Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Trang 1

Chuong 4

Băi toân phẳng của

lý thuyết đăn hồi

§4.1 CÂC PHƯƠNG TRÌNH CO BAN CUA BAI TOAN PHANG CUA

LY THUYET DAN HOI

_ 1, Băi toân ứng suất phẳng

, Như đê biết trong giâo trình lý thuyết

đăn hồi, hay như phần tóm tắt trong chương 1 của giâo trình năy, vật thể dạng

tấn mỏng khi chịu tải trọng như hình

(4.1) thì mọi điểm cúa nó đều ở trạng thâi ứng suất phẳng Khi đó trạng thâi ứng suất -.,biến dạng - chuyển vị mọi điểm được biểu diễn bởi câc vectơ sau đđy:

, we Tứ, T

vecto ung sudt: {o} = {ox , oy , ty} Hình 4.1 Tấm mỏng trong trạng thĩi ứng

„ suất phẳng

vectơ biến dạng: {£} = {ex , ey, Oxy}? mg vectơ chuyển vi: {u} = {u, vị

Trang 2

1—C; 2 diy =dgg=1; dyg = dg) = Co; dạa = - _ EB với C, = va Ca = v (4.2) 1_ v2 ¬ (E - momen đăn hồi Young, v lă hệ số Poisson) 'Trường hợp vật liệu lă trực hướng, thì di, = 1; d= E, da“ ~ doy = EY vey ; dgg = & (4.3) E, 1 với | C, = Ex 1 — vyy Vyx

trong đó E„, v„y hoặc Ey, vy„ lần lượt lă momen đăn hồi Young vă hệ số Poisson khi chịu ứng suất theo một phương x hoặc y G lă mođun đăn hồi trượt

2 Băi toân biến dạng phẳng Như đê nói ở chương 1, nếu vật _

thể có hình lăng trụ dăi vô hạn vă

chịu tải trọng phđn bố không thay

đổi theo chiều dăi lăng trụ, thí dụ

như đập trọng lực trong hình 4.2

Khi đó, nếu chọn trục z lă trục lăng trụ, thì mọi điểm của lăng trụ ở

trạng thâi biến dạng phẳng vă vectơ biến _đạng lă:

Hình 4.2 Đập trọng lực

fe} = fey, fy ray

Vectơ chuyển vị {u} = {u, vịt

-_ 8o với băi toân ứng suất phẳng, nếu bỏ qua sự khâc biệt cụ thể đối với thănh phần ứng suất vă biến dạng theo phương z, thì câc phương trình của ,2 băi toân

năy rất giống nhau Sự khâc biệt chỉ có ở nội dung câc thănh phần của ma trận

câc hằng số đăn hồi [D] trong công thức định luật Hooke

Trang 3

dạng phẳng trường chuyển vị được xâc định duy nhất bởi 2 thănh phần chuyển vị

u vă v theo 2 phương x vă y của hệ tọa độ vuông góc Câc đại lượng năy vă cả câc ứng suất, biến dạng thănh phần đều chỉ lă hăm của 2 tọa độ điểm x, y nín băi toân lă băi toân 2 chiều Ta có thể gọi chung 2 băi toân năy lă băi toân phẳng của LTĐH

Khi giải băi toân phẳng bằng phương phâp phần tử hứu hạn theo mô hình tương thích, vật thể được rời rạc hóa bằng một tập hợp hứu hạn câc phần tử phẳng liín kết với nhau tại một số xâc định câc, điểm nút Mỗi nút có 2 bậc tự do lă 2 thănh

phần chuyển vị của nút đó theo 2 phương x vă y Số lượng vă hình dạng câc phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toân Dạng phần tử thường dùng lă phần tử dạng tam giâc, tứ giâc,

Chương năy chủ yếu trình băy phan tu dang tam giâc, chứ nhật với câc hăm xấp xi đơn giản nhất §4.2 BĂI TÔN PHẲNG VỚI PHẦN TỬ DẠNG TAM GIÂC 1 Câc hăm dạng Xĩt phần tử dạng tam giâc như hình vẽ 4.3 Đđy lă _ phần tử có 3 điểm nút i, j,k lă câc đinh của tam giâc Mêi: nút có hai bậc tự do lă 2 ˆ thănh phần chuyển vị của nút đó theo bai phương x vă y Tập hợp câc bậc:tự do của cả 3 nút năy lă vectơ chuyển vị nút phần tử {q}¿ dưới đđy Hình 4.3 Phần tử tam giấc uòỉ câc chuyển uị nút của nó ! / T {q}¿ = {uj Vị uj Vị uy Vict ; 7 2 {qi dạ 43°94 45 46} (4.5)

Do vectơ {q}¿ chỉ có 6 thănh phần, để bảo đảm việc nội suy câc hăm xấp xỉ

của chuyển vi theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}¿, vectơ câc thông số {a} (vectơ - tọa độ tổng quât) của đa thức xấp xỉ > chỉ gồm 6 thănh phần

.{a}\= lai aa' a3 a4, a5 ag}? (4.6)

Trang 4

al ag _ Ju%œy)| |1xy000| j3 | Oo Hay {uÌa = je? | = ; 001 n ay (4.8) 4@ e - as a6 a Gon hon {u}, = IF (x,y) ] {a} (4.9) IP&y) 10 | [0] — IP@&,y)] với [P(x,y) ] lă ma trận câc đơn thức [P(x,y) ] = |1 x y " (4.10)

Theo tư tưởng cở bẩn của PPPTHH với mô hình tương thích, bằng việc thực

hiện đồng nhất chuyển vị nút với giâ trị của hăm chuyến vị đê được xấp xỉ hóa

- thănh câc hăm tuyến tính (4.7) tại chính câc nút phần tử, ta có thể biểu diễn được vectơ câc tham số {a} theo vectơ chuyển vị nút phần tứ {q}¿ Thật vậy, sử dụng (4.5), (4.9) thực hiện đồng nhất ¬ Ở đđy: (F(xy) J = ju ly nuti / [F (Xj, yi)] jut fo {qe=yly J = | [F (x,y) | {ab | (4.11) nutj [F (xq) Yq] u v nutk — "

Trong do (x; , yi), (%}, Vy) › (x, ; y„) lần lượt lă câc tọa độ câc nut i, j, k cua phan tử đang xĩt trọng hệ tọa độ đê cho Sử dụng tiếp (4.8) hoặc (4.9), (4.10), ta có „ a| |] y 00 0| ay ; q2 00 0 1 x% y¡ | |a2 (qÌ¿ = %5 |5 9 00 0 | Jas ® lqa 0 0 0 1x; y¡ | |3¿ d4 12) : 95 | 1 X Vk 0 0 O | fas Co de} |0 0 9 1y yy | |as | Hay {qlạ=[Aliai ˆ - nh (4,18)

Từ (4.12) có thể thấy ma trận [A] la me trận vuông (6x ›6) chỉ chứa câc tọa độ -

câc nút Người ta đê chứng minh được rằng ma trận năy tồn tại nghịch đảo Vậy từ (4.13) ta biểu diễn được vectơ im thông 86 {a} qua wweotơ chuyển vị nút phần tứ -

Trang 5

faj= (AD Nghe (4.14) Xj Yw — Xụ Yj 0 Xụ Y¡ — Xị Yụ 0 XịYj — Vị Xị 0 Ÿ¡ — Ye 0 Ye Yi 0 Yi — Yị 0 0 xo Ộ x, — x; 0 (4.15) 0 Xj Yk — XK Yj 0 X Yi — Xi Vu 0 XY, — Yix; 0 Yj ~ Ye 0 MAY 0 Xi Y; Trong đó 0 X, — X; ° Xị — Xụ 0 x, - X; 1 *i Yi 1 1 A=-detl Xj Yị |=—GŒj Vă — Xụ Yj †`Xw Ÿị — Xị VY + Xị Vị — Xị Vị) 1 x, Y_ A lă diện tích hình tam giâc có 3 đỉnh lă 3 nút ¡, j, k của phần tử a, 0 a; 0 ay, 0 a " Ye 0M 0 Yi 0 " Hey A T[ cv 0 ca 0 x, > | 416) Ð a Oo 184 0 a, _0 Yik 0 Yki - 0 3; trong đó: ° Xj (0 Xix 0 Xị Xij = Xj - Xj Yij = Yi - Ye (i, j, k) | — 17 a = Xj Vk ~ Xk Yj 8i = Xụ Yị — Xị Yk 8y = XịYj —Xiyi, (3> jr k) Thay (4.14) văo (4.8) ta có: —— đu] = [F@œy)1IAT Nq}; |

Hay: {u}e = [N(x,y) ] {qhe SỐ (4.18)

Trong đó ma trận [N(x,y) ] lă ma trận câc hăm dạng hay còn gọi lă câc hăm nội suy Trong trường hợp đang xĩt, câc hăm năy đều lă câc hăm tuyến tính

[Nœ&y)] = [F@œy)] far?

(2x6) (2x6)` (6x6)

Trang 6

[N(x, y)] (2 x 8) 0 Ni(x, y) 0

; X 1 -

Nj (X,y) = — ÍYjw — Xi) + Xụị (y

2A.” aus

Với {N¡ @&y) = “ [Vici (X — Xi) + Xi (Y ~

Trang 7

Ma: ik + Yki + YG = Yj — Yk + YK -~ Vit Yi- yj =O

Xj + Xik + Xj = Xk — Xj + Xi — XR + x — x = 0

ay t aj + A = XY Yq ~ XK Yj + Xi Yị — Xi Yk † Xi Yị ~ Xị Vị = 2A

Vậy: > Ni(x,y) = Ni(x,y) + Nj(x.y) + Nay) = oA =1:

Câc tính chất trín cũng lă câc tính chất chung của câc hăm nội suy Lagrange trong băi toân 2 chiều

_ 3 DO thi cdc ham dang (4.20) (hay (4.21) biểu diễn câc mặt phẳng như hình vẽ 4.4 vă dễ dăng vẽ được dựa văo nhận xĩt 1 vừa níu ở trín

Hình 4.4 Đồ thị biểu diễn câc hăn: dang N,,N,,N |

4 Theo (4.18) câc thănh phần chuyến vị theo câc phương x.y của câc điểm thuộc phần tư lă:

u(%,y) = qị ÑN¡@y) + qa N¡(%,y) + qạ NụŒy)

v(,y) = qạ Ñ¡(œ,y) +'qạ NjŒœ,y) + qe NyŒy) u(,y) = uị N;Œ,y) + u¡ Nj@&,y} + 0y Ng%,y) | |

Ha! TA

y -|u(%,y) = vị Ñ¡(%,y) + vị NịŒ,vì + vụ Nh(x,y)

Vă biểu đồ biểu diễn chuyển vị (u), (v) có thể thấy ở hình 4.5

Trang 8

98-Cũng như với chuyển vị, câc thănh phần biến dạng của phần tử cúng được biếu diễn theo vectơ chuyển vị nút phần tử {qhe {e}o = [Bligh | (4,22) - Với ma trận biến dạng [B] được xâc định theo (2.8) : [B] = [0] [Ntx,y) ] ca (4.23) (3x ổ) (3 x 2) (2 x 6) Ở đđy, trong băi toân phẳng, ma trận [ø] được cụ thể hóa lă 0/0X 0 {vJ=| 0 olay aloy alox

Thuc hiĩn dao ham, dĩ: dang nhận: được:

Yjk 0 -yR 0 Vij 0

[B.= L| 0 -**k O| Xk 0 -%% (4.24)

2A | Xk Yjk Kiko 7 Vik — Xj Vij

Cũng dễ nhận thấy rằng do câc thănh phần cua ma tran (BI lă câc hằng s số nín theo (4.22) câc thănh phđn biến dạng vă kĩo theo đó lă cả câc thănh phần ứng suất

có giâ trị không đổi trong phạm vi mỗi phần tư

2 Ma trận độ cứng phần tử

Như chương 2 dê trình băy, ma trận độ cứng phần tử được: xâc dịnh bởi (2.16) [K], = -f (By! (DITBIdV

Vv \

Trang 9

ki = v& +Ă xÊ ` kas = yk + A xh ~ kia = — 2 Xịk Vjk — Đ Vjk Xk - kaa = — 2 Xik Vik — Đ Xik Vik kis = - Yik Yjk — A Xjk Xik kas = — yik Yij — A Xik Xij

|kú = 2 Xí Yi + 4 Vkj Xịk , tae = Co Xij vik +4 Xik Yij

kis = Yjx Vụ + Đ Xịk Xi laa = xk + A yk |

kis = — 2 ÿjk Xij — A Xk Vụ kas = C2 Xiy Vu † A Vik Xij

koa = xk +A yh” {ae = — Xi@bj — Ê Vik Vi,

kos = Co Xj Vik + Đ Xik Yik kss = vì +Ă xê

Kea = — Xịk Xik — Đ Vjk Vik : kse = — ¿ Xi Vụ — Đ Xụ Vụ kes = — Co xjx yij — 4 Vik Xu sử kes = x3 + dy}

kos = Xij Xk + 4 Yik Yip |

1-Co

2

trong dĩ C; , Co duge xdc dinh theo (4 2) nếu băi toân lă ứng suất phẳng, hoặc theo (4.4) nếu băi toân lă biến dạng phẳng

Ở đđy: A= (4.96)

3 Vecto tai phan tu {P}e

Trang 10

Cũng nín biết rằng trong quâ trình tích phđn ta đê sử dụng câc tích phđn sau Í xdA =x,A vă [ ydA = yeA A A trong đó xe, yc lă tọa độ của trọng tđm C cua hinh tam giâc ¡ j k Vă dễ thấy rằng: 1 Xo = — (Xj + Xj + Xy) 1 Ye = 3 Wit Yj + Ye) p - Vecto tai phan tu do luc mat {p} = | ` Py

Giả sứ có lực mặt phđn bố đều trín biín (thí dụ trín cạnh ¡ j của phần tử)

Trang 11

trong đó: Lị: chiều dăi cạnh biín ij (cạnh có lực {p} tâc dụng) t: chiều dăy phần tử

Pi, = Pix = Px

Piy = P = = P th

iy tiv = Py | |

Chú ý rằng, trong trường hợp năy, do tải trong mat chi tdc dung trĩn canh ij nín 2 thănh phần cuối của {P}, laP,, = Pyy=0 Điều năy lă dễ thấy bởi

N_(x,y) = 0 trín cạnh ij (xem biểu đồ (Ng) trín hình 4.4)

- Vectơ tải phần tử do biến dạng ban đầu được xâc định theo (2.17) {Pte = f (BÍ [DỊ (e,}, dV Vv e 1 Trường hợp do nhiệt độ: {cs}¿ =ø T {1 , — lạ | (P,}¿ = [BIŸ [DỊ fect tA | (4.29) Trường hợp vật liệu đẳng hướng: Yjk |— Xịk (PQ,= SET NI (4.30) 2q_-zy)| *& ¬y ~ Xj

trong dĩ a: hĩ sĩ dan nd vi nhiĩt cua vat liĩu T: độ biến thiín của nhiệt độ

4 Ma trận tỉnh ứng suất:

Trang 12

Ở day [S], la ma tran tinh ung suất vă ` [SL = [DI [BỊ]

Thực hiện nhđn ma trận, ta có:

Yix — Cox, Vik Yjj Cox, — Cox;

