Lý thuyết đàn hồi : Những ví dụ đơn giản

Töø giaû thieát ban ñaàu cuûa baøi toaùn coù theå suy raèng, taïi maët caét baát kyø, naèm ôû vò trí x = ξ, vôùi 0 < ξ < L, caùc thaønh phaàn tenso öùng suaát thaønh laäp cho[r]

7 Những ví dụ đơn giản lý thuyết đàn hồi 7.1 Kéo dầm trụ

Ứng dụng lý thuyết đàn hồi xem xét toán đơn giản, kéo dầm trụ với tiết diện A, dài L, bị ngàm bên trên, chịu tác động lực P đặt đầu dầm, theo hướng 0x, hướng xuống Phương trình ứng suất dầm tính theo định nghĩa nêu đầu chương:

A P x =

σ ; (a)

σy = σz = τxy = τyz = τzx = 0; (b)

y

P x L

Hình 7.1

Lời giải thỏa mãn điều kiện liên tục điều kiện cân khối sáu mặt, điều kiện biên

Tại mặt dầm trụ với k = 0; l2 + m2 = 1: ứng suất pháp triệt tiêu

σnx = σny = σnz = (c)

Tại mắt cắt x = 0; k = -1, l = m = 0: σnx = -σx =

-A P ;

σny = σnz = (d)

Tại mắt cắt x = L; k = 1, l = m = 0: σnx = σx =

A P ;

σny = σnz = (e)

Áp dụng định luật Hooke vào tốn viết: AE

P c x

x = σ =

ε 11 ;

P

z

y ε ν

γxy = γyz = γzx = 0; (f) Phương trình chuyển vị tính theo cơng thức:

u = AE

P .x;

v = -ν AE

P .y;

w = -ν AE

P .z (g)

Trường hợp dầm bị kéo tác động sức nặng thân

Trường hợp dầm bị kéo tác động trọng lượng thân, cơng thức tính thay đổi sau Lực P tốn trước khơng xuất phần toán, P ≡ Thay biểu thức

A

P thay baèng γ(L -x)

Từ giả thiết ban đầu tốn suy rằng, mặt cắt bất kỳ, nằm vị trí x = ξ, với < ξ < L, thành phần tenso ứng suất thành lập cho điểm mặt không đổi Giả sử chọn điểm P mặt phẳng vừa đề cập xác lập cho điểm khối sáu mặt dx.dy.dz để xét, thấy:

σz = σy = τxy = τyz = τzx = 0;

σx = γ(L -x), (a)

γ - trọng lượng riêng vật liệu

Thay giá trị vào phương trình cân lực đề cập chương đầu tài liệu thấy hệ phương trình cân khối sáu mặt hoàn toàn thỏa mãn Từ định luật Hooke viết:

εx = c11γ(L - x) ; γxy = c41γ(L - x); εy = c21γ(L - x) ; γyz = c51γ(L - x);

εz = c31γ(L - x) ; γzx = c61γ(L - x); (b) Chuyển vị theo hướng Ox dầm tính theo cơng thức:

0 51

21 0

51

21

2

1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + +

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + +

= ∂ ∂

∫

∫

c y c z uy

y u dz c dy

c y

u y γ z γ γ γ

0 31

51

0 31

51

2

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + +

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ + +

= ∂ ∂

∫

∫

c y c z uz

z u dz c dy c z

u y γ z γ γ γ (c )

(

)

(

)

[

]

0 31 51 21 11 0 31 0 51 21 11 2 u z z u y y u z c yz c y c x L x c u dz z u z c dy y u z c y c dx x L c u z o y x + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + + + − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + + − =

∫

∫

∫

γ γ γ γ γ

Bằng phép tính tương tự viết biểu thức xác định chuyển vị v w:

(

)

[

]

(

)

[

]

0 51 31 61 0 51 21 41 ) ( ) ( 2 ; ) ( 2 w x z u x L y c x L z c x L x c w z z x y u xz c x L y c x L x c + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − + − + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − − + − = γ γ v v v (d)

Các giá trị u0, v0, w0, (∂u/∂y)0, (∂u/∂x)0, (∂u/∂z)0 xác định theo điều kiện ngàm Trường hợp đơn giản chuyển vị gốc hệ tọa độ u0 = v0 = w0 = 0, (∂w/∂x)0 = (∂v/∂x)0 = 0; (∂v/∂z)0 =

Từ đó: ; ; 61 41 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ z L c z u L c y u v γ

γ (e)

vaø:

(

)

(

[

)

]

[

]

[

( ) (2 )

]

2 ) ( 2 2 51 31 61 51 21 41 11 61 41 51 21 31 x L y c x L z c x c w xz c x L y c x c x L x c L z c y c yz c y c z c u − + − + − = − − + − = − + + + + + = γ γ γ

v (f)

Trường hợp chung, với vật liệu không đẳng hướng, mặt cắt ngang khơng cịn mặt phẳng, phương trình cong trục vật liệu khơng đẳng hướng có dạng:

