Dang bai tap tim gtln gtnn co dieu kien

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN I Phương pháp giải Từ điều kiện đã cho biến đổi để tìm ra điều kiện của biến số Từ biểu thức cần tìm GTLN, GTNN đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến s[.]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CĨ ĐIỀU KIỆN I Phương pháp giải Từ điều kiện cho biến đổi để tìm điều kiện biến số Từ biểu thức cần tìm GTLN, GTNN đưa tìm GTLN, GTNN hàm số theo biến số mới, yêu cầu dấu phải xảy Ta tính đạo hàm y ' lập bảng biến thiên từ có kết luận GTLN, GTNN Còn xét đoạn  a; b so sánh kết luận Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng: 1) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: x  y  x  y , dấu xảy x y dấu x  y  x  y , dấu xảy x y trái dấu 2) Bất đẳng thức Cơsi trung bình cộng trung bình nhân: Với hai số a, b không âm: ab  ab Dấu đẳng thức xảy  a  b Với ba số a, b, c không âm: abc  abc Dấu đẳng thức xảy  a  b  c 3) Bất đẳng thức Svac: Với bốn số a, b, c, d  ac  bd    a2  b2  c   d hay ac  bd  a2  b2 c2  d Dấu đẳng thức xảy  ad  bc II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm GTLN, GTNN biểu thức T  x  y2 , x, y tùy ý khơng x  xy  y đồng thời Giải Xét y  x  nên T  x2 1 x2 t y2  y2 t2    f t , D  R Xét y  , đặt x  ty T  2 t y  ty  y t  t  f t   t  6t  t t4  , f   t    t  3  10 Lập BBT có max T  f  3  10   10  10 15   T  f 3  10  10  10 15 Bài toán Cho số dương thay đổi x y thỏa mãn x  y  Tìm GTNN Q  xy  xy Giải Đặt t  xy , x, y  x  y   xy nên  t  Ta có Q  xy  f t    1  f t   t  ,  t  xy t nên f nghịch biến t2  1  0;    17 Vậy Q  f    4   Bài toán Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S   x  3y  y3  3x   25xy Giải Do x  y  nên S  16 x y2  12  x  y3   xy  25xy  16 x y2  12  x  y   3xy  x  y   34 xy  16 x y  xy  12   Đặt t  xy , ta S  16t  2t  12  xy   x  y   1  t  0;   4 Xét hàm f  t   16t  2t  12 đoạn 0;   4 f   t   32t  ; f   t    t  16 191 25 Ta có f    12 , f    , f    16 16     191 25 So sánh thì: max1 f  t   f    ; min1 f  t   f       16  16   t0;  t0;     4 25 Giá trị lớn S , x  y   1 1    x; y    ;  2 2  xy  x  y  191 Giá trị nhỏ S ,  16  xy  16 2 2 3 2 2    x; y    ; x; y    ;       4     Bài toán Cho x  y tùy ý Tìm GTLN, GTNN M  xy x  3y  x  x  12 y  Giải Xét y  M  Xét y  M  Đặt t  xy  x x  12 y  x   3y 12 y  12 y 1 x   12 y  3   x   1 12 y 1 t 1 , t  , M  f  t   3t  4 x Ta có f   t    t  1 t t  4  t , f  t    t  BBT Do  M  Vậy max M  1 Kết hợp  M  18 18 x  3y2 , M  y  18 Bài toán Cho x, y số thực thay đổi thỏa điều kiện x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F  x  y2  8x  16 Giải Nếu x  x  y2 F  x  y2  8x  16  x  x  8x  16 Xét hàm số: f  x   x  x  8x  16 với x  f   x   x  x  ; f   x   30 x   0, x  Do f   x  đồng biến Ta có: x   f   x   f  1  ;  x   f   x   f  1  BBT Từ đó: f  x    F  10 Dấu đẳng thức xảy x  y  Nếu x  x  y2  8x  16  16 Vậy F  10 , đạt x  y  Bài toán Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A   x  y4  x y2    x  y2   Giải Kết hợp  x  y   xy  với  x  y   xy suy ra:  x  y   x  y    x  y 1    A  x  y4  x y2  x  y2     x  y2  A     x  y2 x  y2             x  y2  2  x  y 2  1  t  , A  t  2t  2 9 Xét f  t   t  2t  ; f   t   t   với t  2 1 dấu = x  y   f  t   f    Do A  1  16   16 t ;    x  y4  x  y2   x  y2  Đặt t  x  y , ta có x  y   x  y2  Vậy giá trị nhỏ A 16 Bài toán Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN T  x y x x y5 z5      y2 z z x x y y z x Giải Áp dụng BĐT Cô si: T  3 Đặt t  xyz  t   xyz   3  xyz  xyz  Xét hàm số f  t    3t ,0  t  2 t   4t  6  1  1 Ta có  12t   0, t   0,  nên f nghịch biến  0,  , 3 t t  2  2   195 f t   f      16 f t   Dấu = x  y  z  Vậy T  195 16 Bài toán Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x  y3  z3   xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y2  3z2 Giải Từ giả thiết x  y3  z3   xyz   x  y  z   x  y2  z  xy  yz  zx   2 3   x  y  z   x  y2  z   x  y  z    2 2    Đặt t  x  y  z Khi t  x  y2  z  Xét hàm f  t   t2  3t t2  0;   3t   t3  4 Ta có f   t   t   , f t    t  2 3t 3t f  t   f    , đạt t  Lập BBT tmin 0;   Ta có P  x  y2  z2  Dấu đẳng thức xảy x  , y  z  Vậy giá trị nhỏ P , đạt x  , y  z  Bài toán Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn: x   y   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x   y  Giải Đặt x   a , y   b Ta có a  b  , a  , b  ,  a  P a2    b2    a2   Xét hàm số f  a   f   a  a   f '  a   a a2  a2   b2   2 4  a 6 6 , 0a4 4a   4  a a2   4  a  a2   6 4a   a 6   0  a  0  a     2 2  a   a   6a  a    a  a  8a  12a  16  a        0  a   a2 a  a  a  16       Ta có f     10 34   22 ; f    ; f  4  2 So sánh max P  P   22 đạt x   , y  13 2 10 đạt x  , y  2 ... 3 2 2    x; y    ; x; y    ;       4     Bài toán Cho x  y tùy ý Tìm GTLN, GTNN M  xy x  3y  x  x  12 y  Giải Xét y  M  Xét y  M  Đặt t  xy  x x  12 y...  T  f 3  10  10  10 15 Bài toán Cho số dương thay đổi x y thỏa mãn x  y  Tìm GTNN Q  xy  xy Giải Đặt t  xy , x, y  x  y   xy nên  t  Ta có Q  xy  f t    1 ... , ta có x  y   x  y2  Vậy giá trị nhỏ A 16 Bài toán Cho x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN T  x y x x y5 z5      y2 z z x x y y z x Giải Áp dụng BĐT Cô si: T  3 Đặt t  xyz 