[SL = G1 Coy, — Rik ~ Cạyy Cry; Xik ~ Rij (4.32): 2A ~ Ax j_ AY 2Xịy ~ any CĂ —ÖYyy - dy;

trong đó C¡ , Ce la cdc hing s6 dan hdi xâc định theo (4.2), hay (4.4) 1-C con: A= 2 3 2 A: Diện tích tam giâc ijk 5 Thí dụ:

Tìm chuyển vị tại câc đỉnh vă ứng suất trong tấm phẳng có kích thước vă chịu: tải trọng như hình 4.7a Biết vật liệu lă đẳng hướng có môđdun đăn hồi Young

E= 3 x 10 kg/cmỂ, hệ số Poisson v = 0,3 Tấm có bề dăy t = 0,36 cm

y P= 10k9/em y 3

qd)

Trang 13

hợp 8 bậc tự do năy của cả 4 nút lă vectơ chuyển vị nút tổng thể {q} Tuy nhiín

do câc nút 1 vă 4 lă gắn cứng không có chuyển vị nín để đơn giản sau năy ta gọi câc chuyển vị nút thănh phần của câc nút năy: lă do vă do = 0 Câc bậc tự do bằng

0 năy được đânh số 0 trong hệ thống mê số tổng thể Nói câch khâc, ta gọi lần

Trang 14

Tải trọng phđn bố trín cạnh biín jk của phần tử với {p} =

|

Nín dễ thấy rằng câc thănh phần của vectơ tải khâc không được cho trín hình 4.8b lă tương ứng câc thănh phần thứ ba vă thứ năm của vectơ tải phần tử {P)!

Vậy, có thể viết dễ dăng

> Ípb/2

| 0 4

Cần giải thích rõ hơn rằng, trong trường hợp tổng quât, có thể lực phđn bố tâc

dụng không chỉ trín một cạnh biín phần tử (như trường hợp băi toân năy) mă trín ˆ

cả câc cạnh biín khâc của phần tử Nín ta có thể viết một câch tổng quât lă

{P}, = (Py) + (PPE + tị

Trang 15

thẻ [K] = 0 0 2a? 0 a? Cyt [Kụ = “1” Qab 2 đối xứng 3- 0 0 Ở» T1 0 — sab — a Zab 0 ~ C;ab 0 C;ab ~a 0 b° 0 ¬ C;ab 3 ab” jab — ib 4 jar +p? - 1+ Crap 2 0 a’ + ib? 0

3 Ghĩp nối phần tử, do đê âp dat điều kiện biín ngay trong câch đânh số mê

tổng thể, nín kết quả nhận được lă ma trận cứng tổng thế [K”] vă vectơ tải tổng {P"} 1 ` 2 3 4 r | eo ; | ahah 8 1+Ce y= ia Cyab 1 2 Cit ee | a® + sb? bog dab _ a? ; 2 2ab yo: đối xứng 2a” + b 0 3 a? + ibe 4

4 Giai hĩ phuong trinh: [KHq”} = {P"}

Trang 16

3ì 11,28 —, q2 -4 1,97 {q}=j- ¢=10 x em q3 10,10 |4 - 1,09

Vay da tim được chuyển vị của câc nút 2 vă 3

5 Tim ứng suất trong mỗi phần tử bằng câch sử dụng (4, 31) va (4.32) Øy {o}, = 7 °y 7 = [SL {qhe | Exy Su dung ma tran chỉ số [b] vă {q° } ta dĩ dang xac dinh duge câc vectơ chuyển vị nút phần tử {q}¿ Cụ thĩ _ _ _ — ỊT {qhi = {qo 4 GW 941 42 43 P ~4 T = 10 {0 0 11,28 1,97 10,10 -1,09 } (cm) ~ T {qo Ap 43 q4 do qo -4 T =10'|0 0 1010 -1,09 0 0} em

