Đang tải... (xem toàn văn)
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Cho hàm số f xác định trên tập hợp D D và 0x D a) 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm 0x sao cho a;b[.]
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Cho hàm số f xác định tập hợp D D x D a) x gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x cho a;b D f x f x với x a;b \ x 0 Khi f x gọi giá trị cực đại hàm số f kí hiệu yCĐ b) x gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x cho a;b D f x f x với x a;b \ x 0 Khi f x gọi giá trị cực tiểu hàm số f kí hiệu yCT Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá tri cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị , x điểm cực trị hàm số f điểm x ;f x gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x Khi đó, f có đạo hàm x f x Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y f x liên tục khoảng (a; b) chứa x , có đạo hàm khoảng a;x x ;b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x Nếu f x f x f đạt cực tiểu x Nếu f x f x f đạt cực đại x Quy tắc 1 Tìm f x Tìm điểm x i i 1,2, đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm Xét dấu f x Nếu f x đổi dấu từ - sang + x qua điểm x i hàm số đạt cực tiểu lại x i , f x đổi dấu từ + sang - x qua điểm x i hàm số đạt cực đại x i Quy tắc Tìm f x Tìm nghiệm x i i 1,2, phương trình f x Tìm f x tính f x i Nếu f x i hàm số đạt cực đại điểm x i Nếu f x i hàm số đạt cực tiểu điểm x i B Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: a) f x x 2x 3x b) f x x x 2x 10 Giải a) D Ta có f x x2 x f x x2 x x 3 x 1 BBT x y y 3 + 1 + 1 7 / Vậy hàm số đạt cực đại điểm x 3, f 3 1 đạt cực tiểu điểm x 1, f 1 b) D Ta có f x x2 x 0, x (do ) nên hàm số đồng biến R, khơng có cực trị Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: b) y x 2 x 3 a) y x4 5x2 Giải a) D Ta có y x3 10 x x x2 5 y x x Ta có y x ; y 12 x 10 5 20 0, y 10 nên hàm số đạt cực đại x 0, yCĐ đạt cực tiểu , yCT b) y x 2 x 3 x 2 x 3 5x x 2 x 3 2 2 Ta có y x 2 x x BBT x y 2 + 0 + + y -108 Vậy điểm cực đại 2;0 cực tiểu 0; 108 Bài toán Tìm cực trị hàm số a) f x x 3x b) f x x x Giải a) D x 3x 4, x 4 hay x , y x 3x 4, 4 x 2 x 3, x 4 hay x y 2 x 3, 4 x BBT x y 3 / 4 + + CĐ y Vậy hàm số đạt CĐ ; CT 25 , CT 4;0 , CT 1;0 CT b) Hàm số f liên tục x x x Ta có: f x x x 2 x Với x 0, f x 2 x 2, f x x 1 Với x 0, f x x BBT x 1 y + + y Vậy điểm CĐ 1;1 , CT 0;0 Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y x 1 x2 b) y x x 1 Giải a) D Ta có y x x x 1 x 8 x2 x x 8 y x 4 x BBT x y 4 + y Vậy hàm số đạt cực đại x 2, yCĐ b) D \ 1 , y y x 1 x 1 1/ 1/ 1 đạt cực tiểu x 4, yCT , y x x 2 , y 0, y 2 2 Vậy hàm số đạt cực đại x 2, yCĐ 4 đạt cực tiểu x 0, yCT Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y x2 2x x 1 b) y 2x 1 x 5 Giải a) D \ 1 Ta có y x2 x x 1 , y x 1 BBT x 1 y y + 1 1 4 + 4 Vậy điểm CĐ 1 6; 4 , CT 1 6; b) D \ 5 Ta có y 11 x 5 0, x nên hàm số nghịch biến khoảng xác định, khơng có cực trị Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: b) y x x 5 a) y x2 x Giải a) D Ta có y x 1 x 2x , y x BBT x y y + + Vậy hàm số đạt CT 1; b) D Với x y x x 5 33 x x 2 33 x ; y x Bảng biến thiên x y + + y 3 Vậy hàm số đạt cực đại x 0, yCĐ đạt cực tiểu x 2, yCT 3 Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y sin x b) y sin x Giải a) D , y 2cos x y cos x x k hay