Một số bài toán của lý thuyết đàn hồi và lý thuyết dẻo

Các í óc giả cũng đã tìm ra điểu kiện cần và đù cho sự tòn tại duy nhát sóng Rayleigh trong môi tnrờng đan hồi đắng hướng, nén được, có biến dạng trước.. Mở đầu.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

TẼN ĐÊ TAI: MỌT s o BAI TOẢN CUA LÝ THUYÊT ĐAN HỔI VÀ LÝ THUYẾT DẺO

MẢ SỐ: QT-06-05

CHÙ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH CÁC CÁN B ộ THAM GIA:

TH.S.BÙI THANH TÚ TH.S NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH

Đ A I H O C Q U Ố C G i A HA N O ' T RUNG TÂM T H Ô N G TIN i h Vl ẺN

BÁO CÁO TÓM TẮT

1 Tên đề tài: Một sỏ toán ly thuyết đàn hồi lý thuyết dẻo Mà số: QT-06-05

2 Chủ trì đề tài: PGS TS Phạm Chí v in h 3 Các cán tham gia:

Ths Bùi Thanh Tú

Ths Nguyễn Thị Khánh Linh

4 Mục tiêu nội dung nshiên cứu đề tài

a M ụ c t i n s h i ẻ n c ứ u• c

- Cơng thức vận tốc sóng Ravleiơh trone môi trường đàn hồi đảng hướng nén có biến dạng trước.

- Cơ sở tốn học cơns thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh Malischevvsky

- Sự phán xạ khúc xạ cùa sóng biẻn có độ nhám cao. b Nội dung nshiên cứu:

- Xây dưn.2 công thức vận tơc sóng Rayleigh trone mơi trườns đàn hói đản2 hướng nén có biến dạng trước bằns phươns pháp hàm biến phức.

-Áp dụne phương pháp bình phươns tối thiếu để tìm sờ tốn học côns thức xấp xỉ Malischevvsky

-Sử dụns phương pháp nhát hố để tìm phươns trình thuan hoá cùa toán biên với biên có độ nhám cao sử dụns phươns trình này để nghiên cứu toán phản xạ, khúc xạ sónơ SH biên có độ nhám cao.

c Các kết đạt được:

Xây dựng cỏns thức vận tốc sóns Rayleish tron2 mói trườnt _ 2 đàn hồi đàng hướns nén có biến dạna trước.V— <—■ <—

- Chứna minh rằna: xấp xi Malischevvskv xấp xi tốt ciia giá trị xác cùa vận tốc són° Rayleiah trona khơns 2Ían Lr [-1, 0.5] tập khai triển Tavlor vận tốc sóna Rayleish đến cấp aiá trị thuộc đoạn [-1, 0.5].

-Tìm hệ số phản xạ khúc xạ cùa són2 SH biên có độ nhám cao.

Các kết đề tài trình bày trons ba báo sau:

trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ Thái Nguyên, 25-26/8/2006 trang 938-948.

2 Pham Chi Vinh and Peter G Malischevvskv Explanation for

Malischevvskys approximate expression for the Rayleiah \vave velocity Ultrasonics 45 (2006), 77- 81.

3 Phạm Chí VTnh, Đỗ Xuân Tùng Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH đỏi

với biên có độ nhám cao, Tuyến tập cịng trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rán biến dạn2 lần thứ Thái Nsuvên 25-26/8/2006 trana 949-959.

5 Tinh hình sử dụng kinh phí:

a Đươc cấp: 20.000.000 đ

b.Chi tiêu:

- Thuê khoán chuvên môn: 12.000.000 đ

- Hội nghị, hội thảo khoa học: 3.000.000 đ

- Chi khác: 5.000.000 đ

Tổng cộng: 20.000.000 đ

KHOA QUÁN LÝ (Ký ghi rõ họ tén)

CHÚ TRÌ ĐỂ TẢI

)w

SUMMARY

Title of the Project: Some problems of theory of elasticity and theory

of plasticity

Code of the project: QT-06-05

Head of the research group: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh Participants: MSc Bui T hanh Tu

MSc Nguven Thi K hanh Linh Aims and Contents of the Project:

a Aims of the project:

- Formulas for Rayleigh wave speed in compressible isotropic elastic media with initial deformations.

- Studyinơ the mathematical base of Malischewsky"s approximation of the Rayleioh wave velocity.

- InvestÌ2O atiri2»— the rlection and reữaction of SH \vaves to the boundaries with hiah roughness.

b Contents of the prọject:

- To find a íormula for Rayleish \vave speed in compressible isotropic elastic media \vith initial deíormations usina the complex íunction method.

- To investigate the explanation for Malischewsky's approximate íormula of the Rayleieh wave velocitv.

- To construct the homogenized equations of the boundarv problems with highlv rough boundaries by using the homogenization method.

To studv the reílection and reíraction of SH \vaves to the boundaries with hĨ2h rouahness by employing the homo2enized equations.

c Main obtained results :

- Proved that Malischewsky's approximation can be considered as the best approximation of the Rayleish wave velocity in the interval [-1 0.5], in the sense of least squares, \vith respect to the class of Taylor e.xpansions of the Rayleigh \vave velocity up to the third povver at the values helong to [-1.0.5].

- Found the reílection and reíraction coefficients of SH waves to the boundaries with hiah roughness

Finance

a Receiving: 20.000.000 VNĐ

b Spending:

- For research works: 12.000.000 VNĐ

For Coníerences and Seminars: 3.000.000 VNĐ

For other \vorks: 5.000.000 VNĐ

M Ụ C LỤ C

Trang

MỞ ĐẦU

Chương I Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh mơi trường dàn hồi dẳng hướng nén được, có biến dạng trước

I Mở đầu

II Phương trinh tán sắc sóng Rayleigh mõi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, có biến dạng trước

III Công thức vận tốc sống Rayleigh mõi trường đàn hồi đẳng hướng, nén 13 được, có biến dạng trước

IV Kết luận 24

Chướng II Cơ sở toán học xấp xỉ Malischewskỵ 26

I Mở đấu 26

II Cơng thức xác vận tốc sóng Rayleigh 27

III Phương pháp binh phương tối thiểu 27

IV Cơ sở toán học công thức xấp xỉ Malischevvsky 29

V Kết luận 32

Chương III: Sự phản xạ, khúc xạ sống SH biên có độ 33 nhám cao

I Mở dầu 33

II Biên phản chia hay biên có độ nhám cao phương trình hoá 35 III Sự phản xạ khúc xạ sóng SH biên phân chia biên có độ 49 nhám cao

IV Kết luận 62

KẾT LUÂN 64

MỞ ĐẦU

Sóng mặt Rayleigh Lord Rayleigh phát nahiên cứu từ một kỷ qua nãm 1885 Nó tiếp tục nơhiên cứu khám phá những ÚT12 dụng to lớn trona nhièu lĩnh vưc khác khoa học kỹ thuật như: Âm học Khoa học vật liệu Khoa học đánh 2Íá khơng hư hại (Nondestructive evaluation) Khoa học kiêm tra khơna hư hịng (Nondestructive Testing), Địa vật lý, Côna nahệ viễn thông,

Đối với són2 Ravleiah, vận tốc đại lượng bàn quan trọng Nó thu hút quan tàm đặc biệt nhà nahiên cứu lĩnh \TJC khoa học ứng dụng nói Hơn nữa, cịn sử dụng đê xây dựng hàm Green đối với toán độn2 cùa bán khơng gian Cho nên việc tìm cơng thức của vận tốc sóns Rayleish, dạns hiện, cần thiết có ý nahĩa trẽn cả hai phươne diện: lý thuyết lẫn ứng dụng.

Đến năm 2000 cơng thức xác hồn chình cùa vận tốc sóng Rayleiah mơi trường đàn hồi đản2 hướnơ tìm Malischcvvskv [10] bằn2 cách sừ dụng trực tiếp MATHEMATICA Sự chứii2 minh chặt chẽ về mặt toán học cùa cơns thức nàv đuọc hồn thành vào nãm 2004 bới Pham Oaden [20] Dựa vào phươns pháp chứns minh, hai tác siá Pham Osden cịn tìm đươc cõng thức khác vận tốc sóns Rayleioh mỏi trườns đàn hồi đána hướna [20] CƠĨI2 thức mơi trườna đàn hồi dị hướna nén được [18 21] cũna không nén [17].

Vât liệu có biến dạns trước đan2 sừ dụng cách rộna rãi Do việc tìm cơn2 thức vận tốc sóna Rayleish mơi trườns đàn hồi có biến dạna (ứna suất) trước cần thiết.

Mục tiêu thứ của đề tài là: Tìm cõng thức cùa vặn tóc SĨI1ÍỈ Rayleigh mơi trường đàn hồi nén đưọc có biến dạng trước.

với mòi trường đàn hói đảnă hướng, hệ số Poisson r e [-1 0.5] dành cho vặt liệu với hệ số Poisson ãm (auxetic materials) ngày sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, công thức tìm chi kinh nghiệm.

Do mục tiêu thứ hai cùa đề tài là: Cơ sờ toán học công thức xáp

xỉ Maỉischewsky.

Bài tốn phán xạ khúc xạ cùa sóng biên phắnơ có nhiều ứng dụng thực tế nshiẽn cứu kì lưỡng Gần đây, phát triển cùa kĩ thuật, toán phản xạ, khúc xạ sóng biên cona trớ nên có nhiều ứri2 dụng, đề tài nahiên cứu thời (xem [5].[8].[27]) đặc biệt biên c ó đ ộ nhám c a o

Mục tiêu thứ ba đề tài là:

Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên có độ nhám cao.

Các kết q đề tài trình bàv trons ba báo sau:

1 Phạm Chí Vĩnh Nguyễn Thị Thu Cơns thức vận tốc sóng Rayleigh trona mịi trườns đàn hồi đẳns hướna nén được, có biến dạng trước Tuyến tập cơns trình hội nahị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạna lần thứ Thái Nguyên 25-26/8/2006 trang 938-948.

2 Pham Chi Vinh and Peter G Malischevvsky E.xplanation for Malische\vsky’s approximate expression for the Rayleish \vave velocity Ultrasonics 45(2006) 77- 81.

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SĨNG RAYLEIGH TRONG MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỊI ĐÀNG HƯỚNG, NÉN Được, CĨ

BIÉN DẠNG TRƯỚC

I MỞ ĐÀU.

S ón g m ặt Rayleigh mỏi t rư n g đ àn hồi đ ẳ n g h n g n én được, được Rayleigh [24] nghiên cứu từ kỷ qua, từ năm 1885 Kể từ đ ế n nay, s ó n g Rayleigh c c môi trư ờn g đ n hồi k h c n h a u đề tài cho nhiều nghiên c ứ u bời vi só n g Rayleigh có ứ n g d ụn g rộng rãi địa c h ắ n học, vật lý địa cầu, khoa học vật liệu công n g h ệ viễn thông

T h e o D e s t r a d e [6], c c thiết bị só n g m ặt (sur fac e a c o u s t i c w a v e de vices) đ ã đ ợ c s d ụ n g c c h nh côn g c ô n g n g h ệ viễn thông (te lecom munication industry)

Đối với s ó n g m ặt Rayleigh, vận tốc sóng đại l ợ n g qu an trọng Theo Malischevvsky [11], vận tốc sóng Rayleigh đại lượng bả n (a í u n d a m e n t a l quantity) đ ợ c c c nhà nghiên c ứ u địa c h ấ n học vật iý địa cầu lĩnh vực khác vật lý quan tâm.

T h e o Nkemzi [15], vi h àm G r e e n củ a nhiều t o n đ ộ n g đ n hồi bán khơng gian có liên q u a n đ ế n nghiệm c ủ a p h n g trình tán s ắ c củ a sóng Rayleigh, nên việc tìm cơng thức (dưới dạng hiển ) vận tốc sóng Rayleigh v a có ý n g hĩ a lý thuyết, v a có ý nghĩa ứ n g dụng

Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng, công thức vận tốc s óng Rayleigh đ ợ c tim bời Malischewsky [10], P h a m v O g d e n [20] Đối với vật liệu dị h n g , số t rư n g h ợ p đ ặ c biệt c ủ a vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng X , = 0, công thức vận tốc sóng Rayleigh đ ợ c

Mục đích c ủ a c h n g thiết lập cốn g t h ứ c vận tốc s ó n g Rayieigh môi t r n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c , có biến d n g t rư c bằn g c c h s d ụ n g p h n g p h p h m biến ph ứ c

C h n g gồ m p h ầ n

P h ầ n 1: P h n g trình tán s ắ c c ù a só n g Rayleigh môi t r n g đ àn hồi đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c , có biến d n g trước

Mục đích c ủ a p h ầ n n ày n h ằ m tìm p h n g trình tán s ắ c c ù a só n g Rayleigh môi t r n g đ n hồi n én đ ợ c có biến d n g trư ớc Khi môi trườ ng khơng có biến d n g b an đầu, p h n g trình đ ợ c biến đổi t n g đ n g p h n g trình tán s ắ c thơng t h n g củ a s ó n g Rayleigh môi trườ ng đ àn hồi, đẳ n g h n g n én đ ợ c

P h ầ n 2: Cõ ng t h ứ c vận tốc s ó n g Rayleigh mỏi t r n g đ n hồi đẳn g h n g , nén đ ợ c , có biến d n g trước

Trong c h n g này, công t h ứ c vận tốc só n g Rayleigh mơi t r n g đ àn hồi đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c có biến d n g t r c đ ợ c tìm b ằ n g c c h áp dụng p h n g p h p h m biến phức, s dụng công t h ứ c tác già đâ ch ứ n g minh đ ợ c điều kiện c ầ n đủ đ ể tồn n h ấ t s ó n g Rayleigh mơi t r n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , nén đ ợ c có biến d n g trước

II.PHƯONG TRÌNH TẢN SẮC CÙA SĨNG RAYLEIGH TRONG MỎI TRƯỜNG ĐÀN HỊI ĐẢNG HƯỚNG, NÉN ĐƯỢC, CĨ BIÉN DẠNG TRUỚC

I C c p h n g t r ì n h c b ả n

Xét vật thể đ n hồi đ ẳ n g h n g , nén đ ợ c m trạng thái t ự nhiên (khơng có ứ n g s u ấ t) chiếm bán không gian x : <0. Giả s vật chịu biến d n g b an đ ầu t h u ầ n nhất, t ứ c là:

.V, = / V A\ = /., X X. = Â X , Ải = const, i = 1.2.3 (1.1)

S a u chịu biến d n g ban đ ầ u (1.1), vật thể c hi ếm b n không gian A\ < Xét c h u y ể n đ ộ n g p h ẳ n g mặt p h ẳ n g (xn, x2) với c c t h n h p h ần ch uy ển dịch n h sau:

u =«,(.vi,x2,/)./ = 1.2,m, =0 (1.2)

trong t thời gian

Khi bỏ q u a lực khối, c c p h n g trình c h u y ể n dịch [18, 27]:

-^>1111**;.!! ^KIII^I.Ỉ’ (^>>1:: — píii

Í ^ O I P " ' *"*" 0, l P p ^ O P I ’ ^ ’ 11 ^ ' * 2 ^ ’’ 22 p ^

(1.3)

trong p l m ật độ khối l ợ n g c ủ a vật liệu trạng thái b a n đ ẩu, d ấ u ch ẩm (trên) đ o h m t h e o thời gian t, d ấ u p h ẩ y đ o h m th e o c c biến không gian ( Xi ) , c c t h n h p h ầ n c ủ a t e n x h n g bốn Ả, đ ợ c xá c định bời c c công t h ứ c [16, 25]:

ẽ'-w

CẢ.Ả, cW

JA, ( = JA = JA, _ — Ả

C Ả

j

( \ c\v m e w ' Ả — - Â, —

1 ÕẰJ ,

Ả.

JA

Ú - - V )

,-V Ô-U

(1.4)

ỈV = W ( / h m nă ng l ợn g đ n vị t hể tích, J = .

