TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lư
yzxM NQPαβdyyvv∂∂+yxM1P(x,y+dy)M(x,y) N(x+dx,y)UVdxdyN2N1P1Odxxvv∂∂+dyyuu∂∂+dxxuu∂∂+CHƯƠNG 3LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNGXét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.(Hình 3.1)+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1.(Hình 3.2)- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua các vô cùng bé bậc cao là : u + dx.xu∂∂; v+ dx.xv∂∂15 - Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + dy.yu∂∂; v+dy.yv∂∂- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là εx , εy.- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γxy = α+β.Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /εx /<< 1; /εy /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1Sử dụng các công thức gần đúng : 1cos;1costgsin;sintg≈β≈αβ≈β≈βα≈α≈α3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :Ta có : MNMNNM11x−=ε (a)Trong đó : MN = dx M1N1 = 212111NMcosNMNM ≈α=Từ hình vẽ ta có : dx)xu1(udx.xuudxNM21∂∂+=−∂∂++=xudxdxdxdx)xu1(MNMNNM)a(11x∂∂=−+∂∂+=−=ε⇔ Tương tự ta có : yvy∂∂=ε(b)3.1.2.Tính biến dạng góc: γxy = α+βGóc quay của cạnh MN sẽ là : α ≈ tgα = 2121NMNN = x)xu1(v)dxxuv(∂∂∂+−∂∂+ = xu1xv∂∂+∂∂ = x1xvε+∂∂Theo giả thiết biến dạng bé ta có εx << 1 có thể bỏ qua εx so với 1 α = xv∂∂16 zynKxdydxdzMyzxM1K1Tương tự β = yu∂∂=> γxy = α+β= xv∂∂ + yu∂∂ (c)Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau : x(u)y(v) z(w)∂∂+∂∂=γ∂∂=ε∂∂+∂∂=γ∂∂=ε∂∂+∂∂=γ∂∂=εxwzu;zw)1.3(zvyw;yvyuxv;xuzxzyzyxyxCông thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các chuyển vị theo phương toạ độ là bé.§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?(Hình 3.3)Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n.17 Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.l = cos (x,n) =dsdxcóntoVéc m = cos (y,n) =dsdy(a)n = cos (z,n) =dsdz+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz) +Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w. +Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv; w+dw.Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w.du = xu∂∂.dx + yu∂∂.dy + zu∂∂.dzdv = xv∂∂.dx + yv∂∂.dy + zv∂∂.dzdw = xw∂∂.dx + yw∂∂.dy + zw∂∂.dz+ Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó :M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w).K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw).+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b)+ Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng: ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c)Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu εn là :εn = dsdsds1− = dsds1 - 1 (εn + 1)2 = 221dsds 1+2εn + εn2 = 221dsds εn = 2221ds2dsds −(d)(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua εn2 so với εn)Tính ds12 = [dx + (xu∂∂.dx + yu∂∂.dy + zu∂∂.dz)]2 + + [dy + (xv∂∂.dx + yv∂∂.dy + zv∂∂.dz)]2 +18 + [dz + (xw∂∂.dx + yw∂∂.dy + zw∂∂.dz)]2. (e)Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao (xu∂∂.dx+yu∂∂.dy+zu∂∂.dz)2;(xv∂∂.dx+yv∂∂.dy+zv∂∂.dz)2;(xw∂∂.dx+yw∂∂.dy+zw∂∂.dz)2 so với xu∂∂; yv∂∂; zw∂∂ .(vì theo giả thiết biến dạng bé xu∂∂; yv∂∂; zw∂∂ . << 1) và rút gọn : (e) ds12 = (dx2 + dy2 + dz2) + 2 [(xu∂∂.dx2 + yu∂∂.dxdy + zu∂∂.dxdz) + + (xv∂∂.dxdy + yv∂∂.dy2 + zv∂∂.dydz) + + (xw∂∂.dxdz + yw∂∂.dydz + zw∂∂.dz2)]. ds12 - ds2 = 2 [(xu∂∂.dx2 + yu∂∂.dxdy + zu∂∂.dxdz) + +(xv∂∂.dxdy + yv∂∂.dy2 + zv∂∂.dydz) + + (xw∂∂.dxdz + yw∂∂.dydz + zw∂∂.dz2)].Theo (d) 2221nds2dsds −=ε=> .dsdz.zwdsdydz.ywdsdxdz.xwdsdydz.zvdsdy.yvdsdxdy.xvdsdxdz.zudsdxdy.yudsdx.xu222222222222n∂∂+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=ε⇔ Thay dsdzn;dsdym;dsdxl === và biểu thức (3.1) vào εn :⇒ εn = εx.l2 + εy.m2 + εz.n2 + γxy.lm + γyz.mn + γzx.nl (3.4).