Đang tải... (xem toàn văn)
CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC Dạng toán 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Căn bậc hai của số phức z là một căn bậc hai của số phức 2w z w Kết quả số phức 0w có đúng một căn bậc hai là 0z số p[.]
CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC Dạng tốn CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC - Căn bậc hai số phức z bậc hai số phức w z w Kết quả: số phức w có bậc hai z số phức w có hai bậc hai hai số đối - Căn bậc hai số thực Hai bậc hai w a a Hai bậc hai w a i a Gọi z x yi x, y bậc hai w a bi a, b x2 y a x yi x y xyi a bi * 2 xy b Để giải hệ (*) ta dùng phương pháp rút phương trình trùng phương x hay y Chú ý: Để tìm bậc hai ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn q trình giải phải dự đốn ước lượng tốt làm Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: a) z i b) z i Giải bậc hai số phức z i a) Gọi x yi với x, y Ta có x yi i x2 y xy 1 i x2 y x y 2 xy Vậy có hai bậc hai là: 1 1 i i 2 2 Cách khác: Ta có 1 i i 2i 2i nên i có bậc hai b) Gọi x yi với x, y bậc hai số phức z i Ta có x yi i x2 y xy 1 i 1 i x2 y x y 2 xy Vậy có hai bậc hai là: 1 1 i i 2 2 Cách khác: Ta có 1 i i 2i 2i nên i có bậc hai Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: a) z 12i b) z 9 40i, Giải a) Ta có z 12i 12i 3 2i Do z 12i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 9 40i 16 25 40i 5i Do z 9 40i, có hai bậc hai 5i Bài tốn Tìm bậc hai số phức b) 17 20 2i a) 3i Giải bậc hai số phức z 3i a) Gọi x yi với x, y Ta có: x yi 3i x2 y xy i 12 x x2 x y x y y 2 xy x x 2 Từ có bậc hai là: z1 3i, z2 2 3i bậc hai số phức z 17 20 2i b) Gọi x yi với x, y Ta có: x yi 17 20 2i x y 17 xy 10 i 2 x 5, y 2 x y 17 xy 10 x 5, y 2 Vậy có hai bậc hai 2i, 2i Bài tốn Tìm bậc hai số phức sau: 1 i a) z 2i b) z 10i Giải a) Ta có z 2i 2i 3 2i Do z 2i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 10i 10i 2i Do z 10i có hai bậc hai 2i Bài toán Chứng minh với số thực , ta có: cos i sin cos 2 i sin 2 Từ tìm bậc hai số phức cos 2 i sin 2 Giải Với số thực , ta có: cos i sin cos2 sin 2sin cos i cos 2 i sin 2 Để tìm bậc hai x yi cos 2 i sin 2 , ta cần giải hệ phương trình x y cos 2 2 xy sin 2 Rõ ràng cặp cos ,sin , cos , sin nghiệm hệ, tức cos i sin hai bậc hai cos 2 i sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Bài tốn Tìm bậc hai 1 i Giải Với số thực , ta có bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Áp dụng: Ta có Do 1 i cos i sin cos i sin 4 4 4 1 i có hai bậc hai cos i sin cos i sin 8 Vậy hai bậc hai cần tìm là: 2 i 2 Bài toán Chứng minh rằng: Nếu z bậc hai số phức w w z Giải Nếu z bậc hai w z w Nên z z w Vậy: z z w 2 Cách khác: viết z x yi x, y Bài toán Hỏi số thực a thay đổi tùy ý điểm