Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Toán 12

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

Trang | LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ

PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Kiến thức cần nhớ

a) Căn bậc hai số phức

- Số phức w x yi x y , R bậc hai số phức z a bi

w z - Mọi số phức z0 có hai bậc hai hai số đối w w

- Số thực a0 có hai bậc hai  a; số thực a0 có hai bậc hai i a b) Phƣơng trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai tổng quát:  

0

Az Bz C  A - Biệt thức  B24AC

+ Nếu  0 phương trình có nghiệm kép 1,2

B z

A

 

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 B z

A

  

 (ở  kí hiệu bậc hai số phức )

- Hệ thức Vi-et:

1

1

B z z

A C z z

A

    



 



2 Một số dạng toán thƣờng gặp Dạng 1: Tìm bậc hai số phức Phƣơng pháp:

Cách 1: Biến đổi z = a + bi dạng bình phương số phức khác

Cách 2: Giả sử w x yi x y , R bậc hai z,

2 2

2

x y a

w z

xy b

  

    

Ví dụ: Tìm bậc hai số phức z = + 6i Giải:

Cách 1:

Ta có: z     8 6i 6i 322.3i i  2 3 i2 Do bậc hai số phức z + i - - i Cách 2:

Trang |

2 2

2

4

2

8

2

3

8

8

3 1( ) 9( ) 3,

3,

x y

w z

xy y

x x

x y

x

x x

y x

x L

x TM

x y

x y

  

         

  

     

   

   

       

 



      

Vậy có hai bậc hai số phức z = + 6i + i - - i Dạng 2: Giải phƣơng trình bậc hai

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Tính  B24AC - Bƣớc 2: Tìm bậc hai  - Bƣớc 3: Tính nghiệm:

+ Nếu  0 phương trình có nghiệm kép 1,2

2 B z

A

 

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2 B z

A

  

 (ở  kí hiệu bậc hai số phức )

Ví dụ: Tìm tập nghiệm phương trình

1 z   z Giải:

Ta có:   12 4.1.1 3, bậc hai 3 i i Do phương trình có nghiệm 1

2 i

z    2

2 i

z  

Vậy tập nghiệm phương trình 3;

2

i i

S      

 

 

Trang | Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Nêu định lý vi-et

- Bƣớc 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất tổng tích hai nghiệm - Bƣớc 3: Thay giá trị tổng tích vào biểu thức để tính giá trị

Dạng 4: Giải phƣơng trình bậc cao Phƣơng pháp:

Sử dụng phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình

Ví dụ: Giải phương trình z4 1 Giải:

Ta có:     

 

2

4 2

2

1

1 0

2

z i

z z i z i z i

z i

            

  

Giải (1): Ta tìm bậc hai số phức z i

Gọi w x yi x y , R bậc hai số phức z i Khi đó:

 

2 2

2

2

0

2

2

2 1( )

1

1

1

2

1

1

2

x y

w i

xy

x y

x

x y

y L

x y

x y

z i

z i

      

  

  

     

  



   

 

    

   

  

    

Giải (2): Ta tìm bậc hai số phức z' = - i

Vì z   i i i2 nên bậc hai z' 1 1

2 2

i  i   i

 

1 1

2 2

i  i  i

 

Vậy phương trình có nghiệm

1 1 1 1

; ; ;

2 2 2 2

Trang | Bài 1: Tìm số thực a b c, , cho hai phương trình az2bz c 0,cz2bz  a 16 16i0 có

nghiệm chung z 1 2i

A a b c, ,   1; 2;5  B a b c, ,   1; 2;5 C a b c, ,    1; 2;5 D a b c, ,   1; 2; 5  

Lời giải

Theo giả thiết phương trình

0

az bz c có nghiệm z 1 2i

 2      

1 2

4

a b c

a i b i c a b c a b i

a b

    

             

 



Tương tự phương trình

16 16

cz bz a  i có nghiệm z 1 2i

     

     

2

1 2 16 16 16 16

3 16

3 16 2

2

c i b i a i c i b bi a i

a b c

a b c b c i

b c

                   

          

   

Từ    1 , suy a b c, ,   1; 2;5   Chọn A

Bài 2: Gọi z z1, 2 nghiệm phương trình

2

z  z  tập số phức Tìm mơ đun số phức

 2015  2016

1

z z

   

A   B   2 C  1 D   3

Lời giải

Phương trình

2

z  z  có

' i

      Suy phương trình có hai nghiệm

2

1

z i

z i

  

  



2

1

z i

z i

  

  



Thay

2

1

z i

z i

  

  

 vào  ta :       1007 1013 2015 2016 2 2

i i i i i i

        

Thay

2

1

z i

z i

  

  

 vào      

1002 1003 2016

2015 2

i i i i i i

       

Vậy   Chọn B

Trang |

Lời giải

Nếu z 1 i nghiệm : 1 2 1   2 0

2

b c b

i b i c b c b i

b c

   

 

           

  

 

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, có nghiệm phức z nhận z lam nghiệm Vậy z 1 i nghiệm z 1 i nghiệm Theo định lý Vi-ét:

   

  

1

1

i i b b

i i c

        



   



Chọn A

Bài 4: Tìm số thực a b c, , để phương trình (với ẩn z )

0

z az bz c nhận z 1 i làm nghiệm nhận z2 làm nghiệm

A a 4;b6;c 4 B a 4;b5;c 4 C a 3;b4;c 2 D a 1;b0;c2

Lời giải

1

z i nghiệm 1i3a1i2b1  i c

z ngiệm 4 a2b c 0

Từ ta có hệ phương trình

   

 

2

2 2

4

b c a b

a b c

   



   

     

Từ  1 suy c 2 b

Từ  2 suy b  2 2a    c  2a 4 2a Thay vào  3 ta có: 4a  2 2a 4 2a   8 a Với a   4 b 6;c 4

Chọn A

Bài 5: Phương trình

4

1 1 z z

      

  có nghiệm

A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm

Lời giải

   

2

2

1

1, 1

1

1 1

1,

z z z

z z

z

      

  

       

        

   

Trang |

  1 1

1

1 1

1

z z i i

z

z

z z z z

z



        

    

       

  

 

 

1

1 1

1

1 1

1 z

i

z iz z

z

z z iz z

i z



 

       

  

        

  

 

Vậy nghiệm phương trình là: z0;z1;z 1 Chọn C

Bài 6: Số nghiệm phức phương trình z 25 6i z

   ?

A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm

Lời giải

Giả sử z a bi với ; a b, R a b, không đồng thời Khi z a bi;1 a bi2 2

z a bi a b

    

 

Khi phương trình        

     

2 2

2 2 2 2 2

25

25 25

8

25

a a b a b

a bi

z i a bi i

z a b b a b a b

    

 

         

     

Lấy  1 chia  2 theo vế ta có ,

b a vào  1 Ta có a0 a4

Với a  0 b (Loại)

Với a  4 b Ta có số phức z 4 i Chọn B

Bài 7: Gọi z z z z1; 2; ;3 4 nghiệm phức phương trình z4 4 m z 24m0 Tìm tất giá trị m để z1  z2  z3  z4 6

A m 1 B m 2 C m 3 D m 1

Lời giải

     1,2

4 2

3,4

2

4 4

z i

z m z m z z m

z m

  

         

  



Nếu m0 1;2

3;4

2

z i

z i m

    

 

Trang | Khi 4

1

z z z z m

m m

       

   

 



Hoặc 4

1

z z z z m

m m

      

  

 



Trang | Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia