Tim can bac hai cua so phuc va giai phuong trinh nghiem phuc nwhoe

CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC Dạng toán 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Căn bậc hai của số phức z là một căn bậc hai của số phức 2w z w  Kết quả số phức 0w  có đúng một căn bậc hai là 0z  số p[.]

CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC Dạng tốn CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC - Căn bậc hai số phức z bậc hai số phức w  z  w Kết quả: số phức w  có bậc hai z  số phức w  có hai bậc hai hai số đối - Căn bậc hai số thực Hai bậc hai w  a   a Hai bậc hai w  a  i a Gọi z  x  yi  x, y   bậc hai w  a  bi  a, b    x2  y  a   x  yi   x  y  xyi  a  bi   * 2 xy  b Để giải hệ (*) ta dùng phương pháp rút phương trình trùng phương x hay y Chú ý: Để tìm bậc hai ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn q trình giải phải dự đốn ước lượng tốt làm Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: a) z  i b) z  i Giải bậc hai số phức z  i a) Gọi x  yi với x, y  Ta có  x  yi   i  x2  y   xy  1 i   x2  y   x y 2 xy   Vậy có hai bậc hai là: 1 1  i   i 2 2 Cách khác: Ta có 1  i    i  2i  2i nên i có bậc hai  b) Gọi x  yi với x, y  bậc hai số phức z  i Ta có  x  yi   i  x2  y   xy  1 i  1  i   x2  y    x  y   2 xy   Vậy có hai bậc hai là: 1 1  i  i  2 2 Cách khác: Ta có 1  i    i  2i  2i nên i có bậc hai  Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: a) z   12i b) z  9  40i, Giải a) Ta có z   12i    12i  3  2i  Do z   12i có hai bậc hai    2i  b) Ta có z  9  40i  16  25  40i    5i  Do z  9  40i, có hai bậc hai    5i  Bài tốn Tìm bậc hai số phức b) 17  20 2i a)  3i Giải bậc hai số phức z   3i a) Gọi x  yi với x, y  Ta có:  x  yi    3i  x2  y    xy   i   12 x    x2   x  y   x     y  y  2 xy  x   x 2 Từ có bậc hai là: z1   3i, z2  2  3i bậc hai số phức z  17  20 2i b) Gọi x  yi với x, y  Ta có:  x  yi   17  20 2i    x  y  17  xy  10 i  2  x  5, y  2   x  y  17     xy  10    x  5, y  2 Vậy có hai bậc hai  2i,   2i Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: 1  i  a) z   2i b) z   10i Giải a) Ta có z   2i    2i  3  2i  Do z   2i có hai bậc hai    2i  b) Ta có z   10i    10i    2i  Do z   10i có hai bậc hai    2i  Bài toán Chứng minh với số thực  , ta có:  cos   i sin    cos 2  i sin 2 Từ tìm bậc hai số phức cos 2  i sin 2 Giải Với số thực  , ta có:  cos   i sin    cos2   sin    2sin  cos   i  cos 2  i sin 2 Để tìm bậc hai x  yi cos 2  i sin 2 , ta cần giải hệ phương trình  x  y  cos 2  2 xy  sin 2 Rõ ràng cặp  cos  ,sin   ,   cos  ,  sin   nghiệm hệ, tức   cos   i sin   hai bậc hai cos 2  i sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2  i sin 2   cos   i sin   Bài tốn Tìm bậc hai 1  i  Giải Với số thực  , ta có bậc hai cos 2  i sin 2   cos   i sin   Áp dụng: Ta có Do     1  i   cos  i sin  cos     i sin    4  4  4 1  i  có hai bậc hai      cos          i sin            cos  i sin  8   Vậy hai bậc hai cần tìm là:   2 i 2  Bài toán Chứng minh rằng: Nếu z bậc hai số phức w w  z Giải Nếu z bậc hai w z  w Nên z  z  w Vậy: z  z  w 2 Cách khác: viết z  x  yi  x, y   Bài toán Hỏi số thực a thay đổi tùy ý điểm mặt phẳng phức biểu diễn bậc hai a  i chạy đường nào? Giải Gọi z  x  yi với x, y  bậc hai số phức z  a  i   x2  y  