Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Chương 1 Tứ giác Tứ giác§1 Tóm tắt lý thuyết1 Định nghĩa 6 Tứ giác ABCD là hình g[.]
Chương Tứ giác §1 Tứ giác Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đó, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng A A B D C C a) D B b) - Tứ giác lồi: Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác (hình b khơng phải tứ giác lồi) - Tổng góc tứ giác: Tổng góc tứ giác 360◦ - Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác Bài tập dạng toán Dạng Tính số đo góc Dựa vào tính chất tổng góc tứ giác ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ 306 Chương Tứ giác 307 Ơ Ví dụ Tìm x hình vẽ A x B x ◦ 100 N 2x M x x C P 2x Q ◦ 50 D a) b) ĐS: a) 100◦ ; b) 60◦ Lời giải Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên “+ C + D “ = 360◦ ⇒ x + x + 50◦ + 110◦ = 360◦ ⇒ x = 100◦ A+B Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên “ + P + Q = 360◦ ⇒ x + 2x + x + 2x = 360◦ ⇒ 6x = 360◦ ⇒ x = 60◦ M +N Ơ Ví dụ Tìm x hình vẽ A 50◦ M N F 100◦ x x D ◦ B 100 x G E 100◦ ◦ I 120 C a) Q P b) H c) K 60◦ L x R d) ĐS: a) 90◦ ; b) 90◦ ; c) 80◦ ; d) 70◦ Lời giải Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên “+ C + D “ = 360◦ ⇒ 50◦ + 100◦ + 120◦ + x = 360◦ ⇒ x = 90◦ A+B Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên “ + P + Q = 360◦ ⇒ 90◦ + 90◦ + 90◦ + x = 360◦ ⇒ 6x = 360◦ ⇒ x = 90◦ M +N Tài liệu Toán của: Tứ giác 308 Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên “+ F + G + H “ = 360◦ ⇒ 100◦ + 90◦ + 90◦ + x = 360◦ ⇒ x = 80◦ E Vì góc ngồi K có số đo 100◦ nên IKL = 180◦ − 100◦ = 80◦ Góc ngồi L có số đo 60◦ nên KLR = 180◦ − 60◦ = 120◦ Ta có tổng góc tứ giác 360◦ nên IKL + KLR + R + I = 360◦ ⇒ 80◦ + 120◦ + 90◦ + x = 360◦ ⇒ x = 70◦ “ = 117◦ , P = 71◦ Tính số đo góc ngồi Ô Ví dụ Tứ giác M N P Q có M = 65◦ , N đỉnh Q Lời giải Xét tứ giác M N P Q, ta có “+P +Q M +N 65◦ + 117◦ + 71◦ + Q 253◦ + Q Q Q = = = = = 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ − 253◦ 107◦ Khi đó, góc ngồi đỉnh Q có số đo 180◦ − 107◦ = 73◦ “ = 90◦ , C = 120◦ Tính số đo góc ngồi Ơ Ví dụ Cho tứ giác ABCD biết A = 75◦ , B tứ giác ABCD Lời giải Xét tứ giác ABCD, ta có “+ C + D “ A+B ◦ ◦ ◦ “ 75 + 90 + 120 + D “ 285◦ + D “ D “ D = = = = = 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ − 285◦ 75◦ Khi đó, ta có Góc ngồi A có số đo 180◦ − 75◦ = 105◦ Góc ngồi B có số đo 180◦ − 90◦ = 90◦ Góc ngồi C có số đo 180◦ − 120◦ = 60◦ Góc ngồi D có số đo 180◦ − 75◦ = 105◦ Giáo viên: Chương Tứ giác 309 Dạng Dạng toán chứng minh hình học Vận dụng kiến thức học bất đẳng thức tam giác, chu vi, đường trung trực đoạn thẳng, ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ô Ví dụ Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh: AC + BD > AB + CD; AC + BD > AD + BC Lời giải Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có OA + OB > AB ( OAB); OC + OD > CD ( OCD); ⇒ AC + BD > AB + CD Tương tự trên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có OA + OD > AD ( OAD); OB + OC > BC ( OCB); ⇒ AC + BD > AD + BC A B O D C Ơ Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi chu vi tứ giác ABCD PABCD Chứng