Khi mơi t rư n g khơ ng có biến d n g trư ớc , c c th n h p h ầ n A trờ thàn h [16, 25]:

(1.5) Ao,,:, = ^ + = Â , Ì * J

A0V,J = Ao,,„ =v- i * j

/ / / l c c m ô đ u n đ n hồi củ a vật liệu

ứ n g s u ấ t m ặ t x2= co n st đ ợ c tính công t h ứ c [16, 25]: ơ v - + j : i i : m p ơ : : = A - r : : : : z + > I I M I.1 ’ ơ = (1-6) Để đ n giản trình bày ta s dụ ng c c ký hiệu sa u:

a ,, — ~ ■^ũini’a 2: ^ù:222-a i2 a 2\ '^ou::)

/t = = -^02121 ’ y ' ~ -^02112

Khi hệ p h n g trình (1.3) trở thành:

(1.7)

(1.8)

ữ ^ Ị ĩ/j 1 t y tĩ/| 7- » {^|1 p

+ Ơ : Ỉ ' 2.22 + ( <*, , + / - ) “ l,12 =pii2

T (1.6), (1.7) ứ n g s u ấ t m ặt x2= c o n s t đ ợ c x c định bời công

ơy = 0

ơ r = / ' : “ | Ị + / «

<7., = Of,: ííu TC„1Í; ; (1.9)

T điều kiện c ầ n đủ đ ể h ệ (1.8) eliptic m n h (strongly elliptic) [16], ta có:

a , > a „ > 0./, > / , > (1.10) S ó n g R a y l e i g h

Giả s só n g m ặ t Rayleigh truyền t h e o h n g 0X1, ta tim nghiệm c ủ a h ệ (1.8) d i dạng:

li = A s \ p [ i k s x - i(kx — cot)]

ư : = Ả : exp[/fcc, - i ( k x t - Cút)]

trong đó: Ai, A2 c c h ằ n g số, Củ\à tần s ố sóng, k s ố són g, s lả h ằ n g s ố c ầ n tìm Để t r n g c h u y ể n dịch c ủ a s ó n g Rayleigh tắt d ầ n t h e o chiều sâ u,

tứ c là: lim II = / = 1.2 (1.12)

r - —

thì s phải có p h ầ n o â m , t ứ c là: I m ^ < (1.13) Thay (1.11) v (1.8) ta đ ợ c

a n ị ( i k ) : + ( a r - y )( i k Ý S Ã : + ỵ 2( i k ) l s 2AỊ = A lp(-icoỳ ỵ ,A : (i kỳ + a 21Ụk)z s A: -■-( a r_ ■¥ y.)(iks)(ik)A, = A :p ( - i o j ỳ

hay:

( a : - ỵ :s : - pc'-)A, + ỵ.)s.4: =

( « , , -ỵ*)sẨ. + ( / , + C f ; : - p c 2)A2 = 0

(1.14)

(1.15)

trong đó: c = — vận t ốc s ó n g Rayleigh Ả*

Để h ệ (1.15) có ng h i ệm khơng tầ m t h n g định t h ứ c c ủ a h ệ phải b ằn g không, t ứ c là:

a + ỵ s : - p c : (a r + ỵ ) s I

" ' : , j = (1.16)

( a r_ + ỵ ) s y x+ a zỵ - - p c l \

S a u khai triển định t h ứ c c ấ p hai, p h n g trình (1.16) trờ thành: (ữ„ + ỵ :s : - p c ' - ) ( ỵ t + a ::s - p c 2) - ( a í2 + v ) V =

<=> + f o : + ( =

a = (a.A - pc-)(ỵ\ - pc'-)

2b = a ::( a u - p c ' - ) + ỵ : ( ỵ ỉ - p c : ) - ( a + ỵ ỳ ( )

T ( ) t a c ó : : 5: : = ( 1 )

c a 22?'

s - - s : s - Ỉ Ị s í ỉ ± Z l ã z s t h z ỉ l z £ ủ (1.20)

Theo (1.13), để thoả mãn điều kiện tắt dần s1, s2 phải có phần ảo âm T ta s ẽ c h ứ n g minh đ ợ c vận tốc s ó n g Rayleigh c phải thoả m ãn c c bất đ ẳ n g t h ứ c s au :

0 < pc~ < min(v a ) = •/, (1.21) Thật vậy, đặt X = s z , từ (1.17) suy ra:

c X + 2bX + a = (1.22)

Trường hợp 1: A>0:Khi đó Xí, x số thực, X, x phải là

các số âm Vì ngược lại chẳng hạn Xí >0 thi = v X, số thực.

do phần ảo Sị bầng không, m âu thuẫn với điều kiện Im s, < Do

s t2 = v, < ?s : : = x : < nên:

[(«,, - pc'-)> ■V - pc '~) > h o ặ c

Ịịa,, - p c: ) < 0

ị (1.23)

[/i - pc2 ) < 0 Giả sử:

(1.24)

( a u - pc'-)< ị /, - pc'-)<

Chú ý đ ế n (1.10), t (1.20) (1.24) suy ra:

2 -( a r + ỵ ỳ - a 22( a u - p c : )-'/,(■/, - ọ c ' - ) A

s, + s - -— - > u (1-^0)

a 2 Ĩ 2

Điều n ày m â u thu ẫn với: í , : < , s 2: < 0, vậy: Ị(ữu - pc' ) > , ,

T r n g h ợ p 2: A<0 đ ó p h n g trình (1.22) có hai ng hi ệm p h ứ c liên hợp: X ì = X 2. Do vậy:

= X 2.X: = \ x :\2 = k " : >0 (1.27)

Chú ý rằng: Không t h ể xảy t r n g h ợ p 5, : = 0, n ế u n g ợ c lại suy s =0 n h n g điều n y m â u th u ẫn với (1.13)

Từ (1.19) (1.27) ta có:

\(av - pc'-)> | / i - pè' ) > 0 h o ặ c

| ( a M - pc: ) < 0 I/, - pcz)< 0 Giả sử:

ị ( a n - pc'-)<

Ị / , - pc'-)< 0 T (1.22) ta có:

A = (2bý - a c = [a:z(a.í - p c : ) + / , ( / , - p c ' - ) - { a r v , ) : ] : - 4 a ::ỵ :( a u - pc' - ) ( / , - p c : )

= [ứ; : ( a n - / X ; ) + / ; ( / , - A ’ : ) ]: - p c : K / r A ’ : ;

- 2( C f , ; T y ) : [ c r : : ( ữ , - p c ^ ì - r ỵ Ạ / i - pc'-)\ (1.3 0)

= [a;:(a n -/X’; ) + /.( /, - pc:)]: - ( a r_ + ỵ.y-[aZ2(au -pc'-) + ỵ2(ỵ] -p t-: )]

Từ (1.30), tính đến (1.10) (1.29) suy ra: A >0, điều máu thuẫn với giả thiết A < 0, nên suy ra:

ị ( a , t - p c : )> ,

ị hay < pc < m i n ( / , a v ) [/, - ) > 0

N h t r n g h ợ p ta ln có:

0 < p c < m i n ( / , ,au) = ỵ, ( - )

Từ phương trình (1.17) ta tìm Sì, s2 cho lms,<0 (i=1.2) Với mỗi s, (i=1,2) ta tìm đư ợc nghiệm riêng tương ứng cỏ dạng (1.11) các số , A2 xác định hệ (1.15) Một tổ hợp tuyến tính của

(1.28)

(1.29)

c c nghiệm riêng n y ch í n h t rư n g c h u y ề n dịch c ủ a s ố n g Rayleigh, tứ c là:

u = [c, exp(iks,.x2) + c , exp(/'Ấrs,x, )]exp[/(kxỊ - cot\

u: = [cl\C exP(iks x- ) T q C : exp(iks2x z )]exp[ỉ'(fct, - cot\ (1.32)

trong c 1f c c c h ằ n g số ( đ ợ c xác định t điều kiện biên) q 1f q đ ợ c xác định c ô n g t h ứ c sau:

q = _ Í i _ l M Ì z ^ £ Ì l = -/ = 1.2 ( 3 )

(a r - ỵ ]s (y, + a ::si2 - p c'-)

Giả s m ặt biên x2 t ự với ứ n g suất Khi t h e o (1.9) ta có:

ỵ u - - ỵ u = x2=0

ỵ 2u, , + ỵ.Uị , = X2=0 (1.34)

Đó điều kiện biên đ ể xác định c c h ằ n g s ố Ci, c P h n g t r ì n h t n s ắ c

Tha y (1.32) v điều kiện biên (1.34) ta đ c : y; [C,(/'Ấ:j; ) + C ; (/Ẩrj,)] + 7.[Ợ|C, + q 2C: ị i k ) = 0

r 1 ( ■ /

a r (C| + c , Xi k) - a 22 [ợjC, (iks, ) + q zCẠiks: )J = hay [/,5 + ỵ.ọ ]C| + Ị/;S; + /.<7;]C; =0

[a -ơ ,.q 5.]c, -r[ữ p = (1.36)

Để h ệ (1.36) có n g h i ệ m không tầm t h n g với c 1t c định t h ứ c c ủ a hệ phải khác không, t ứ c là:

Ị/;5, -rỵ.ọ / ; 5; + /• ‘7: í = 0

|a i; + a , g ìs ì a \2 + a22<Ỉ2s2'

ỵ :a r (sl - s 2) - ỵ :a ::s s 2(qí - q 2) + a r ỵ ( q ì - q 2) - a ::ỵ q, q : ịs, - s : ) = (1.37)

Sử dụng kí hiệu: CI\\ - a u - pc~,Yị = ỵ. - p c : p - (a + ỵ ), từ (1.33) ta có:

, „ a u - p c - + ỵ ĩsí2 t a n - p c + ỵ :s22

q l - CỊ = - - + - 1— —

(a - 7. )5, ( p + V-,; 7. ) s ,: (1 38) _ ( , , - p c : ) ( s , - , ) _ ( g Ị Ị - ỵ 2 S ị S 2) ( ị - s: )

„ „ _ ũrn - p c - + / : í , - ctu - p c : + ỵ zs {

Ị \ I "* — • '

( a n +ỵ.)s ( a n + v.)s2

_ (Qịị - p c : )2 +7:(g;i - p c : )(s,: T i ^ T y ỵ ỵ

<a !2- ỵ ỳ s - s :

_ ( aII : - y : g i : ( : - : ) ~ j3's.s,

a i:

Thay (1.38) (1.39) v o (1.37) giản c cho ( s r s 2) ta đ ợ c :

t t n Cl\\ — / , , , ; ;

- ■ T ữ ,; /. -— - - - -— = 0

p yổ5j5: a zzsxs.

Ơ l l - V 52 / , : c d l ữ p / ,v , ỒTu/ A <=> / , a p - + -— - -= 0

/7 /fc,$2 p 5,5,

- : y p l l ơ u y.p .

<=> 7: #12 - ỵ :a ::a\\ T / , ữ 2:5j52 -r -— -a , : ;/2/ , -—— = hay

5j52 5.5,

- , : , ỵ.ar a\: (ar +/ )/ a _

ã / , ô , (G ớ\ - ) - ỵ a a : a - s s H - — -a . - — — -=

5 ; S " Í ,

: - : ỵ ' au _ A

<=>;/.or., - ỵ ~ a v a\\ + / , - — = 0 5,5,

<=> (ỵ:a r ~ - / ;or; ; ữ n )5,5, + ỵ 2:a :2si2s 22 - ỵ ữ.\\ =

c=> ( / a ; - ỵ a a )s s 4-ỵ 2U\\/ , - ỵ.2ữ\i =

<=>(/,/, - ỵ ' ) a \ \ + ỵ 2{ctí: - a ::a \ \ ) s ]s : = T (1.19) s u y ra:

CCll/ V : = - , Ị '

V ữ : : / : Thật vậy:

T r n g h ợ p 1:

Nếu A > v \ s : : c c s ố thực, c h ủn g phải c c s ố â m (để đ ả m b ả o S ì , s có p h ầ n ả o âm) Khi í , = - / / ? , / ? , > , = - / / ? , s u y ra:

(1.39)

(1 )

(1.41)

(1.42)

■ P: > ,

5j5i ( lỴ ỊĨ^ỊÌ-, P\Pt \S\Si' \ S\ S' * )

I

Từ (1.19) (1.43)ta suy (1.42).

T r n g h ợ p 2:

Nếu A<0 t h e o s.; = s ; Từ điều kiện Ims <0 (i=1 2) và S,=\S,

(i= 1,2) s uy ra nếu s 2=a+ib (b<0) thì Sì—a+ib s u y ra: 5,5, = ~(a~ +b~) < 0

= > s s z = - , , : = - , ỹ s l s

T (1.19) (1.44) ta thu đ ợ c (1.42) Th ay (1.42) v o (1.41) ta đ ợ c :

(.7.7, - y - ) a v. + (— ỹ ( a :: a -A- ữ i:2)võĩĩ\/^" = 0

a 22

(1.44)

hay

(«11 - p c ' - ) - ỵ : ụ

l

+ ( — j 2 [ « : ; ( « ) , - p c 2) - a r_2ị j a u - pcW i - p c : = 0

(1.45)

Ta s ẽ c h ứ n g minh rằng, p h n g trình tán s ắ c (1.45) với điều kiện (1.31) s ẽ đ ợ c biến đổi t n g đ n g p h n g trình:

(2 - v): = 4^fỉ^ỹyfỉ - ~Õy (1.47)

trong ũó y - ^ T c : - — = — —— ( )

cỊ - p /1 + 2//

T (1.31) (1.46) ta có:

0 < y < (1.49)

và th eo định nghĩ a c ủ a e 0< 6 < (1.50)

S d ụ n g ( ) , ( ) , p h n g t r ì n h ( ) t r t h n h :

í1- ^ Ạ M i - v ) - ^ - í - ^ f rU - - T^ v ì - A ^ Ĩ T ặ : ^ = o (1-51)

l V '-+2.Ì/ J j

: - V ( - II' v ) + -—— [(/_ + 2 u ) : - u ( Ả 4- 2u ) y - X ' 1 — Ô \ y i ỉ — V = (1 -52)

V / + u ) ' -r ụ ■ ' J

C h i a c ả h a i v ế c ủ a ( ) c h o ( - u ' ) t a đ ợ c :

í l - ^ r - y ì ■

1 Ả + 2,U ) / + u [4Ả -r u - ( Ả + ^ ) ’]^ - ( Ạ \ : - V =

(1 - Ọy)y - íí (ả + ụ ) Â - r l u

\

- V A - íẠ \ 1 - y = 0 i

/

(1.53)

(1.54)

C h i a h a i v ế ( ) c h o y i ỉ - ổ \ - ^ o t a c ó :

y Ậ Z Ẹ _ ị - y \ l ^ T y =

\ Â + 2 u }

0 (1.55)

Nhân hai vế (1.55) với % - y * ta đ ợ c :

Ỵ y ị ĩ - 6 y - Ị j A - ậ - y L ĩ ^ v =

• v • 1 / + 2ụ - r (1.55)

Nhân vế (1.55) với v l - V * t a đ ợ c :

r - i u + A ) v \ ! _ v ) =

à + ĩ u

 + u

{ ỉ - } ' ) - y Ạ - t y Ạ - y = 0

(1.56)

(1.57)

(1.58) « [4(1 - & ) - >’Xl - y ) - yv '1 - B y Ạ ^ ỹ = 0

Ta s ẽ c h ứ n g minh với điều kiện (1.49) p h n g trình (1.58) t n g đ n g với p h n g trình (1.47) Đó điều kiện c ầ n c h ứ n g minh

Thật vậy, chia hai vế củ a (1.58) c h o yf\ - y * ta có: [4(1 - ớ ) - > y ĩ - y = y - J % ’

Chú ý 3Ả + LI > 0 nên:

4(1 - 6>)> ]

Do vậy:

4(1 - ớ) - V > 0

(1.59)

(1.60)

(1.61)