mặt phẳng phức biểu diễn bậc hai a i chạy đường nào? Giải Gọi z x yi với x, y bậc hai số phức z a i x2 y a y Ta có: z a i 2x xy x y2 a Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol y Vì với điểm 2x x, y hypebol này, tìm a x2 y nên M vạch nên tồn hai nhánh hypebol Vậy điểm M biểu diễn bậc hai chạy hypebol y 2x Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC Phương trình bậc hai nghiệm phức Az Bz C với A, B, C số phức, A Lập biệt thức: B2 AC Nếu phương trình có nghiệm kép z B 2A Nếu ta tìm bậc hai phương trình có nghiệm phân biệt z1,2 B 2A Đặc biệt, số thực : z1,2 B i B i : z1,2 2A 2A Chú ý: 1) Khi số thực âm phương trình bậc khơng có nghiệm thực 2) Ngồi cách giải tổng quát, ta dùng biệt thức thu gọn biến đổi dạng phương trình thiếu B C : Az Bz 0, Az C 3) Phương trình bậc hai: Az Bz C Nếu có A B C có nghiệm z Nếu có A B C có nghiệm z 1 Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z z 10 b) z z Giải a) Phương trình bậc hai z z 10 có 10 9 3i Vậy phương trình có hai nghiệm z1 1 3i, z2 1 3i b) Phương trình bậc hai z z có 3 i Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2 1 i Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z z b) z 10 Giải a) Phương trình bậc hai z z z z z hay z 7 Vậy phương trình có hai nghiệm z1 0, z2 7 b) Phương trình bậc hai z 10 z 10 i 10 Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2 i 10 Bài tốn Giải phương trình tập số phức: a) z i z 4i b) z 1 3i z 1 i Giải a) z i z 4i i 4i 4 4i nên có bậc hai 2i Do đó: z1 i 2i i, z2 i 2i 3i Vậy phương trình có hai nghiệm z1 i, z2 3i b) z 1 3i z 1 i 1 3i 1 i 2i 1 i 2 nên phương trình có hai nghiệm là: z1 1 1 3i 1 i 2i, z2 1 3i 1 i 1 i 2 Bài tốn Tìm nghiệm phức phương trình: a) z 2i z 28 4i b) z 4i z 5i Giải a) 2i 28 4i 35 12i x y 35 Ta tìm bậc hai x yi : x yi 35 12i 2 xy 12 Ta có: x2 y 352 122 1369 37 Do giải bậc là: 1 6i nên phương trình có nghiệm: z1 4i z2 2i b) 4i 1 5i 3 4i 1 2i 2 có hai bậc hai 1 2i nên phương trình có hai nghiệm là: z1 4i 1 2i i, z 2 3 4i 1 2i 3i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: a) z 1 i z 5i b) 2iz 3z i Giải a) Phương trình z 1 i z 5i có biệt thức 1 i 20i 2i 20i 2i 1 i Hai nghiệm z1 3 1 i 1 i 2 i z2 3 1 i 1 i 1 2i Kết z 2 i z 1 2i b) 2iz 3z i 8i i 32i 8i 17 32i Ta tìm bậc hai a bi với a, b a bi 256 a a 17 a b 17 17 32i 2ab 32 b 16 a 2 Từ đó, phương trình cho có nghiệm phức: 1313 17 3 4 1313 17 i; 1313 17 3 4 1313 17 i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: z cos i sin z i sin cos Giải Phương trình z cos i sin z i sin cos cos i sin 4i sin cos cos2 i sin 2i.sin cos cos i sin 2 Nên có hai bậc hai cos i sin Vậy phương trình có nghiệm: z1 cos , z2 i sin Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z z 13 Tính z Giải Phương trình