Để tìm vectơ ứng suất của câc phần tử, sau khi thay số liệu rồi thực hiện tính

toân ta có (chú ý rằng để dễ thấy, câc thănh phần không cần thiết trong câc [S}

sẽ không cần tính trong thí dụ năy) {qho 0 0 _ ~ b 0 C,a Cạa - 24,49 _- Ci - Cyb 0 1 _ 2 (oh, = ÍL , aa ao | 7 17 1486) kelem 2ab _ - TC Aa Ay 0 _ 3,12 q q4 ` 0 _ _ b -b + - - 29,84 Cy Cob -Cạb a8 2 {ơ}a = —— - - 2 Ce - - - f= 7,46 t kg/cm 2b| - CC - 9 ia - | 1“Í | 0,82] 0 0

` ` Nhận xĩt: Kết quả về chuyển vị vă cả ứng suất không lă đối xứng mặc dù băi

toân lă đối xứng Bởi ta đê dùng chỉ hai phần tử tam giâc vă đê phâ hỏng tính đối

xứng năy Điều năy sẽ được loại trừ khi dùng lưới phần tử dăy hơn vă đối xứng qua trục đối xứng của tấm, hoặc dùng phần tử chứ nhật

Trang 17

§4.3 PHAN TU CHU NHAT

Xĩt phần tử chứ nhật trong mặt phẳng xy như hình vẽ 4.9 Phần tử có bốn điểm nút ¡, j, k vă l lă câc đỉnh của chứ nhật Mỗi nút có 2 bậc tự do lă 2 thănh

phần chuyển vị theo phương x vă y

Tập hợp câc bậc tự do năy lă vectơ chuyển vị nút phần tử {q}„ vă lă Ầ ( ` tị qi Vj q2 uj q3 +} ] vj q4 {qhe = ul (4.35) (8 x 1) k 45 Vụ | de Ug q7 Ve da J e " ~#a Up = Ge J uy = 95 4 = 9, MưNT k(a.b) t 1 b pn fe - Ki w= 9s — dix 4; | yo z ty Yr% ĩ(0,0) jla,oy #

Hinh 4.9 Phần tử chứ nhột- câc bậc tự do của phần ti va cĩc nit

Hai chuyển vị thănh phần của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử được lấy xấp xỉ bởi dạng đa thức song tuyến tính như sau

Trang 18

Tức lă: tu}, =[F@&y) ] (a} với (F(x,y)] = (P(x,y) ] = vă vectơ câc tham _ [P(x, y)ì [0] trong đó ma trận câc đơn thức 101 [P(œ, y)] l lă 1 x y xy {a} | fa} = {ay ay ag a4 a a a7 ag | T (4.38) (4.39) (4.40) (4.41) Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút vă giâ trị của hăm xấp xi tai cdc nut dĩ

từ đó biểu diễn vectơ câc tham số {a} theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q”e , (4.37) hay (4.38) vă thay tọa độ câc nút cho trong hình 4.9 Sử dụng (4.35) văo Ta có | ¬ 141 Uj q2 Vị q3 uj {qhe = \"4 | = 12 q5 Ux 46 Vk q? Ue đa Ve Tức lă: {q}¿ = trong đó [A] lă ma [A] {a}

trận vuông (8 x 8) chứa tọa độ câc điểm nứt ở phương trình

Trang 19

Vậy, từ (4.42) ta có:

{at = [AT {ate | (4.42)

Thay (4.42) văo (4.38), ta biểu diễn được trường chuyển vị {u}, của phần tử:

theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e, hay nói câch khâc, trường chuyển vị {u},

được nội suy qua {q}¿ Cụ thể lă {u}, = [F(x,y) ] [AI 1{q},

Hay ~~ {u}e = [N(x,y) ] {qhe — (4.43)