a y  Ta có: z  a  i    2x xy   x  y2  a  Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol y  Vì với điểm 2x  x, y  hypebol này, tìm a  x2  y nên M vạch nên tồn hai nhánh hypebol Vậy điểm M biểu diễn bậc hai chạy hypebol y  2x Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC Phương trình bậc hai nghiệm phức Az  Bz  C  với A, B, C số phức, A  Lập biệt thức:   B2  AC Nếu   phương trình có nghiệm kép z  B 2A Nếu   ta tìm bậc hai   phương trình có nghiệm phân biệt z1,2  B   2A Đặc biệt,  số thực   : z1,2   B  i  B  i    : z1,2  2A 2A Chú ý: 1) Khi  số thực âm phương trình bậc khơng có nghiệm thực 2) Ngồi cách giải tổng quát, ta dùng biệt thức  thu gọn biến đổi dạng phương trình thiếu B C : Az  Bz  0, Az  C  3) Phương trình bậc hai: Az  Bz  C  Nếu có A  B  C  có nghiệm z  Nếu có A  B  C  có nghiệm z  1 Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z  z  10  b) z  z   Giải a) Phương trình bậc hai z  z  10  có    10  9   3i  Vậy phương trình có hai nghiệm z1  1  3i, z2  1  3i b) Phương trình bậc hai z  z   có     3   i  Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  1  i Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z  z  b) z  10  Giải a) Phương trình bậc hai z  z   z  z     z  hay z  7 Vậy phương trình có hai nghiệm z1  0, z2  7 b) Phương trình bậc hai z  10   z  10   i 10  Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  i 10 Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z    i  z    4i   b) z  1  3i  z  1  i   Giải a) z    i  z    4i       i     4i   4  4i nên  có bậc hai 2i Do đó: z1    i    2i    i, z2    i    2i    3i Vậy phương trình có hai nghiệm z1   i, z2   3i b) z  1  3i  z  1  i     1  3i   1  i   2i  1  i  2 nên phương trình có hai nghiệm là: z1  1  1  3i  1  i   2i, z2  1  3i  1  i   1  i 2 Bài tốn Tìm nghiệm phức phương trình: a) z    2i  z  28  4i  b) z    4i  z   5i  Giải a)     2i    28  4i   35  12i  x  y  35 Ta tìm bậc hai x  yi  :  x  yi   35  12i   2 xy  12 Ta có: x2  y  352  122  1369  37 Do giải bậc là:  1  6i  nên phương trình có nghiệm: z1   4i z2   2i b)     4i    1  5i   3  4i  1  2i  2  có hai bậc hai  1  2i  nên phương trình có hai nghiệm là: z1    4i   1  2i    i, z 2  3  4i   1  2i    3i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: a) z  1  i  z  5i  b) 2iz  3z   i  Giải a) Phương trình z  1  i  z  5i  có biệt thức   1  i   20i   2i   20i  2i  1  i  Hai nghiệm z1  3 1  i   1  i   2  i z2  3 1  i   1  i   1  2i Kết z  2  i z  1  2i b) 2iz  3z   i     8i   i    32i  8i  17  32i Ta tìm bậc hai a  bi với a, b   a  bi    256 a  a  17 a  b  17  17  32i    2ab  32 b   16  a 2 Từ đó, phương trình cho có nghiệm phức: 1313  17   3 4  1313  17   i;    1313  17   3 4  1313  17  i   Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: z   cos   i sin   z  i sin  cos   Giải Phương trình z   cos   i sin   z  i sin  cos      cos   i sin    4i sin  cos   cos2    i sin    2i.sin  cos    cos   i sin   2 Nên  có hai bậc hai   cos   i sin   Vậy phương trình có nghiệm: z1  cos  , z2  i sin  Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z  z  13  Tính z  Giải Phương trình z  z  13  có    13  4   2i  Do z   2i hay z   2i Với z   2i , ta có: z 6   2i    2i   i   i  17 z i  3i Với z   2i , ta có z i z 6   2i    2i  z i 