Dang bai tap tim so duong tiem can cua do thi ham so

TÌM SỐ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Đường thẳng 0x x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn        [.]

TÌM SỐ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải - Đường thẳng x  x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 - Đường thẳng y  y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  lim f  x   yo lim f  x   yo x  x  - Đường thẳng y  ax  b, a  gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f  x  lim  f  x    ax  b   lim  f  x    ax  b   x  x  Chú ý: 1) Nếu tập xác định D  R khơng có tiệm cận đứng 2) Điều kiện cần để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận xiên hàm số xác định khoảng  ; a  khoảng  b;   Tiệm cận ngang trường hợp đặc biệt tiệm cận xiên Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x   x   khơng có tiệm cận xiên phía tương ứng ngược lại II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y  x2 3x  b) y  x  3x  2x 1 Giải a) D  R \    3 y Ta có lim y  , lim y   nên TCĐ x   Ta có xlim   2 x     3   2 x     3  Đồ thị khơng có TCX b) D  R \    2 Ta có lim y  , lim y   nên TCĐ x    1 x     2   1 x     2  Tiệm cận xiên ngang có dạng: y  ax  b 1 nên TCN y  3 a  lim x  y x  3x   lim  x x  x  x  1  x  3x  x  x 7 x   b  lim  y    lim     lim  x   x  x  x  1  x  x  1  x nên đường thẳng y   tiệm cận xiên đồ thị Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y  x2 x2 1 b) y  x x 1 Giải a) D  R \ 1;1 Ta có lim y   lim y   nên có TCĐ: x  1 x  1  x  1  y  nên TCN: y  Ta có xlim  Đồ thị khơng có TCX b) D  R \ 1 Ta có lim y   lim y   nên TCĐ: x  1 x  1  x  1  y  nên TCN: y  Ta có xlim  Đồ thị khơng có TCX Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y  2x 1  x 3 x2 b) y  x3  x2  x Giải a) D  R \ 0 Ta có lim y  lim y   nên TCĐ: x  x 0 x 0 xlim  y   x  3   xlim   2x 1  nên TCX: y  x  x2 b) D  R \ 0; 2 suy TCĐ: x  x  Ta có y  x3  4x   x2 nên TCX: y  x  x  2x x  2x Bài toán Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y  x3  x  x2 1 b) y  x2  x  5 x  x  Giải a) D  R \ 1;1 suy TCĐ: x  1 x  Ta có y  x3  x  2x 1 nên xlim  x  y  x   , TCX: y  x  x 1 x 1 3 b) D  R \ 1;  suy TCĐ: x  1 x   5 y Ta có xlim  1 nên TCN: y   5 Đồ thị khơng có TCX Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: b) y  a) y  x  x2  x4 x2 Giải a) D   ; 1  1;   Đồ thị TCĐ  y x x2 1    2; x  Ta có: a  xlim  lim 1   x    b  lim  y  x   lim x  x    x   x  lim x  1 x 1  x 0 nên tiệm cận xiên: y  x (khi x   )   1 lim y  lim x  x   lim x  x  x2 1  x x   nên tiệm cận ngang: y  (khi x   ) b) D   4; 2   2;   Ta có lim y   , lim y   nên TCĐ: x  x 2 x 2 y  nên TCN: y  (khi x   ) Ta có xlim  Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) y  tan x b) y  cot x Giải a) ĐK: x  Ta có   k , k  Z lim   x   k  2   y  , lim   x   k  2  b) ĐK: x  k , k  Z Ta có  y    nên có vơ số TCĐ: x    k , k  Z lim  y  , lim  y    nên có vơ số TCĐ: x  k , k  Z x  k  x  k  Bài tốn Tìm tiệm cận đồ thị: a) y  cos x b) y  x   sin x x Giải a) ĐK: x  , lim y, lim y khơng tồn nên khơng có TCĐ x 0  x 0  x Ta có xlim y  lim cos  nên có TCN: y   x  y  9   8 nên khơng có TCĐ b) ĐK: x  , ta có lim x 0 Vì xlim  y   x  9   xlim   sin x  nên TCX: y  x  x Bài tốn Tìm tiệm cận đồ thị hàm số y  x  x cos   x  2sin  Giải Điều kiện x  2sin  Vì lim y   nên tiệm cận đứng: x  2sin  x 2sin  y  x   cos   sin    Vì xlim   4sin   sin   cos   x  2sin   4sin   sin   cos    nên tiệm cận xiên: y  x   cos   sin   x  2sin  x  mx  Bài tốn Tùy theo m , tìm tiệm cận đồ thị: y  x 1 Giải Ta có: y  x  mx  m2  x  m 1 , x  x 1 x 1 - Khi m  2 xlim  y   x  m  1   xlim   Ta có: lim x 1 m2  nên y  x  m  tiệm cận xiên x 1 x  mx  x  mx    m  2 lim   m  2 nên TCĐ x  x 1 x 1 x 1  x  1 (với - Khi m  2 y  x 1 x  ), đồ thị đường thẳng (trừ điểm 1;0  ) nên trùng với tiệm cận xiên Bài toán 10 Tùy theo m , tìm tiệm cận đồ thị: y  Giải mx3  x  3x  Ta có: y  mx3  7mx   6m  mx  3m  2 x  3x  x  3x  Khi m  y Khi m  x3  x2  x   , x  1, x  x  3x  x2 x3  x2  x  y   , x  1, x   x  1 8  x  3x   Từ suy Với m  x  tiệm cận đứng Với m  x  tiệm cận đứng Với m  m  đồ thị có hai tiệm cận đứng x  x  Ta có xlim  y   mx  3m    xlim   7mx   6m  nên đồ thị có TCN, TCX: y  mx  3m x  3x 