Trong đó [N(x,y) ] lă ma trận câc hăm dạng, hay ma trận câc hăm nội suy vă được xâc định [Noxy) ] = (Foxy) JAP? (4.44) : rere [AI † 000 0 1x y xy n Ney pa Ni ONO Nk ONO , đay: N(x, = + Ý (4.45) ey (2 x 8) y 0 Nị 0 Nj 0 Ne Oo Ny Với 4 hăm dạng trín lă cdc ham 2 biĩn x,y vă có dạng de n,=({1-% ( _¥ x y ( L) ` T x , y N=ễ [1= ) ‘ ` : (4.46) N, = *% ab N=%(1-*) b a

Câc ham Ni(x,y) trín còn gọi lă câc hăm nội suy Lagrange song tuyến tính Đồ

Trang 20

4 ¬ 4 | v(x,y) = > N; Vj = N; Vị + N; vj + Nụ VỊ + NI VỊ ` Vă đồ thị biểu diễn câc trường chuyển vị năy có thể thấy như ở hình 4.11 u(x.y) Hình 4.11 Trường chuyín uị u(x,y) Uầ Uíx,V) Theo (2.11) ta có ma trận tính biến dạng (BỊ = [a] [N(x,y) ] (3 x 8) (3 x 2) (2 x 8) Cu thĩ: l.0x =O N; 0 N) 0 Ny 0 N,.0 (B] = 9 day QO N, O N,.0 N, 0 N, , rlJOV — đ/0X J ` Thực hiện phĩp dạo hăm đơn gian năy ta có: { : ‘ —(b-y} 0 b-y 0 y 0 -y 0 o [B] = a 0 -(a-x) 0 -X 0 x 0 a-x (4.47) ab |

“(a-x) -(b-y) -X (b-y) Xx y a-x —W

_ Vậy, theo (2.16) có thể tìm được ma trận cứng phần tử [KL

(KI, =.Í tBÍ IDIIB]dV, - (4.48) |

Vv,

Tuy nhiín việc tích phđn trực tiếp sau khi nhđn câc ma trận trong dấu: tích

Trang 21

Ởđđy [B] = Bổ] (F(x,y) ] | (4.50) (3x8) (3x2) (2 x 8) Tức lă ajax 0 [B]=| 0 afay x y xy 00009 0 0 0 1 x y xy , ôlôy ajax Dĩ dang nhận được 0 1 0 y 0 0 0 0 [B]= 0 0 0 0 0 0 1 x (4.51) 0 o 1 x 0 _- © <

Thay (4.49) văo (4.48), khi đó:

(K\, = Í (AT ĐT (B'ÏF(DỊ(B'HAT 1aV J ¿

Trang 23

ki5 = kig = kỊ7 kig b? + Aa? Đ +Ơa bŠ_-92aˆ A=C; a2 +A bể = kig a2 - 9Ab2 = kig a? + Ab" 6 = kig _ Ab* = 2a” 6 kg7 = ki5 kgg = ki2 k44 = koe kạs = kig k4g = kog kạ2 = kỊ¿ k4g = kag k55 = ki k56 = ki k57 = ki3 kạg = ki4 k7g = ki¢ kgg = kg Về vecto tai phan tĩ {P}¿, cũng tương tự như với phần tử tam giâc Với lực thể tích {g} = | B ab {Pghe = f [N(xy)]'{g} dV = f f dị Vv 0 0 &x y e Nigx Nigy Njgx N Ni&x NxBy Nigx Nigy + tdxdy = — tab | 8x By &x By &x By &x [By | (g„ vă gy lă không đổi), thì vectơ tải phần tử lă: Ỉ (4.54)

Còn với lực phđn bố trín biín, cúng trín nguyín tắc tương tự đê biết Giả sử

trín cạnh biín jk có lực phđn bố đều, cường độ pị = const vă trín cạnh biín kl

Trang 24

2% q2 a l5 lau - 2 Ă ky 2 fe k 2 LL /]} 7a Jk : ke [Poje = PP PE, Hinh 4.12 có lực phđn bố đều pg tĩac dụng (hình 4.12), thì trong thí dụ cụ thể năy vectơ tải phần tử lă {Pp}, = (PHS + (Py! p b/2 jk kl (Pyle = (PHE + (PI = 4 ne f p2a/2 0 pga/2