3i 3i   2i    i   24  7i  10 Cách khác: z  z  13    z  3  4   z  3   2i  Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn: Tính mơđun số phức w  2 z 1  z 3 z2 z i z  2i Giải Ta có z 1  z   z    z  3 z   , z  z2  z  2  i  z2  4z      z  2  i Với z  2  i , ta có w  Do w  z i 10  z  2i Với z  2  i , ta có w  Do w  z  i 2  2i    i z  2i 2  i 5 z i 2    i z  2i 2  3i 13 13 z i  13 z  2i Bài toán Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z  3z   Hãy tính: S  z1  z2 ; P  z1.z2 ; T  z12  z22 Giải Phương trình z  3z   có    24  21   21i  Do có nghiệm z1  Ta có S  z1  z2  P  z1.z2  Và có   i 21   i 21 ; z2  4   i 21   i 21    4   i 21   i 21  21 24    4 16 16 2 2    i 21     i 21  18 9 z  z           21  4 16 16     2 Bài toán 10 Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z  z  10  Hãy tính: A  z1  z2 2 Giải Phương trình z  z  10  có    10  9   3i  Do có nghiệm z1  1  3i; z2  1  3i Ta có A  z1  z2  1  9  1    20 2 Bài toán 11 Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z    i  z   5i  Hãy tính: z12  z22 , z14  z24 Giải Phương trình z    i  z   5i  có     i     5i     4i  12  20i  9  24i  3  4i  Do có nghiệm z1  5  5i  3i ; z2  2 Nên S  z1  z2  2  i, P  z1z2   5i Ta có: z12  z22  S  2P   2  i   3  5i   3  14i  z14  z24  z12  z22   z12 z22   3  14i     5i   155  24i 2 Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC - Phương trình bậc 3, bậc 4, bậc cao nghiệm phức: Nguyên tắc chung phương trình bậc cao biến đổi thành phương trình tích số đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc thấp,… Người ta chứng minh phương trình bậc n : A0 z n  A1 z n1   An1 z  An  A0 , A1 , , An n  số phức cho trước, A0  0, n số ngun dương ln có n nghiệm phức phân biệt hay trùng - Hệ phương trình nghiệm phức: biến đổi rút thế, cộng đại số, hay biến đổi tích để giải Có thể đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình thường gặp,… Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a)  iz  1 z  3i   z   3i   b) z.z   z  z    3i Giải a) Ta có:  iz  1 z  3i   z   3i   nên: - iz 1  tức z  i - z  3i  tức z  3i - z   3i  tức z   3i  hay z   3i Vậy phương trình có ba nghiệm là: i,  3i  3i b) Đặt z  x  iy, x, y  Ta có: z.z   z  z   x2  y  3.2iy  x2  y  yi  15 x    x  y   Do đó: z.z  z  z   3i    y    y     Vậy z   2 15 i 15 i  z    2 2 Bài tốn Tìm số thực m để phương trình z    i  z    4i  z   mi  có nghiệm z  i Khi đó, giải phương trình cho Giải Thay z  i vào phương trình ta có m  Khi phương trình trở thành z    i  z    4i  z   3i    z  i   z  3z   i    z  i z  3z   i  Giải phương trình bậc hai Ta có  :    i   3  4i  1  2i  Suy z   i, z   i Vậy nghiệm phương trình z  i, z   i, z   i Bài tốn Tìm số thực a, b để có phân tích: z  z  14 z    z  1  z  az  b  Giải phương trình nghiệm phức z3  z  14 z   Giải Ta có z  z  14 z    z  1  z  az  b   z  z  14 z   z   2a  1 z   2b  a  z  b 2a   9 a  4 Đồng nhất, ta có hệ: 2b  a  14   b  b  5  Do phương trình z  z  14 z     z  1  z  z  5    z  1  z  z   Biệt thức phương trình bậc hai z  z       1  i Vậy phương trình cho có nghiệm phức ,  i,  i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: b)  x  i  2  x2    i  x  7i  1  a) x3   Giải a) Ta có: x3     x  2  x2  x  4   x   hay x2  x   Phương trình bậc hai x2  x       3  