z z 13 có 13 4 2i Do z 2i hay z 2i Với z 2i , ta có: z 6 2i 2i i i 17 z i 3i Với z 2i , ta có z i z 6 2i 2i z i 3i 3i 2i i 24 7i 10 Cách khác: z z 13 z 3 4 z 3 2i Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn: Tính mơđun số phức w 2 z 1 z 3 z2 z i z 2i Giải Ta có z 1 z z z 3 z , z z2 z 2 i z2 4z z 2 i Với z 2 i , ta có w Do w z i 10 z 2i Với z 2 i , ta có w Do w z i 2 2i i z 2i 2 i 5 z i 2 i z 2i 2 3i 13 13 z i 13 z 2i Bài toán Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z 3z Hãy tính: S z1 z2 ; P z1.z2 ; T z12 z22 Giải Phương trình z 3z có 24 21 21i Do có nghiệm z1 Ta có S z1 z2 P z1.z2 Và có i 21 i 21 ; z2 4 i 21 i 21 4 i 21 i 21 21 24 4 16 16 2 2 i 21 i 21 18 9 z z 21 4 16 16 2 Bài toán 10 Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z z 10 Hãy tính: A z1 z2 2 Giải Phương trình z z 10 có 10 9 3i Do có nghiệm z1 1 3i; z2 1 3i Ta có A z1 z2 1 9 1 20 2 Bài toán 11 Gọi z1; z2 nghiệm phương trình bậc hai: z i z 5i Hãy tính: z12 z22 , z14 z24 Giải Phương trình z i z 5i có i 5i 4i 12 20i 9 24i 3 4i Do có nghiệm z1 5 5i 3i ; z2 2 Nên S z1 z2 2 i, P z1z2 5i Ta có: z12 z22 S 2P 2 i 3 5i 3 14i z14 z24 z12 z22 z12 z22 3 14i 5i 155 24i 2 Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC - Phương trình bậc 3, bậc 4, bậc cao nghiệm phức: Nguyên tắc chung phương trình bậc cao biến đổi thành phương trình tích số đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc thấp,… Người ta chứng minh phương trình bậc n : A0 z n A1 z n1 An1 z An A0 , A1 , , An n số phức cho trước, A0 0, n số ngun dương ln có n nghiệm phức phân biệt hay trùng - Hệ phương trình nghiệm phức: biến đổi rút thế, cộng đại số, hay biến đổi tích để giải Có thể đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình thường gặp,… Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a) iz 1 z 3i z 3i b) z.z z z 3i Giải a) Ta có: iz 1 z 3i z 3i nên: - iz 1 tức z i - z 3i tức z 3i - z 3i tức z 3i hay z 3i Vậy phương trình có ba nghiệm là: i, 3i 3i b) Đặt z x iy, x, y Ta có: z.z z z x2 y 3.2iy x2 y yi 15 x x y Do đó: z.z z z 3i y y Vậy z 2 15 i 15 i z 2 2 Bài tốn Tìm số thực m để phương trình z i z 4i z mi có nghiệm z i Khi đó, giải phương trình cho Giải Thay z i vào phương trình ta có m Khi phương trình trở thành z i z 4i z 3i z i z 3z i z i z 3z i Giải phương trình bậc hai Ta có : i 3 4i 1 2i Suy z i, z i Vậy nghiệm phương trình z i, z i, z i Bài tốn Tìm số thực a, b để có phân tích: z z 14 z z 1 z az b Giải phương trình nghiệm phức z3 z 14 z Giải Ta có z z 14 z z 1 z az b z z 14 z z 2a 1 z 2b a z b 2a 9 a 4 Đồng nhất, ta có hệ: 2b a 14 b b 5 Do phương trình z z 14 z z 1 z z 5 z 1 z z Biệt thức phương trình bậc hai z z 1 i Vậy phương trình cho có nghiệm phức , i, i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: b) x i 2 x2 i x 7i 1 a) x3 Giải a) Ta có: x3 x 2 x2 x 4 x hay x2 x Phương trình bậc hai x2 x 3 3i nên có bậc hai i Nên x2 x x 1 i Vậy phương trình cho có nghiệm: x 2; x 1 i b) x i 2 x2 i x 7i 1 x i x2 i x 7i Phương trình bậc hai x2 i x 7i có biệt thức i 7i 1 24i 3i 2 Nên có bậc hai 3i Từ giải cho nghiệm x i, x 1 2i Vậy phương trình cho có nghiệm: x i, x i, x 1 2i Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a) z i b) z z 4z Giải a) Đặt z x iy, x, y , ta có x iy i 3 x 3xy x3 3xy i 3x y y i 3x y y Ta có: x3 3xy x x2 y x hay x y Nếu x y 1 Nếu x y y x 2 Vậy phương trình có nghiệm i, i i , 2 2 b) Ta có z khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z ta được: 4 2 2 z 2z 1 z z z z z z z z z2 z z i 2 z 3 z 3z z 1, z 2 z Vậy nghiệm phương trình z 1, z 2, z Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: z i 1 i Giải Đặt z x iy, x, y , ta có: z x 3xy 3x y y 1 i 1 i x3 3xy i 3x y y 2 2 x y x y xy 2 x y x y xy - Xét x y y x nên x3 3x3 1 1 1 x3 x 2 2 Do đó: y 1 i Ta có được: z1 2 - Xét x2 y xy x y x y 2 xy x y Ta có hệ: x y xy xy Vậy phương trình có nghiệm là: z1 z2 i 1 ; z 1 1 i ; i 1 1 Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức: a) x4 x2 b) z z3 6z 8z 16 Giải a) Đặt t x Khi phương trình cho trở thành: t 2t 3 3i Tính t 1 i Phương trình trở thành x2 1 i hay x2 1 i Tìm bậc hai 1 i ta bốn nghiệm phức phương trình cho là: 3 3 i i ; 2 b) Xét z 1 phương trình: 16 nghiệm nên phương trình tương đương: z 1 z z 8z 16 z 1 z z 8 z 1 z z 8 z 1 z z 2i Bài toán Giải phương trình nghiệm phức: a) z i z i 13 iz iz b) 4 0 3 z 2i z 2i Giải a) Đặt z i w phương trình trở thành w2 6w 13 Biệt thức 36 52 16 nên w 4i 2i Do z i 2i hay z i 2i Vậy z 3i z i nghiệm phức cần tìm b) Đặt iz w phương trình: w2 3w z 2i Biệt thức 16 25 nên w Với w 1, ta có Với w , ta có 35 suy w 1 hay w iz 1 5i 1 z z 2i iz 35i z z 2i 17 Bài tốn Giải phương trình nghiệm phức biểu diễn tập nghiệm: a) z 16 b) 8z 8z z Giải a) Ta có z 16 z 4 z 4 z z z z1,2 2 hay z3,4 2i Vậy phương trình có nghiệm biểu diễn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng hình b) 8z 8z z z 1 8z 1 z 1 z 1 z z 1 z 1 z 1 hay z z Nghiệm z z1 1 , nghiệm z 1 z2 2 Nghiệm z z z 2 3 z3 i z4 i 4 4 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm biểu diễn điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi hình z 2i z Bài toán 10 Giải hệ phương trình nghiệm phức: z i z Giải Gọi số phức z x yi, x, y z 2i z x yi 2i x yi Ta có z i z 1 x yi i x yi x y 2 x y x y i x yi 2 2 x y i x yi x y 1 x 1 y 4 y y 1 x 2 y 2 x x y y 1 Vậy nghiệm phức z i Bài tốn 11 Giải hệ phương trình nghiệm phức: x iy z 10 b) x y 2iz 20 ix 3iy i z 30 i x 2i y 6i a) 2i x 3i y 4i Giải a) Lập định thức: D Dx Dy 6i 2i 4i 3i 3i 2i 2i 3i 21 23i 44i 