Tinh đ ế n (1.49), (1.50), (1.61) p h n g trình (1.59) t n g đ n g với p h n g trình s a u ( n h ậ n đ ợ c s a u bình p h n g hai vế c ủ a (1.59)):

[4(1 - ) - v] : (1 - v) = V2 (1 - ọỳ) ( ) 1 ó[(l - e f - 8(1 - 0)V + v : \\ - v) = v ; - ỵ :' (1 )

c=> 16(1 - ớ): - 8(1 - d)y -r v: - 16(1 - ớ): y + 8(1 - ỡ)y2 - y- = y - Ạ - (1.64) «= 16(1 - ớ ) -8y + y : - 16(1 - e)y + 8y : - y = (1.65)

<=>.v5 - y : + (24 - 16 ) v - 16 (1 - ) = ( 6 ) Mặt khác, với điều kiện (1.49), (1.50) p h n g trình (1.47) t n g đ n g với p h n g trình sau :

( - v ) J = ( - V - X - Ạ - ) ( )

<=> (l6 + v : T VJ —3 v —8 ^ + v : ) = ỉ6(ỉ - Ọy - y + (Ạ’2) ( 08)

o y - 8.V3 + y - y = -\6Ọy - V + \66y1 ( ) - _ v ; - ( - ) v - ( l - ) = ( ) P h n g trình (1.70) trùng với p h n g trình (1.66) n ên p h n g trình (1.45) trường h ợ p mỏi t rư n g biến dạng t rư c tức p h n g trinh (1.52) t ơn g đ n g với (1.47) Đố điều cần phải ch ứ n g minh

III.CÔNG THỨC VẬN T Ó C S Ó N G RAYLEIGH T R O N G MỒI T R Ư Ờ N G ĐÀN HÒI ĐÁNG H Ư Ớ N G , NÉN Đ Ư Ợ C , CÓ BIÉN DẠNG T R Ư Ớ C

1 D n g p h ứ c c ủ a p h n g tr ì n h t n s ắ c

Đ ặ t x = -Ar (1.71)

p c

-Khiđó: p c ' - = ^ (1.72)

X

T (1.31) s u y ra:

X > ( )

x)

í o

/ / : I -

V x )

- V*2 y\Yl '} : I a v a u \ \ - - \ - a , z ( Ỡ'\. ; ị

V ^22^11 J V x J

O Ỹ Ũ % 0

\v -VẢ x )

1

(1.74)

Chú ý đ ế n (1.73), p h n g trình (1.74) t n g đ n g với p h n g trình sau:

(*-0)[(/i.y; — ì

V ữ : a \ ì ) (1.75)

X — V X - = 0

Đặt a = I > l

0

Khi (1.75) t n g đ n g với p h n g trình:

F ịx ) =

(1.76)

(1.77) đó:

F(x) = ( x - l) [ ( / , / , - )x - ỵ j 2] +

(~^=—ỹ [ ( a na :: - Ofi:').v - a 22ỵì ]Võx - w.v -1 ữ na ;;

Xét p h n g trình (1.78) m ặt p h ẳ n g p h ứ c C:

F ( z) =

F (r) = (or - ! ) [ ( / , / , - •/.' ) z - ỵ j 2] +

(1.78)

ơ / : / : 1,

a o ) -[{a,.az~ - a r : )r - a ;zỵ' ] v o r - l v z -

(1.79)

(1.80)

trong %o r - l \ r - l n h ữ n g n h n h c ủ a h m c ă n b ậ c hai Khi r € R (1.27) trùng với p h n g trình (1.25) P h n g trình (1.27) đ ợ c gọi d n g p h ứ c củ a p h n g trình tán s ắ c (1.23) N h s ẽ d i

p h n g trình (1.27) có ngh iệm nh ất k h c — nghiệm ơ

thực

2 F(z)=0 t n g đ n g v i m ộ t p h n g t r ì n h b ậ c hai Ta s dụ n g c c ký hiệu sau :

L = [-A).s ={2 e C i í L } : N ( z 0 ) = {.-€ 5.0 < i < e)

ơ (1.81

trong £ s ố d n g đủ nhò, Zo m ột điểm n o c ủ a m ặt ph ẳn g

phức c.

Nếu h m / ( : ) chỉnh hình miền Q c C t h ì ta viết:

T (1.80) ta d ễ d n g k h ẳn g định đ ợ c h m F(z)có c c tính c h ấ t sau: ( / , ) F(r) e H(S)

( / , ) F(:) bị chặn jV(— ) iV(l)

ơ (/,) F(:) = 0{:'~) khiịz —

(ft ) F ( :) liên tục L t b ên trái từ b ẽn phải với c c giá trị biên là: Ị_

F~ự) = (ot-l)ịỵlỵĩ - ỵ-2} - ỵ j 2]+ị \a ua 12 cc^1)

-V Cí\)ữ 22 / (1.82)

.VƠ7 - IV1 - /

F (l) =(Ơ7 - 1)

Đặt:

■/ , — ỵ

l

/ crv,v V [■/ 1

l a \ia 22 ) (1.83)

I 1

Vơi - I V - /

Oĩ - (;/,/; \ - ỵ j :

ư) =

V Ơ7 -

Ị

! Cr/\ V2 '1/ ~ \ 1

+ /'!■ ■ k - í

Vg i:g =J I

_ /(_gZlZl I' [(cfna :: - - ứ ;;y,Ịvl- / { a na 2iJ

(1.84)

Khi ta có: ự) = — iz± l.r G L1 + /ơ(0 r

trong đó: (p(t)

<p(<)

I

Ị a ua :: - a r_:} - Ị\'l - 7

a ::J

(1.85)

Ị ’/ J i - - r , r 2Nơr -1 T (1,82)-(1.84) s u y ra: F ' ( t ) = g ự ) F ' ( t ị t € L

Xét h m r ( r ) đ ợ c định n gh ĩa bời cô ng thức: r l o g g (

r(z) = “ í2/77 2/17 ị í - zỉ

(1.86)

(1.87)

Dễ d n g c h ứ n g minh đ ợ c h m r ( T ) t h o ã m ã n c c tính c h ấ t s au:

( / , ) r ( z) eH( S)

( / ; ) r ( x ) = o ( / ) n r ) = - ị l o g ( z V ( i )

2 ơ G

T ( r ) = Q | ( r ) z s A ’ (l)

trong Q ,( r ) , Q,(z) hàm bị chặn lân cận A'(—) .V(l)của ơ

' , 1 .

c c điẽm z = — =1 (xem Muskhelishvili [15] tiêt 29) Chii ý răna đẽ ơ

chứng minh khẳng định ( / - ) cần s dụng c c điều sau đây:

l02g(—) = ìn losg(l) = (1.89)

ơ

Xét hàm ( r ) xác định sau:

®(r) = expr(r) (1.90)

T { / , ) - ( / , ) suy ra:

(<pỊ) o ịz)sH(S)

( ộ , ) ( r ) ^ V r € s

{Ọ:J ( r ) = ơ( l ) k h i , : —» Tr.

( 1 Ỵ: 1

(ệx) 0 (z) = expQ „(z).zeA r( - )

\ ơ ) ơ

O(r) = expQ, (z).z e Ar(l)

S d ụn g c ô n g t h ứ c PlemeỊi [13], d ễ d n g c h ứ n g minh đ ợ c h m O ( r ) thoả m ã n c c điều kiện s a u biên s a u (xem Muskhelishvili [13], tiết 35):

CD-ự) = gự) ®- ( t ) t e L (1.91)

Xét hàm }'(-) xác định qua f (- ).0 ( z ) n h sau:

Y(z) = F{ z)/ Q( z) (1.92)

Từ (/ )- (./,), (1.87), ( ^ H ^ ) v (1.92) ta có:

( y ,) Y ( z ) e H ( S )

( V , ) Y(z) = ( z ' ) k h i 2—> + x

(V, ) }'(z) bị chặn iV(— ) A’(l) ơ

( v 4) Y~ (t) = Y~(t).r € L

Từ tính chất ( y , ) - ( v J hàm Y(z) suy Y(z) chỉnh hình trong

’ 1

toàn mặt phăng phức trừ điẽm z = — r = Nhưng từ (y3) ta thây ơ

đây n h ữ n g điểm b ất t h n g kh đ ợ c n ên ta có thẻ xem Y(z) chỉnh hình trong tồn mặt phẳng phức ( xem [13]) Do đố, theo định lý Liouville mờ rộng [18] kết h ợ p với tính c h ấ t (y2) ta có:

Y(: ) = />( ) (1.93)

trong P(z) đ a t h ứ c b ậ c củ a z Từ (1.92) (1.93) ta có:

F ( r ) = ( r ) P ( r ) (1 )

vì í>(r) = v r € ( tính chất (ệ.)) í>(r)-> x z -)• — (1 )^ ( do ơ

(ựS4)), n ên t (1.94) s u y ra:

í ì

F( : ) = o P ( r ) = u-i — >u{lỊ- (1.95)

3 Tìm P(z)

Từ (1.95) ta thấy thay cho việc giải (1.79) ta giải phương trinh P(z) = 0.

Từ (1 79) (1.80) ta thấy F (—) = từ (1.95) suy ra: ơ

/>(-) = (1.96)

ơ

T (1.90) (1.94) ta có:

/>(-) = f-(-)ex p [-r(-)] (1.97)

Mặt khác từ (1.85) ta cỏ:

ĐAI HỌC Q uôc GlA M A NO'

lo g ự ) = logỊ^ — dlj = JogỊj _ iọ ự ) \ -log[l - i(pụ)\

= log l + iọ{t)\ + /arg[l -r log l - iạ>(tỳ - /arg[l - i ọ ( t ) \ (1 -98)

= 2iarctgọ(t) = 2i0(t)

T h e o (1.88) (1.98) thì:

r(z) = — 'í—Lớ(0</r

711 Í \ - L

ơ _

Khai triển —— lân c ậ n c ủ a điềm : = x ta có:

(1.99)

(1.100)

Tha y (1.100) v (1.99) ta đ ợ c :

- r ( x ) = Ẻ ^ r

/1=0

-trong đó: /„ = — jV’ớ(/)í*.« = 0,L2

£7

T (1.101) ta có:

e = + — -ỉ— ^ + ơ(z )

trong a 0, a, c c h ằ n g s ố c ầ n xác định Ta có:

(e-n ’) = ( - r ( z ) )

( - a 2CI,

.-r o

(1.101)

(1.102)

(1.103)

(1.104)

ặ + ƠI )ì = f-—r - i + 0(z~J )Ỵl + ^7 + 3 + ơ( r" ' ))

z ' J { z- ĩ- A z I- )

« í - ^ - p L + ( r - 4) ỡ ( z '4)l ,ì (1.105)

T (1.105) ta suy ra:

\ 'o r - W r - l = VarỊ - —Yf1 - —Ỵ

/ V "

= N r - - ! - - — -f O i z' :' ) :i

-2 r 8cr r X

Khai triển V cr -1 N r -1 r = X ta được:

= VơrỊ I - - -!y - 0(:~ : )

V 2cz S : - y-y 2r 8r

— ì I - [ - L + ỉ ì - + ( r - ) ị

2ơ ) I v < 4ơ 8 j r Thay (1.107) vào (1.79) ta được:

= VỠrỊ - Í - - -1 ■' 1 ~> 1,

F ( :) = {ar - )[ (/ ,/ , - ,y.: )_- - ỵ.ỵ,

Ị(ữn<2:: — ữ.-, jĩ — ữ :;:ỵ l

a.,a^

\ /

ơ 1

ƠI - —

2 v

1 1 ơ 1 8cr ) I

(1.107)

(1.108)

hay

F ( :) = A : - B: + c - ơ(j?-')

U 'A, ì í -'V

ơ Vi/:-/- - -\ {a ua :: ữ r )\

J J

B = ơỵìỵ : - r ỵ j ĩ - y

-+ í / l / : H1 ' - ! ! —5

2; ơ,,ữ. 2cfncf;: -r (ơ + l)ịữMữ ;; - a,: : )

(1.109)

V w n “ : : /

„ c r , , : f o V ' \ a I

c = / '7=+ U S : J [ ĩ ^ 4 ^ n K r ' “ = - “ ‘= ) + £ f j (1 /n o )

T h ế (1.103), (1.109) v o (1.97) ta có:

P(z) = A=2 + ( a oA - B): + Aa, - a B + C (1.111)

N h đ ã biết đ ể tìm vận tốc s ó n g Rayleigh ta phải tìm nghi ệm t h ự c

lớn h n c ủ a p h n g trình b ậ c hai P(z) = trone miền s u í —Ị u M T h e o (1.96) p h n g trình P(:) = có hai ngh iệm :

Za = - - I - - ( 1 )

Ả ơ

Vì Z-I <1 nên bị loại

Thay A, B x c định (1.110) v o (1.112) ta có: Ị

r ỵ ỵ : -rí Ị a u a 2: -h Ị - ( a - ì ) ị a :ia ::

_ _ _ _ _ _\ ữ : a 2 j L_ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J

r 7 71 T~

ơy,

' ■ i ứ ; I 2 ' ' v

- I ( 1 )

1 I

! (/,/; - : ) + í - ^ - r(ơ ,.ơ ~ - ữ i:: )!

1 :

trong đó: / = —— |l0 2e(r)<* = — \d(t)dt

2.77' r - r

c c

4 Sóng Rayleigh trường hợp khơng có biến dạng trước Trong t r n g h ợ p môi t r n g khơng có biến d n g trư ớc , t (1.113) ta

9

u : - 'u — i ụỤi + 2 u ) + ] - \ - — ịA ì.ụ - A ụ- ):

+ l _z l ; - 2 'U J J Ị

■ ^ (4 /.//+ //- ) / -í- í/ /„ T /i

- -p- ụ.u{/ + ,u)i - uU T 2,a)]vi

1 f à -r u

— Clì’C Í 2 - - —- - =

-71 ■ /

d ĩ

/J2 T u : + - ^ ~ h"ío (4A/y + 4//:

2 ^ / -r2/j) Ả-rlu

' 4(/ T u) n 1 p ^ / -f //

í7/'cve - ' í-1

u

/ -p 2/i

- ;

\ " ỉ - :

l u

— — -T ư)

/ + 2.ư

2 - V

) u V

7 ~ - - - Jơrc/g

Ả + u J Â + u 71 /

u

- Tl ! _

4 ^ -/ - Ịv — t

ầ 1 u

dĩ

LI

/„

1L 1

1 / *r z/

Jứ/rfg- LI

\ - t

dỉ

/ - L a

2 ! _ + i :

Ll Li - ỉ - /

Ả* + —

W'

1 1

— + — + L^_

1 V

j a r c t g

\ ,

( - + ị _

11-4-4-— / K'1-í

l M

d ỉ

í

-\ /'

= — - - \arctg -j ị k L J- dt = 1.1830126 (1.116)

\2 ỉt ị VãVsT^T

Với — = X ta đ ợ c :

LI

z = - ịarctg ^ - 4,b dt = 1.0964436 (1.1 17)

'T Ví

5 Điều kiện tồn nghiệm sóng Rayleigh

Ta s ẽ c h n g minh định lý điều kiện c ầ n v đủ đ ể tồn s ó ng Rayleigh mơi t r n g đ n hồi, đ ẳ n g h n g , n én đ ợ c , có biến d ạn g trước

Định lý:

Giả s ỵ. * khi đ ó điều kiện cần đủ để tồn d u y són g

Chứng minh:

T n h ữ n g kết q u ả ta n h ậ n thấy:

(i) S ự tồn c ủ a s ó n g Rayleigh mỏi t r n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , nén đ ợ c , có biến d n g t r c t n g đ n g với A * Ovà z >1 zc đ ợ c tính t h e o n g t h ứ c (1.113)

(ii) Nếu s ó n g Rayleigh tồn mỏi t rư n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , nén đ ợ c , có biến d n g t r c

T Uí - i n A í 1 Ta s ẽ răng: B - — > - — — + —

ơ \ 2 ơ ) Thật vậy:

Bất đ ẳ n g t h ứ c (1.118) viết d i d n g t n g minh là: Bât đ ă n g t h ứ c (1.118) viêt d i dạnc

I

( Y \ Ỵ ' V r ^ ( 1V ì c r / , y ; + I a uơ : : + i - ( - l ) { a v : : - a ì2

Vữ ::ơ :: J ỉ-

r I

Í _ L J _ y ' A ' / ĩ + ' (« n :: - )

[2 2ơ P

1 J

1 1

í / \

/,/; 1 1 /1 /

» Ơ |7 ; + «||Ơ :: í + õ <TổrHc'::

2 ^ ữ nơ ;; J

>

I

1 _ i /,/: ị- ỉ( /,/: ]• _ Ơ7,72 ơ/-: í /,/;

: - — (7úTp — - — : > — r -~1— : -~z— —

- [ a u : : J 2 '■ l ữ nơ : z ) 2 2 2 { a , , : z ,

X

- a A ^ ~ j: + Z y - + Z f + ị a tìa J - Z £ - r - ị a n \ ị"

2 H o r „ o - , J 2 \ a ua n ) 2 { a r J

ơỵ'ỵ - /y <=> - r ơ,

l

'ù h - j : + £ Z ^ _ Z i + Z ^ > 0

■/ /T 9

o ^ - ( o - - l ) + ^ ( + l)+ i:ỉ >0 Vì ơ > n ên bất đ ẳ n g t h ứ c

(i) Điều kiện cần: Giả s A>0, ta phải c h ứ n g minh s ó n g Rayleigh tồn

duy nh ất hay z 0>

(1.119)

> —

ơ (1.120)

( \

Vì h àm F(z) gián đ o n k h o ả n g I — 1! n én p h n g trình (1.79)

khơng có nghiệm khoảng I — 11, : oỄ ị — Vì r =1 ( d o

u J V cr )

ỵ ±0 ) n ên t s u y Z o >1.

