Bài tập Hình học không gian lớp 12 cơ lời giải10675

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có ฀ ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng  AA'  AB ฀ AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2  AA'  2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a 3a ABCD hình vng  AB  2 9a Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' A C I B + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diên tích B = SABC cơng thức ? + Từ diện tích ฀ A'BC suy cạnh ? ? + Tìm h = AA' dùng tam giác định lí ? Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có ฀ ABC nên AI  AB  & AI  BC  A 'I  BC(dl3 ) 2S SA'BC  BC.A 'I  A 'I  A'BC  BC AA '  (ABC)  AA '  AI  AA '  A 'I2  AI2  Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= DeThiMau.vn Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? + Tìm diện tích B hình thoi ABCD cách ? + Tìm h = DD' tam giác vuông ? định lí ? Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a a2 SABCD = 2SABD = a a ฀ DD'B  DD'  BD'2  BD2  a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Ví dụ 5: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp + Phân tích V= B.h để tìm B h hình C' D' D' C' đối tượng ? + Tìm h = AA' ? Tại ? C C' D' D + Tìm AB ? Suy B = SABCD = AB2 ? A' B' Giải D C Theo đề bài, ta có B B' A' A AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm B' A A' B chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 Theo đề BD' = AC = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS: V  a ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD'  a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs:V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V = DeThiMau.vn Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ *) Tìm hình chiếu A'B đáy ABC Suy góc [A'B,(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có A 'A  (ABC)  A 'A  AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)]  ฀ ABA '  60o ฀ ABA '  AA '  AB.tan 600  a a2 SABC = BA.BC  2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với ฀ AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ Phân tích *) *) *) *) *) Tìm hình chiếu BC' (AA'C'C) Suy góc [BC',(AA'C'C)] = ? Tìm AC' tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác ? Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? Tìm diện tích B tam giác ABC cơng thức ? Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: ฀ ABC  AB  AC.tan 60o  a Ta có: AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) BC'A = 30o Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ฀ AB  3a t an30o V = B.h = SABC.AA' ฀ AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a 2 ฀ ABC nửa tam giác nên SABC  a Vậy V = a3 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ ฀ AC'B  AC'  Phân tích *) Dựng hình vng ABCD hay A'B'C'D' cạnh bên hình lăng trụ *) Dựng BD' BD ? phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu BD' đáy ABCD Suy góc [BD',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B hình vng ABCD cơng thức ? *) Tìm h = DD' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ? DeThiMau.vn Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD'  (ABCD)  DD'  BD BD hình chiếu BD' ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = ฀ DBD'  300 ฀ BDD'  DD'  BD.tan 300  Vậy V = SABCD.DD' = a a3 4a S = 4SADD'A' = 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ฀ BAD = 60o biết o AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30 Tính thể tích hình hộp Phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Tìm hình chiếu AB' (ABCD) Suy góc [AB',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Dựng BD Suy D ABD có hình tính ? Suy diện tích B ABCD cách nào? +Tính h = BB' tam giác ? Dùng hệ thức lượng giác ? Giải ฀ ABD cạnh a  SABD  a  SABCD  2SABD  a2 ฀ ABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3a3 Vậy V  B.h  SABCD BB'  BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a /16 Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB'  a ; V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng A biết AC = a ฀ ACB  60o biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS V  a 6;S  3a Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  32a / Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V  a / Bài Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương ĐS V  2a / 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS V  a 3 / 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o ĐS V  4a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS V  a 3 /16 2) BD' hợp với mặt (AA'D'D) góc 30o ĐS V  a / Bài Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2 Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ;AD = b;AA' = c BD' = AC' = CA' = a  b2  c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật 2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x  sin y  sin z  DeThiMau.vn Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc mặt phẳng Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vng góc với BC khơng ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC cơng thức ? *) Tìm h = AA' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có A 'A  (ABC)& BC  AB  BC  A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)]  ฀ ABA '  60o ฀ ABA '  AA '  AB.tan 600  a SABC = BA.BC  a Vậy V = SABC.AA' = a 2 Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét ฀ A'BC có hình tính ? Suy I trung điểm BC cho ta vị trí AI A'I với BC? Suy góc[(A'BC);(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Đặt BC = 2x Suy A'I tam giác ? *) Từ diện tích tam giá A"BC suy x cơng thức nào? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải ฀ ABC  AI  BC mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl  ) ฀ 'IA = 30o Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A Giả sử BI = x  AI  x  x Ta có A' AI : A' I  AI : cos 30  AI  2x 3  2x A’A = AI.tan 300 = x 3  x Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x  Do VABC.A’B’C’ = Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Giải Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vuông nên OC  BD CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl  ) ฀ Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vng nên SABCD = a2 ฀ OCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a / Vậy V = a3 / DeThiMau.vn Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Nhận xét AB A'B có vng góc với BC khơng ? sao? *) Suy góc[(A'BC);(ABCD)] = ? *) Tìm hình chiếu A'C (ABCD) ? Suy góc[A'C,(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm AB AC tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác ? *) Tìm h = AA' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Ta có AA'  (ABCD)  AC hình chiếu A'C (ABCD) Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ฀ A 'CA  30o BC  AB  BC  A'B (đl  ) Þ [(A'BC),(ABCD)] = ฀ A 'BA  60o ฀ A 'AC  AC = AA'.cot30o = 2a ฀ A 'AB  AB = AA'.cot60o = 2a / BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN ฀ ABC  BC  AC2  AB2  4a / Vậy V = AB.BC.AA' = 16a / Bài Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs: V  2a / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3 Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a ฀ BAC  120o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  h / Bài Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o Đs: V  a 3 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o ĐS: V  a 3 / 3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ ĐS: V  a 3 Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o ĐS : V = 16a3 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 60 ĐS : V = 12a3 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a ĐS : V  16a / Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS : V  a / 2)Tam giác BDC' tam giác ĐS : V = a 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : V = a Bài Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: 1) (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o ĐS: V  3a 3 / 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') a / ĐS : V  3a / 3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 ĐS : V  3a / Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: 1) AB = a ĐS : V  8a 2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o ĐS : V  5a 11 3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 ĐS : V  16a DeThiMau.vn Dạng Khối lăng trụ xiên Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên với đáy : Hình chiếu CC' (ABC) gì? *) Suy góc[CC';(ABC)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC cơng thức ? *) Tìm h = CC' tam giác vuông ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: Ta có C'H  (ABC)  CH hình chiếu CC' (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]  ฀ C'CH  60o ฀ CHC'  C'H  CC'.sin 600  SABC =  3a a2 3a 3 Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu AA' (ABC) gì? Suy góc[AA'';(ABC)] = ? *) Chứng minh BC  AA' cách Chứng minh BC  mặt phẳng ? Tứ BC  CC' khơng ? sao? Vậy BB'C'C hình gì? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B tam giác ABC công thức ? *) Tìm h = AA'' tam giác vng ? dùng hệ thức lượng giác ? Lời giải: 1) Ta có A 'O  (ABC)  OA hình chiếu AA' (ABC) ฀ Vậy góc[AA ',(ABC)]  OAA '  60o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) AO  BC trung điểm H BC nên BC  A 'H (đl  )  BC  (AA 'H)  BC  AA ' mà AA'//BB' nên BC  BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật 2) ฀ ABC nên AO  AH  a  a 3 3 ฀ AOA '  A 'O  AO t an60o  a Vậy V = SABC.A'O = a 3 / Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H HN  AD HM  AB Suy góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông ? Đặt x = A'H *) Dùng hai tam giác định lý để tạo phương trình theo x ? DeThiMau.vn Lời giải: Kẻ A’H  ( ABCD ) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD (đl  ) ฀ ฀ A'MH  45o ,A'NH  60o Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 = 2x / AN = AA'  A' N   4x  HM Mà HM = x.cot 450 = x  4x x Nghĩa x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = / = BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a Bài Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336 o Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c ฀ BAD  30 biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V = abc / Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a 3 / 3) Tính thể tích hộp Đs: V  Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o 1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs: V  3a 3 / Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B ĐS : S  a / 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' ĐS: V  3a 3 / Bài Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ ĐS : 30o 2) Tính thể tích lăng trụ ĐS: V  a 3 / Bài Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Đs: V  27a / Bài Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đôi tạo với góc 60o 1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B' ĐS: SACC'A'  a 2;SBDD'B'  a a3 2 Bài 10 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vng góc hạ từ B' xng ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên đáy ĐS : 60o 2) Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp ĐS: V  3a / &S  a 15 DeThiMau.vn Dạng 1: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Ví dụ Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B SBC cơng thức ? A Lời giải: Ta có (ABC)  (SBC)  AC  (SBC) a_  (ASC)  (SBC) B C Do V  SSBC AC  a a  a / / \ 12 S Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2) Tính thể tích hình chóp Phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[SB,(ABC)] = ? Tại sao? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? Tính BA ? *) Tìm h = SA qua tam giác cơng thức ? Lời giải: S 1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl  ) Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta có SA  (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] = ฀ SAB  60o C a A ฀ ABC vuông cân nên BA = BC = a / 2 SABC = BA.BC  a ; ฀ SAB  SA  AB.t an60o  a 60o 2 Vậy V  SABC SA  a a  a B 34 24 Ví dụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SBC),(ABC)] = ? Tại sao? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác công thức ? DeThiMau.vn Lời giải: M trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM  BC  SA  BC (đl3  ) Þ [(SBC);(ABC)] = ฀ SMA  60o Ta có V = B.h  SABC SA 3 C A 3a 60 o ฀ SAM  SA  AM tan 60o  a M 1 a3 Vậy V = B.h  S SA  B 3 ABC Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Phân tích đề để dựng hình : *) Dựng tứ giác ABCD cạnh bên SA  (ABCD) ? Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SCD),(ABCD)] = ? Tại sao? S *) Phân tích V= S B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác cơng thức ? Lời giải: 1)Ta có SA  (ABC) CD  AD  CD  SD ( đl  ).(1) H ฀ Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o ฀ SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 60 o A B a D C Vậy V  SABCD SA  a2a  a 3 3 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 Vậy AH = a ฀ SAD       AH2 SA AD2 3a2 a2 3a2 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = a3 / Bài Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V  h3 / Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp Đs: V  a3 / 27 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 12 / 34 ฀ o Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , BAC  120 , biết SA  (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V  a3 / Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết SA  (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Đs: V  a3 / 48 10 DeThiMau.vn Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA  (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA  (ABCD) Biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  a3 / Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA  (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD Đs: V  a3 / Bài 10 :Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  3R / Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Phân tích u cầu đề yêu cầu nhỏ: *) H trung điểm AB Chứng minh SH  (ABCD) ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm h = SH qua tam giác cơng thức ? Lời giải: S 1) Gọi H trung điểm AB ฀ SAB  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp D A 2) Ta có tam giác SAB nên SA = a B suy V  SABCD SH  a 3 H a C Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD (BCD) ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B BCD cơng thức ? *) Tìm h = AH qua tam giác cơng thức ? Lời giải: A Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) a Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a & HD = AD.cot60o = a / B o ฀ BCD  BC = 2HD = 2a suy 60 D H 3 1 V = SBCD AH  BC.HD.AH  a C 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, cóBC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b Tính thể tích khối chóp SABC 11 DeThiMau.vn Phân tích đề để dựng hình : *) Dựng tam giác ABC SAC dựa vào (SAC)  (ABC) ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? góc[(SBC),(ABC)] = ? *) So sánh tam giác SHI SHJ cho ? Suy AH tam giác ABC ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Tìm h = SH qua tam giác tích chất ? Lời giải: a) Kẽ SH  BC mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SI  AB, SJ  ฀  45o BC, theo giả thiết ฀ SIH  SJH Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ฀ ABC suy H trung điểm AC a a3 S SH  b) HI = HJ = SH =  VSABC= ABC 12 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC Đs: V  2) Tính thể tích khối chóp SABC a3 24 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích Đs: V  SABC a3 12 ฀ +Bài 3: Cho hình chóp SABC có ฀ BAC  90o ;ABC  30o ; SBC tam giác cạnh a (SAB)  (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: a V 24 Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC)  (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V  4h Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Đs: V  biết AD = a.Tính thể tích tứ diện a3 36 Bài :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V  4h Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , D SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V  a 12 DeThiMau.vn Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB  (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V  8a Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a D SAD vuông cân S , nằm Đs: V  a 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a, D SAB mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Dạng : Đs: V  a Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC ? Dựng tam giác ABC , từ tâm O dựng SO  (ABC) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC tích chất ? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Tìm h = SO qua tam giác định lí ? Lời giải: S Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC 2a Ta có tam giác ABC nên AO = AH  a  a C A 3 11a2 ฀ SAO  SO2  SA  OA  O a H a3 11 a 11 Vậy V  S SO   SO  B ABC 12 Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD ? Dựng hình thoi ABCD từ câu hỏi 1, dựng SO  (ABCD) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Hình thoi ABCD có nội tiếp đường trịn khơng? Suy từ giả thiết? *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABCD cơng thức ? *) Tìm h = SO qua tam giác định lí ? Lời giải: Dựng SO  (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD  ABCD hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ฀ ASC vuông S  OS  a 1 a a3  V  S ABCD SO  a  3 Vậy V  a 13 DeThiMau.vn Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC ? Dựng tam giác ABC ,từ tâm O dựng DO  (ABC) Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Tìm h = DO qua tam giác định lí ? *) Mặt phẳng (DCO)  (ABC) ? Dựng MH  OC suy điều ?Tính MH ? Lời giải: a) Gọi O tâm ABC  DO  ( ABC ) V  S ABC DO S ABC  a2 , OC  CI  a 3 a a a3 DOC vng có : DO  DC  OC  a  V   12 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH MH  a DO  1 a a a3 Vậy V  a  VMABC  S ABC MH   3 24 24 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  3a 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a 45o Đs: V  a 2) Tính thể tích hình chóp SABC Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V  a 24 o Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30 Tính thể tích hình chóp Đs: V  h 3 Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  h ฀ o Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB  60 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs: S  a 3 a 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V  Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  2h 14 DeThiMau.vn Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a.Tính thể tích hình chóp Đs: V  8a 3 o Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60 Tính thề tích hình chóp Đs: V  a 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích V  9a Đs: AB = 3a Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a ,SA vng góc với đáy ABC , SA  a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Phân tích: *) Dựng tam giác ABC vuông cân B SA  (ABC) *) Dựng mặt phẳng qua G // BC , cho MN //BC Tại ? Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= B.h để tìm B h hình đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Tìm h = SA qua tam giác định lí ? *) Tính trực tiếp thể tích SAMN phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích SAMN SABC ? Suy điều ? Lời giải: a)Ta có: VS ABC  S ABC SA SA  a 3 + ABC cân có : AC  a  AB  a  S ABC  a Þ VSABC  a a  a SG b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có :  SI  // BC  MN// BC  SM  SN  SG  SB SC SI V SM SN 4 2a  SAMN   Vậy: VSAMN  VSABC  27 VSABC SB SC Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vng góc với (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính VABCD b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Phân tích : *) Dựng tam giác ABC vng cân A SC  (ABC) *) Dựng mặt phẳng qua C  BD cho thiết diện CEF Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích V= Bh / để tìm B h ABCD đối tượng ? *) Tìm diện tích B ABC cơng thức ? *) Chứng minh CE vng góc với đường thẳng mặt phẳng (ABD)? *) Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải ? Lập tỉ số thể tích DCEF DABC tỉ số đại lượng hình học tam giác vng ? 15 DeThiMau.vn Lời giải: a)Tính VABCD : VABCD  SABC CD  a3 b)Tacó: AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD)  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD) c) Tính VDCEF :Ta có: VDCEF VDABC  DE DF (*) DA DB 2 Mà DE.DA  DC , chia cho DA2  DE  DC2  a  DA Tương tự: Từ(*)  DA 2a DF DC a2    2 DB DB DC  CB a3 VDCEF  Vậy VDCEF  VABCD  36 VDABC Ví dụ Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Phân tích *) Dựng tứ giác ABCD SO  (ABCD) *) Dựng (ABM) // CD để có điểm N ? *) Dựng BD BN Tại ? *) Phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: *) Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *) Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? *) Lập tỉ số thể tích SABN với SABD ; SAMN với SABC ? Lời giải: Kẻ MN // CD (N  SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) V SN 1 *) SAND    VSANB  VSADB  VSABCD VSADB SD 2 V SM SN 1 1    VSBMN  VSBCD  VSABCD *) SBMN  VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Þ VABMN.ABCD = VSABCD 8 VSABMN Do :  V ABMN ABCD  Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Phân tích: *)Xác định góc SA ABCD góc ? *)Phân tích V = Bh / để tìm B h SABCD đối tượng ? *)Tìm h = SO qua tam giác hệ thức lượng giác nào? *)Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *)Tính thể tích SAEMF phức tạp ?Lập tỉ số thể tích SAEMF SABCD cách ? *) Hãy so sánh thể tích SABD SBCD với SABCD ? *) Lập tỉ số thể tích SAMF với SACD ? 