3i 6i 23 21i 2i 4i x 1 i y i Vậy nghiệm phức: x iy z 10 x iy z 10 x y 2iz 20 b) Ta có: x y 2iz 20 ix 3iy i z 30 x y i z 30i i 1 y 1 i z 10 Khử x ta có hệ: 4 y 1 i z 20 30i Từ có x 11i x 11i Vậy hệ có nghiệm phức: y 3 9i z 7i Bài toán 12 Giải hệ phương trình nghiệm phức: z z 5 5i a) 12 2 zw i b) 3 z w 28i z1 z2 5 2i Giải a) Ta có: z12 z22 z1 z2 z1 z2 nên: 5 2i z1 z2 5 5i 2 suy z1 z2 15 8i 1 4i 2 Do z1 z2 4i z1 z2 1 4i z1 z2 4i z z 1 4i z1.z2 5 5i z1.z2 5 5i Áp dụng định lý Viet với z1 , z2 nghiệm phương trình z 1 4i z 5i hoặc: z 1 4i z 5i Lập biệt thức 1 , từ giải nghiệm z1 , z2 : i, 1 3i , 1 3i, i , 2 i, 3i , 1 3i, i b) Ta có z w i nên z w3 28i z w z w 3zw 28i 4 i 3zw 28i zw 5i 4i Vì z w i nên w i z Thế vào có phương trình: z i z 5i Ta có: 5 12i 3i Suy z i z 2i Vậy hệ có nghiệm: z; w i; 2i , z; w 1 2i; i BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Tìm bậc hai số phức b) 2i a) 4i HD-ĐS a) Viết 4i 2.2.2 i Kết i b) Gọi x yi, x, y bậc hai 2i x2 y Ta có x yi 2i 2 xy 2 Kết i Bài tập Tìm bậc hai số phức sau: a) 1 3i b) 8i HD-ĐS a) Viết 1 3i 3.2i 2i Kết 2i b) Gọi x yi, x, y bậc hai 8i Ta có x yi x2 y i 2 xy 1 Kết 2i Bài tập Gọi z bậc hai số phức i , z bậc hai i Tính z z HD-ĐS Gọi x yi, x, y bậc hai i Gọi x yi, x, y bậc hai i Kết 17 , 8 17 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z z b) z i z 3i HD-ĐS a) Lập 1 i Kết i 2 b) Lập tìm bậc hai Kết i; 2i Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z 3z b) 2i 1 3i z 1 i 2i HD-ĐS a) Đặt w z đưa phương trình bậc hai: w2 3w Kết b) i 2 2i 1 3i 1 3i i 1 3i 1 i z z : 1 i 2i i 1 i 2 i Kết 22 i 25 25 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: a) z i b) z HD-ĐS a) Gọi z x yi, x, y tính z Kết quả: i, i i ; 2 2 b) z z 1 i z i hay z i Kết 2 1 i 1 i 2 Bài tập Giải phương trình nghiệm phức: b) z z z z 12 a) z z HD-ĐS a) Gọi z x yi, x, y tính z z Kết z1 0; z2 1; z3 i 3 ; z4 i 2 b) Đặt w z z đưa phương trình bậc hai: w2 4w 12 Kết 1, 2, 1 23i 1 23i , 2 Bài tập Giải hệ phương trình nghiệm phức: i x i y a) 2i x 2i y z w5 b) z w HD-ĐS a) Dùng phương pháp cộng đại số hay định thức Kết x i, y i b) Từ PT (2) suy z w 12 Từ PT (1) suy z w10 Do đó: w10 w nên w tức w 12 22 Suy z w tức z Từ w 10 w10 w w 12 1 Mà 1 : z w5 nên: z w 1 z 1 w Kết z; w 1; 1 , 1;1 suy w nên w ... 12i có hai bậc hai 2i b) Ta có z 9 40i 16 25 40i 5i Do z 9 40i, có hai bậc hai 5i Bài tốn Tìm bậc hai số phức b) 17 20 2i a) 3i Giải bậc hai số phức... hai bậc hai cos 2 i sin 2 Ta biết số phức có hai nên tất bậc hai cần tìm Vậy bậc hai cos 2 i sin 2 cos i sin Bài tốn Tìm bậc hai 1 i Giải Với số thực , ta có bậc hai cos... 5, y 2 Vậy có hai bậc hai 2i, 2i Bài toán Tìm bậc hai số phức sau: 1 i a) z 2i b) z 10i Giải a) Ta có z 2i 2i 3 2i Do z 2i có hai bậc hai 2i b)