TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lư
yxzrdr1oθθdoyxθrθθσσθθd∂∂+drrrr∂∂+σσθθττθθdrr∂∂+rfdrrrr∂∂+θθττθσθτrRθτrσθfCHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCKhi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm…Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r.7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN1. Các phương trình vi phân cân bằng :Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt.- 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr.- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ.- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị Hình 7.1+ Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau:- Các mặt nhận r làm pháp tuyến:+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr, Trθ.+ Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng suấ: θσσθdrr∂∂+, θθθθdrTr∂∂+- fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến.Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 :53 o xyABDCA1C1D1B1VU0 .2cos.1.)(2cos.1 2sin.1.).(2sin.1 ).)((1 .0=+∂∂++−∂∂+−−+∂∂++−⇔=ΣdrdrfddrdddrddrdddrddrrdrrdrrrrrrrrrθθθθττθτθθθσσθσθσσθσθθθθθθVì biến dạng bé nên22sinθθdd≈ 12cos ≈θd Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được:01=+−+∂∂+∂∂xrfrrTrrrθθθσσσ(7.1)Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được 021=++∂∂+∂∂θθθθθσfTrTrrrr(7.2)+ Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Trθ = Tθr(7.3)2. Các phương trình hình học :Chuyển vị của điểm A(r,θ) theo phương r, θ là u,v Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương r, θ là : drruu∂∂+ và drrvv∂∂+Chuyển vị của điểm C(r,θ+dθ) theo 2 phương r, θ là : θθduu∂∂+ và θθdvv∂∂+Biến dạng tương đối theo phương r, θ là εr, εθHình 7.2*Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ.Sau biến dạng ABCD → A’B’C’D’ :+ Các biến dạng dài :54 oCABDxyA'B'D'C'E'Udrruu∂∂+θθduu∂∂+1γσr = rudrudrruuABABBA∂∂=−∂∂+=−)('';2. Các phương trình hình học:Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v.Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: drruu∂∂+ và drrvu∂∂+Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:θθduu∂∂+ và dvvvθ∂∂+Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’:Hình 7.3+Các biến dạng dài tương đối:rudrdrdru)drruu(ABAB'B'Ar∂∂=−+−∂∂+=−=ε;rurdrdd)ur(ABAC'C'A=θθ−θ+=−=εθ ;+Biến dạng góc: (a)θ∂∂=θ−θθ∂∂+==γur1rdu)duu(EAC'''1 * Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’:55 DC''ACoD''B''BA''xyMNvdrrvv∂∂+2γ(Hình 5.4)+ Biến dạng dài:θθθθθθεθ∂∂=−+−∂∂+=−=urrdddvdvvABACCA 1)('''' = + Biến dạng góc:γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = rvrvrvdrvdrrvv−∂∂=−−∂∂+ )( Có số hạng (NA”M) = rv trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với điểm 0.Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ cực:rvrvur1vr1ruru21r−∂∂+θ∂∂=γ+γθ∂∂+=ε∂∂=εθ(7.4)3. Các phương trình vật lý:Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ:a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất:εr = E1(σr – μσθ)εθ= E1(σθ – μσr) (7.5a)56 r = G1Tr = E)1(2à+Trb. Biu thc ng sut qua bin dng:r = 21àE(r ) = 21àE( r) (7.5b)Tr = G.r bi toỏn bin dng phng thay E, bng E1, 1 theo cỏch t:211à=EE ; ààà=11$7.2. GII BI TON PHNG THEO NG SUT:- Phng trỡnh LeVy 2(x + y) = 0 l phng trỡnh gii bi toỏn phng theo ng sut trong h ta Descartes.Ta hóy biu din phng trỡnh ú trong h ta cc:2(x + y) = 0x + y = r + = S2(r + ) = 0* Liờn h gia cỏc thnh phn ta Descartes v ta cc:r2 = x2 + y2(a)tg = xy(b)(a) xr)(2= 2rxr = 2x xr= rx= cosyr )(2= 2ryr = 2y yr= ry= sin(b) 2)(xyxxy== 2cos1.x x= -2xy( )rx2 = - r1.ry = -rsin(c)yxy )(= x1= 2cos1.y y=x1( )rx2 = r1.rx= rcos* Nh vy, i vi hm f(x,y) bt k, trong ta cc:xf= rf.xr+f.r=rf.cos - f.rsinyf= rf.yr+f.y=rf.sin - f.rcos57 ⇒22xf∂∂= r∂∂∂∂−∂∂rfrfθθθsin.cos.cosθ - θ∂∂∂∂−∂∂rfrfθθθsin.cos rθsin22yf∂∂= r∂∂∂∂−∂∂rfrfθθθcos.sin.sinθ - θ∂∂∂∂−∂∂rfrfθθθcos.sin rθcosSau biến đổi ta nhận được:22xf∂∂= 22rf∂∂cos2θ - θ∂∂∂rf2.rθ2sin+θ∂∂f22sinrθ+rf∂∂rθ2sin+22θ∂∂ f22sinrθ22yf∂∂= 22rf∂∂sin2θ - θ∂∂∂rf2.rθ2sin+θ∂∂f22sinrθ+rf∂∂rθ2cos+22θ∂∂ f22cosrθLấy tổng hai biể thức ta được:∇2f = 22xf∂∂+ 22yf∂∂= 22rf∂∂+r1rf∂∂+21r22θ∂∂ f⇒∇2 = 22r∂∂+r1r∂∂+r122θ∂∂(7.7)Thay (7.7) vào (7.6)0)(112222=+∂∂+∂∂+∂∂θσσθrrrrr(7.8)Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2):rr1=σ2221θϕϕ∂∂+∂∂rr22γϕσθ∂∂= (7.9)21rTr=θθϕϕ∂∂∂−∂∂rrr21 Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cựcThay (7.9) vào (7.8) ta có:∂∂+∂∂+∂∂2222211θrrrr∂∂+∂∂+∂∂2222211θϕϕϕrrrr = 0⇔∇2(∇2φ) = 0 (7.10)(7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực.$7.3. TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG VÀO BIÊN CỦA MỘT TẤM BÁN VÔ HẠN ĐÀN HỒI (Bài toán PhơLamăng)Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị. (H7.4)58 11Hình 7.4Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng.Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi.Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng.Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ.Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11)C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên:Theo (7.9) ta có:rr1=σθθϕϕcos21222rCrr=∂∂+∂∂022=∂∂=rϕσθ(7.12)Trθ = 0Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp σr.σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất.Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0.Σx = 0 0cos).(22=+⇔∫−ππθσrdFP với dF = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm)59 xyrd PoPP∫−−=⇔22cos ππθθσrdrP∫−−=22.cos cos2ππθθθdrrC∫∫−−+−=−=2222222cos12cos2ππππθθθdCdC 22C−=πθθππC−=+−222sin21πPC −=⇒(7.13)Thay (7.13) vào (7.12) ta có:θπσcos2rPr−=σθ = 0 (7.14)Trθ = 0Từ (7.14) cho thấy:Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo.Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực nói trên.+ Tính chất nghiệm của σr:d.cosθ = rrdθcos1=⇔ (a)Từ (7.14) ⇒dPrPrπθπσ2cos2−=−= ⇒dPrπσ2−=(7.15)Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất.60 Hình 7.15 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâmTính bản trong hệ tọa độ Descartes:Ta có:fx* = σr.cos(n, x) = σr.lfy* = σr.mMà:fx*= σx.l + Tyx.m = σx.l Nhân 2 vế của phương trình cho lfy* = Tyx.l + σy.m = σr.m Nhân 2 vế của phương trình cho m⇒ σx.l2 – σy.m2 = σr.l2 – σr.m2σx + σy = σr + σθTa có:l2 + m2 = 1σθ = 0 ⇒ σy = σr - σx.⇒σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2⇔σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2⇔σx(l2 + m2) = σr.l2⇒σx = σr.l2σy = σr.(1 - l2) = σrm2Txy = σr.l.m.Mà l = cosθ = rx= 22yxx+m = cosβ = sinθ = 22yxy+⇒σx = σrcos2θ = σr. 222yxx+σy = σrsin2θ = σr. 222yxy+(7.16)61θyxτxσyσxyτrσβyxnf*yf*xyxxyrPorσrσrσxσrσxyτyxτθ xoPyxmaxσ1θ2θP1yP2 Pnyσxyτyxτ1ynθ2y3yxσ1yTxy = σrsinθcosθ = σr. 22yxxy+Thay σr = -rPπ2cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có:σx = -rPπ2cos3θ = -πP2.( )2223yxx+σy = -rPπ2sin2θcosθ = -πP2.( )2222yxxy+(7.17)Txy = -rPπ2sinθcos2θ = -πP2.( )2222yxyx+Tính chất nghiệm của (7.17):==xxy 0⇒xPxπσ2max−=* Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính.πσ2−=x∑∑==+−=niiiiniiiyxxPirPi1222313)(2cosπθ πσ2−=y∑∑==+−=niiiiiniiiiyxyxPirPi1222212)(2cossinπθθ (7.18)π2−=xyT∑=niiiirPi12cossinθθπ2−=acyxyxPiniiiii∑=+12222)( 62 [...]... độ cực: r v r vu r 1 v r 1 r u r u 21 r − ∂ ∂ + θ∂ ∂ =γ+γ θ∂ ∂ +=ε ∂ ∂ =ε θ (7. 4) 3. Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: ε r = E 1 (σ r – μσ θ ) ε θ = E 1 (σ θ – μσ r ) (7. 5a) 56 . -rPπ2cosθ từ (7. 14) vào (7. 16) ta có:σx = -rPπ2cos3θ = - P2.( )2223yxx+σy = -rPπ2sin2θcosθ = - P2.( )2222yxxy+ (7. 17) Txy = -rPπ2sinθcos2θ = - P2.( )2222yxyx+Tính. 22rf∂∂+r1rf∂∂+21r22θ∂∂ f⇒∇2 = 22r∂∂+r1r∂∂+r122θ∂∂ (7. 7)Thay (7. 7) vào (7. 6)0)(112222=+∂∂+∂∂+∂∂θσσθrrrrr (7. 8)Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes