số f ( x)  ln x ln  x ln x  ln x , x  f '( x)  x x2 f '( x)   x  e, lập BBT f ( x)  có tối đa nghiệm mà f (2)  f (4)  b) Phương trình: log3 ln nên S  2; 4 x2  x   (2 x  x  5)  ( x  x  3) 2x  4x   log3 ( x2  x  3)  ( x2  x  3)  log3 (2 x2  x  5)  (2 x  x  5) Xét hàm số f (t )  log3 t  t , t  f '(t )    0, t  t.ln Do f (t ) đồng biến, nên phương trình f ( x2  x  3)  f (2 x  x  5)  x  x   x  x   x  3x   Vậy phương trình có nghiệm x  1 x  2 Bài tốn 12: Giải phương trình: a) log2 (4 x4  x2  1)  log x  log (2 x2 1)2  b) log 17 x   34  x   x   log (4 x  4) Giải 4 x  x   a) Điều kiện:  0  x   Phương trình cho tương đương với log (4 x4  x2  1)  log 2 x x 1  x4  x2   x x 1  x2  1   2x  x x x Đặt t  x  , t  phương trình trở thành: t  2t   Chọn nghiệm t  x Với x    x  3x    x  x  17 Với x   3  x  3x    x  3  17 Chọn nghiệm phương trình là: x   17 3  17 ,x  4 b) Điều kiện 1  x  Khi phương trình tương đương với   log 17 x   34  x  log 4(4 x  4)  log 2 x    log 17 x   34  x  log 4(2 x  22 x )    17 x   34  x  4(2 x  22 x ) Xét hàm số f ( x)  17 x   34  x , 1  x  f '( x)  17 34 17  x  34 x    x 1  x x   x f '( x)   x   Lập BBT f ( x)  f (3)  34 Đặt 2x  t , ta có 1  x  nên  t  8, Do đó: 4(2 x  22 x )   t    t Xét hàm số g (t )   t   , với  t   t 4  g '(t )  1   , g '(t )   t   t  Lập BBT g (t )  g ( )  g (8)  34 Do 4(2x  22 x )  34, với x   1;3 Nên ta có VP  34  VT Dấu = xảy x  Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tốn 13: Giải phương trình: a) log2 ( x  2)  log3 ( x  1)  b) log2 ( x  x2  1)  log3 ( x  x2  1)  log6 ( x  x2 1) Giải a) Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với: log2 ( x  2)  log3 ( x  1)  Xét hàm số f ( x)  log2 ( x  2)  log ( x  1), x  1 f '( x)  1 (ln  ln 2) x  (ln  ln 3)   ( x  2) ln ( x  1) ln ( x  1)( x  2) ln 2ln f '( x)   x  ln  ln  (0; 2) ln  ln Lập BBT phương trình f ( x)  có nhiều nghiệm Mà x  0, x  thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  b) Điều kiện x  Đặt t  x  x   x  x   t t PT: log t  log3  log  log t  log3 t  log t   log2 t (1  log3  log6 2)   log t   t  1 t Do đó: x  x2    x   x2   x2  x   x2   x  1: chọn Vậy nghiệm x  Bài tốn 14: Tìm điều kiện để phương trình: a) log32 x  log32 x   2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;3  b) log ( x  3)  log3 (ax) có nghiệm Giải a) Đặt t  log32 x  1, x  1;3    t  PT: t 1  t  2m 1   t  t  2m  Xét f (t )  t  t ,  t  2, f '(t )  2t   nên f đồng biến 1; 2 Điều kiện có nghiệm: f (1)  2m   f (2)   2m     m  x   b) PT: 2log3 ( x  3)  log3 (ax)   log3 ( x  3)  log (ax)  ( x  3)2  ax, x    x2  x   ax, x  3 Xét x  : Loại Xét x  có: a  x2  6x  , x  3 x x2  x  x2  , x  3, x  0, f '( x)  , f '( x)  x  x x2 Đặt f ( x)  BBT: x f' 3    +  f   12 Điều kiện có nghiệm nhất: a  hay a  12