εn = εx.l2 + εy.m2 + εz.n2 + 2++nlzxmnyzlmxy222γγγĐặt xyxyγγ=2 ; yzyzγγ=2 ; zxzxγγ=2 ta có :19 εn = εx.l2 + εy.m2 + εz.n2 + 2( xyγ.lm + yzγ.mn + zxγ.nl) (3.5)Có thể viết dưới dạng toàn phương :εn = [ ]nml εγγγεγγγεzyzxzzyyxyzxyxxnml(3.6)+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :σn = σx.l2 + σy.m2+σz.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7)Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé.Ký hiệu : Tε Và được biểu diễn : Tε = εγγγεγγγεzyzxzzyxxyzxyxxII. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng Dε và Tenxơ cầu biến dạng T0ε.εγγγεγγγεzzyzxyzyyxxzxyx=−−−εεγγγεεγγγεεtbzyzxyztbyxxzxytbxzy+εεεtb000tb000tbTε= Dε+ T0ε.Với εtb= ( )zyx εεε++31 : Biến dạng dài trung bình. Dε: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tửT0ε: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử§3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNHTrạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính.20 - Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy.Ký hiệu các biến dạng chính là : ε1, ε2 , ε3. => theo quy ước ε1> ε2 > ε3.Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định từ phương trình sau : 0)()()(Detnzyzzxzynyxyzxyxnx=ε−εγγγε−εγγγε−ε(3.7)Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính nσ: 0JJJ3n22n13n=−ε+ε−ε(3.8)Trong đó γε+γε+γε−γγγ+εεε=γ+γ+γ−εε+εε+εε=θ=ε+ε+ε=)(2J)(JJ2xyz2zxy2yzxzxyzxyzyx3zxyzxyxzzyyx2zyx1(3.9)Các hệ số J1, J2 , J3 trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm.Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực.* Tìm phương biến dạng chính :Sau khi có các biến dạng đường chính ε1, ε2 , ε3, ứng với mỗi εi sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính εi đó.)10.3(0n)(ml0nm)(l0nml)(nzyzxzzynyxyzxyxnx=ε−ε+γ+γ=γ+ε−ε+γ=γ+γ+ε−εVà phương trình: l2 + m2 + n2 = 1 (3.11)Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.Tenxơ biến dạng chính được viết là :εεε=ε321000000T21 Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :εεε=εε+εε+εε=ε+ε+ε=321313322123211JJJ§3.4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNGỞ mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo 3 chuyển vị u, v, w. (Biểu thức 3.1).εx = xu∂∂γxy = yuxv∂∂+∂∂εy = yv∂∂γyz = zvyw∂∂+∂∂(3.1) εz = zw∂∂γzx = zuxw∂∂+∂∂- Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau.Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier.I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :22 222222222222.xyyvxxuyxvyxyuyxxvyuyxxyyxyx∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂∂εεγ Tương tự ta có :zxzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂γεεγεεγεε222222222222222)12.3( II. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau:yxzxzxxy∂∂∂+∂∂∂γγ22 = ∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂zuxwyxxvyuzx22+ = ∂∂∂∂∂xuzy.2+ ∂∂+∂∂∂∂ywzvx.22+ ∂∂∂∂∂xuzy.2 = 2222xzyyzx∂∂+∂∂∂γε ⇔∂∂−∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂+∂∂−∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂zxyyzxxyzzyxzxyyzxxyzyxzzxyyzxxyzxzyzyxγγγγγγγγγεεε2222)13.3(22 Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các biến dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy-Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng.23 . viết là :εεε= 32 1000000T21 Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :εεε=εε+εε+εε=ε+ε+ε =32 131 332 21 232 11JJJ 3. 4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH. 0)()()(Detnzyzzxzynyxyzxyxnx=ε−εγγγε−εγγγε−ε (3. 7)Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính nσ: 0JJJ3n22n13n=−ε+ε−ε (3. 8)Trong đó γε+γε+γε−γγγ+εεε=γ+γ+γ−εε+εε+εε=θ=ε+ε+ε=)(2J)(JJ2xyz2zxy2yzxzxyzxyzyx3zxyzxyxzzyyx2zyx1 (3. 9)Các