(ii) Điều kiện đủ: Giả s s ó n g mặt Rayleigh tồn n h ấ t môi

t rư n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , nén đ ợ c , có biến d n g t r c ta s ẽ c h ứ n g minh A>0

T he o n h ậ n xét (i) s ó n g Rayleigh tồn môi t r n g đ n hồi đẳng h n g , nén đ ợ c , có biến d n g t r c A * z0 >1

Giả s A<0, từ (1.60) s u y ra:

IV KÉT LUẬN

Xuất p hát t p h n g trình c h u y ể n độ ng điều kiện biên c ủ a toán biến d n g p h ẳ n g b n không gian đ n hồi đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c , có biến d n g trước, t c giả đ ã tìm đ ợ c p h n g trình tán s ắ c só ng Rayleigh mõi t r n g đ n hồi đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c , có biến d ạn g đầu Khi mơi t r n g khơ ng có biến d n g trước, t ứ c Ậ = / = / = I ,

5 1 1 1 1

Mà / s u y z0< , trái với giả thiết z 0> , A>0

u l )

p h n g trinh tán s ắ c đ ã đ ợ c biến đồi t n g đ n g p h n g trình tán s ắ c c ủ a s ó n g Rayleigh c ủ a s ó n g mơi t r n g đ n hồi đ ẳ n g h n g né n đ ợ c m Rayleigh đ ã tìm n ă m 1885

CHƯƠNGII: C S Ở TOÁN HỌC CỦA XẤP x ỉ MALiSCHEVVSKY

I.MỞĐÀU.

Bài to án vê s ự lan truyền s ó n g Rayleigh bề m ặt c ủ a b án không g i a n - đ n hôi m ộ t thàn h t ự u lỗi lạc điểm bật lí thuyết sóng Vận tốc s ó n g Rayleigh c đại lượng c mối q u a n tâm cùa c c n hà ngh iên c ứ u S ó n g siêu âm Địa c h ấ n học c c lĩnh vự c khác n h a u củ a Vật lí, Khoa h ọ c vật liệu Vận tốc s ó n g Rayleigh nghiệm c ủ a p h n g trình b ậ c 3, đ ợ c tìm bời Lord Rayleigh [24] h n kỷ q u a (vào n ă m 1885) Tuy nhiên, g ầ n công th ứ c xác, t h u ậ n tiện đ n giản c ủ a vận tốc s ó n g Rayleigh đ ợ c tìm bời Malischewsky [10], [11], P h a m Chi Vinh O g d e n [20] S ự tồn c ô n g t h ứ c hiển cho vận tốc só n g Rayleigh bán khơng gian có nhiều ứ n g dụng t h ự c tiễn, n h Địa vật lý [26] cho nhiều ứ n g dụng k há c nh au việc kiểm tra tính khơng phá huỷ c ủ a c c vật liệu [12]

Do tính c h ấ t q u a n trọng v ận tốc só n g Rayleigh, trước tìm cơng thức x c đ ầ u tiên (n ăm 2000), c c n h nghiên cứu đ ã tìm s ố cõng thức x ấp xỉ c ủ a d n g đơn giản, d ễ s dụng G ầ n đây, Malischevvsky [12] đ a côn g thức xấp xỉ v ận tốc s ó n g Rayleigh môi t rư n g đ n hồi đ ẳ n g hư ớn g, c c h ệ s ố P o i s s o n r [-1, 0.5], d n h cho c c vật liệu với hệ s ố P oi ss on â m (auxetic materials (xem [29]) n g y c n g s d ụn g rộng rãi Tuy nhiên, c ô n g thức tìm b ằ n g kinh nghiệm

Do việc tìm c s tốn học c h o công t h ứ c c ầ n thiết Chú ý g ầ n đ ây R a h m a n Micheltsch [23] đ a côn g t h ứ c xấp xỉ khác c h o đ o n

[-1 0.5 ] d ự a x ấ p xỉ L a n cz o s [9] Mặc d ầ u cô ng t h ứ c p h ứ c tap h n côn g t h ứ c Malischewsky

II CỔNG THỨC CHỈNH XÁC CÙA VẬN TỐC SÓNG RAYLEIGH

S dụ ng c c kí hiệu c ủ a Malischewsky [11], vận tốc s ó n g Rayleigh đ ợ c biểu diễn n h sa u:

.v<v) = c- p = xl ĩ ỹ ) *(v) = ị[ - \ h Ạ y ) - - ~ 6;/)] (2.1)

3 \ h :Aỵ)

trong đ ó ỵ = ( l - v ) , ( l - v ) = ( a ỳ

/ĩ,( / ) = 3^33 - / + 2l ỵ 2 - / ' , h.(ỵ) = 17 - 45/ -r /7, lỵ) (2.2)

III PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIẺU.

Như đ ã nói trên, ta c ầ n tìm c c cơng t h ứ c xấp xỉ c ủ a vận tốc só n g Rayleigh v(v) v ề mặt tốn học, liên quan tới toán xấp xỉ h àm cho trư ớc , đ ợ c ph t biểu n h sau:

Cho X khơng gian tuyến tính định ch u ẩn r không gian của A' Hãy tìm phần tử g cho:

ở \\ọ\ kí hiệu chuẩn e X Nếu tốn (2.3) có nghiệm phần tử " gọi xấp xỉ tốt f V Nếu r không gian tuyến tính h ữ u h ạn chiều h o ặ c t ập c o m p a c t c ủ a X toán (2.3) cỏ nghiệm (xem [7]) Hơn nữa, A' lã tập lồi ngặt (tức ịọ-ri/ <2 khi 'Ộ' = "iu\ = lvà ọ * l ị / ) và ỉ'lả không gian con tuyến tính h ữ u h ạn chiều c ủ a A'thì tốn (2.3) có nghiệm n h ấ t (xem [7]) Vi

A-(v)có thể xem n h p h ầ n t củ a không gian I?[a,b], ( - < C < < 5)

nên ta xét t r n g h ợ p x= I? \a ,b }. Nhắc lại L:\a.b) không gian t u y ế n tính định c h u ẩ n , c h u ẩ n c ủ a đ ợ c xá c định n h sa u:

f - g < Ự - h với /7 € V (2.3)

I '2

(2.4)

Cho ỉ tập c on c ủ a z.; [<7.ỏ] với h àm ch o t r c € L'\fi.b\. xác định hàm g e l '

s a o cho: j I / < v ) - ể ( v ) ] ; ũV = f [ / ( v ) - / j ( v ) ] : rfv (2.5)

P h n g trình (2.5) biểu diễn nguy ên lý bình p h n g tối thiểu Đại lượng %/(/7) / ( /7) đ ợ c xác định bời

/ ( /1) = J [ / ( v ) - / j ( v ) ] : í/v , h £ V (2.6) được gọi độ lệch c ủ a hàm h so với hàm f đoạn [í/.í>l ho ặc khoảng cách g i ũ a / v h L: [c:.b\. Đẳng t h ứ c (2.5) x ấp xỉ tốt

g(v) (nếu tồn tại) làm ch o phiếm h àm (2.6) c ự c tiểu Đại lượng / = ■x'ỉ(g)>'(b-a) đư ợc gọi sai số trung bình cùa nghiệm xấp xỉ e(v)của tốn (2.5) [ct.b]. Vi khơng gian Hilbert n ê n lồi ngặt (xem [7]) Do tốn (2.5) có nghiệm trường hợp r một không gian hữu hạn chiều L:[a.b] Tập V e L-[a.b] chọn cho ơ(v) có dạng đơn giản Vì đa thức xem xét hàm đ n giản nh ất nên ( t h n g đ ợ c chọn tập c ủ a c c đ a t h ứ c có bậ c khơng lớn h n /7-1 khơng gian tuyến tính c ủ a L: [a.b] với số chiều n Nếu r m ột khơng gian tuyến tính h ữ u h ạn chiều với c s

k ị v ) h ( V ( v ) , đ ể giải toán (2.5) ta biểu diễn /j(v)như tổ hợp

tuyến tính h.(v).h:(v) h„(v):

/;(v) = Ẹ^í7,/;,(v) (2.7)

Khi /(/;) trở th n h h m cù a n biến a r a : a„ toán (2.5) d ẫ n đ ến một hệ n phương trình tuyến tính a ,.a : a, hệ có nghiêm

duy Trong trường hợp V tập compact cÙBỪ[a.b\ , ví dụ I bao

gồ m c c h m có d n g s au :

/ỉ(v v) = X íỉ<0’)/ỉ,(v) v.v e[a.ị ] (2.8)

trong lĩ (v)là c c p h ầ n t cho t rư c c ủ a Z.; [í7.ị ] c (r) c c h m khả vi t heo [ỡ.ố] Khi phiếm hà m I(h) trờ thàn h h m khả vi c ủ a biến y k h o ản g đ óng đạt giá trị nhỏ n h ấ t [íT/.ị], toán (2.5) d ẫ n đ ến việc giải p h n g trình (nói chung phi tuyến):

Dấu p h ẩ y đ ây kí hiệu đ o h m c ấ p

IV c SỜ TOÁN HỌC CỦA CÔNG THỨC XÁP x ỉ MALISCHEVVSKY

N h đ ã biết, b ằ n g việc t h đá nh giá sai số Malischevvsky [12 ] tìm đ ợ c cơng t h ứ c x ấ p xỉ c ủ a vận tốc s ó n g Rayleigh kh o ản g r e

[-1.0.5] n h sau:

x j y ) = 0.874 + 0.196v- 0.043v: - 0.055v5 (2.10)

Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu trình bày trên, ta đưa c s t oán học c ho x ấp xỉ Do x ấp xỉ (2.10) thu đ ợ c b ằ n g cách khai triển Taylor h m ,r(v), xác định (2.1), đ ế n b ậ c ba giá trị

V = 0.12 , bằng p h n g pháp thử, đ n h giá sai số cho thấy: số đ a t h ứ c b ậ c n h ậ n đ ợ c bằn g c ác h khai triển v(v) thàn h chuỗi Taylor đến b ậ c c c giá trị v e [-1.0.5], x j v ) lệch so với hàm.YM) đoạn [-1.0.5], nên nói số đa thức này, A \ ( v ) là xấp xỉ

tốt c ủ a h àm ,v(v) đ o n [-1.0.5] Điều n ày có ngh ĩa v,.(v)là

nghiệm tốn (2.5) đó: / ( v ) = A'(v), a = - \ b = 0.5 V tập

cá c p h ầ n tử h ( v y)có d n g sau:

với v e [-1.0.5] xem tham số V ■ íV) kí

hiệu đ o h m b ậ c k c ủ a .v(y) theo y Dễ d n g t hấy rằng, trư ng hợp này, I' tập compact L:[-1,0.5] Các phần tử có dạng (2.11) Khi h(v.y) x c đ ị n h từ (2.11), phiế m h àm / (/ í ) t r t h n h h m

biến V kí hiệu I(y) T (2.1), (2.2), (2.6) (2.11) dễ dàng thấy / ( v) một hàm khả vi theo biến V đoạn [-1.0.5], và có giá trị nhỏ nhắt đoạn này.

/ ( V ) = , V E (a b) (2.9)

^ ( V - V ) (2.11)

S dụng (2.1) (2.6) (2.11) có:

I i y ) = l f , ( y ) (2.12)

trong đó:

/ ( y ) = [,v,; (,v)]: [ ( - v ) ’ - ( l - v ) ’ Ị 252

/ ; (.V) = [.Y : ( v)]: [ ( - v ) - ‘ — (1 — > )? ] '

f } ( } ’) = [-Y,: (v)]: [(0.5-.v)- - ( - >•)• ]

/ 4( v ) = 3[.vfv)]: / 2

/ , ( V) = V : (y ) x ( v)[(0.5 - V)■ - (1 - V)’ ] 36

/ Ạ y ) = -V : ( v).r ■ ( v ) [ ( ->•)■' -ỉ- (1 -ỉ- y ) ?] 15

/ (V) = x ( y ) x ( v)[(0.5 - V)4 -(1 + V)4 /12]

f t ( v) = X ( v)[w V — 3m, \'Z -r 3n i.y - m. ]

/ , ( v ) = Y (,v).r : ( v)[(0.5 - _v)J - (1 - y Y ] '4

) = v( r).v,: ( v)[(0.5- v)? - ( - v): ]

/ n ( v ) = -V (y){2m.y - m : - m y - )

/,;(.v ) = x( v).r(,)(y)[(0.5 - v ): - (1 + v ) ; ] f , ( y ) = x " ' ( y ) ( m y - m )

f (y) = -2m-xịy) / A y ) = m. (2 )

m = | v'.v(v)í/v, / = 0,1,2.3 m = j[-x(v)]: dv

Để tìm giá trị nhỏ n h ấ t c ủ a h m / ( v ) đ o n c o m p a c t ị -1.0.5], c h ú n g ta phải tìm c c ểm tới h n c ủ a h m / ( v ) ( c c nghi ệm c ủ a p h n g trinh

/ ’(y) = 0) k h o ả n g m (-1.0.5), s a u s o s n h c c giá trị c ủ a /( v)tại c c giá trị n y với / ( - ) / (0 5) T (2.12), (2.13) c h ú n g ta cỏ:

M v) = £ ọ,0') (2.14)

I đó:

<P\ (>’) = -V ■ (y).Y (y)[(0.5 - V)' - (1 -r >■)' ] '126 — [x':"( v)]: [(0.5 - y ỹ - (1 - y )' ] 36

ọ Ạ y ì = \ : ( r).v : ( v)[(0.5 - y ) - ( - V)5] 10 — [.V - ( y ) ] : [(0.5 - v r - (1 - y ý] 4

o,(.v) = 2.v (v).v : ( v ) [ ( - V)' - ( - I ; ] - [ v ( v)]: [ ( - y ) : — (1 - V) : ] o,(y) = 3.y( v)x ( v)

c ụ V) = [.Y : (VU-J l.v)-r(.r ■ (V)): J(0.5-.V)4 - < - v ) ’ ] / - v : (y).Y ■(!)[( 0.5 - y ý - (1 - 1 )f ]

