ƯỚC VÀ BỘI A Phương pháp giải 1 Ước và Bội Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a Chú ý Tập hợp các ước của a, được kí hiệu là Ư(a) Số 1 và a cũng là ước của a[.]
Trang 1ƯỚC VÀ BỘI A Phương pháp giải
1 Ước và Bội
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a Chú ý:
Tập hợp các ước của a, được kí hiệu là Ư(a)
Số 1 và a cũng là ước của a Các ước của a (khác a) được gọi là các ước thực sự của a
Tập hợp các bội của b được kí hiệu là B(b)
2 Cách tìm ước và bội
Quy tắc: Muốn tìm bội của một số khác 0, ta nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, … Nhận xét: Một số a ≠ 0 có vơ số bội số và các bội của a có dạng:
B(a) = k.a với k ∈ N
Quy tắc: Muốn tìm các ước của a (với a > 1) ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho số nào
Khi đó các số ấy là ước của a
B Các dạng toán và phương pháp giải
Trang 2Do đó Ư (1) 1
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên x sao cho
x Ư (54) và 3<x<20
Lời giải:
Số 54 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 9; 18; 27; 54 Mặt khác 3<x<20 nên x 6;9;18
Dạng 2: Tìm và viết tập hợp các bội của một số cho trước Ví dụ 1: Tìm các bội của 9 trong các số 1234; 2345; 3456; 0 Lời giải:
- Các số 1234; 2345 không chia hết cho 9 nên không phải là bội của 9 - Các số 3456; 0 đều chia hết cho 9 nên chúng là bội của 9
Ví dụ 2: Viết tập hợp các bội của 6, của 15, của 0 Lời giải:
B(6) 0;6;12;18; B(15) 0;15;30;45;
B(0) ( vì khơng thể chia một số cho 0)
Ví dụ 3: Viết dạng tổng quát các bội của 7 rồi viết tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn
50
Lời giải:
- Dạng tổng quát các bội của 7 là 7 n (n N)
- Các bội của 7 nhỏ hơn 50 là 0;7;14;21;28;35;42;49
Dạng 3: Nhận biết và viết tập hợp các ước chung của hai phần tử nhiều số Ví dụ 1: Cho các số 20; 28; 42; 70 Hỏi:
a) Số 10 là ước chung của những số nào? b) Số 14 là ước chung của những số nào?
c) Số 2 có phải là ước chung của các số đó khơng?
Lời giải:
a) Ta có 20 10,70 10 nên 10 ƯC (20,70)
Trang 3c) Các số 20; 28; 42; 70 đều chia hết cho 2 nên 2 là ước chung của tất cả các số đó
Ví dụ 2: Số 8 có phải là ước chung của:
a) 56 và 104 b) 56; 104; 18
Lời giải:
a) Ta có 56 8,104 8 nên 8 ƯC (56;104) b) Ta có 18 8 nên 8 ƯC (56;104;18)
Vi dụ 3: Viết tập hợp các ước chung của:
a) 36 và 48 b) 45; 75 và 105 c) 14 và 33 Lời giải: a) Ư (36) 1;2;3;4;6;9;12;18;36 Ư (48) 1;2;3;4;6;8;12;16;24;48 Do đó ƯC(36;48) 1;2;3;4;6;9;12 b) Ư (45) 1;3;5;9;15;45 Ư (75) 1;3;5;7;15;21;35;105 Ư (105) 1;3;5;15;25;75 Do đó ƯC(45;75;105) 1;3;5;15 c) Ư (14) 1;2;7;14 Ư (33) 1;3;11;33 Do đó ƯC(14;33) 1
Dạng 4: Nhận biết và viết tập hợp các bội chung của hai hay nhiều số Ví dụ 1: Cho ba số 12; 18; 45 Hỏi:
a) Số 72 là bội chung của những số nào? b) Số 40 là bội chung của những số nào?
Trang 4Lời giải:
a) Ta có 72 12,72 18 nên 72 BC(12;18) b) Ta có 90 18,90 45 nên 90 BC(18;45)
c) Số 180 chia hết cho cả ba số 12; 18; 45 nên 180 là bội chung của ba số đã cho
Ví dụ 2: Số 450 có phải là bội chung của:
a) 45 và 75; b) 30; 225 và 54
Lời giải:
a) Ta có 450 45,450 75 nên 450 BC(45;75)
b) Ta có 450 54 nên 450 không phải là bội chung của 30; 225; 54
Ví dụ 3: Viết tập hợp các bội chung của:
Trang 5Lời giải:
Ta có abab ab.100 ab 101 ab 101 Vậy abablà bội của 101
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng 37 là ước của số aaabbb
Lời giải:
aaabbb aaa.1000 bbb a 111 1000 b 111111(1000 a b)37 3(1000 a b) 37Vậy 37 là ước chung của aaabbb
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng hai số chẵn liên tiếp chỉ có hai ước chung là 1 và 2 Lời giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n và 2n+2 (n N) Giả sử d là ước chung của 2n và 2n+2
Khi đó 2n d;2n 2 d
Do đó (2n 2 2n) d hay 2 dSuy ra d 1;2
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết dạng tổng quát của các số là bội của 15 rồi viết tập hợp các bội của 15
lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 200
Lời giải:
B(15) 15 k k N
Các bội của 15 lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 là
105;120;135;150;165;180;195
Bài 2: Viết tập hợp các ước của 20; 42 Lời giải:
Trang 6Bài 3: Viết tập hợp các ước chung của: a) 9 và 25 b) 6; 9 và 15 Lời giải: a) Ta có U(9) 1;3;9 Ư (25) 1;5;25 Do đó ƯC(9;25) 1 b) Ta có Ư (6) 1;2;3;6 Ư (15) 1;3;5;15 Do đó ƯC(6;9;15) 1;3
Bài 4: Viết tập hợp các bội chung của
a) 4 và 8 b) 6; 10 và 15 Lời giải: a) Ta có: B(4) 0;4;8;12;16;20;24; B(8) 0;8;16;24; Do đó BC(4;8) 0;8;16;24; b) Ta có: B(6) 0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;60 B(10) 0;10;20;30;40;50;60; B(15) 0;15;30;45;60; Do đó BC(6;10;15) 0;30;60;
Bài 5: Tìm số tự nhiên n, biết (n+6) n Lời giải:
Trang 7Bài 6: Tìm số tự nhiên n sao cho 15 n(2n 1)
Lời giải:
Ta có 15 n(2n 1), suy ra 2n+1 Ư( (15) hay 2n+1 1;3;5;15 Do đó 2n+1=1 n=0;