Dang bai tap tim gtln gtnn cua ham so g8w1d

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Phương pháp giải Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp  D D R a) Nếu tồn tại một điểm 0 x D sao cho    0f x f x với mọi x D thì số  0[.]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Phương pháp giải Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập hợp D  D  R  a) Nếu tồn điểm x0  D cho f  x   f  x0  với x  D số M  f  x0  gọi f x giá trị lớn hàm số f D, kí hiệu M  max xD b) Nếu tồn điểm x0  D cho f  x   f  x0  với x  D số m  f  x0  gọi f x giá trị nhỏ hàm số f D, kí hiệu m  xD Phương pháp hàm số y  f  x  D Tính đạo hàm y  lập bảng biến thiên từ có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t  g  x  với điều kiện đầy đủ t Phương pháp hàm số y  f  x  đoạn  a; b Nếu y  f  x  liên tục đoạn  a; b ta cần tìm nghiệm xi đạo hàm f     so sánh kết luận: f  x    f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  b  max f  x   max  f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  b  Đặc biệt, y  f  x  đồng biến đoạn  a; b thì: f  x   f  a  max f  x   f  b  Nếu y  f  x  nghịch biến đoạn  a; b thì: f  x   f  b  max f  x   f  a  Chú ý: 1) Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn đoạn 2) Với hàm y  f  x  GTLN đoạn  a; b GTLN giá trị tuyệt đối giá trị CĐ, giá trị CT biên f  a  , f  b  3) Khi cần thiết ta phối hợp bất đẳng thức đại số II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) f  x   x  x  đoạn  2;3 x3 b) f  x    x  3x  đoạn  4;0 Giải a) f   x   x  ; f   x    x  1 Ta có f  2   5 , f  1  6 , f  3  10 f  x   f  1  6 ; max f  x   f  3  10 So sánh xmin  2;3 x 2;3     b) f   x   x  x  ; f   x    x  1 x  3 Ta có: f  4    16 16 , f  3  4 , f  1   , f    4 3 f  x   f  4   f  1   Vậy: xmin  4;0   16 ; max f  x   f  3  f    4 x 4;0 Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f  x   x  3x  72 x  90 đoạn  5;5 Giải Xét hàm số g  x   x  3x  72 x  90 đoạn  5;5 g   x   3x  x  72 ; g   x    x  x  6 (loại) f  5  500 ; f  5  70 ; f    86 Do 86  g  x   400, x  5;5 hàm số g  x  liên tục đoạn  5;5 nên  f  x   g  x   400 f  x   ; max f  x   f  5  400 Vậy xmin  5;5 x 5;5 Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: 2x2  2x  b) y  x  x 1 x a) y   x2 Giải a) Tập xác định D  R y   x2   x2  , y   x  2 Lập BBT có: max y  f    ; y  f  2    b) Tập xác định D  R y   2x 1 x   x 1 , y   x   BBT Vậy max y  10 khơng tồn GTNN Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y  x2  2x  đoạn 2;4 x 1 b) y  Giải a) D  R \ 1 Ta có y  x2  2x   x  1 , y   x   Chọn nghiệm đoạn 2;4 x   So sánh f    ; f 1    2 ; f    Vậy max y  11 11 x  y  2 x   b) D  R Ta có: y    x   3x  1 x  2x   y 1 , y   x  hay x   xlim  BBT Vậy max y  13 x   y  x  4 Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) f  x    x đoạn  3;1 b) f  x   x   x Giải x  x  16 x2  2x  a) f   x   1  2x  với x   3;1 nên hàm số f nghịch biến đoạn  3;1 f  x   f  3  f  x   f 1  Vậy xmax  3;1 x 3;1     b) Hàm số f xác định liên tục đoạn  2;2 f  x   x  x2 f  x    , với x   2;2  x 4x    x2  x 0  x   x 2 4  x  x Ta có f    2 ; f  2   2 ; f    So sánh xmax f  x   2 f  x   2 x 2;2  2;2 Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) f  x   cos2 x  cos x  b) y  cos2 x  sin x cos x  Giải a) Vì f  x  hàm số tuần hoàn chu kỳ 2 , nên ta cần xét đoạn 0;2  4  2  f   x   2sin x cos x  sin x ; f      x  0; ; ; ;2    2 11 4 11 Ta có: f  0  f  2   ; f    ; f    ; f      Vậy f  x     4 11 ; max f  x   Cách 2: Đặt t  cos x , 1  t  f  x   g  x   t  t  , g   t   2t  1  1 g   t    t   So sánh g  1 , g    , g 1  2 b) Ta có y   sin2 x  sin x cos x     sin 2 x  sin x  Đặt: t  sin x , 1  t  y  f  t   t  t  1 f   t   2t  ; f   t    t   81 Ta có: f  1  , f     , f 1   4 Vậy y  , max y  16 81 16 Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:  a) f  x   x  sin x đoạn   ;      b) f  x   x  sin x   ;   2 Giải a) f   x    cos2 x ; f   x    cos2 x   cos  2x     k 2  x       k , k  Z   5  Với   x   , f   x    x   ; ;   6      5  5    Ta có f       , f     , f  2  6 6  3    f      ; f ( )    2 f x  So sánh max    x  ;     5 f x    ; max x  ;   2  b) f   x    2sin x cos x   sin x   Trên đoạn   ;  f   x    sin x    2 x  6 2   5  Ta có: f      , f       4  2  12    24        6 2 , f     f        4 2  12    24  6 2  So sánh max y   , y     4   24  Bài tốn Tìm giá trị lớn hàm số: 5  ; 12 12 a) y  sin x  sin x b) y  cos p x sinq x với  x   ,p, q nguyên dương Giải a) Hàm số liên tục D  R , tuần hồn với chu kì 2 nên ta xét đoạn   ;  y  cos x  cos2 x   x    , x    3  3 Ta có f     , f      , f    , f     3 Vậy max y  3 3 b) Với  x   sin x  , cos x  nên y  Ta có y2   cos2 x   sin2 x  Đặt t  cos2 x ,  t  p q y2  f  t   t p 1  t  , f   t   t p1 1  t  q Nên f   t    t  t   q 1  p   p  q  t  p t  pq p  p p q q Ta có f  0  f 1  , f  0  pq  p  q   p  q Nên suy max y  p p q q  p  q pq ... tồn GTNN Bài tốn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y  x2  2x  đoạn 2;4 x 1 b) y  Giải a) D  R \ 1 Ta có y  x2  2x   x  1 , y   x   Chọn nghiệm đoạn 2;4 x   So sánh... có f  2   5 , f  1  6 , f  3  10 f  x   f  1  6 ; max f  x   f  3  10 So sánh xmin  2;3 x 2;3     b) f   x   x  x  ; f   x    x  1 x  3 Ta có:... 2;2  x 4x    x2  x 0  x   x 2 4  x  x Ta có f    2 ; f  2   2 ; f    So sánh xmax f  x   2 f  x   2 x 2;2  2;2 Bài toán Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a)