<p60 ) = [.V1 (v).v" (V) + x'-'(y)x': (y)Ị(.0.5 - v)5 + (1 -H y ỹ]/l5 -x"J(v).Y; (v)[<0.5 - VIJ - (1 - V f ] 3

ơ-(.v) = Ị.v(y >.Y ■ (_v)-r.Y : (y).v,:' (_v)J(0.5- v)4 - (1 - v)4] ’12-.Y(_v).Y : ( Vi[i0.5 - V) - l i - V) ]

0 8( v ) = v ■(y)ịm,r:' - w , v : + /n , V - m. ) / + V ? (v){3m v : - m y - 3nu) /

ọ Ạ v ) = [.V I r).Y ■’ ( v ) — r ) Ỳ ]Ị( 0.5 — y ỳ - (1 - v ý ]' - Y ( V).Y : (y)[(0.5 - VI - (1 - y) ]

<P|0 (.V) = [ , - ( y ) v ' 5’ ( v ) - r " ’ ( y ) r ' 2' ( y ) ] [ ( - v ỵ - ( -í- v) ; ] ' - y( v ) v , : i ( v ) [ ( - v ) : - ( - v ) : ]

ợ n ( V) = Y •• ( v ) ( - m 0y 2) + 2x''-(y)(mt - m y )

£>,,(v) = [.v(v).v': ; (_v) + (.v“ ' ( v ) ) : ] [ ( - v ) : - ( - v ) : ] - v ( v).Y' ( V) , ( | , ’) = y ' : ' ( v ) ( w V - m ] ) + w í 0.x “ ) ( v )

<P\Ay) - (2.15)

S d ụ n g (2.1), (2.2) (2.14), (2.15) c h o việc giải s ố p h n g trình / ( v) = k h o ả n g (-1.0.5) c h ú n g ta tìm đ ợ c n g h i ệ m s au:

/ ( - l ì = 0.00072 /(0 ) = 0.0052

T ta t hấy y, giá trị làm cho h m / ( v ) đ t giá trị bé n h ấ t đ o n [-1.0.5] Th a y

V = r = 0.10644 v o (2.11) có:

g ( V ) = /;( V V) = 7 - 0.19 v - v : - 9 v : (2.16) T (2.10) (2.16) ta t h ấ y rằng: ,Y (v).efv) h ầ u n h đ n g n h ấ t h o n tồn Vì vậy, xấp xỉ Malischevvsky (2.10) cỏ t hể x e m n h x ấ p xỉ tốt vận tốc s ó n g Rayl ei gh t rong khoả n g [-1.0.5], t heo nghĩ a bình p h n g tối thiểu, t ập c o m p a c t V đ ợ c chì

V KÉT LUẬN

Bằng p h n g p h p bình p h n g tối thiểu, đ ã xấp xỉ Mal i schewsky có t hể x e m n h x ấp xỉ tốt c vậ n tốc s ó n g Rayl ei gh đ o n [-1.0.5], t h e o n g h ĩ a bình p h n g tối thiểu, c c khai triển h m Taỵlor c ủ a h m .VI v) đ ế n b ậ c c c giá trị V s [-1.0.5]

/(V.) = 8.9*10'° /( v ; ) = 3.85*10'f / ( V; ) = 1.81*10'

C H Ư Ơ N G III: S ự P H Ả N XẠ, K HÚ C XẠ C Ù A S Ó N G S H ĐỐI VỚI BI ÊN C Ó Đ ộ NHÁM C A O

I.MỜĐÀU

N g h i ê n c ứ u t o n t r u y ề n s ó n g t r o n g môi t r n g đ n hồi c ó ý n g h ĩ a t h ự c t ế to l n C c k ết q u ả n g h i ê n c ứ u c ủ a n ó đ ợ c p d ụ n g t r o n g n h i ề u lĩnh v ự c k h c n h a u c ủ a k h o a h ọ c kĩ t h u ậ t

T r o n g Đị a C h ấ n Họ c , x u n g đ ợ c t o r a t p h n g p h p nổ mì n t r o n g c c hố khoan, q trình lan truyền sóng thu đ ợ c qua cá c thiết bị đo C c s ố liệu t h u đ ợ c đ e m p h ả n t í ch, s o s n h , c h o p h é p ta x c đị nh đ ợ c s ự p h â n l p c ủ a c c l ớp đ ấ t đ , x c đị nh đ ợ c b ề d y c ủ a t n g l ớp Q u a đ ó x c đ ị n h đ ợ c đị a t ầ n g , khu v ự c c ầ n n g h i ê n c ứ u

T r o n g c ô n g v i ệ c t ì m k i ế m v t h ă m dò k h o n g s ả n v i ệ c p h ả n t í ch v s o s n h p h ổ c ủ a c c q u t r ì nh t r u y ề n s ó n g c h o p h é p x c đị nh vị trí c c t h â n q u ặ n g n ằ m s â u t r o n g l òng đ ấ t Q u a đ ó c ó t h ể x c đị nh p h m vi p h â n bố c ủ a m ỏ q u ặ n g , p h ụ c vụ tốt c h o c ô n g t c đ i ề u t k h ả o s t

T r o n g lĩnh v ự c đ ộ n g l ự c h ọ c c õ n g t rì nh, n g h i ê n c ứ u q u t rì nh lan truyền sóng c c kết cấu nhằm phát khuyết tật kết c ấ u b ê n t r o n g c ô n g t r ì nh T đ ó c ó c c bi ệ n p h p x lí kịp t hời n h ằ m đ ả m b ả o a n t o n c h o c c c ô n g t r ì nh t r c đ a v o s d ụ n g

T r o n g c h ế t o c ũ n g n h l ắ p đ ặ t c ấ u ki ện, b ằ n g p h n g p h p s ó n g s i ê u â m c ỏ t h ể x c đị nh đ ợ c c h ấ t l ợ n g c ủ a mối h n chị u lực c c k h u y ế t t ậ t t r o n g q u t r ì nh gi a c õ n g c h ế t o

T r o n g x â y d ự n g c n g t rì nh, đ ể đ n h gi c h ấ t l ợ n g c c công

r ất t ốn k é m D ự a v o n g u y ê n li t r u y ề n s ó n g t r o n g c c môi t r n g đ n hồi c ó t h ể k i ể m t đ n h g i c h ấ t l ợ n g c c c ô n g t ri nh, x c đị nh t r n g t hái ứ n g s u ấ t t r c , b ằ n g v i ệ c đ o t ố c đ ộ l an t r u y ề n c ủ a s ó n g P h n g p h p n y đ a n g đ ợ c p d ụ n g r ộ n g rãi t r o n g t h ự c tế v đ ợ c gọi p h n g p h p k h ô n g p h hủy

T r o n g lĩnh v ự c n ề n m ó n g , b ằ n g p h n g p h p t r ê n c ó t h ể x c đị nh đ ợ c c h i ề u s â u c ủ a m ó n g , m ỏ đ u n đ n hồi c ủ a v ậ t liệu thi c ô n g x c đ ị n h đ ợ c k h ả n ă n g c h ị u tải c ủ a m ó n g c n g t r ì nh

N h v ậ y , v i ệ c n g h i ê n c ứ u c c t o n t r u y ề n s ó n g t r o n g môi t r n g đ n hồi c ó n h i ề u ý n g h ĩ a t h ự c t i ễn r ấ t c ầ n đ ợ c n g h i ê n c ứ u

T r o n g s ố c c t o n t r u y ề n s ó n g , t o n p h n xạ, k h ú c xạ c ủ a s ó n g đ n hồi đổi với c c bi ê n h a y b i ê n p h â n c h i a r ấ t q u a n t r ọ n g P h ầ n l ớn c c n g h i ê n c ứ u xét s ự p h ả n xạ k h ú c x c ủ a s ó n g đ n hồi b i ê n h a y bi ên p h â n c h i a p h ẳ n g ( x e m c h ẳ n g hạn: [1 ] [4]) G ầ n đ â y c ó m ộ t s ố c n g t r ì nh n g h i ê n c u s ự p h ả n xạ k h ú c x c ủ a s ó n g đ n hồi b i ê n ( h a y b i ê n p h â n c h i a ) c o n g , t u ầ n h o n , c ó b i ê n đ ộ n h ỏ h n n h i ề u s o với c h u ki, c h ẳ n g h n [5] [8] [27]

Tu y n h i ê n , t r o n g t h ự c t ế x u ấ t h i ệ n c c b i ê n ( h a y b i ê n p h â n c h i a ) c o n g , t u ầ n h o n , t r o n g c h u kì n h ỏ h n n h i ề u s o với bi ê n độ T a gọi n h ữ n g b i ê n ( h a y b i ê n p h â n c h i a ) n h v ậ y b i ê n ( h a y bi ên p h â n c h i a ) c ó độ n h m c a o Do v ậ y v i ệ c n g h i ê n c ứ u c c t o n p h ả n xạ k h ú c xạ c ủ a s ó n g đ n hồi bi ên ( h a y b i ê n p h â n c h i a ) c ó đ ộ n h m c a o h ế t s ứ c c ầ n t hi ết K h o l u ậ n n g h i ê n c ứ u s ự p h ả n xạ k h ú c x c ủ a s ố n g S H b i ê n ( h a y bi ên p h â n c h i a ) t h u ộ c loại n y

C h n g n y g m hai ph ằ n:

P h ầ n I: Bi ê n, b i ê n p h â n c h i a cỏ đ ộ n h m c a o v p h n g t rì nh t h u ầ n n h ẩ t h o

Khái n i ệ m b i ê n , b i ê n p h â n c h i a đ ợ c đ ị n h n g h ĩ a m ộ t c c h c h í n h x c Một t o n b i ê n đ ợ c p h t b i ể u c h o m i ề n g m hai mi ề n

c o n đ ợ c p h â n c h i a b i b i ê n c ó đ ộ n h m c a o h o ặ c c h o m ộ t m i ề n c ó b i ê n với đ ộ n h m c a o Áp d ụ n g c c kĩ t h u ậ t c ủ a p h n g p h p t h u ầ n n h ấ t h o [2], c c p h n g t r ì nh t h u ầ n n h ấ t h o đ ã đ ợ c d ẫ n C h ú ý r ằ n g t o n b i ê n đ ợ c p h t bi ểu t r o n g c h n g n y m ò h i n h c ủ a n h i ề u t o n t h ự c tế

P h ầ n II: S ự p h ả n xạ k h ú c xạ c ủ a s ó n g SH b i ê n bi ên p h â n c h i a c ố đ ộ n h m c a o

S ự p h ả n xạ k h ú c x c ủ a s ó n g S H bi ê n, b ỉ ê n p h ả n c h i a c ó độ n h m c a o d ẫ n đ ế n t o n b i ê n n ê u t r o n g phầ n I Do v i ệ c t i m h ệ s ố p h ả n xạ k h ú c x c ủ a s ó n g SH đ a đ ế n v i ệ c tim n g h i ệ m c ủ a p h n g t r ì nh t h u ầ n n h ấ t h o t n g ứ n g

II B I Ê N P H Â N C H I A H A Y B I Ê N C Ó Đ ộ N H Á M C A O V À P H Ư Ơ N G T RÌ N H T H U À N N H Á T H O Á

1 B I Ê N P H Â N C H I A V À B I Ê N C Ó Đ ộ N H Á M C A O

Gi ả s m ặ t p h ẳ n g x o z đ ợ c p h â n c h i a t h n h hai m i ề n D D

bởi đ n g c o n g L c ó p h n g t ri nh: z = h ( x / £ ) t r o n g đ ố h h m t u ầ n h o n , c h u kì 1, £ m ộ t t h a m s ố d n g Gi ả s g i trị l ớn n h ấ t c ù a h v gi trị n h ỏ n h ấ t c ủ a h - A : - A < h < n h t r ê n H

' "

H Í ICII J ' l m t clu.1 c o ' l o I ili n n i v >

Nế u ch ỉ q u a n t â m đ ế n m ộ t b n k h ô n g g i a n , c h ẳ n g h n b n k h ô n g g i a n D , đ n g c o n g L được gọi là biên c ó đ ộ n h m c a o cùa D_.

2 BÀI TOÁN BIÊN

Gi ả s m ặ t p h ẳ n g x o z đ ợ c c h i a t h n h hai m i ề n D_.D_ bời bi ên p h â n c h i a L: = h ( x / f ) c ó đ ộ n h m c a o , n h m ô t ả t r ê n H.1

Xé t t o n b i ê n : Tì m U(x, z) x c đị nh t r o n g m ặ t p h ẳ n g xoz t h o ả m ã n p h n g t r ì n h :

(Ơ.L'x )x - ( Ơ L ' ) - Ả.u = / ( X.r) r hịx s) (3.1)

và đ i ề u ki ện b i ê n s a u :

[£/] = [ơU„]= : = h{x,£) (3 2)

t r o n g đố:

/._.CT (-V.r) e D (: > h{x £))

ơ./ = < ’ ( )

/._.o _ (.V.I) e D _ ( r < h { x £•))

ơ_.ơ c c h ằ n g s ố , f(x, z) m ộ t h m s ố c h o t r c , kí h i ệ u [ơ] c h ỉ b c n h ả y c ủ a h m ợ = ợ (x -) q u a đ n g c o n g L t h e o h n g p h p t u y ế n , ọ n c h ỉ đ o h m c ủ a h m ọ t h e o h n g p h p t u y ế n ri c ủ a đ n g c o n g L, x e m H.1

cụ cọ

ợ, = — o. = —

ẽ x ■ c :

T n g t ự, t a x ét t o n b i ê n t r ê n b n k h õ n g g i a n D n h s a u : Ti m h m U(x, z), ( x i ) e D _ s a o c h o :

(ơ_.ưx )x - (ơ _ ư: ) - Ả_.u = f ( x z ) với : > h(x s) ( 3)

và đ i ề u ki ện b i ê n s a u :

u „ = v i : = h ( x / e ) ( 4)

N g h i ệ m c ủ a t o n ( 1) , ( 2) h a y ( 3) , ( 4) rõ r n g p h ụ t h u ộ c v o t h a m s ố f Vì g i ả t h i ế t £ - « n ê n t a m u ố n bi ết d n g đ i ệ u c ủ a n g h i ệ m £ —> 0:

C',u’ = limỢ

£-*0

N g h i ệ m Lnữ' đ ợ c gọi x ấ p xỉ b ậ c k h ô n g c ủ a n g h i ệ m c h í n h x c u h a y c ò n gọi “n g h i ệ m t h u ầ n n h ấ t h o ” c ủ a t o n b i ê n (3 1) (3 2) ( h a y (3 3), ( 4)) P h n g t rì nh x c đ ị n h C' đ ợ c gọi “p h n g trì nh t h u ầ n n h ấ t h o "

Mụ c t i c ủ a m ụ c II d ẫ n c c p h n g tri nh t h u ầ n n h ấ t h o c ủ a c c p h n g t r ì nh ( 1) , ( 3) v c c đ i ề u kiện b i ê n t h u ầ n n h ấ t h o t n g n g

3 P H Ư Ơ N G T R Ì N H T H U À N N H Á T H O Á ĐỐI VỚ I BI ÊN P H À N C H I A C Ó Đ ộ N H Á M C A O

Xé t t o n (3 1) , (3 2)

Đ a v o b i ế n m i V = x i s T h e o B e n s s o u s a n , Li ons, P a p a n i c o l a o u

[2] cỏ thể x e m u n h h m c ủ a c c biến: X, y, z , £ t ứ c là:

L \ x z s ) = u{x y : £ )

khi đó:

Ux = ux - s V ( 5)

ờ đ â y : ợ v = - J—

cy T h a y ( 5) v o ( 1) t a có:

£': (ƠM, ) , T £~'.(ơ.ux), - e~l(ơ.uy)x +{ơ.ux)x -{ơ.u )_ - Âu = /

v ới z ị h (y) ( 6)

T ( a ) s u y ra:

[íí] = với z = h(y) ( 7)

Gọi /;r , 11. c c t h n h p h ầ n c ủ a v e c t p h p t u y ế n n ( c ủ a đ n g

* c o n g L) t r ê n ox, oz Vì đ n g c o n g L c ó p h n g t r ì nh hịx £ ) - : = ()

n ê n :

n x = h x = £ • " ' h y , > ỉ = - ỉ ( )

C h ú ý đ ế n ( ) t ( ) t a có:

Ịcr(f': .hy Mv - E ~ :.hy Mx- z ọ j = = h(y) (3.10)

V ậ y h m u ( x , y , z , f ) n g h i ệ m c ủ a t o n (3 6) , ( 7) , ( )

Do đ n g c o n g L t u ầ n h o n t h e o b i ế n y c h u kì 1, t h e o B e n s s o u s a n Li ons P a p a n i c o l a o u [2], t a gi ả t hi ế t u h m t u ầ n h o n t h e o bi ế n y

v i c hu kì Vi £ tham s ố bé , nên giả thiết u c ó thề khai

t ri ển d i d n g s a u :

U(x.y.:,s) = «l0l(.v.y.ĩ) + ff.K(l,(.T v r) + - ( f : ) ( 1 )

Trong u ' ữ' u ' h u c c hàm tuần hoàn theo biến y với chu kì M ụ c đ i c h c c h ú n g ta x c định p h n g trình đối v i xấ p xỉ b ậ c Không u

T h a y ( 1 ) v o ( 6) , (3 7) , ( ) t a có

- £~' -T £.(ơ.u'x2’ ), +

- £~'.(ơ m ['")x +£°.(ơ .iỢ ) x -i- e.(ơ.ii'}2')x

( u " ) - S Á Ơ I Ì: ' ), - £ (ơ .ii[2 ' ) -

(ơ.li'/'') £.(ơ.u'}'): s z {ơ.li}')

 u ' r' s Ả n ' u £ ỳ.Mr ' = f Với z * h ( y ) ( )

[ H ,ù'(.v.v.r) + ff.i/",(.'c.v.z) + f f V :’í.r.v,z)] =0 với z=h(y) (3.13)

ạ.(e-2Ạ + e~'Ạ■< + +e~'Ạ < 0> +

+ £ ữ.h> + e.h} u';' - «;°’ - s mỊ" - s 2.uỊ2)\= z = h ( y ) ( )

Đ n g n hấ t hệ s ố c ủ a e " 1 (3.12) (3.14) hệ s ố c ủ a € trong (3.13) có:

(< J < , với z r h(y) ( ) [í/'0'] =0 [ơ.iC ] =0 với z = h ( y ) ( )

V i c h ú ý ỉí'"'(y-!-l)= u "■( V ) từ (3.15) dễ d n g c h ứ n g minh đ ợ c k h ô n g p h ụ t h u ộ c v o b i ế n y t ứ c lả :

u ' = u"h {x.z) ( )

Khi đ ó ( ) t ự đ ộ n g t h o ả m ã n

S o s n h c c h ệ s ố c ủ a s~ t r o n g ( 12) , ( ) c ủ a £1 t r o n g ( ) d ẫ n đ ế n t o n u "' n h s a u :

(ơ.u,:') = —(C7 //_■' ') — Iơ n ), với z ị h(y) ( ) [í<"']=0; Ịí7(h) ! 't «;Ji ) ] = với z = h(y) ( ) Là m t n g t ự n h t r ê n c c h ệ s ố c ủ a e° t r o n g ( ) , ( ) c ủ a c c h ệ s ố c ủ a £2 t r o n g ( ) ta đ ợ c t o n

II : ' : ị u , : ) -(Ơ\ZÍT: '), = ) x - ( Ơ U ) x - ( ơ mỊ0 , )_ - ?.ù - f ( x z )

với z ị h(y) ( )

[ » ' : , ]=0; + Ạ X 1' - « Ị 0Ỉ)] =0 với z = h(y) ( ) Đ ể giải t o n ( ) , ( ) , ta đ a v o h m V đ ợ c đ ị n h n g h ĩ a n h s a u :

y.ux =ỉi" - v.:/'v ( 2 )

Đ o h m hai v ế ( 2 ) t h e o y với c h ú ý u'°' = u 'l ,( x i) t a đ ợ c :

Vv.«ì°' ( )

N h â n hai v ế ( ) với ơ đ o h m hai v ế h ệ t h ứ c n h ậ n đ ợ c t h e o y d ẫ n đ ế n :

(ơ.v,.)l H;0, = ( M;,,) l ^ ( « i 0,) l ( ) T ( ) v ( ) với c h ú ý (ơ.it\°')x = (do II s v ) s u y r a :

(ơ.vv) , = với z * h ( y )

T ( 2 ) s u y ra:

d o [v]=0:[i, ' : j = ( đ i ề u ki ện ( a ) ) T ( 23) :

ơ \\ ơ ịiỢ -u'xồ}).1 Oi s u y ra:

[cr.v,,] = —'— Ơ{U - u ) T h e o ( b ) :

ơ.ịit - 11. )j=0 nên ta có: Ịcr.v j=0

Vậ y V n g h i ệ m c ủ a t o n s a u :

(CT.V.) = với z ị h(y) ( )

[v] =0 ; [ơ.y. ] =0 với z = h(y) ( )

t ( ) , ( b ) t a t h ấ y ơ.v £ y liên t ụ c t r ê n b i ê n p h â n c h i a L S a u n y t a s ẽ c h ứ n g m i n h đ ợ c r ằ n g ơ.\\. Ễ.V, đ ó t a c ó t h ể v i ết :

ơ.v. = <7,(r) (3.27)

Đ ể x c đị nh cr.(r) t a đ a v o hai h m m i Vị(r), v , ( r ) t r o n g đ ó v , ( r ) y ; (r) hai h m n g ợ c c ủ a h m z =h(y) H m v, (r) h m t ă n g t y , = r = tới Vị = Vị(—.-í) I = - A v h m v; ( r ) l h m t ă n g t y A - A ) = v,í-.-í) tới y , ( ) = 1, z t ă n g t -A tới

I

**[

hự}

H C.ic hãm I1SUOC hên hicii ph.in clun

Từ (3.27) ta có:

ơ A z )

Vv = ^ ì r - ( )

c

Tí c h p h â n ( ) d ọ c t h e o đ n g t h ẳ n g z = c o n s t ( - A < z < 0) t \ đ ế n V £ [vj y,] d ẫ n đ ế n :

c r ( r )

v(.Y.y.r) = v(.Y.v; r ) - - ( V - V | ) v i 1- <y h ( y ) < z < ( )

ơ _

Tí ch p h â n ( ) d ọ c t h e o đ n g t h ẳ n g z = c o n s t t Vj đ ế n

y e [y; Vj - 1] v c h ú ý đ ế n đ i ề u ki ện liên t ụ c ( a ) s u y ra:

/ >_ , \ ƠẢ ~ ) cr.fr)

v(X.y z ) = v(.V._v, : ) ỉ — ( \\_ - y.) ỉ— ! - ( y - y )

<7- ơ

với ,v; < y < V, - ; - A < z < h(y) ( )

Vì h m t u ầ n h o n t h e o b i ế n y với c h u kì 1, n ê n t ( 2 ) s u y

v(v, - 1) = V(V|) +1 ( )

T ( 29) ( ) ( ) t a đ ợ c c ô n g t h ứ c x c đ ị n h <7,(r) n h s a u :

< r , W Í ’ -(-') ~ ’,|<rt- l ~ k (*) ~-r|(I>1ì" (3.32)

\ ơ- ơ_ J

C ô n g t h ứ c ( ) k h ẳ n g đị nh ơ e(z) k h ô n g p h ụ t h u ộ c v o X n h đ ã nói t r ê n T ( 2 ) s u y ra:

Hl h(.Y v r ) = ( v - ( 3 )

T r lại t o n ( ) , ( ) u'-'. Ta s ẽ t í ch p h â n t h e o y p h n g t r ì nh ( ) d ọ c t h e o đ n g t h ẳ n g z = c o n s t t y =0 đ ế n y=1 T đ i ề u ki ện liên t ụ c ( ) v c c k ết q u ả t h u đ ợ c t r ẽ n ta s ẽ đ ợ c p h n g t rì nh nl0>(x.z). Đó c h í n h p h n g t rì nh t h u ầ n n h ấ t h o c ầ n tìm

T r c h ế t t ( 3 ) t a cỏ:

nỊu = (vv — l).ííj0> suy ra: ơ.uỊ'' = (ơe(z)-ơ).u'x01 hay:

T= B

trong đó: T = ị ( ù ^ + 11;')y dy

0

B= j [ - ( ơ.u\:’ )t - ( i Ợ ) x - (ơ.uỊữ' ) - Ã.li'" - f \ ỉ y (')

Dễ d n g t h ấ y r ằ n g

f( ơ.uỊũ' ) dy = :-ơ).u'l'

0

' \ ; ù (>'d y = A M ' 0'

0

Ị f ( x z ) d y = f ( x , z )

0

t r o n g đ ó :

ơ_.z >0

ơ ! = < Ơ_.I < -.4

cr_[y,(r) - y , ( r ) ] + ơ_\ị -t \-ị(-) - v; (r)Ị-.-J < - <

í /._.!>

’■/.'■ = ị - A

./._[v,(z)-v1(x)]+Â.[l+ v ,(r)- v: (z)Ị-/J < I < 0

T h a y ( ) v o ( ) v s d ụ n g k ết q u ả ( ) t a có:

B = -C7eự U ^ +(Ả).uị0> - f ( x z )

rõ r n g :

T - (Ơ.ĨI ~' +ơ.u 'll) : -r(ơ.ỉt\2' -f ơ.KiU) : -h(cr.z/‘2 - u ['l>) t ứ c

0 * ' ly, * ■ ì

V-T = ơ.lt

1

Mặ t k h c t h e o ( b ) :

( )

(3.36)

( )

( a )

(3.38 b)

(3.38C)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

- h ' ; =' p " -

k],: -»Ị01 W L

Ạ, < V ,) l i Ạy : )

1 Av(y,) /?, ( v: )

nên: T = (ơ_ - _ )(

Ị _ Ị _

M V ; ) / ỉ , ( V ị )

-— -, — )•»-'' / , ’; ) / j , ( V | ) T h e o ( ) với -A < z < t a có:

ơ I = (ơ_ — <J_ ) [ v ( r ) — V| ( r ) ] + ơ _

(3.43)

d i ]

s u y ra: — — = (<7_- C _ ) (

Li- /ỉ, ( y : (r)) /ỉr (_v,u))

Kết h ợ p ( ) ( 4 ) t a đ ợ c :

( 4 )

T =d(o)

cì: .11(0* ( )

T h a y ( ) , ( ) v o ( ) t a t h u đ ợ c p h n g t r ì nh s a u :

.11.' ì - ỉ/.).u'0) = /'(.x.z) với -A< z <0 ( ) Đó c h í n h p h n g t r i n h t h u ầ n n h ấ t h o c ầ n tìm R õ r n g T = với z > h o ặ c z <-A :

, 1 _ : >

ơ , ( z ) = <7 = < nê n t ( ) ( ) ta CÓ:

Ơ _ z < - A

ơ ù ^ - ù ỉ ị ' - á m"" = f ( x : ) với z > h o ặ c z <-A ( ) N h v ậ y t a t h u đ ợ c k ế t q u ả s a u :

Gi ả s U(x, z £ ) t h o ả m ã n (3 1) , ( 2) t r o n g đ ó ơ.?. đ ợ c x c đị nh (*) v h(y) h m k h ả vi, t u ầ n h o n với c h u kì mi n h(y) =-A (A>0), m a x h(y) =0

Gi ả s r ằ n g U ( x , z , £ - ) = u ( x , y , z , £ - ) t r o n g đ ó u t u ầ n h o n t h e o y với c h u kì c ó d n g khai t r i ể n t i ệ m c ậ n ( 1 ) Khi ỉí'°'(.v.z) k h n g p h ụ t h u ộ c v o y v n g h i ệ m c ủ a t o n s a u :

ơ .u'1' + ơ— XV .í/'0' - / — z z — M t0i = f J z >

ơ_.u'2' - ơ_.Iiì -Ả_.u = f : < ~ A

u '° ', (ơ).uỊ0) l iên t ụ c t r ê n z =0 Z=-A

T r o n g đ ó Ơ Ạ : ) x c đ ị n h b i ( ) , ' G , / đ ợ c t í nh bời

( ) , ( )

4 P H Ư Ơ N G T R Ì N H T H U À N N H Á T H O Á ĐÓI VỚI B I Ê N C Ó Đ ộ N H Á M C A O

T r o n g p h ầ n n y t a x é t t o n b i ê n ( 3) , ( 4) t r o n g bi ên k h ô n g g i a n D_ ( H ) với b i ê n L c ố đ ộ n h m c a o C ũ n g n h p h ầ n m ụ c đ í c h c ủ a p h ầ n n y d ẫ n v ề p h n g t rì nh t h u ầ n n h ấ t h o c ủ a t o n b i ê n ( 3) , ( ) Đ ể đ t đ ợ c k ết q u ả , t a t i ến h n h t n g t ự n h p h ầ n t r ê n

(3.48;

H Bíétì co il«> nh.1111 C3«>

Bài t o n b i ê n ( ) , ( ) đ ợ c p h t b i ể u n h s a u : Tì m h m U(x, z) (.Y.r)e D_ s a o c h o :

ịơ _ x )x -r ( _ u ) z — /,_.u — : > h(x s)

u „ = r = /?(;X s )

Gi ả s U( x, z, £r ) = u ( x , y , z , £ ) t r o n g đ ó u h m t u ầ n h o n t h e o y c h u ki Khi đó, t n g t ự n h p h ầ n t a c ũ n g c ó p h n g t r ì nh (3 6) với z > h(y) v :

£ ~'~.hy.uy - £~].hy nx - u = , z = h ( y ) ( )

Gi ả s r ằ n g u(x y, z e ) có khai t r i ển t i ệ m c ậ n ( 1 ) t r o n g đ ó

u .11 .11 c c h m t u â n h o n t h e o y c h u kì T i ế n h n h t n g t ự n h p h ầ n t r ẽ n t a c ũ n g có:

Bài t o n K'°'

“ Ắ = r > / í ( v ) ( )

It, = z = h ( y ) ( )

Bài t o n u• I'

= : > h ( y ) ( )

= z = h(y) ( )

Bài t o n u'2 : I/12' t h o ả m ã n p h n g t r ì nh ( ) với đ i ề u ki ện bi ên s a u :

/ĩy.uỊ2> +hyMịxu = 0, z = h(y) ( )

T ( ) ( ) d ễ d n g s u y r a r ằ n g u'°' Ể V, t ứ c là:

u"-" = " ( x z) z > h(y) ( 5 )

Tí ch p h â n t h e o y t y, đ ế n V € [ v l?v; ] v s d ụ n g đ i ề u ki ệ n b i ê n ( 53) c h o ta:

» " ’ = ( v , - y ) » f + M" ’(.v.y,.r) h ( y < : < 0) ( ) N h p h ầ n t r ê n , t a đ ị n h n g h ĩ a ơ Ạ : ) n h s a u :

ỉ / 1 T V lí*

<T,(z) = <7.(- + > “* ), = ^ ( - ^ ) ( )

T ( ) , ( ) s u y ra:

c r t, ( j ) = - z < ( )

Ti ế p t h e o , t í ch p h â n v ế ( ) t h e o y t V, đ ế n V , d ọ c t h e o đ n g

t h ẳ n g z = c o n s t ( - A < I < ) v c h ú ý đ ế n ( ) , t n g t ự n h p h ầ n

t a c ũ n g cỏ: T = ii[01 - ^ - ( )

cỉz

t r o n g đó: (cr) = [_\-2 — >•,Jơ-+ - A < z < ( ) B c ũ n g đ ợ c x c đ ị n h b i ( ) t r o n g đ ó cr,(r) = 0, s ố h n g