3i nên có bậc hai i Nên x2  x    x  1  i Vậy phương trình cho có nghiệm: x  2; x  1  i b)  x  i  2  x2    i  x  7i  1   x   i x2    i  x  7i   Phương trình bậc hai x2    i  x  7i   có biệt thức     i    7i  1   24i    3i  2 Nên  có bậc hai    3i  Từ giải cho nghiệm x   i, x  1  2i Vậy phương trình cho có nghiệm: x   i, x   i, x  1  2i Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a) z  i b) z  z  4z   Giải a) Đặt z  x  iy, x, y  , ta có  x  iy   i 3   x  3xy   x3  3xy  i 3x y  y  i    3x y  y    Ta có: x3  3xy   x  x2  y    x  hay x   y Nếu x   y  1 Nếu x   y  y  x   2 Vậy phương trình có nghiệm i, i i  ,  2 2 b) Ta có z  khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z ta được: 4 2 2   z  2z 1     z     z     z z z z     z  z  z2  z   z  i     2   z   3  z  3z    z  1, z  2  z Vậy nghiệm phương trình z  1, z  2, z   Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: z  i 1 i Giải Đặt z  x  iy, x, y  , ta có: z    x  3xy   3x y  y   1 i 1 i  x3  3xy  i 3x y  y  2  2   x  y  x  y  xy   2  x  y  x  y  xy      - Xét x  y   y   x nên x3  3x3  1  1  1  x3    x 2  2 Do đó: y  1  i Ta có được: z1  2 - Xét x2  y  xy     x  y   x  y 2  xy   x y      Ta có hệ:    x  y   xy   xy   Vậy phương trình có nghiệm là: z1  z2     i  1 ; z 1 1  i ;     i    1 1 Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a) x4  x2   b) z  z3  6z  8z 16  Giải a) Đặt t  x Khi phương trình cho trở thành: t  2t       3  3i Tính t  1  i Phương trình trở thành x2  1  i hay x2  1  i Tìm bậc hai 1  i ta bốn nghiệm phức phương trình cho là:  3  3   i i  ;      2   b) Xét z  1 phương trình:    16  nghiệm nên phương trình tương đương:  z  1  z  z  8z  16     z  1 z    z  8   z  1 z  z  8  z  1 z  z  2i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: a)  z   i    z   i   13  iz   iz  b)  4 0  3 z  2i  z  2i  Giải a) Đặt z   i  w phương trình trở thành w2  6w  13  Biệt thức   36  52  16 nên w   4i   2i Do z   i   2i hay z  i  2i Vậy z  3i z  i nghiệm phức cần tìm b) Đặt iz   w phương trình: w2  3w   z  2i Biệt thức    16  25 nên w  Với w  1, ta có Với w  , ta có 35 suy w  1 hay w  iz  1  5i  1 z  z  2i iz   35i  z  z  2i 17 Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức biểu diễn tập nghiệm: a) z  16  b) 8z  8z  z  Giải a) Ta có z  16    z  4 z  4    z   z    z     z1,2  2 hay z3,4  2i Vậy phương trình có nghiệm biểu diễn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng hình b) 8z  8z  z    z  1 8z  1    z  1 z  1  z  z  1    z  1 z  1  hay z  z   Nghiệm z   z1  1 , nghiệm z 1  z2  2 Nghiệm z  z     z     2  3 z3    i z4    i 4 4 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm biểu diễn điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi hình  z  2i  z Bài toán 10 Giải hệ phương trình nghiệm phức:   z  i  z  Giải Gọi số phức z  x  yi,  x, y    z  2i  z   x  yi  2i  x  yi Ta có    z  i  z 1   x  yi  i  x  yi    x   y  2  x  y   x   y   i  x  yi    2 2 x  y  i  x   yi       x   y  1   x  1  y 4 y   y 1 x     2 y   2 x   x  y y 1 Vậy nghiệm phức z   i Bài tốn 11 Giải hệ phương trình nghiệm phức:  x  iy  z  10  b)  x  y  2iz  20 ix  3iy   i z  30      i  x    2i  y   6i a)     2i  x    3i  y   4i Giải a) Lập định thức: D  Dx  Dy   6i  2i  4i    3i  3i  2i  2i    3i   21  