Ma trộn tính ứng suất [Sk: Dễ thấy lă do chuyển vị hăm song tuyến tính nín biến dạng vă ứng suất nói chung lă phđn bố tuyến tính trong phần tử Ứng suất được tính theơ vectơ chuyển vị nút phần tử t Ade bang công thức Ox (),={% | =ISktql, CS | (4.55) xy ‘ i e-

Trong đó: Ma trận tính ứng suất [Sk = ~ (BI Hay, cụ thể (Sle 1a nhu sau:

_.-(b=y) —Ca(a+ x): (boy) =Cyx- yoo - Cpx 7 a =

Gy) aw) Coy) way Dene RTA Ee eT 4.56)

Oa emp

“tens, ~i (b = ” he A@ _») he, dy - a (aa), ~đy :

Thí dụ : Giải băi toân tấm phẳng ở băi 4.2 với 9 phan t tử hình ‘chit nhật So đồ nút vă phần tử cho trín hình 4.13a

- Đânh số câc bậc tự do tức câc chuyển vị của câc nút toăn hệ Để đơn giản

quâ trình “ghĩp nối” phần tử, điều kiện biín động học được sử dụng ngay bằng

câch gọi câc bậc tự do bang 0 la q vă có mê chứ số 0 Câc thănh phần của vectơ chuyển vị nút tổng thể biểu diễn trín hình 4.13b "Từ đó, _œùng với câc bậc tự do

Trang 25

® _ 4p % fe Yo % { Lom , 6 5 4 4s ¿ k ~ 9s 3 @ |L@ ©, }b _ 1k - |Ê if oy bia J f 2 3 9; ( J 4% 4) —© Hình 4 3 a Hệ thống nút uă phần tử; b Câc bậc tự do tổng thể {q} của cả hệ (q, = 0) ;

Trang 26

Pe _ 300k 5 = 800kg pb aa B00 kg

Hình 4.16 Tôi trong va cĩc lite nit quy đổi của hệ

Vì trín phần tử (2) có tải trọng phđn bố đều trín cạnh jk nín vectơ tải phần tử {P}a lă 12 3 4 5 6 7 8 ° {P}a= (PH*.= {0 0 800 0 800 0 0 0} Cũng dễ thấy lă trong băi toân, năy, _vectơ tải {P"} có kích thước (4 x 8) lă bằng vectơ {P}o ⁄ T {P*} = {0 0 800 0 800 0 0 0}

Sử dụng ma trận chỉ số [b] va phuong phap sĩ ma, tu [K]; va [Kg ta cúng dê dăng xđy dựng được ma trận [K”] có kích thước (8 x 8)

Trang 27

_ qi] jue : 5,37 Vv 2 : 1,73 4a 43 10,91 qa} |v3 4 1,83 j— f=) {E10 xi ; em q5 ug 10,91 q6 v4 ~ 1,83 _ 5,37 q7 U5 — — 1,73 98 | V5 : 5537 ~¢ Dex 3 : ˆ AD rae 10,91x/0 cm Biến dạng của tấm cho trín hình 3 4 23,10 : Z 2 2 2 Te ———— : 403x

4.16 Nhan xĩt rang kĩt qua trĩn bao dam ý 7 † +

tính đối xứng của băi toân Vă so với việc 2

` 9, c ` 4

dung«phan tu dang tam gidc, trong bai - Z | |

toân năy, phần tử dạng chứ nhật cho kết 3 A | ‘

2 + ` £ ⁄ Sto ——+ — —jAt

quả hợp lý vă chính xâc hơn 2 1

2 ae ˆ „ |

Đề so sânh kết quả tính trín, thí dụ Ệ- L |

nay đê được giải bằng mây tính với phần 2 ;

mềm RDM, với lưới phần tử chứ nhật 4 4———— 4 =f db peso?