Do vậ y p h n g t r ì n h t h u ầ n n h ấ t h o t o n b i ê n ( 3), ( 4) c ó d n g n h s a u :

( ơ !.U; ) - Â_.u ° '.( y - y , ) = /,[ y ; - V| ] - Ả < z < (3.61) N h v ậ y t a t h u đ ợ c k ế t q u ả s a u :

Gi ả s U(x z e ) t h o ả m ã n ( ) , ( ) v U ( x : s ) = u ( x y : s ) t r ong đ ó u h m t u ầ n h o n t h e o y c h u kì c ó khai t r i ển t i ệ m c ậ n

( 11) Khi đ ó u ( x r ) n g h i ệ m c ủ a t o n s a u : - _ u l ' -ỹ._.u'0> = f z >

I c .1 li /■(!•,- V |) - A < z < (3.62)

u , 11. liên t ụ c z =0

hỊ0)= z=-A

5 T R Ư Ờ N G H Ợ P B I Ê N P H Â N C H I A ( H A Y B IÊ N ) C Ĩ D Ạ N G HÌNH R Ă N G C Ư A

Đ â y t r n g h ợ p h a y g ặ p v c ó n h i ề u ứ n g d ụ n g t r o n g t h ự c tế Gi ả s m ặ t p h ẳ n g ( x o z ) đ ợ c p h â n c h i a đ n g c o n g L có đ ộ n h m c a o , c ó d n g h ì n h r ă n g c a n h m ô t ả t r ê n h ì n h v ẽ H

i ỉ C4 A ■ p—

b '

H Eién pli.il) clun có <1.1112 liuilì lànạ CU.1

Vì đ n g c o n g h ì n h r ă n g c a k h ô n g p h ả i m ộ t t r n g h ợ p r i ê n g c ủ a l p c c đ n g c o n g ( k h ả vi) đ ợ c k h ả o s t c c p h ầ n

t r ê n, n ê n k ế t q u ả c ủ a p h ầ n n y k h ô n g n h ậ n đ ợ c m ộ t c c h t r ự c t i ép t c c k ế t q u ả c ủ a p h ầ n Do v ậ y , c ầ n x é t r i ê n g t r n g h ợ p Tu y v ậ y , n h s ẽ t h ấ y d i đ â y p h ầ n l ớn n h ữ n g l ập l u ậ n t r o n g p h ầ n v ẫ n c ò n đ ú n g , c h ỉ t h a y đổi m ộ t s ố đ i ể m Vì c ầ n t ì m p h n g t ri nh t h u ầ n n h ấ t h o t r o n g d ải - A < z <0 n ê n t r o n g c c l ập l u ậ n s a u ta c hì q u a n t â m đ ế n dải - A < z <0 Với c h ú ý t h a y c h o ( 8) t a có:

nx = // = ( )

Khi t h a y c h o ( ) t a s d ụ n g đ i ề u ki ện:

[<7.(£‘: ỉí,, - £ ~ \ u x )j= v = v , ( r ) i =1 ( )

t r on g đó: v,(r) = ——- V-U) = l a b c c h ằ n g s ố ( x e m H 4) C h ủ ý a - b

r ằ n g , m ộ t c c h h i n h t h ứ c c ó t h ể x e m ( ) n h ậ n đ ợ c t ( ) b ằ n g c c h c h o h =1 11. =

T i ế p t h e o , s d ụ n g k h a i t r i ển t i ệm c ậ n ( 1 ) d ẫ n đ ế n c c t o n II , II1 II1 c c tốn u . 1 1' không

đổi, v ẫ n c ó d n g t n g ứ n g ( ) , ( ) ; ( 18), ( ) Đối với I Í :

p h n g t r ì nh ( ) v đ i ề u ki ện ( a ) v ẫ n đ ợ c s d ụ n g , t r o ng đ ó đ i ề u ki ện ( 21 b) đ ợ c t h a y :

[a(ỉ;;: ' j j = y = v.(r) i = ( )

C h ú ý r ằ n g ( ) đ ợ c s u y r a t ( 21 b) m ộ t c c h h ì n h t h ứ c b ằ n g c c h đ ặ t /; = I , u. ' =

N h v ậ y c c l ập l u ậ n v k ế t q u ả liên q u a n đ ế n u i f v ẫ n c ò n n g u y ê n gi trị, c h ẳ n g h n : u'ữ)= u l0'(.x.i) ( ể v ) ơ, ( : ) đ c x c đị nh ( ) với c h ú ý: v , ( - ) - v , ( r ) h ằ n g s ố , d o v ậ y ơ Ạ z ) c ũ n g h ằ n g s ố k h ô n g p h ụ t h u ộ c v o z

n ê n c ũ n g đ ợ c x c đ ị n h b i ( ) , t r o n g đó: ơ /. đ ợ c x c đị nh bời ( ) , ( ) với c h ú ý :

v , ( r ) ~ y , ( r ) = — ; Do T= B n ê n t a t hu đ c p h n g t r ì nh s a u : a - b

ơ u\ị - Ơ-.UỈỊ' - / .ú'" = ĩ' ( )

Ị a ( a - b ) b ( a - r b ) \ '

t r ong đó: ơ e = \ - - ~ — — ( 6 )

1 <7- ơ - 1

/ \ b _ a _ , , N b.Â_ a.À_

( ) = — - + - ^ ^ = +

ci + b a + b a + b a ^ r b

Đó c h í n h p h n g t r ì n h t h u ầ n n h ấ t h o c ầ n tìm t r n g h ợ p bi ên p h â n c h i a c ó d n g h ì n h r ă n g c a

N h vậy, b i ê n p h â n c h i a h ì n h r ă n g c a có đ ộ n h m c a o t o n t h u ầ n n h ấ t h o c ó d n g s a u :

-ơ_.u'.v = / , z >

ơ .11 - ơ).K::' m' = f -A< <

( )

cj_.iC = / , z < -A

, ơ).uỊ° liên t ụ c z = 0, z =-A

t r o n g đó: <7., (cr), (/.' đ ợ c x c đ ị n h bời ( 6 )

H o n t o n t n g t ự t o n t h u ầ n n h ấ t h o b i ê n h i n h r ă n g c a c ó đ ộ n h m c a o là:

z >

ơ _ u f - / _ u ịữ' = f , -A< z <

( ) Hl0), l iên t ụ c z =

ỉ/Ị0)=O z =-A

III.sự P HÀN X Ạ V À K H Ú C X Ạ C Ù A S Ó N G SH ĐÓI VỚI BIÊN P HÂ N CHIA H O Ặ C BIÊN C Ó Đ ộ NH Á M C A O

1.ĐẶT BÀI T O Á N

X é t k h ô n g g i a n vố h n o x Y z g m hai b n k h ô n g g i a n đ n hồi £>_ Ò_ đ ợ c p h â n c h i a bời m ặ t s c ó p h n g t r ì nh z = h ( x / f ) t r o n g đ ó h t u ầ n h o n t h e o b i ế n y= x l £ với c h u kì Kí h i ệ u D_ D L h ì n h c h i ế u v u n g g ó c c ù a £>_, £>_, s lên m ặ t p h ẳ n g xoz Khi đ ó t r o n g m ặ t p h ẳ n g x o z D_ ( b n k h ô n g g i a n t r ê n ) v D _ ( b n k h ô n g g i a n d i ) đ ợ c p h ả n c h i a bời đ n g c o n g L c ó p h n g t r ì n h z = h(y) ( x e m H 5) Gi ả t h i ế t L !à đ n g c o n g có đ ộ n h m c a o t ứ c

0 < £ « 1

Gi ả s mơi t r n g đ ẳ n g h n g , n é n đ ợ c , đ ặ c t r n g h ằ n g s ố L a m é ụ v m ậ t đ ộ khối l ợ n g p \

\n_.p_ (.v.z) e D_

,u.p = < ( )

■ //_ p _ (x.z)e D _

là c c h ằ n g s ố

N h đ ã bi ết c c t h n h p h ầ n c h u y ể n d ị c h c ủ a s ó n g S H c ó d n g :

ux = u : = Hy =1/5*0, ù = ũ(x.:.t) ( )

Do lĩ £}' n ê n c h ỉ c ầ n q u a n t â m đ ế n m ặ t p h ẳ n g x o z

Giả s b n k h ô n g gi an c h o s ố n g tới SH c ó biên độ đ n vị:

ĩiZ = exp./.(Ẩ’_ Y.sin9 - K _ : c o s ỡ — co.t) (3.69)

t r o n g đó: 9 g ó c t ới , co t ầ n s ố s ó n g ( c h o I

t r c ) , Ẳ ' = — , c , _ = í— ( x e m H 5)

Bài t o n đ ặ t là:

Bà i t o n 1: H ã y n g h i ê n c ứ u s ự p h ả n x , k h ú c x c ủ a s ó n g tới ( ) b i ê n p h â n c h i a L c ó đ ộ n h m c a o

N ế u mõi t r n g c h ỉ g m b n k h ô n g g i a n D_ c ó t o n s a u :

Bài t o n 2: H ã y k h ả o x t s ự p h ả n x c ủ a s ó n g tới ( ) b i ê n L c ó đ ộ n h m c a o

2 P H Ư Ơ N G T R Ì N H V À Đ I È U K I Ệ N B IÊ N

T h a y ( ) v o p h n g t r ì nh c h u y ể n đ ộ n g L a m é c h u y ể n dị ch [6] ta đ ợ c p h n g t r ì nh s a u ìt(x.z.i):

(,Ị.i.ủx )x - ( Li.il.) - p ^ ị - - * K y ) (3.72)

ẽt

T ( ) d ễ t h ấ y r ằ n g c c t h n h p h ầ n k h c k h ô n g c ủ a t e n x ứ n g s u ấ t là:

ơ x) = jLi.il x , ơ y = jLi.ù. ( )

Kí h i ệ u n v e c t p h p t u y ế n c ủ a L đ i ể m M ( H ) G ọ i v é c t ứ n g s u ấ t t i ết d i ệ n c ó v é c t p h p t u y ế n Ĩĩ v q u a đ i ể m M C c t h n h p h ầ n c ủ a n ỏ t r ê n o x , o Y , o z t n g ứ n g là: X v Z > - Z - - •

T ( ) v i c h ú ý n(nx.0.n: ), xx= :: = x: = v ( ) t a có:

Ỵ J x = xxJtx + xzJìz =

£ = ơ s ,nx + ơ :: n. = ( )

X y — ơ rì J X Ơ ;Y J1: - .u -ùx -n x — M-Ù; J1; =

Do v e c t ^ „ p h ả i liên t ụ c t r ê n L n ê n s u y ra:

[.“ ■» ]= : = h ị y ) (3.75)

N g o i r a // p h ả i liên t ụ c t r ê n L n ê n :

[«] = =h(y) ( )

V ậ y ù p h ả i t h o ả m ã n p h n g t rì nh ( ) v c c đ i ề u ki ện liên t ụ c ( 75) , ( )

Do s ó n g S H đ i ề u h o t h e o t hời g i a n n ê n ta tìm ũ d i d n g s a u :

ù = U( X z £ ) i \ ỹ ( - i c o j) ( 7 )

T h a y ( 7 ) v o ( ) , ( ) , ( ) t a có:

(,u.ưx )x -r (ụ.u.). + p.a- JU = 0 — h(y) ( 3 . 7 8 )

[C’] = 0, [ í/.ơ j = : = h ( y ) (3.79)

Bài t o n ( ) , ( ) c h í n h t o n b i ê n (3 1) , ( ) t r o n g đ ó <7 đ ợ c t h a y bời ụ , đ ợ c t h a y bời p o r v / ( T : ) s O

N h t o n d ẫ n đ ế n t o n b i ê n ( 8) ( )

Một c c h t n g t ự, d ễ d n g t h ấ y r ằ n g t o n d ẫ n đ ế n t o n bi ên s a u :

Ti m h m U ( x , z £ ) t h o ả m ã n p h n g trì nh:

( , L ’ t ) r - ( / / _ .u -) + p_ (:ỷ.u = 0, : > h ( v ) ( 3 . 8 0 )

và đ i ề u ki ện bi ê n: u „ = , : = hịy) ( )

C h ú ý r ằ n g ( ) s u y t đ i ề u kiện t ự d o ứ n g s u ấ t t r ê n m ă t b i ê n L ( X > = ° t r ê n b i ê n *-)■

P h n g t r ì nh ( ) c h í n h p h n g t r ì nh ( 3) t r o n g đ ó ơ_ đ ợ c t h a y bời ụ_ , đ ợ c t h a y p_.coz v f =

3 P H Ư Ơ N G T R Ì N H T H U À N N H Á T H O Á

N h đ ã nói t r ê n , c c t o n v d ẫ n đ ế n c c t o n b i ê n ( 1) ( ) v ( 3) , ( ) đ ợ c n g h i ê n c ứ u t r o n g m ụ c I

Do gi ả t hi ết đ n g c o n g L c ó đ ộ n h m c a o ( £ « ) t h a y c h o v i ệ c t i m n g h i ệ m c h í n h x c u{x.:.£), t a t ì m n g h i ệ m x ấ p xì b ậ c k h n g

u"u (x.z) c ủ a Đ ể t i ệ n c h o v i ệ c t r ì nh b y t n a y v ề s a u ta viết u( x z) t h a y c h o u (.Y.r) n ế u k h ô n g g â y s ự n h ầ m l ẫn n o

T h e o c c kết q u ả m ụ c I t n g ứ n g với t o n t a c ó t o n t h u ầ n n h ấ t s a u :

Bài tốn : Tì m u ( x z ) s a o c h o :

T n g t ự, t n g ứ n g với t o n t a c ó t o n t h u ầ n n h ấ t n h

Khi đ n g c o n g L c ó d n g h ì n h r ă n g c a , c c t o n t h u ầ n n h ấ t h o t n g ứ n g với c c t o n 1, là:

líxx ~ 11 :z ~ K - ' li - .->0

Lí - (• // .11.)_ - p XO 11 = - A < z < 0 ( )

u „ - lí - K'_.u = 0 r < - A

II, \ u .u. liên t ụ c z =0 z =-A ( )

t r ong đó:

( )

( )

( )

s a u :

Bài tốn 2°: Tì m h m u( x, z ) t h o ả m ã n p h n g t r ì nh s a u : ỉlxx - ll_ -r Kz.ll = - > 0

( { / / } » - ) - + p _ ĩ ĩt{ y2 - , V | ] = - A < z <

v c c đ i ề u ki ện b i ê n s a u :

II, u liên t ụ c z =0

.->0

( 8 ) ( ) ( )

Bài t o n 1.: Tì m h m u ( x, z ) n g h i ệ m c ủ a c c p h n g t rì nh:

t‘X' + u - + K : u = 0 r > 0

Ví u „ + ( t i ' j i ~ + ( p ' đ 2.u = - A < ĩ < 0 (3.90)

11XX ~ 11 - - K z it = : < - A

và t h o ả m ã n c c đ i ề u ki ện liên t ụ c z =0 z =-A

II, U M liên t ụ c z =0 z =-A ( )

t r o n g đó:

a (a - b) b ( a- b)

/', = - — -■ ( )

.u -

M-(fi} = — ( p) = —^— (b.p^+a.p_) ( )

a + b a+ b

Ch ú ỷ r ằ n g , t r o n g t r n g h ợ p //,, (//' , ; p c c h ằ n g s ố Bài t o n 2?: Ti m h m u( x, z) n g h i ệ m c ủ a h ệ s a u :

11XX + 11:: + K Ì - U — : >

II -T K l 11 = - A < z < 0 ( )

II, 11. liên t ụ c z =0 ( )

11. = z =-A ( )

N h ậ n x é t :

về m ặ t c h ọ c , v i ệ c t h a y thế t o n 1 t o n 1 có n g h ĩ a là: t h a y t h ế m ộ t mỏi t r n g vô h n g m hai b n k h ô n g g i a n , đ ợ c p h â n c h i a m ộ t đ n g c o n g c ó đ ộ n h m c a o , b ằ n g mộ t mỏi t r n g g m mộ t l p v ậ t liệu n ằ m g i ữ a hai b n k h ô n g g i a n với c c b i ên p h â n c h i a p h ẳ n g