23i   44i 3i  6i  23  21i  2i  4i x  1 i y  i Vậy nghiệm phức:   x  iy  z  10  x  iy  z  10     x  y  2iz  20 b) Ta có:  x  y  2iz  20 ix  3iy   i z  30  x  y  i  z  30i        i  1 y  1  i  z  10 Khử x ta có hệ:   4 y  1  i  z  20  30i Từ có x  11i  x   11i Vậy hệ có nghiệm phức:  y  3  9i  z   7i  Bài toán 12 Giải hệ phương trình nghiệm phức:  z z  5  5i a)  12 2  zw   i b)  3  z  w   28i   z1  z2  5  2i Giải a) Ta có: z12  z22   z1  z2   z1 z2 nên: 5  2i   z1  z2    5  5i  2 suy  z1  z2   15  8i  1  4i  2 Do z1  z2   4i z1  z2  1  4i  z1  z2   4i  z  z  1  4i   z1.z2  5  5i  z1.z2  5  5i Áp dụng định lý Viet với  z1 , z2 nghiệm phương trình z  1  4i  z   5i  hoặc: z  1  4i  z   5i  Lập biệt thức 1 ,  từ giải nghiệm  z1 , z2  :   i, 1  3i  ,  1  3i,  i  ,  2  i,  3i  , 1  3i,   i  b) Ta có z  w   i   nên z  w3   28i   z  w  z  w  3zw   28i 4  i  3zw   28i  zw   5i 4i Vì z  w   i nên w   i  z Thế vào có phương trình: z    i  z   5i  Ta có:   5  12i    3i  Suy z   i z   2i Vậy hệ có nghiệm:  z; w    i;  2i  ,  z; w  1  2i;  i  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Tìm bậc hai số phức b)  2i a)  4i HD-ĐS a) Viết  4i    2.2.2    i  Kết    i  b) Gọi x  yi,  x, y   bậc hai  2i  x2  y  Ta có  x  yi    2i    2 xy  2 Kết    i  Bài tập Tìm bậc hai số phức sau: a) 1  3i b) 8i HD-ĐS a) Viết 1  3i    3.2i    2i  Kết    2i  b) Gọi x  yi,  x, y   bậc hai 8i Ta có  x  yi   x2  y   i   2 xy  1 Kết    2i  Bài tập Gọi z bậc hai số phức  i , z bậc hai  i Tính z  z HD-ĐS Gọi x  yi,  x, y   bậc hai  i Gọi x  yi,  x, y   bậc hai  i Kết   17 ,  8  17 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z  z   b) z    i  z   3i  HD-ĐS a) Lập     1  i Kết  i 2 b) Lập  tìm bậc hai  Kết  i;  2i Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z  3z   b) 2i 1  3i z 1 i 2i HD-ĐS a) Đặt w  z đưa phương trình bậc hai: w2  3w   Kết  b) i  2 2i 1  3i 1  3i  i  1  3i 1  i  z z :  1 i 2i  i 1 i 2  i Kết 22  i 25 25 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z  i  b) z   HD-ĐS a) Gọi z  x  yi,  x, y   tính z Kết quả: i, i i  ;  2 2 b) z    z  1  i  z  i hay z  i Kết 2 1  i   1  i  2 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: b)  z  z    z  z   12  a) z  z  HD-ĐS a) Gọi z  x  yi,  x, y   tính z z Kết z1  0; z2  1; z3   i 3 ; z4   i 2 b) Đặt w  z  z đưa phương trình bậc hai: w2  4w 12  Kết 1,  2, 1  23i 1  23i , 2 Bài tập Giải hệ phương trình nghiệm phức:   i  x    i  y  a)     2i  x    2i  y   z  w5  b)   z w    HD-ĐS a) Dùng phương pháp cộng đại số hay định thức Kết x   i, y   i b) Từ PT (2) suy z  w  12 Từ PT (1) suy z  w10 Do đó: w10  w  nên w  tức w  12 22 Suy z  w  tức z  Từ w  10   w10 w w 12 1 Mà 1 : z  w5  nên: z   w  1 z  1  w  Kết  z; w  1; 1 ,  1;1    suy w  nên w ...  12i có hai bậc hai    2i  b) Ta có z  9  40i  16  25  40i    5i  Do z  9  40i, có hai bậc hai    5i  Bài tốn Tìm bậc hai số phức b) 17  20 2i a)  3i Giải bậc hai số phức... hai bậc hai cos 2  i sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2  i sin 2   cos   i sin   Bài tốn Tìm bậc hai 1  i  Giải Với số thực  , ta có bậc hai cos... 5, y  2 Vậy có hai bậc hai  2i,   2i Bài toán Tìm bậc hai số phức sau: 1  i  a) z   2i b) z   10i Giải a) Ta có z   2i    2i  3  2i  Do z   2i có hai bậc hai    2i  b)