Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số A Phương pháp giải & Ví dụ Phương pháp giải 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là ∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b) Nếu tồn tại s[.]
Dạng 1: Tìm cực trị hàm số A Phương pháp giải & Ví dụ Phương pháp giải 1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định liên tục khoảng (a;b) (có thể a -∞; b +∞) điểm x0∈(a;b) Nếu tồn số h > cho f(x)< f(x0 ) với x ∈ (x0 - h;x0 + h) x≠x_0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 Nếu tồn số h >0 cho f(x) >f(x0 ) với x ∈ (x0 - h;x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm K K\{x0}, với h >0 Nếu f'(x)> khoảng (x0 - h;x0) f'(x) 0 (x0;x0+ h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) Minh họa bảng biến thiến Chú ý Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f(x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ (fCT), điểm M(x0;f(x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số 3.Quy tắc tìm cực trị hàm số Quy tắc 1: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tínhf'(x) Tìm điểm f'(x)bằng f'(x) khơng xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 2: Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f'(x) Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3, )là nghiệm Bước Tính f''(x) f''(xi ) Bước Dựa vào dấu f''(xi )suy tính chất cực trị điểm xi Ví dụ minh họa Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = 2x3 - 6x + Hướng dẫn Tập xác định D = R Tính y' = 6x2 - Cho y'= ⇔ 6x2 - = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại x = - 1, y = hàm số đạt cực tiểu x = 1,y = -2 Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x4 - 2x2 + Hướng dẫn Tập xác định D = R Tính y' = 4x3 - 4x Cho y'= ⇔ 4x3 - 4x = ⇔ Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu x = ±1, y = hàm số đạt cực đại x = 0, y = Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = Hướng dẫn Tập xác định D = R\{2} Tính Bảng biến thiên Vậy hàm số cho khơng có cực trị B Bài tập vận dụng Bài Tìm cực trị hàm số y = -x3 + 3x2 - Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y'= -3x2 + 6x Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔ Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 0,y = -4 hàm số đạt cực đại x = 2,y = Bài Tìm cực trị hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y' = -3x2 + 6x-3 Cho y'= ⇔ -3x2+ 6x-3 = ⇔ x = Bảng biến thiên Vậy hàm số cho khơng có cực trị Bài Gọi A,B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x - 3x2 - 12x + Tìm tọa độ A,B phương trình đường thẳng qua hai điểm Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y' = 6x2 - 6x - 12 Cho y'= ⇔ Bảng biến thiên Suy tọa độ hai điểm cực trị A(-1;8), B(2;-19) Vậy phương trình đường thẳng AB 9x + y + = Bài Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C) Tìm điểm cực đại, cực tiểu đồ thị (C)và khoảng cách hai điểm cực trị Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y'= 3x2-6x Cho y'= ⇔ Bảng biến thiên Vậy tọa độ hai điểm cực trị A(-1;8),B(2;-19) Khi AB = Bài Tìm cực trị hàm số y = x4/4 - x2 + Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y'= 2x3-2x Cho y'= ⇔ 4x3 - 4x = ⇔ Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu x = ±1, y = 3/2 hàm số đạt cực đại x = 0, y = Bài tập trắc nghiệm Tìm cực trị hàm số cực hay Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ: Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị? A B C D Hiển thị đáp án Đáp án : A Câu 2: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = -2và cực tiểu x = D Hàm số đạt cực đại x = 0và cực tiểu x = -2 Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : y' = 3x2 - 6x = ⇔ Lập bảng biến thiên ta hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Câu 3: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + Khẳng định sau đúng? A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số khơng có cực trị D Hàm số có điểm cực trị Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : y' = 4x3 - 4x = ⇔ y(0) = 3; y(1) = y(-1) = nên hàm số có hai cực trị Câu 4: Gọi M, n giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số A B C Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích : Khi giá trị biểu thức M2 - 2n bằng: D Hàm số đạt cực đại x = -3 yCD = -3 Hàm số đạt cực tiểu x = -1 yCT = ⇒ M2 - 2n = Phương pháp trắc nghiệm: Bấm máy tính: Bước 1: Bước 2: Giải phương trình bậc hai : Bước 3: Nhập vào máy tính Caclx = A → C Caclx = B → D Bước 4: Tính C2 - 2D = Câu 5: Cho hàm số y = x3 + 17x2 - 24x + Kết luận sau đúng? A xCD = B xCD = 2/3 Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : C xCD = -3 D xCD = -12 Để hàm số có điểm cực trị B Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - có cực trị Hiển thị đáp án TXĐ: D = R Ta có: y' = 3mx2 + 6mx - m + Hàm số có đạo hàm điểm nên x điểm cực trị hàm số đạo hàm phải Vậy hàm số có cực trị y' = phải có nghiệm y' đổi dấu qua nghiệm * Nếu m = ⇒ y' = > ∀ x ∈ R ⇒ hàm số khơng có cự trị * Nếu m ≠ Khi y' tam thức bậc hai nên y' = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm y' = có hai nghiệm phân biệt hay Δ' = 12m2 - 3m > ⇔ m < m > 1/4 Vậy, với m < m > 1/4 giá trị cần tìm Bài 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3(2m - 4)x + m có cực trị Hiển thị đáp án Ta có: y' = 3[x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4] Hàm số có cực trị y' = có hai nghiệm phân biệt với m Vậy hàm số ln có cực trị với m Δ' = m2 - 4m + > Bài 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = x + mx2 +(4m + 3)x + 2m - có hai điểm cực trị Hiển thị đáp án Tập xác định D = R ... tham số Bước Kiểm lại cách dùng hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị tham số vừa tìm có thỏa mãn u cầu tốn hay khơng? Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m tham... định D = R Tính y'' = 2(m2 - 3)cosx - 4mcos2x; y'''' =2(3 - m2 )sinx + 8msin2x Để hàm số cho đạt cực đại x = π/3 ta có Vậy m = -3 giá trị cần tìm Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x - mx2... ♦ Vậy giá trị m cần tìm m = 3. Bài Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + (m tham số) Tìm tất tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu x = Hiển thị đáp án Tập xác định D = R Tính y'' = x2