Đang tải... (xem toàn văn)
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Căn bậc hai của số phức z là một căn bậc hai của số phức 2w z w Kết quả số phức 0w có đúng một căn bậc hai là 0z số phức 0w có đúng hai căn bậc hai[.]
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải - Căn bậc hai số phức z bậc hai số phức w z w Kết quả: số phức w có bậc hai z số phức w có hai bậc hai hai số đối - Căn bậc hai số thực Hai bậc hai w a a Hai bậc hai w a i a Gọi z x yi x, y bậc hai w a bi a, b x2 y a x yi x y xyi a bi * xy b Để giải hệ (*) ta dùng phương pháp rút phương trình trùng phương x hay y Chú ý: Để tìm bậc hai ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn trình giải phải dự đoán ước lượng tốt làm II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: b) z i a) z i Giải bậc hai số phức z i a) Gọi x yi với x, y Ta có x yi i x y xy 1 i x2 y x y 2 xy Vậy có hai bậc hai là: 1 1 i i 2 2 Cách khác: Ta có 1 i i 2i 2i nên i có bậc hai b) Gọi x yi với x, y bậc hai số phức z i Ta có x yi i x y xy 1 i x2 y x y 2 xy 1 i Vậy có hai bậc hai là: 1 1 i i 2 2 Cách khác: Ta có 1 i i 2i 2i nên i có bậc hai Bài toán Tìm bậc hai số phức sau: b) z 9 40i, a) z 12i Giải a) Ta có z 12i 12i 2i Do z 12i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 9 40i 16 25 40i 5i Do z 9 40i, có hai bậc hai 5i Bài tốn Tìm bậc hai số phức a) 3i b) 17 20 2i Giải a) Gọi x yi với x, y bậc hai số phức z 3i Ta có: x yi 3i x2 y 1 xy i 12 x x x x y 2 xy y y x x Từ có bậc hai là: z1 3i, z2 2 3i b) Gọi x yi với x, y bậc hai số phức z 17 20 2i Ta có: x yi 17 20 2i x2 y 17 xy 10 i 2 x 5, y 2 x y 17 x 5, y 2 xy 10 Vậy có hai bậc hai 2i, 2i Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: b) z 10i a) z 2i Giải 1 i a) Ta có z 2i 2i 2i Do z 2i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 10i 10i 2i Do z 10i có hai bậc hai 2i Bài toán Chứng minh với số thực , ta có: cos i sin cos 2 i sin 2 Từ tìm bậc hai số phức cos 2 i sin 2 Giải Với số thực , ta có: cos i sin cos sin 2sin cos i cos 2 i sin 2 Để tìm bậc hai x yi cos 2 i sin 2 , ta cần giải hệ phương trình x y cos 2 xy sin 2 Rõ ràng cặp cos ,sin , cos , sin nghiệm hệ, tức cos i sin hai bậc hai cos 2 i sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Bài tốn Tìm bậc hai 1 i Giải Với số thực , ta có bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Áp dụng: Ta có Do 1 i cos i sin cos i sin 4 4 4 1 i có hai bậc hai cos i sin cos i sin 8 Vậy hai bậc hai cần tìm là: 2 i 2 Bài toán Chứng minh rằng: Nếu z bậc hai số phức w w z Giải Nếu z bậc hai w z w Nên z z w Vậy: z z w Cách khác: viết z x yi x, y Bài toán Hỏi số thực a thay đổi tùy ý điểm mặt phẳng phức biểu diễn bậc hai a i chạy đường nào? Giải Gọi z x yi với x, y bậc hai số phức z a i x2 y a y Ta có: z a i 2x 2 xy x2 y a Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol y Vì với điểm x, y 2x hypebol này, tìm a x y nên M vạch nên toàn hai nhánh hypebol Vậy điểm M biểu diễn bậc hai chạy hypebol y 2x ... 12i 2i Do z 12i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 9 40i 16 25 40i 5i Do z 9 40i, có hai bậc hai 5i Bài tốn Tìm bậc hai số phức a) 3i b) 17 20... sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Bài tốn Tìm bậc hai 1 i Giải Với số thực , ta có bậc hai cos 2 i sin 2 ... i có hai bậc hai cos i sin cos i sin 8 Vậy hai bậc hai cần tìm là: 2 i 2 Bài toán Chứng minh rằng: Nếu z bậc hai số