2 61 41 ;

2c x w c x

vy=x= =−γ y=x= =−γ (g)

Trường hợp riêng, với vật liệu đẳng hướng, hệ số hệ phương trình có dạng sau:

c21 = c31 = - E

ν ;

c41 = c51 = c61 = 0; c11 =

E

Sau thay giá trị cij viết phương trình chuyển vị: u =

2

E

1 γ[ x(2L - x ) - ν(y2 + z2)]

v = - γ E

ν (L - x) y;

w = - γ E

ν (L - x) z; (i)

và công thức sau cho biến dạng: εx =

E

1 γ(L - x);

εy = εz = -E

ν γ(L - x);

γxy = γyz = γzx = 0; (j)

7.2 Vật chịu nén tác động áp lực tĩnh lòng chất lỏng

Trong phạm vi lý thuyết đàn hồi xem xét vật thể thỏa mãn giả thuyết đề ban đầu, bị ngâm vào nước độ sâu định Giả thiết đặt toán này, áp lực chất lỏng lên mặt bao vật thể mang giá trị p = const, hướng trùng với pháp tuyến mặt n Trong trường hợp thành phần áp lực p hiểu sau:

pnx = pk; pny = pl; pnz = pm (a)

Trong trường hợp đặc biệt này, tách khối sáu mặt nhỏ để khảo sát, thấy rằng:

σx = σy = σz = p;

τxy = τyz = τzx = (b)

Đây trường hợp vật bị nén áp lực thủy tĩnh mà xem xét phần trước Biến dạng chuyển vị lòng vật thể tính theo cách nêu

(

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = =

− = = =

0

zx yz xy

z y x

E p

γ γ γ

ν ε

ε

ε

)

(c )

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

⎪⎪⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− −

=

− −

=

− −

=

0 0

2

2

2

z z E

p w

y y E

p

x x E

p u

ν ν ν

v

)

(d)

Tại điểm (x0, y0, z0 ) phải thỏa mãn điều kiện biên, chuyển vị 0, góc xoay

7 Uốn túy dầm trụ

Bài tốn uốn dầm trụ có mặt cắt ngang hình dáng bất kỳ, làm từ vật liệu đẳng hướng thường đề cập đến tài liệu liên quan sức bền vật liệu học kết cấu Lời giải toán phạm vi lý thuyết đàn hồi sở cho phép tính tài liệu

x

z y

O

M

Hình 3.2. Dầm chịu uốn Dưới tác động momen uốn M mặt phẳng song song với y0z, viết biểu thức tính ứng suất dầm:

z R E

x =−

σ (a)

σy = σz = τxy = τyz = τzx = 0; (b)

Các số E, R xuất công thức (a) xem xét tiếp theo, theo lý thuyết đàn hồi

hay laø sin π π α k k G

Ak =− (c)

Phương trình vi phân bậc suy từ quan hệ trên:

k k

k f z A

a k z

f ⎟ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) ) (

" π (d)

nghiệm phương trình viết dạng: a z k D a z k C A k a z

fk k k π k π

π cosh sinh

) ( + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= (e)

Xử lý điều kiện biên ψ(s) = 0, cho biên cùng, xác định số Ck, Dk

Tại z = ± b/2 hàm ψ(y, ± b/2 ) = 0, theo fk(± b/2) =0 Kết tính cho thấy: Dk = 0;

a b k A k a C k k cosh π π ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= (f)

Hàm fk(z) viết:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × = a z k a b k a b k k k a G z fk cosh cosh cosh sin ) ( ) ( 3

3 π π

π π π

α (g)

Hàm Prandtl viết dạng:

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =

∑

∑

∞ = ∞

=1,3, 1,3, 3 3 cos cosh cosh sin cos sin ) ( , k k a y k a b k k a z k k a y k k k k a G z

y π π

π π π π π α

ψ (h)

hoặc là:

∑

∞ = × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = , , 3 2 cos cosh cosh sin ) , ( k a y k a b k k a z k k a G y a G z

y π π

π π

π α α

ψ (i)

Momen xoắn phương trình Prandtl có mối liên hệ Mt = 2∫∫ψdydz, quan hệ góc xoắn với momen xoắn thể sau:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =

∑

∞ = a b k k Ga b Ga M k t 64 , , 5 π

π (j)

Từ

C Mt

=

α

a b k k

Ga b

Ga C

k

tanh 64

3

, ,

5

5

3 π

π

∑

∞ = −

= (k)

Với mặt cắt với b/a ≥ 5, độ cứng C cần giữ lại phần đầu biểu thức bên phải công thức cuối, vế thứ hai giảm đến gần

C =

3

1Ga3b (l)

Với mặt cắt hình chữ nhật b > a, ứng suất lớn tính từ cơng thức là:

a b k k

a G a G

k

2 cosh

1

, ,

max π π

α α

τ

∑

∞

= −

= (m)