TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A Phương pháp giải Trung điểm của đoạn thẳng Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa củ[.]
Trang 1TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG A Phương pháp giải
Trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng Trung điểm của đoạn thẳng cịn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng
B Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận biết một điểm là trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 1: Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA=3cm; OB=6cm
1 Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B không? 2 So sánh OA và AB
3 Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB khơng? Vì sao?
Lời giải:
1 Vì A, B thuộc tia Ox mà OA=3cm; OB=6cm nên OA<OB suy ra điểm A nằm giữa hai điểm O và B
2 Điểm A nằm giữa O và B nên
OA AB OB
3 AB 6
AB 3cm
Suy ra AB=OA (=3cm)
3 A nằm giữa O và B đồng thời OA=AB nên A là trung điểm của OB
Ví dụ 2: Trên tia Cx lấy hai điểm A, D sao cho CA=2cm; CD=5cm
1 Trong ba điểm C, A, D điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại? Vì sao? 2 Điểm A có là trung điểm của CD khơng? Vì sao?
3 Trên tia đối của Cx lấy điểm E sao cho CE=2cm Hỏi điểm C có là trung điểm của AE khơng? Vì sao?
Trang 21 CA<CD (2cm<5cm) mà A và D cùng thuộc tia Cx suy ra A nằm giữa C và D
2 A nằm giữa C và D nên
CA AD CD
2 AD 5do đó AD=3cm AD>CA (3cm>2cm) nên A khơng là trung điểm của CD
3 E thuộc tia đối của Cx mà A thuộc tia Cx nên C nằm giữa A và E Mặt khác CA=CE (=2cm) suy ra C là trung điểm của AE
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB=8cm Gọi M là trung điểm của AB Trên đoạn AB
lấy hai điểm C và D sao cho AC=BD=3cm 1 Tính độ dài đoạn CD
2 Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD khơng? Vì sao?
Lời giải:
1 Điểm D nằm giữa A, B nên
AD BD AB
AD 3 8nên AD=5cm
C và D cùng thuộc tia AB mà AC=3cm, AD=5cm nên AC<AD hay C nằm giữa A và D ta có
AC CD AD
3 CD 5nên CD=2cm 2 M là trung điểm của AB nên AM AB 8 4(cm)
2 2
Trên tia AB có AC<AM (vì 3<4) nên C nằm giữa A và M nên
AC CM AM
Trang 3Trên tia AB có AM<AD (vì 4<5) nên M nằm giữa A và D nên
AM MD AD
4 MD 5hay MD=1cm
Ta có M nằm giữa C và D vì MC+MD=CD (1+1=2) đồng thời CM=MD nên M là trung điểm của đoạn CD
Ví dụ 4: Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM=6cm; ON=10cm Gọi I, K là
trung điểm của ON và MN Tính độ dài IK
Lời giải:
I là trung điểm của ON nên IN 1ON 10 5(cm)
2 2
OM<ON nên M nằm giữa O và N suy ra MN ON OM 10 6 4(cm) K là trung điểm của MN thì KN 1MN 4 2cm
2 2
Vì K nằm giữa N, I nên IK IN KN 5 2 3cm
Ví dụ 5: Cho đoạn thẳng AB=8cm C là điểm nằm giữa A và B Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng AC, CB Tính độ dài MN
Lời giải:
Trang 4Nhận xét: Bài toán khơng thể và khơng cần thiết tính cụ thể số đo đoạn thẳng AC,
CB mà có thể chỉ cần biểu thị được MC=AC
2 và CN=CB
2 Sau đó tính MN Dựa vào lời giải thích trên, ta có thể có mối liên hệ sau: MN AB
2 với mọi điểm C thuộc đoạn AB Như vậy nếu cho độ dài AB thì tính được MN và ngược lại
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Gọi I là trung điểm của CD Biết CI=4cm Tính độ dài CD Lời giải:
Vì I là trung điểm của CD nên CI CD
2 , mà CI=4cm nên CD=8cm
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB=6cm Lấy điểm C thuộc tia AB sao cho AC=2cm
1 Tính BC
2 Vẽ điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=3cm Tính CD 3 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, BD Tính IK
Lời giải:
1 Trên tia AB có hai điểm B, C mà AC<AB (2cm<6cm) nên C nằm giữa A và B Do đó
AC BC AB
2 BC 6 BC 4cm
2 Vì BC và BD là hai tia đối nhau nên B nằm giữa C và D Do đó
CD BC BD
CD 4 3 CD 7cm
3 Vì I là trung điểm của BC nên IB BC 4 2(cm)
Trang 5Vì K là trung điểm của BD nên BK BD 3 1,5(cm)
2 2
I nằm trên tia BC, K nằm trên tia BD mà BC và BD là hai tia đối nhau nên B nằm giữa I và K Do đó
IK IB BK
IK 2 1,5 IK 3,5cm
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB=8cm Lấy điểm C nằm giữa A, B sao cho AC=3BC
1 Tính độ dài AC và BC
2 Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD=5cm Chứng tỏ D là trung điểm của đoạn thẳng AC;
3 Vẽ điểm E sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng BE So sánh độ dài AB và CE Lời giải: 1 Vì C nằm giữa A và B nên ta có AB AC BCAB 8AB 3BC BC 4BC BC 2(cm)4 4Vậy AC AB BC 8 2 6(cm)
2 Trên tia BA có hai điểm C, D mà BC<BD (2cm<5cm) nên C nằm giữa B và D Do đó
BC CD BD
2 CD 5 CD 3cm
Trên tia BA có hai điểm A, D mà BD<BA (5cm<8cm) nên D nằm giữa B và A Do đó
BD DA BA
5 DA 8 DA 3cm
Trang 63 Vì D là trung điểm của BE nên BD BE BE 2BD 10(cm)2
Trên tia BD có hai điểm C, E mà BC<BE (2cm<10cm) nên C nằm giữa B và E Do đó
BC CE BE
2 CE 10 CE 8cm
Vậy CE=AB (=8cm)
Bài 4: Cho đoạn thẳng CD=9cm Lấy M thuộc đoạn thẳng CD sao cho CM=5cm 1 Tính MD
2 Gọi A là trung điểm của MD Tính MA
3 Lấy điểm B thuộc tia đối của tia DC sao cho DB=2DA Hỏi D có là trung điểm của đoạn thẳng BM khơng? Vì sao?
Lời giải:
1 Vì M thuộc đoạn thẳng CD nên M nằm giữa C và D Do đó
CM MD CD
5 MD 9 MD 4cm
2 Vì A là trung điểm MD nên MA=AD=MD 4 2(cm)
2 2
3 Ta có DB=2DA=4 (cm)
Lại có DM và DC là hai tia trùng nhau và B thuộc tia đối của tia DC nên DM và DB là hai tia đối nhau hay D nằm giữa M và B