minh: AC + BD > Nếu AC < PABCD ; PABCD AC + BD < PABCD Lời giải Theo kết trên, ta có AC + BD > AB + CD; AC + BD > AD + BC A PABCD Cộng vế với vế AC + BD > 2 Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC, PABCD ACD: AC < AB+BC; AC < AD+CD ⇒ AC < PABCD Tương tự BD < ⇒ AC + BD < PABCD B Tài liệu Toán của: O D C Tứ giác 310 Bài tập nhà Bài Cho tứ giác ABCD có AB = BC; CD = DA Chứng minh BD đường trung trực AC; “ = 100◦ , D “ = 80◦ Tính A C Cho B ĐS: A = C = 90◦ Lời giải Vì AB = BC suy B thuộc đường trung trực AC Vì DA = DC ⇒ D thuộc đường trung trực AC ⇒ BD đường trung trực AC AB = BC Xét ABD CBD có AD = DC BD cạnh chung ⇒ ABD = CBD (c.c.c), suy A = C “+ C + D “ = 360◦ ⇒ A = C = 90◦ Vậy A + B Bài Cho tứ giác ABCD, biết A D B C “ C “ A B D = = = Tính góc tứ giác ABCD “ = 72◦ ; C = 108◦ , D “ = 144◦ ĐS: A = 36◦ , B Lời giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số “ C “ A+B “+ C + D “ 360◦ A B D = = = = = = 36◦ 1+2+3+4 10 “ = 72◦ ; C = 108◦ , D “ = 144◦ Vậy A = 36◦ , B “ = M + 10◦ , P = N “ + 10◦ , Q = P + 10◦ Hãy tính góc Bài Cho tứ giác M N P Q có N “ = 85◦ ; P = 95◦ ; Q = 105◦ tứ giác M N P Q ĐS: M = 75◦ ; N Lời giải “ + P + Q = 360◦ Ta có M + N “ “ + 10◦ = M + 20◦ , Q = P + 10◦ = M + 30◦ vào biểu thức trên, ta Thay N = M + 10◦ , P = N “ + P + Q = 360◦ M +N ⇔ M + M + 10◦ + M + 20◦ + M + 30◦ = 360◦ ⇔ 4M + 60◦ = 360◦ ⇔ M = 75◦ “ = 85◦ ; P = 95◦ ; Q = 105◦ Vậy M = 75◦ ; N Giáo viên: Chương Tứ giác 311 “ = 80◦ , A − B “ = 10◦ Tính số đo A B “ Bài Tứ giác ABCD có C = 60◦ , D ◦ “ ◦ A = 115 , B = 105 Lời giải Ä ä “ = 360◦ − C + D “ = 360◦ − 80◦ − 60◦ = 220◦ mà A − B “ = 10◦ Ta có A + B ◦ ◦ 220 + 10 “ = 220◦ − 115◦ = 105◦ = 115◦ , B ⇒A= Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với O ĐS: Chứng minh AB + CD2 = AD2 + BC ; Cho AD = cm, AB = cm, BC = 10 cm Tính độ dài CD ĐS: CD = 11 cm Lời giải Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng OAB, ta có AB = OA2 + OB Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng OBC, ta có BC = OB + OC Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OCD, ta có CD2 = OC + OD2 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OAD, ta AD2 = OA2 + OD2 ⇒ AB + CD2 = AD2 + BC (= OA2 + OB + OC + OD2 ) A D Theo câu trên, ta có AB + CD2 = AD2 + BC ⇔ 22 + CD2 = 52 + 102 ⇔ CD2 = 121 ⇒ CD = 11 Tài liệu Toán của: O C B Hình thang 312 §2 Hình thang Tóm tắt lý thuyết 1.1 Định nghĩa - Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song (gọi hai đáy) - Trong hình thang, hai góc kề cạnh bên bù - Hình thang vng hình thang có góc vuông A D 1.2 B A C D B C Tính chất - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Bài tập dạng tốn Dạng Tính số đo góc hình thang Vận dụng tính chất hai góc kề cạnh bên hình thang bù nhau, hai góc so le trong, hai góc đồng vị, hai gó kề bù, tổng góc tứ giác ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm x y hình vẽ biết hình thang ABCD; M N P Q EF GH có đáy AB CD; N P M Q; EF GH Giáo viên: Chương Tứ giác 313 M A B 120◦ y E F x x C a) 100◦ 100◦ x D N y 50◦ P Q y 130◦ H G b) c) ĐS: a) x = 80◦ , y = 60◦ ; b) x = 50◦ , y = 100◦ ; c) x = 90◦ , y = 50◦ Lời giải “ = 180◦ hay D “ + 120◦ = 180◦ ⇒ D “ = y = 60◦ Hình a) Vì AB ∥ CD nên A + D “ + C = 180◦ ⇒ C = x = 180◦ − 100◦ = 80◦ Tương tự, B Hình b) Ta có M N P = 180◦ − 100◦ = 80◦ QP N = 180◦ − 50◦ = 130◦ Vì M Q ∥ N P nên M + M N P = 180◦ ⇒ M = y = 180◦ − 80◦ = 100◦ Tương tự, Q + QP N = 180◦ ⇒ Q = x = 180◦ − 130◦ = 50◦ “+ H “ = 180◦ ⇒ E “ = x = 180◦ − 90◦ = 90◦ Hình c).:Vì EF ∥ HG nên E Tương tự F + G = 180◦ ⇒ F = y = 180◦ − G = 50◦ “ − C = 30◦ A = 3D “ Ơ Ví dụ Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết B ◦ “ ◦ ◦ “ Tính góc hình thang ĐS: A = 135 ; B = 105 ; C = 75 ; D = 45◦ Lời giải “ + C = 180◦ mà theo đề B “ − C = 30◦ Vì AB ∥ CD nên B ◦ ◦ 180 + 30 “= nên B = 105◦ , C = 180◦ − 105◦ = 75◦ “ = 180◦ mà A = 3D “ nên Vì AB ∥ CD nên A + D “ = 3D “+D “ = 4D “ = 180◦ ⇒ D “ = 45◦ , A = 135◦ A+D A D B C Dạng Chứng minh tứ giác hình thang Dựa vào định nghĩa hình thang, tính chất tam giác cân, phân giác góc, tam giác ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tứ giác ABCD có BC = CD DB phân giác góc D Chứng minh ABCD hình thang Tài liệu Tốn của: Hình thang 314 Lời giải Xét BCD có BC = CD nên BCD cân C “ suy DBC = BDC mà DB phân giác D nên CDB = BDA Ä ä Suy ADB = DBC = CDB nên BC ∥ AD hay ABCD hình thang B C A D Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC có AB < AC, đường phân giác AD Đường vng góc với AD D cắt AB AC F E Trên cạnh DC lấy điểm I cho DI = DB Chứng minh AEIB hình thang Lời giải AD phân giác đường cao AEF ⇒ AEF cân A ⇒ AD đường trung tuyến ⇒ DE = DF DI = DB (giả thiết) Xét BDF IDE có BDF = EDI (đối đỉnh) DE = DF ⇒ BDF = IDE ⇒ IED = DF B ⇒ IE ∥ AB ⇒ AEIB hình thang A E B D I C F Dạng Chứng minh tính chất hình học Vận dụng linh hoạt kiến thức học tính chất hình thang, tia phân giác góc, tam giác cân, bất đẳng thức tam giác, ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), biết Ax, Dy phân giác A, “ hình thang Chứng minh Ax ⊥ Dy D Lời giải Gọi I = Ax ∩ Dy Vì BAD + ADC = 180◦ ⇒ IAD + IDA = 90◦ ⇒ AID = 90◦ Ax ⊥ Dy A B y I D x Giáo viên: C Chương Tứ giác 315 Ơ Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD, AB < CD) Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD E Chứng minh AD = BE, AB = DE; CD − AB = CE; BC + AD > CD − AB Lời giải Hình thang ABCD có hai cạnh bên AD ∥ BE ⇒ AD = BE; AB = DE A B Ta có CD − AB = CD − DE = CE Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho BC + BE > CE Mà BE = AD, CE = CD − AB nên BC + AD > CD − AB BCD D E C Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC Các tia phân giác B C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB AC D E Tìm hình thang hình vẽ Chứng minh BDI IEC tam giác cân Chứng minh DE = BD + CE Lời giải Các hình thang hình vẽ BCED, BDIC, BIEC Ä ä DBI = DIB = IBC nên BDI cân D Tương tự CEI cân E A D I B DE = ID + IE = BD + CE E C Ơ Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD, AB < CD) Hai tia phân giác góc C D cắt K thuộc đáy AB Chứng minh ADK cân A, BKC cân B; AB = AD + BC Lời giải Vì AKD = KDC (hai góc so le trong) Tài liệu Tốn của: (1) Chương Tứ giác 371 §11 Hình vng Tóm tắt lý thuyết Tài liệu Toán của: 11 Hình vng 372 Định nghĩa 15 Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh D C A B ® “= C = D “ = 90◦ A=B Tứ giác ABCD hình vng ⇔ AB = BC = CD = DA ! 