CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Số phức (dạng đại số) z a bi ( ,a b ,i là đơn vị ảo, 2 1i ) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z z là số thực phần ảo của z bằng 0 z a z là số[.]
CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Số phức (dạng đại số): z a bi ( a, b ,i đơn vị ảo, i2 1 ) Gọi a phần thực, b phần ảo z z số thực phần ảo z z a z số ảo phần thực z z bi z số phức vừa số thực vừa số ảo z số thực z z ; z số ảo z z Số phức liện hiệp số phức: z a bi a, b z a bi Kết z z; z z z z; zz z.z Môn đun số phức: z a bi a, b z a2 b2 zz Kết z z z z zz z z ; ; z z z z Chú ý 2 1) z z2 ; z z2 z số thực 2) z với z z z 3) z z z z với z, z 4) Để kiểm tra số phức số thực hay số ảo, ngồi cách tính cụ thể phần thực, phần ảo ta tìm số phức liên hiệp so sánh II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm số phức liên hiệp z z tính với: a) z 2 i b) z 2i Giải a) z 2 i nên số phức liên hiệp z 2 i môđun z a2 b2 b) z 2i nên số phức liên hiệp z 2i môđun z Bài tốn Tìm phần ảo số phức z biết z i 1 2i Giải 1 2i 2 2i 11 i 1 i 2i i 2i Ta có z 2i i Do z 2i Vậy phần ảo z 1 i Bài tốn Tìm phần thực phần ảo số phức z 1 i Giải 1 i 1 i Ta có z 1 i 1 i 3i 9i 3i 3i 3i 3i i 3i 3i i3 1 i 1 i 8 2i 2 2i i2 Vậy phần thực phần ảo Bài toán Tìm mơđun số phức z biết: 2z 11 i z 1 i 2i Giải Đặt z x yi, x, y Ta có 2z 11 i z 1 i 2i x yi 1 i x yi 11 i 2i x yi 1 i x yi 1 i 2i x y 1 x y 1 i x y 1 x y 1 i 2i x 3y x y i 2i x 3 x 3y x y 2 y 1 3 Do z i Vậy môđun z Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z i Tính 1 i z z 1 Giải Đặt z a bi a, b Ta có: z i a2 b2 a bi b a 1 i z 1 2 a 1, b 2 a b a b a 2, b b a Với a 1, b 2 thì: 1 i z 1 i 1 2i 3i Với a 2, b thì: 1 i z 1 i 2 i 3i Bài toán Cho z 2a 1 3b 5 i với a, b Tìm số a, b để z số thực Tìm số a, b để z số ảo Giải a) z số thực 3b b b) z số ảo 2a a Bài toán Hỏi số sau số thực hau số ảo với z số phức tùy ý cho trước cho biểu thức xác định: a) z2 z b) zz z3 z Giải Ta tính số phức liên hiệp: a) z2 z z z2 z2 z Vậy z2 z b) zz zz z z z z 3 zz z z Vậy số thực zz z z số ảo Bài toán Chứng minh hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 z2 số ảo z1 z2 Giải Với điều kiện z1 z2 ta có: z1 z2 z z z z số ảo z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 Bài tốn Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) iz i b) 3i z z Giải a) Ta có: iz i iz i z 2 i 2i i Vậy z 2i b) Ta có: 3i z z 1 3i z 1 z 1 1 3i z i 3i 10 10 10 Bài tốn 10 Tìm số phức z thỏa mãn: a) z 3i z 9i b) z i z z 3i 2 Giải a) Đặt z x yi, x, y Ta có: z 3i z 9i x yi 3i x yi 9i x 3y x 3y i 9i x 3y x Kết z i 3 x 3y y 1 b) Đặt z x yi, x , y Khi z i x y 1 i x yi x y 3 i 2 2 z z 3i x y 1 x y 1 i ( x 2)2 y x y 3 x y 3 i 2 x y 12 x 2 y x y 32 2 x y 1 4 x y 3 x y 12 x 2 y x y 32 2 x 3y 7 y y x hay 497 x x 497 2 y 10y 21 36 Vậy z 497 i 36 Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn 3i Tìm mơđun số phức z iz z a) 1 i b) i z 1 2i 1 i 8i Tìm mơđun số phức w z i Giải 1 3i a) Ta có z 1 i 3i 3i3 1 i 3i 3i 8 4 4i nên z 4 4i 1 i 1 i Do z iz 4 4i i 4 4i 4 4i 4i 8 8i Suy z iz b) Ta có i z 1 2i i z 7i z 1 i 8i i z i 8i 7i 2i 2i Do w z i 3i Kết w Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn: a) i Tính mơđun số phức w z z zi z 1 b) (1 i)(z 1) 2z 2i Tính mơđun số phức w z 2z z2 Giải a) Đặt z x yi, x, y Ta có i 5 x yi i i zi z 1 x yi x y 1 i i x yi 3x y x 7y i 3 x y x x 7y y Do z i nên có: w z z2 i 1 i 3i Kết w 3i 13 b) Ta có 1 i z 1 2z 2i 3 i z 1 3i z Do đó: w 1 3i i 3i z 2z i 2i 1 3i w 10 z2 i2 Bài tốn 13 Tìm số phức z thỏa mãn: a) z 1 z 3i z i zi b) z phần thực z hai lần phần ảo Giải a) Đặt z x yi với x, y Ta có z 3i z i x y 3 i x y 1 i y 3 y 1 y nên 2 z 1 z z i x 1 i x x 1 x x zi Vậy z i b) Giả sử z a bi , với a, b z 5 a2 b2 Ta có: a 2b a 2b a a 2b a 2 hay b b b Vậy có hai số phức cần tìm: z 2 i 5, z i Bài tốn 14 Tìm số phức z thỏa mãn a) z z số ảo b) z z2 ảo Giải a) Giả sử z a bi , với a, b z 2 a2 b2 a Ta có: a b 2 a Vậy có số phức: z 2i b) Gọi z x yi với x, y z2 x y2 xyi z2 ảo nên x y2 x y hay x y Ta có: z x y2 x x 1 Vậy có số phức z i, z 1 i Bài tốn 15 Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z số thực a) z z i z z có số ảo b) z i z z 2i Giải a) Đặt z x yi, x, y Khi đó: z z i 2y 1 i y 2 y 1 y mà: z i z x yi x 1 y i x x y 1 y x 1 y xy i nên z z số ảo phần thực: x x y 1 y x 3 Với y ,ta có x x x x Với y , ta có x x x 2 3 2 1 2 2 Vậy z i, z i, z i, z i b) Đặt z x yi, x, y Khi z i z z 2i x y 1 i y i x y 1 2y 2 x 4y 2 Ta có z i z x yi x 1 y i x x y 1 y x 1 y xy i nên z z số thực phần ảo x 1 y xy x y x y x Do đó: x 1 5, y Vậy z 1 2x 3 3 hay x 1 5, y 2 3 3 i, z 1 i 2 Bài tốn 16 Tìm số phức z thỏa mãn a) z 3i iz z số ảo z b) z i z i z i số thực Giải a) Đặt z a bi, a, b Ta có z 3i iz a b 3 i i a bi a b 3 i b a2 b 3 1 b a b 2 2 a 2i a 5a 2a 26 i 9 a 2i Khi z a 2i z a 2i a 4 a2 z số ảo a3 5a a 0, a z Vậy số phức cần tìm z 2i, z 2i, z 2i b) Giả sử z x yi, x, y Suy z i z i số thực x y Ta có z i z i x yi x y 1 i x x 1 y y 1 x y 1 i Nên ta có z i x y 1 x x 1 Do x 1, y x 1, y Vậy z 1, z 1 2i Bài toán 17 Giả sử z1, z2 hai nghiệm phương trình z i 3iz thỏa mãn z1 z2 Tính z1 z2 Giải Gọi z x yi, x, y Ta có 6z i 3iz x 6y 1 i 3y 3xi x y 1 3y 3x x y2 2 1 z Suy z1 z2 Ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 Mà z1 z2 2 1 nên z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 9 2 9 nên z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 z1 Vậy z1 z2 3 Bài toán 18 Giả sử z1, z2 số phức thỏa mãn z12 z22 z1z2 Tính z1 z2 z1 z2 Giải Ta có z12 z22 z1z2 z1 z2 z1 z22 z1 z2 z1 z2 z12 z22 z1z2 z2 z1 z2 z12 z2 z1 z2 z1 z2 Do z1 z2 z1 z1 z2 2 3 z1 z2 z1 z2 nên z1 z2 z1 z2 Vậy z1 z2 z1 z2 Bài toán 19 Trong tất số phức z thỏa mãn z môđun nhỏ Giải Đặt z x yi x , y Khi z zz x 1 yi x x 1 y x 3 y x 2 Ta có z x y x x x 2 Dấu = xảy x 2 y Vậy số phức z 2 4 2 zz ,hãy tìm số phức có ... i 3i Bài to? ?n Cho z 2a 1 3b 5 i với a, b Tìm số a, b để z số thực Tìm số a, b để z số ảo Giải a) z số thực 3b b b) z số ảo 2a a Bài to? ?n Hỏi số sau... Vậy z2 z b) zz zz z z z z 3 zz z z Vậy số thực zz z z số ảo Bài to? ?n Chứng minh hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 z2 số ảo z1 z2 Giải... hay 497 x x 497 2 y 10y 21 36 Vậy z 497 i 36 Bài to? ?n 11 Cho số phức z thỏa mãn 3i Tìm mơđun số phức z iz z a) 1 i b) i z 1