x k , k ; y 4sin x Ta có y k 4 4 nên hàm số đạt cực đại điểm x k , k , yCĐ Ta có y k nên hàm số đạt cực tiểu điểm: x k , k , yCT b) D , y 2sin x.cosx sin x y sin x x k hay x k , k ; y 2cos x Ta có y k 2 , nên hàm số đạt cực đại điểm x k , k , yCĐ 1 2 Ta có y k nên hàm số đạt cực tiểu điểm: x k , k , yCT 2 Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y x sin x b) y 2cos x cos x Giải a) D , y 2cos x y cos x x k , k ; y 4sin x Ta có y k 4sin 2 nên hàm số đạt cực đại điểm 3 x k , k , yCĐ k 2 Ta có y k 4sin nên hàm số đạt cực tiểu điểm: 6 3 x k , k , yCT 2 k b) y 2sin x 2sin x 2sin x 1 2cos x : sinx 2 2k , k y 0 x k x cos x y 2cos x 4cos x Ta có y k 2cos k 4cos 2k 2cos k , với k , nên hàm số cho đạt cực tiểu điểm x k , yCT 2cos k k chẵn k lẻ 2 2 4 2 Ta có y 2k 2cos 4cos 6cos 3 nên hàm số đạt cực đại điểm: 3 x 2 2k , k , yCĐ C Bài tập tự luyện Câu 1: Tìm giá trị cực đại yCD hàm số y x3 3x A yCD B yCD C yCD D yCD 1 x2 Câu 2: Cho hàm số y Mệnh đề đúng? x 1 A Cực tiểu hàm số 3 B Cực tiểu hàm số 6 C Cực tiểu hàm số D Cực tiểu hàm số Câu 3: Đồ thị hàm số y x 3x 9x có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB? A P 1;0 B M 0; 1 C N 1; 10 D Q 1;10 Câu 4: Đồ thị hàm số y x 3x có hai điểm cực trị A B Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ A S B S 10 C S Câu 5: Điểm cực đại hàm số y x 3x D S 10 A x B x C y D y Câu 6: Điểm cực đại hàm số y x 3x A x B x C y D y Câu 7: Điểm cực tiểu hàm số y x 2x 3x A x 1 B x C x D x Câu 8: Hàm số y x 2x có điểm cực trị? A B C D Câu 9: Cực đại (giá trị cực đại) hàm số y x 2x A B 1 C 2 D Câu 10: Cực tiểu (giá trị cực tiểu) hàm số y x 8x A 4 B C 3 D Câu 11: Số điểm cực trị hàm số y x x 3x A B C D Câu 12: Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x 3x 1? A 0; 2 B 0;1 C 5; 2 D 2; 5 x2 x Câu 13: Số điểm cực trị hàm số y x 1 A B C D C D 2 x2 Câu 14: Hàm số y đạt cực tiểu 1 x A B 1 x2 x Câu 15: Giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số y x x 1 A B 1 C D Câu 16: Số điểm cực trị hàm số y x x A B C Câu 17: Số điểm cực trị hàm số y x x D A B C D Câu 18: Hàm số sau khơng có điểm cực trị A y x B y x C y x D y x Câu 19: Tổng điểm cực trị hàm số y x 3x A B C D Câu 20: Tổng điểm cực trị hàm số y x x 6x A B C D Câu 21: Tổng điểm cực trị hàm số y x 5x 11x 2016 A.10 B C 11 D Câu 22: Tích điểm cực trị hàm số y x 4x 9x 2026 A 8 B 9 C D 10 Câu 23: Biết hàm số C : y x x 2x có hai điểm cực trị x1 , x Đẳng thức sau đúng? A x1 x B x1 x C x1 x 3 D x1 x 3 Câu 24: Biết hàm số C : y x x có hai điểm cực trị x1 , x Đẳng thức sau đúng? A x1 x 2 B x1 x 3 C x1 x D x1 x Câu 25: Tính giá trị cực đại yCD hàm số y x 2x A yCD 4 B yCD C yCD 3 D yCD x2 x Câu 26: Hàm số y có điểm cực đại cực tiểu theo thứ tự x 1 A x 2;x B x 3;x C x 2;x D x 3;x Câu 27: Biết hàm số y A P x 3x có hai điểm cực trị x1 , x Tính P x1 x ? x 1 B P C P 2 D P 2x 2x Câu 28: Biết hàm số y có hai điểm cực trị x1 , x Tính P x1.x ? x 1 A P 4 B P C P 2 D P 1 2x x Câu 29: Hàm số y đạt cực tiểu điểm x 1 A x 2 10 B x 2 C x 2 D x 2 10 x2 x Câu 30: Hàm số y đạt cực tiểu điểm x 1 A x 3 B x 2 C x D x 1 Câu 31: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số C : y x A 0;2 B 0; C 2;2 D 2;2 Câu 32: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số C : x x A x B x C x 2 D x Câu 33: Điểm cực đại đồ thị hàm số C : y x x A 2;2 B 2;0 C 2;2 D 2;0