16 DeThiMau.vn Lời giải: a) Gọi I  SO  AM Ta có (AEMF) //BD  EF // BD b) VS ABCD  S ABCD SO với S ABCD  a 3 + ฀ SOA có : SO  AO.tan 60  a Vậy : VS ABCD  a 6 c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD Ta có :  SM  SC SAC có trọng tâm I, EF // BD  SI  SF   VSAMF  SM SF  SO SD VSACD SC SD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Phân tích u cầu đề tốn nhỏ: *) Phân tích V = Bh / để tìm B h SABCD đối tượng ? *) Chứng minh SC vng góc đường thẳng (AB'D') ? *) Phân tích hai chóp tứ giác thành chóp tam giác để lập tỉ số ? *) Hãy so sánh thể tích SABC SACD với SABCD ? *) Hãy so sánh thể tích SAB'C' SAC'D' với SAB'C'D' ? *) Lập tỉ số thể tích SAB'C' với SABC Suy điều ? Lời giải: a) Ta có: VS ABCD  S ABCD SA  a 3 SA  a b) Ta có BC  ( SAB)  BC  AB ' & SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC ) nên AB'  SC Tương tự AD'  SC.Vậy SC  (AB'D') V SB ' SC ' (*) c) Tính VS AB 'C ' : Ta có: SAB 'C '  VSABC SB SC SAC vuông cân nên Ta có: SB '  SA2  SB SB VSAB ' C ' Từ (*)  VSABC SC '  SC 2a 2a 2   SA2  AB 3a 1 a3 a3   VSAB 'C '   3 + VS.AB 'C ' D ' = 2VS.AB 'C ' = 2a / BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k  1/ Bài Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' 2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho AB  a ;AC'  2a Tính thể Đs: V  a 36 tích tứ diên AB'C'D Bài Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3 17 DeThiMau.vn Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V  a3 / 40 Bài Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3 Bài Cho hình chóp SABCD tích 9m , ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN // BD cắt SB,SDF M P Tính VS.AMNP Đs: V  a2 h / Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs: k  1/ Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho SM  x Tìm x để SA mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích Đs: x   5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng  góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD + Dựng tứ giác ABCD SA  (ABCD) + Dựng H trung điểm AB Nhận xét MH với AB ? Tại ? + Xác định góc[SC,(ABCD)] = ? Tại ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + Tính h = SA tam giác hệ thức lương giác ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABCD đối tượng ? + MABCD có đường cao ? ? Tính MH tính chất ? Lời giải: S a)Ta có V  S ABCD SA + S ABCD  (2a)  4a + SAC có : SA  AC tan C  2a H A B 60o D 2a C 8a  V  4a 2a  3 b) Kẻ MH / / SA  MH  ( DBC ) 1 Ta có: MH  SA , S BCD  S ABCD 2 2a  VMBCD  V  18 DeThiMau.vn Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp + Dựng tam giác ABC SH  (ABC) với H  (ABC) H cách cạnh tam giác ABC  phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: + Xác định góc hợp mặt bên với đáy chóp ? + Phân tích V= B.h để tìm B h SABC đối tượng ? + Tính B = SABC cơng thức ? + Tính h = SH tam giác hệ thức lượng giác ? S J A C 60 H E F B Lời giải: Hạ SH  ( ABC ) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC suy SE  AB, SF  BC, SJ  AC Ta có ฀ ฀ ฀  60O  SEH  SFH  SJH SAH  SFH  SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp ABC ) Ta có SABC = p( p  a)( p  b)( p  c) abc  9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r  r   p Tam giác vuông SHE: 6a 32 a SH = r.tan 600 = 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a  a Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ + Dựng hộp chữ nhật , hình chóp OA'B'C'D' OBB'C'  phân tích yêu cầu đề yêu cầu nhỏ: + Phân tích V= B.h để tìm B h OA'B'C'D' đối tượng ? + Phân tích V= B.h để tìm B h OBB'C' đối tượng ? + Tính B = SBB'C' cơng thức ? + Tính h = OM ? Dùng tam giác tính chất ? + Đối với chóp OBB'C' chọn đỉnh C' đáy ฀ OBB' ta có chiều cao yêu cầu dùng công thức để tìm ? 19 DeThiMau.vn A B Ta có : V  AB AD.AA '  a 3.a  a O D Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V M C B' A' C' D' ABD có : DB  AB  AD  2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao a3 giống khối hộp nên:  VOA ' B 'C ' D '  V  3 b) M trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') 1 a a a3  VO BB 'C '  S BB 'C ' OM   3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H  3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB  AB  AD  2a  SOBB '  a  C ' H  2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B.h để tìm B h ACB'D' đối tượng ? + Tính trực tiếp thể tích ACB'D' phức tạp ? Ta phân tích lập phương thành khối tứ diện tích ? + Khi nhận xét VACB'D' VCB'D'C' ? Suy điều ? + Phân tích V= B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích 1 V  a a  a Khối CB’D’C’ có C A' B' C' +Khối lập phương tích: V2  a 3  VACB ' D '  a  a  a D' a 20 DeThiMau.vn ... BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V = a3 / Bài Cho hình. .. VMABC  S ABC MH   3 24 24 BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V  3a 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh... 4h Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , D SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V  a 12 DeThiMau.vn Bài