20 Nhận xét: Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh Hình vng hình thoi có bốn góc Như vậy, hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Tính chất đặc trưng: Trong hình vng hai đường chéo vng góc với trung điểm đường Hệ Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo phân giác góc hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng 21 Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi tứ giác hình vng ! Bài tập dạng toán Dạng 27 Chứng minh tứ giác hình vng Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Giáo viên: Chương Tứ giác 373 ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt BC P Chứng minh AM P N hình vng Lời giải Ta có M trung điểm AB, M P ∥ AC ⇒ M P đường trung bình ABC ⇒ P trung điểm BC Mà N trung điểm AC ⇒ N P đường trung bình ABC ⇒ N P ∥ AB ⇒ AM P N hình bình hành AB = Mà M AN = 90◦ ⇒ AM P N hình chữ nhật Mà AM = AC = AN ⇒ AM P N hình vng B M P A C N Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Gọi AD đường phân giác góc A (D thuộc BC), từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC Chứng minh AEDF hình vng Lời giải Xét tứ giác AEDF có EAF = AF D = AED = 90◦ nên tứ giác AEDF hình chữ nhật Mà AD đường chéo đồng thời đường phân giác nên tứ giác AEDF hình vng B D E A F C Dạng 28 Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Sử dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình vng ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Chứng minh: a) Các tam giác ADF BAE b) BE ⊥ AF Lời giải Tài liệu Toán của: 11 Hình vng 374 Có ADF = BAE (c.g.c) B C Gọi I giao điểm AF BE Ta có AEI = DF A Có EAI + AEI = EAI + DF A = 90◦ ⇒ BE ⊥ AF F I A E D Ơ Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi E, F trung điểm AB, AD Chứng minh: b) DE ⊥ CF a) DE = CF Lời giải Có AED = CF D (c.g.c) ⇒ DE = DF Do ADE = DCF (góc tương ứng), ta có: ADE + EDC = CDF = EDC + DCF = 90◦ ⇒ BE ⊥ AF B C E A F D Dạng 29 Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Sử dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt cạnh AC, AB theo thứ tự E F Tứ giác AF M E hình gì? Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AF M E hình vng Lời giải Giáo viên: Chương Tứ giác 375 Tứ giác AF M E có EAF = AEM = M F A = 90◦ nên tứ giác AF M E hình chữ nhật Để tứ giác AF M E hình vng đường chéo AM trở thành đường phân giác góc BAC ⇒ M giao điểm đường phân giác góc BAC với BC B M E A C F Ơ Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi E, F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EF GH là: a) Hình chữ nhật b) Hình thoi c) Hình vng Lời giải D Dễ dàng chứng minh tứ giác EF GH hình bình hành có cặp cạnh đối song song với Để EF GH hình chữ nhật EF phải vng góc với F G ⇒ Hai đường chéo AC BD vng góc với H A G Để EF GH hình thoi EF = F G ⇒ ABCD có AC = BD Để EF GH hình vng phải có EF phải vng góc với F G EF = F G ⇒ Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc E B F C Bài tập nhà Bài Cho hình vng ABCD, cạnh AB, BC, CD, DA lấy M , N , P , Q cho AM = BN = CP = DQ Chứng minh M N P Q hình vng Lời giải Tài liệu Tốn của: 11 Hình vng 376 Bốn tam giác AQM , BN M , CP N , DQP ⇒ QM = M N = N P = P Q ⇒ Tứ giác QM N P hình thoi B Có M BN = N CP nên BM N = CN P Mặt khác, BN M + BM N = 90◦ = BN M + CN P ⇒ M N P = M 90◦ Vậy hình thoi QM N P có góc vng nên tứ giác M N P Q hình vng N C P A D Q Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm M cạnh DC Tia phân giác M AD cắt CD I Kẻ IH vng góc với AM H Tia IH cắt BC K Chứng minh: a) ABK = b) IAK = 45◦ AHK Lời giải Dễ dàng chứng minh ADI = ABK = AHK AHI ⇒ AD = AH Suy D 1 Ta có IAH = DAH; HAK = HAB 2 ◦ Mà DAH + HAB = 90 ⇒ IAH + HAK = IAK = 45◦ I M C H K A B Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành, hai hình vng ABEF ADGH Chứng minh: a) AC = F H b) AC ⊥ F H c) CEG tam giác vuông cân Lời giải Giáo viên: Chương Tứ giác 377 F E I H B A G D Dễ dàng chứng minh AF H = C BAC (c.g.c) ⇒ F H = AC Gọi giao điểm AC F H I Do AF H = BAC, ta có IAF + AF H = IAF + BAC = 90◦ ⇒ AC ⊥ F H Chứng minh GCD = CEB (c.g.c) ⇒ GC = CE Ta có 180◦ = ECB + CBE + BEC = ECB + CBA + 90◦ + BEC ⇒ ECB + CBA + BEC = 90◦ , mà BEC = GCD ⇒ ECB + CBA + GCD = 90◦ (1) Mặt khác, ABCD hình bình hành nên DCB + CBA = 180◦ Hay ECB + GCE + GCD + CBA = 180◦ (2) Từ (1) (2) ⇒ GCE = 90◦ ⇒ CEG vuông cân Tài liệu Toán của: 12 Ơn tập chương 378 §12 Ơn tập chương 1 Bài tập dạng toán Tóm tắt lý thuyết Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài 11 Bài tập luyện tập Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB, E giao điểm M H AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC, F giao điểm M K AC Các tứ giác AEM F , AM BH, AM CK hình gì? Vì sao? Chứng minh H đối xứng với K qua A Tam giác vng ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEM F hình vng? Lời giải Tứ giác AEM F hình chữ nhật Các tứ giác AM BH, AM CK hình thoi H A K Theo a) suy HA ∥ BC, AK ∥ M C ⇒ H, A, K thẳng hàng Lại có AH = AM = AK ⇒ H, K đối xứng với qua A F E Để hình chữ nhật AEM F hình vng cần thêm điều kiện AE = EM ⇒ AB = AC Vậy tam giác ABC vuông cân A B M C Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng M qua D Chứng minh E đối xứng với M qua đường thẳng AB Các tứ giác AEM C, AEBM hình gì? Vì sao? Giáo viên: Chương Tứ giác 379 Tam giác vng ABC cần thêm điều kiện tứ giác AEBM hình vng? Lời giải A E D B M C Vì M D ∥ AC nên M D ⊥ AB ⇒ E đối xứng với M qua đường thẳng AB Có AB EM cắt trung điểm D đường nên tứ giác AEBM hình bình hành ⇒ AE = BM = M C Vậy tứ giác AEM C hình bình hành có AE ∥ BM hay AE ∥ M C AE = M C Hình bình hành AEBM có hai đường chéo vng góc với nên hình thoi Để hình thoi AEBM hình vng cần điều kiện AB = EM Vì tứ giác AEM C hình bình hành nên EM = AC Vậy AB = EM suy AB = AC Lúc tam giác ABC cân A Vậy để tứ giác AEBM hình vng tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện AB = AC hay tam giác ABC vuông cân A Bài Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, A = 60◦ Gọi E, F theo thứ tự trung điểm BC, AD Vẽ I đối xứng với A qua B Tứ giác ABEF hình gì? Vì sao? Chứng minh tứ giác AIEF hình thang cân Chứng minh BICD hình chữ nhật Tính góc AED Lời giải Tài liệu Tốn của: 12 Ôn tập chương 380 E F Dễ thấy EF ∥ AI, IB = BE; IBE = IAD = 60◦ ⇒ BIE Do đó, IE = AF suy AIEF hình thang cân BEDF hình thoi Suy BD đường phân giác ADI Có BI = AB = DC AB ∥ DC hay BI ∥ DC Vậy tứ giác BICD hình bình hành có cặp cạnh đối song song Thấy BD vừa đường trung tuyến, phân giác ADI Suy BD ⊥ BI hay DBI = 90◦ ⇒ Tứ giác BICD hình chữ nhật hình bình hành có góc vng C D BC Vì AB = EF = BF = AF = ⇒ Tứ giác ABEF hình thoi 60◦ A B I Vì BICD hình chữ nhật nên E trung điểm DI Ta có DAI cân A, mà AE đường trung tuyến nên đồng thời đường cao Suy AE ⊥ DI, AED = 90◦ Bài Cho hình bình hành M N P Q có M N = 2M Q M = 120◦ Gọi I, K trung điểm M N, P Q A điểm đối xứng Q qua M Tứ giác M IKQ hình gì? Vì sao? Chứng minh tam giác AM I Chứng minh tứ giác AM P N hình chữ nhật Lời giải MN Vì M Q = IK = N P = = M I = IN = P K = KQ ⇒ Tứ giác M IKQ hình thoi P N Dễ dàng nhận thấy tứ giác AM P N hình bình hành Vì tam giác AM I tam giác nên AI = IM = IN Vậy tam giác M AN có AI đường trung tuyến AI = M N nên tam giác M AN tam giác vuông A (trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) Vậy hình bình hành AM P N có góc vng nên tứ giác AM P N hình chữ nhật K I Tam giác AM I có AM = M I nên cân A IM A = 60◦ nên AM I tam giác 120◦ A M Bài Cho hình thang cân ABCD (AB ∥ CD, AB < CD), đường cao AH, BK Tứ giác ABKH hình gì? Vì sao? Chứng minh DH = CK Giáo viên: Q Chương Tứ giác 381 Gọi E điểm đối xứng với D qua H Các điểm D E đối xứng với qua đường nào? Tứ giác ABCE hình gì? Lời giải A D H B E K C Tứ giác ABKH hình chữ nhật ADH = BKC (ch - gn) Nên suy DH = KC D E đối xứng với qua đường thẳng AH Dễ thấy HE + EK = EK + KC ⇒ AB = EC Do đó, ABCE hình bình hành Bài Cho tứ giác ABCD, E trung điểm cạnh AB Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC F Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD G Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD H Chứng minh tứ giác EF GH hình bình hành Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện để tứ giác EF GH hình chữ nhật Lời giải D Có EH ∥ BD ∥ F G EF ∥ AC ∥ HG nên tứ giác EF GH hình bình hành có cặp đối song song với H A Để tứ giác EF GH hình chữ nhật EH ⊥ HG hay BD ⊥ AC EH ∥ BD HG ∥ AC Vậy điều kiện để tứ giác EF GH hình chữ nhật tứ giác ABCD phải có hai đường chéo vng góc G E B F C Bài Cho tam giác ABC vuông B Gọi E, F trung điểm AC, BC Kẻ Ex song song với BC cắt AB M Chứng minh tứ giác BM EF hình chữ nhật Gọi K đối xứng với B qua E Tứ giác BACK hình gì? Vì sao? Tài liệu Tốn của: 12 Ôn tập chương 382 Gọi G đối xứng với E qua F Tứ giác BGCE hình gì? Vì sao? Tam giác ABC cần thêm điều kiện để tứ giác BGCE hình vng? Lời giải C K Tứ giác BM EF hình chữ nhật có góc vng EF đường trung bình tam giác ABC ⇒ EF ⊥ BC ⇒ BF E = 90◦ ⇒ BM EF hình chữ nhật Tứ giác BACK có hai đường chéo cắt trung điểm đường Lại có ABC = 90◦ nên BAKC hình chữ nhật G F E B M A Tứ giác BGCE hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường BE = EC Tam giác ABC vuông cân Bài Cho tam giác ABC vuông A Gọi E, G, F trung điểm AB, BC, AC Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng cắt GF I Tứ giác AEGF hình gì? Vì sao? Chứng minh tứ giác BEIF hình bình hành Chứng minh tứ giác AGCI hình thoi Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AGCI hình vng Lời giải B Tứ giác AEGF hình chữ nhật có góc vng Có GF ∥ AE hay F I ∥ BE Vậy tứ giác BEF I hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song G E Tứ giác AGCI hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với (GF A = 90◦ ) Để tứ giác AGCI hình vng AGC = 90◦ Vậy tam giác ABC thành tam giác vuông cân A A F I Giáo viên: C Chương Tứ giác 383 Bài tập nhà Bài Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC Gọi M trung điểm BC, kẻ M D vng góc với AB D, M E vng góc với AC E Chứng minh AM = DE Chứng minh tức giác DM CE hình bình hành Gọi AH đường cao tam giác ABC (H ∈ BC) Chứng minh tứ giác DHM E hình thang cân A đối xứng với H qua DE Lời giải Dễ thấy ADM E hình chữ nhật, suy đpcm Dễ thấy M D ∥ EC, M D = EC = AC ⇒ đpcm AB; HM ∥ DE nên DHM E hình thang cân A, H đối xứng với qua DE A D E M E = DH = AD = B H M C “ = 90◦ AB = AD = CD, kẻ BH vuông Bài 10 Cho hình thang vng ABCD có A = D góc với CD Chứng minh tứ giác ABHD hình vng Gọi M trung điểm BH Chứng minh A đối xứng với C qua M Kẻ DI vng góc với AC AH cắt DI, DM P Q Chứng minh tứ giác DP BQ hình thoi Lời giải Tài liệu Tốn của: 12 Ôn tập chương 384 ABHD hình vng hình chữ nhật có hai cạnh kề DC nên tứ giác ABCH hình bình hành ⇒ M trung điểm AC Vậy A đối xứng với C qua M A B I P Có AB ∥ HC AB = HC = DH = M Q D H C Có AP D = AP B (c.g.c) nên P D = P B; DHQ = BHQ (c.g.c) nên DQ = QB Lại có ADP = M CD (cùng phụ với góc DAC) ⇒ ADP = QDH (vì QDH = M CD) Vậy ADP = HDQ (g.c.g) ⇒ DP = DQ ⇒ Tứ giác DP BQ hình thoi có bốn cạnh Bài 11 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Gọi M , N theo thứ tự trung điểm đoạn AH DH Chứng minh M N ∥ AD Gọi I trung điểm cạnh BC Chứng minh tứ giác BM N I hình bình hành Chứng minh tam giác AN I vuông Lời giải M N đường trung bình tam giác AHD ⇒ M N ∥ AD N H 1 M N = AD = BC = BI; Mà M N ∥ AD ∥ BC ⇒ 2 BM N I hình bình hành Dễ dàng chứng minh M trực tâm ABN ⇒ BM ⊥ AN ⇒ IN ⊥ AN Vậy AN I vuông N C D I M A B Bài 12 Cho hình vng ABCD E điểm cạnh DC, F điểm tia đối tia BC cho BF = DE Chứng minh tam giác AEF vuông cân Gọi I trung điểm EF Chứng minh I thuộc BD Lấy điểm K đối xứng với A qua I Chứng minh tứ giác AEKF hình vng Lời giải Giáo viên: Chương Tứ giác 385 D E C ADE = ABF ⇒ AE = AF ; F AB = DAE Dễ thấy DAE + EAB = 90◦ ⇒ F AB + EAB = 90◦ Do đó, AEF tam giác vuông cân A K EF Do I nằm đường trung trực AC Mà BD đường trung trực AC (tính chất hình vng ABCD) nên I ∈ BD Chứng minh AI = CI = Vì AEF tam giác vuông cân nên AI ⊥ EF Hơn AI = IK AI = EF = IE = IF nên ⇒ AI = IK = IE = IF Vậy tứ giác AEKF hình vng I A Tài liệu Toán của: B F ... nhận biết Tứ giác có cặp cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đường... ngồi A có số đo 180 ◦ − 75◦ = 105◦ Góc ngồi B có số đo 180 ◦ − 90◦ = 90◦ Góc ngồi C có số đo 180 ◦ − 120◦ = 60◦ Góc ngồi D có số đo 180 ◦ − 75◦ = 105◦ Giáo viên: Chương Tứ giác 309 Dạng Dạng... ∥ BN Xét tứ giác AM N B có AB ∥ M N ⇒ Tứ giác AM N B ® hình bình hành AP ∥ CQ Xét tứ giác AP CQ có AP = CQ ⇒ Tứ giác AP CQ hình bình hành A M D Giáo viên: P B O Q N C Chương Tứ giác 343