Dang bai tap phuong trinh mu fcpqm

PHƯƠNG TRÌNH MŨ I Phương pháp giải Phương trình mũ cơ bản xa b ( 0, 1)a a  Nếu 0,b  phương trình vô nghiệm Nếu 0,b  phương trình có nghiệm duy nhất log ax b Phương trình mũ    f x g x a a 1[.]

PHƯƠNG TRÌNH MŨ I Phương pháp giải - Phương trình mũ bản: a x  b (a  0, a  1) Nếu b  0, phương trình vơ nghiệm Nếu b  0, phương trình có nghiệm x  log a b a   a  1, f ( x)  g ( x) - Phương trình mũ a f  x  a g  x (a  0)   Phương pháp: - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Lơgarit hóa - Sử dụng tính chất hàm số, đánh giá hai vế Chú ý: Ngoài phương pháp để giải phương trình mũ, ta dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích số, dùng bất đẳng thức,… II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Giải phương trình sau: a) 0,125.42 x3  (4 2) x b) (2  3)2 x   Giải 5x 5x a) PT: 0,125.42 x3  (4 2) x  23.24 x6  2  24 x9  2  4x   5x  x  18  x  x  2 b) PT: (2  3)2 x    (2  3) x  (2  3) 1  x  1  x   Bài tốn 2: Giải phương trình sau: a) 9x  x 2 x b) 7log x  5log x1  3.5log x1 13.7log x1  32 x 1 Giải a) PT: x  x  9   2 x 1  x  2.2 x x  x  3.2 2  x   log  x   log 2 2 2 b) PT: 7log x  13.7log x  5log x.5  3.5log x  7log x 1   13  log x  3   5   7 5   20   28     7log x    5log x          5 log x 28     20     log x   x  100 Bài toán 3: Giải phương trình sau: b) 3x1  18.3 x  29 a) 4x  2x   Giải a) Đặt t  2x , t  PT: t  t   Chọn nghiệm t   2x   x  log2 b) Đặt t  3x , t  PT: 3t  18  29  3t  29t  18   t  t  t Giải nghiệm x  x  log3  Bài tốn 4: Giải phương trình sau: a) e2 x  3ex   12e x  b) 27 x  12x  2.8x Giải a) Đặt t  e x , t  PT: t  3t   12   t  3t  4t  12   (t  2)(t  2)(t  3)  t Chọn nghiệm t  t  nên x  ln x  ln b) Chia vế cho 8x  PT: x x 3x x x  27   12  3 3 3               Đặt t    , t    8  2  2 2 PT: t  t    (t 1)(t  t  2)   t   x  Bài tốn 5: Giải phương trình:  a) 2.25x  5.4x  7.10x x  x b)    Giải 2x x x 2 a) PT:        Đặt t    , t  5 5 5 PT: 5t  7t    t  t  (thỏa mãn) Suy nghiệm x  x  b) Điều kiện x  0, đặt y  chia hai vế cho y , ta có: x x 1 3 3   1  y  log      1      2 2 2 2 2y y y 1 1  1    log   log    x  log x x  2  1 Bài tốn 6: Giải phương trình: a)  2   x  2  4 x b) 4x x2   5.2x1 x2   Giải a) Ta có    1, đặt t   2  , t  x t PT: t    t  4t    t   t    x  x  2 b) Đặt t  2x x2  , t  PT: t  t   2t  5t  12  Chọn nghiệm t  nên x  x2    x2    x   x  x2    x  x2  x  x  3 x 2 Bài toán 7: Giải phương trình sau: b) 3x1.2x  8.4x2 a) 34 x  43 x Giải a) Hai vế dương, lơgarit hóa theo số 10: x   log 4 x log  3x log      x  log  log  log 3 b) Hai vế dương, lơgarit hóa hai vế theo số 2:  log 3x1.2 x   log 8.4    x 1 log  x x 2 2  log   x   log  x2  (2  log 3) x   log   x  x   log Bài toán 8: Giải phương trình sau: x a) x x1  36 b) Giải 3x x 2 a) PT: 3x.2 x1  32.22  3x2.2 x1  3   5 x 1  53 x 4  x11    3.2    x2   x   3.2  x  x 1  x1 1  x  x  1  log3 b) Hai vế dương, lơgarit hóa hai vế theo số 5: 3 3x  ( x  1) log5 ( )  log ( )   5 1  x(log5  1)  log5    log  x   2 2(log  4)  4log5   4  log  x x  4log5    Bài toán 9: Giải phương trình sau: log x  a) log x  3  x b) (4  15)tan x  (4  15)tan x  Giải a) ĐK: x  0, đặt t  log3 x x  4t PT: 3.3t  t  2t  4.3t  3.2t 3 t log 3 3     t  log Vậy x  2 b) Vì (4  15)(4  15)  nên đặt (4  15)tan x  t, t  t phương trình: t    t  8t    t   15  Do tan x  1 tan x  nên nghiệm x    k , k  Z Bài toán 10: Giải phương trình:   b) 4x  3x  a) (sin ) x  (cos ) x  Giải   a) Vì  sin   cos  đó:     Nếu x  ta có (sin ) x  (sin )2 (cos ) x  (sin )2  VT  (loại)     Nếu x  ta có (sin ) x  (sin )2 (cos ) x  (sin )2  VT  (loại) Nếu x  PT nghiệm đúng, nghiệm 4 b) PT: ( ) x  ( ) x  ta có x  thỏa mãn PT Vì vế trái hàm số nghịch biến R nên có nghiệm x  Bài toán 11: Giải phương trình: b) 2x1  4x  x 1 a) x.2x  x(3  x)  2(2x 1) Giải a) PT: x.2x  x(3  x)  2.2x    2x ( x  2)  x2  3x    2x ( x  2)  ( x 1)( x  2)   ( x  2)(2 x  x 1)   x   2x  x   x  x  (Vì f (x)  2x  x đồng biến R f(0) = 1) b) PT: 2x1  ( x  1)  22 x  x Xét hàm số f (t )  2t  t , t  R f '(t )  2t.ln  Vì f '(t )  0, t nên f đồng biến R PT f ( x  1)  f (2x)  x   2x  x  Bài toán 12: Giải phương trình: a) x2 1  x  3x 1 b) 2 x 1 1  1  ( x  1)  x 1 1   2x 1 Giải a) Phương trình cho xác định với x Xét x  Khi ta có x2 1  x   3x 1 , nên phương trình cho khơng có nghiệm khoảng (;0) Xét x  Phương trình trở thành x2 1 Ta có  x  3x 1  x 1   x2    3x 1  ( x  1) x  1, x   Xét hàm số f (t )  3t  t , với t  1;   f '(t )  3t ln  2t , f "(t )  3t (ln 3)  Vì 3t (ln 3)2   3(ln 3)2   0,  t  1, nên f "(t )  0, t  Suy f '(t ) hàm số đồng biến 1;   Do f '(t )  f '(t)  3ln   0,  t  nên f (t ) hàm số đồng biến 1;   Phương trình:  f 2   x2   x   x   x  2x  x   f ( x  1)     x0 x  x    Vậy phương trình có nghiệm x  2 x   x 3x   b) Điều kiện  Phương trình trở thành 2 x 1  2  ( x  1)  2 x 1  x 1 1  2x 1  ( x   2 x  1)  2 x 1 1  (3x   x  2 x  1)  x 11 1  2 x 1  ( 3x  1)  ( x   1)  x 11 2 2 x 1  2 x 1   ( x   1)  2 x 1 1  ( 3x  1) 2 Ta có x 1  1, 3x   1 Xét hàm số f (t )  2t 1  t , với t  1;   f '(t)  2t 1 ln  t; f "(t )  2t 1 (ln 2)2  Vì t  nên f "(t )  (2ln 2)2 1  Suy f '(t ) hàm số đồng biến 1;   Nên f '(t )  f '(t )  4ln 1  0,  t  Do f (t) hàm số đồng biến 1;   Phương trình f ( x 1  1)  f ( 3x  1)  x 1   3x   x  2 x   3x  x 1   2x 1  x     x  x  4(2 x  1)  x  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1, x  Bài tốn 13: Giải phương trình: a) 5x  4x  3x  x  1  x  x  x3  x  x  16 x b) 4x  2x1  2(2x 1)sin(2x  y 1)   Giải a) Xét hàm số: f ( x)  5x  x  3x  x   1 1  x  x   x3  x  x  16, x  R x 2  Ta có: f '( x)  5x ln  4x ln  3x ln  x ln  ln ln ln    x  x  x   12 x  x     Suy hàm số đồng biến phương trình f ( x)  có khơng q nghiệm f (1)  Vậy phương trình cho có nghiệm x  b) Phương trình cho tương đương với (22 x  2.2x  1)  2(2x  1)sin(2x  y  1)    (2 x  1)2  2(2 x  1)sin(2 x  y  1)  sin (2 x  y  1)  cos (2 x  y  1)   [2x   sin(2x  y  1)]2  cos2 (2x  y 1)  x x 2  sin(2  y  1)   x cos(2  y  1)  Vì cos(2x  y 1)   sin(2x  y 1)  1 Ta có hai trường hợp sau: - Nếu sin(2x  y  1)  2x  0, vơ nghiệm - Nếu sin(2x  y  1)  1 2x   x   Suy sin( y  1)  1  y     k 2  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  1, y     2k , k  Z Bài toán 14: Tìm điều kiện để phương trình: a) 3sin x  3cos x  m có nghiệm 2 b) (  1) x  2m( 1) x  x có nghiệm Giải a) Đặt t  3sin x ,  sin x  nên  t  9 t2  PT: t   m Xét f (t )  t  ,  t  9; f '(t )  ; f '(t )  t  t t t BBT: t  f' f + 10 10 Vậy điều kiện f (t )  m có nghiệm thỏa  t   m  10 x x  1   1  b) PT     2m    2     x Ta có: PT: t   1   1  1, đặt t    , t  2   2m   t  t  2m  t Xét t   m  PT: t  t   t  hay t  1: thỏa mãn Xét t  0, điều kiện có nghiệm t  : t1   t2  t1  t2  P  (  0, P  0, S  0)  m  m  Vậy: m  m  Cách khác: Xét hàm số lập bảng biến thiên