T n g t ự , t h a y t h ế b i t o n t o n 2fl c ỏ n g h ĩ a : t h a y t h ế m ộ t b n k h ô n g g i a n c ó b i ê n đ n g c o n g c ó đ ộ n h m c a o b ằ n g m ộ t môi t r n g g m m ộ t l p v ậ t liệu đ ặ t t r ê n b n k h ô n g g i a n với bi ê n v b i ê n p h â n c h i a p h ẳ n g

4 S ự P HÀN XẠ, K H Ú C X Ạ C Ủ A S Ó N G SH ĐỐI VỚI BIÊN P HÀ N CHIA C Ó D Ạ NG HÌNH R Ă N G C Ư A

Tại x ấ p xỉ b ậ c k h ô n g , t o n đ ợ c đ a v ề t o n t h u ầ n n h ấ t h o 1?: t i m u ( x z ) t h o m ã n h ệ ( 90) , ( ) v ề m ặ t c ơ h ọ c t h a y t o n p h ả n xạ k h ú c x bi ên c ó đ ộ n h m c a o , t a xé t s ự p h n xạ k h ú c xạ c ủ a s ó n g tới ( ) m ộ t l ớp v ậ t liệu ( t r ự c h n g ) m c c b i ê n p h ả n c h i a p h ẳ n g

( x e m H 6)

""•-V

ũ

I M w 1°)

Lì_U-L_L-1

- ủ >,

<x \

H ó Su p h ã a xa khúc xo cun s õ n S H đoi YÓ1 lũ]> Y.it lieu

Dễ d n g t h ấ y r ằ n g s ó n g p h ả n xạ u? v s ó n g k h ú c xạ II c ố d n g s a u ( c h ú n g t h o ả m ã n ( a ) v ( c ) ) :

U n = c e r £ ệ_ = K^.cosO ( )

ỉ / '= W el,;\ e " ' í' , ặ _ =K_ c osa ( )

a đ ợ c gọi g ó c k h ú c xạ, c , w c c h ằ n g s ố c ầ n x c đị nh, đ ợ c gọi h ệ s ố p h ả n x , k h ú c x ( c ủ a s ó n g tới ( 71) )

C h ú ý r ằ n g :

ặ = K_.s i n6 = K s i nơ. ( 9 )

N h v ậ y , t r n g c h u y ể n d ị c h u c ủ a b n k h ô n g g i a n t r ê n D,

u ' = u - - u ' ? = e iX {C.e: : - e " - - : ) ( 0 ) T ( 0 ) s u y ra:

ụ_.u': = i u _ ị e 'i x (C.e‘ỉ- z ) ( 1 )

C h ú ý đ ế n ( ) t a có:

= - i u J _ \ X é ỉ \ ( )

T r lại p h n g t r ì nh ( b ) , t a t ì m n g h i ệ m c ủ a d i d n g :

u = B.e'} : é ỉx

T h a y ( ) v o ( b ) d ẫ n đ ế n :

- ui ệ - ụ ./} - p .(■)' = s u y ra:

( )

({p).a- -

-<//>

( )

( )

( ) Do n g h i ệ m t ổ n g q u t c ủ a ( 2 b ) là:

u = ( ổ| e ■ -r , Ể?~'; ' ).e' T ( Đề đ n g i ả n t a vi ết / t h a y c h o /.0) T ( ) s u y ra:

- B 2.e-‘' : ).e‘ỉx

N g h i ệ m c ầ n t ì m c ủ a t o n 1;’ p h ả i t h o ả m ã n đ i ề u ki ện liên t ục ( 91) T i n h đ ế n ( 0 ) , ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) t ( ) t a t hu đ ợ c p h n g t r ì n h s a u đ ể x c đị nh ẩ n s ố:

B , - B , = c T 1

B - B, = ỉ±ậ=£ ? *

-Ằ{ụ) / (/ù)

Bve~‘J A + B2.eUA - W ei/- /J =

B:.e"-'-A - B 2.eU A + ^ ặ ^ W.í- ' < =

( )

w 1 , z/ i_ x 1 // c_

Đ ặ t Í7, = ^ + - T Ỹ ) ữ2 = - ^ ( l —^ ^ - )

2 /.{;/) 2 /.{//)

T hai p h n g t r ì nh đ ầ u c ủ a ( ) t a có:

Bx = a z -ravc , B: = o , - a z.C ( ) T h a y ( ) v o p h n g t r ì n h c uối c ủ a ( ) d ẫ n đ ế n :

(ar e - ' ;- A + a 2.e';- A) C - \ \ \ e ' - - = - ( a ì e';-A - a z.e-:

( ứ , A - o 2.e‘Ả • ) C - ' : \v = a ế' ■ ■ - a z.e' ’■ (3 )

T h ệ ( ) t a t h u đ ợ c c c c ô n g t h ứ c s a u đ ể t í nh h ệ s ố p h ả n xạ c , h ệ s ố k h ú c xạ W:

C = ( 1 )

- /7.Ợ

W = H £ l £ d ( 1 )

r.m - n.q

t r o n g đó: m = c i ị e " ' A - a-.e‘:'-A, n = - e ' ỉ- A ( 1 a )

p = -(ciị.e'}"A - a,.e~‘;' *) , q = ( í | e " ' J -ci-.e' ' ') ( 1 b )

/' = ,z;~ r ~ .e: ■- A s = a , £ : ' A - a z.e~ ' ' ( 1 c )

5 S ự P H À N X Ạ C Ù A S Ó N G S H ĐỐI VỚI B I Ê N HỈNH R Ă N G C Ư A C Ỏ ĐỌ N H Á M C A O

T r lại t o n 2: Xé t s ự p h ả n x c ủ a s ó n g tới S H ( ) bi ên L c ủ a b n k h ô n g g i a n D_ (H 1), h ì n h r ă n g c a c ỏ đ ộ n h m c a o

N h đ ã nói t r ê n ( p h ầ n 3, m ụ c II), x ấ p xỉ b ậ c k h ô n g , t o n d ẫ n đ ế n t o n t h u ầ n n h ấ t h o 2? N g h i ệ m c ủ a nỏ t h o ả m ã n p h n g t r ì nh ( a ) , ( b ) v c c đ i ề u ki ện b i ê n ( ) ( 96)

v ề m ặ t c h ọ c , b n k h ô n g g i a n với bi ê n L c ỏ đ ộ n h m c a o đ ợ c t h a y t h ế ( g ầ n đ ú n g ) m ộ t l ớp v ậ t liệu t r ự c h n g đ ặ t t r ê n bá n k hô ng g i a n c ũ n g kí hi ệu với c c biên p h â n c h i a h a y biên là p h ẳ n g ( x e m H 7)

H " L\'1> vát lieu il.ir íièn bân khonỊ ,111 co hien ph.iiụ

N h vậy, t o n 2l) t o n s ự p h ả n x c ủ a s ố n g tới ( ) m ộ t l ớp v ậ t liệu

T n g t ự n h p h ầ n t r ê n , s ó n g p h ả n x Up c ũ n g đ ợ c x c đị nh bời ( ) Do v ậ y t r n g c h u y ể n d ị c h t r o n g b n k h ô n g g i a n D_

đ ợ c t í nh bời ( 0 ) T ( 0 ) s u y ra:

u: — i.g_.e‘' 'x.(C.e‘ : )

c hệ s ố ( h ằ n g s ố ) p h ả n x c ầ n x c đị n h T a t ì m n g h i ệ m c ủ a ( b ) d i d n g :

u = B.e‘ỉ x e‘ :

T h a y ( 1 ) v o ( b ) s u y r a\/ = ±K_

Do v ậ y , l ớp v ậ t liệu, t r n g c h u y ể n dị ch là:

( 1 )

( 1 ) ( 1 )

u = (Br e ' K- : + B 2.e-'K -).e‘ỉx

T ( 1 ) t a có:

11 = i.K_ịB\.e' K" - B-,.e )-e'

( 1 )

( 1 ) T ( 0 ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) v c c đ i ề u k i ệ n b i ê n ( ) ( ) ta t hu đ ợ c h ệ p h n g t rì nh s a u ẩ n s ố :

B , + B = C +

< B , - B = ( C -D c o s ổ ( 1 )

với c c b i ê n p h ả n c h i a đ ề u p h ẳ n g Bải t o n đ ợ c đ a v ề t o n

phản xạ, khúc xạ sóng tới SH (3.71) lớp vật liệu có

c c b i ê n đ ề u p h ẳ n g v ề m ặ t t o n h ọ c , t a p h ả i giải t o n t h u ầ n n h ấ t h o : t r o n g đ ó u ( x z ) t h o ả m ã n c c p h n g t r ì n h ( a ) ( b ) , (3 c ) v c c đ i ề u ki ện b i ê n ( 83)

T n g t ự n h p h ầ n IV s ó n g p h ả n xạ s ó n g k h ú c xạ đ ợ c x c đị nh bời ( ) ( ) , t r o n g đ ó c w là h ệ s ố p h ả n xạ h ệ s ố k h ú c x c ầ n t i m

T r n g c h u y ể n d ị c h c ủ a b n k h ô n g g i a n D_.D_ đ ợ c t í nh bời ( 0 ) ( ) c h ú n g t h o ả m ã n ( a ) , ( c ) Đ ể x c đị nh c c h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c x c v w ta c ầ n t ì m n g h i ệ m c ủ a p h n g t ri nh ( b )

K h c với t r n g h ợ p b i ê n p h â n c h i a h ì n h r ă n g c a ( p h ầ n m ụ c III) t r o n g t r n g h ợ p c h u n g , L có h ì n h d n g t u ỳ ý ( t r ong mộ t c h u kì) c c h ệ s ố c ủ a p h n g t r i nh ( b ) Không phải c c h ằ n g s ố , c h ú n g c c h m s ố c ủ a z Do vậ y, nói c h u n g t a k h ô n g tim đ ợ c n g h i ệ m c h í n h x c ( d i d n g b i ể u t h ứ c giải t í ch) T a s ẽ t ìm n g h i ệ m x ấ p xỉ c ủ a

Đ ể c ó t h ể s d ụ n g đ ợ c c c k ết q u ả t r o n g [20] t a đ a g ố c t o đ ộ v ề đ y d i c ủ a l ớp t ứ c l p v ậ t liệu t n g ứ n g với < r < -I

b n k h ô n g g i a n t r ê n D_ t n g ứ n g với mi ề n : z >A Ti m n g h i ệ m u ( x , z ) c ủ a ( b ) d i d n g :

T h a y ( ) v o ( b ) t a có p h n g t r ì nh s a u đ ể x c đ ị n h v ( r ) :

II = v(r).exp(/.c v) ( )

( 2 ) Đ ặ t V, = y = V

Khi đ ó t ( 2 ) , ( ) t a c ó h ệ p h n g t r ì nh s a u :

( )

( )

(3.125)

[ ] kí h i ệ u m a t r ậ n c h ỉ m a t r ậ n c h u y ề n vị T c c đ i ề u ki ện liên t ục:

ỉ m ) = z í ( ) , LI u](ồ) = Lt 11.(0) ( t i = )

i t ~( A) = u ( A ) , u_,u~: (.-!) = ■ LI 11.( ) (tại Z=A) (3 26)

s u y ra:

( )

Y(A) = \ ~ - C e x p('-?- •'*)]]

exp(-/.c_ ,A) + C. exp( i.ặ_ A)

N h v ậ y , t o n d ẫ n đ ế n v i ệ c giải h ệ ( ) với đ i ề u ki ện bi ên ( )

T h e o [ 22] t a t ì m n g h i ệ m x ấ p xỉ c ủ a ( ) ( ) n h s a u : Ch i a [0 4] t h n h N đ o n b ằ n g n h a u c ố độ dài Ổ = A \ c c đ i ể m c hi a r„ ( n = N + 1, r, = 0 r v | = A ). S a u đ ó tìm n g h i ệ m liên t ụ c c ủ a

Với đ i ề u ki ện b i ê n ( ) t r o n g đ ỏ Y , c , w t h a y f c w c h ú ý r ằ n g :

hệ:

^ - = A(zn).Ỹ = An.Ỹ ( n = N)

d: ( )

An = Ẩ( zn) = const với z n < z < z n_t (n = N) v.c. w c c g i trị g ầ n đ ú n g c ủ a Y , c , w .

T h e o [22] t a c ó k ết q u ả s a u : L N g h i ệ m c ủ a ( ) là:

( )

Ỹ ( - \ = ^ -/ll+ ^-/l2

_172I+ồ.722

(3.130)

/ i : (r) = H ^ ‘.cosỡ'n - H ZT sinờ': a,. (3.131) = H ^ x o s ỡ ’ - H\l-U an.sin ớ;

/ :2( r)= //Ị" 11 cosớ" —/ / p _1| í7^.sinớ" < r < r , ; ( n = N)

với:

a „ = - [ ụ \ = n ) p ỵ ( )

Pn = í -^(zJ.c: ] / ^ ; ( % )}3

C c t h n h p h ầ n / / " đ ợ c x c đị nh c c c ô n g t h ứ c : a N ế u n = m (n s ố c h ẵ n )

/ / , ” = + (/): - £ ——.sinớ, sinớ^.Ị^Ịcosớ, + -TU Ỷ ” —

/=! / is/ị

—-^-ksinớ, sin#-

Í/ Í/, ứ

/ / } ”' = - ( / ) : ĩ ^ n c o s ớ, - - ( / ) 2m ]T <ị—- : : sin 6^, sin# Ị~[cos6A

/=ì at 1 '=-■

//ír=(/)2ỉ ơ|.sinftncosơ*+ (/)2- X — -— — sin(9, sinớ PỊcosớ.

/=1 k= : < ứ - :

( 3 )

2Hì ộ ,.

H22 - n - s , - (/): X -sinớ, sinớ,, p^cosớ - ~ ( i)2m.

/=1 /•</- ^/j /-/

t r o n g đó: ớ- = £./?Ả

2m ậa, cum ^ n

— ——— — s i n 6 s intì-

a l.ay a2m_ị

b N ế u n = m + ( n s ố lẻ) t a c ỏ c c c ô n g t h ứ c t n g t ự

2 i T h a y ( ) v o đ i ề u ki ện b i ê n ( ) t a t hu đ ợ c h ệ p h n g t rì nh t u y ế n t í nh k h n g t h u ầ n n h ấ t đ ể x c đị nh ẩ n số:

À , ầ c w Gi ải h ệ đ ó t a t hu đ ợ c c c c ô n g t h ứ c s a u x c đ ị n h c c gi trị g ầ n đ ủ n g c ủ a h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c xạ:

C = exp(-2/.í_ -0.[z, + z 2] [ z ,- z 2] ] (3 34 ) \v = 2i.íf // exp( ~ i ệ _ A ) ị z i - Z 2\ '

t r o n g đó:

(3.135) Z =H\Ị'

3 L N g h i ệ m x ấ p xỉ t i ế n đ ế n n g h i ệ m c h í n h x c ổ —> t ứ c là: l i m = r • l i m C = C l i m \ v = w ( ) V ậ y t r o n g t r n g h ợ p c h u n g (L c ó hì nh d n g t uỳ ý), c c gi trị g ầ n đ ú n g c ủ a h ệ s ố p h ả n x ạ, k h ú c x c ủ a s ó n g S H đ ợ c t í nh bời ( ) , ( )

7 S ự P H À N X Ạ C Ù A S Ó N G SH ĐÓI VỚI B I Ê N C Ó Đ ộ N H Á M C A O : T R Ư Ờ N G H Ợ P C H U N G

Xé t t o n t h u ầ n n h ấ t h o 2'J: ( a ) , ( b ) , ( 8 ) ( ) Đó t o n p h ả n x c ủ a s ó n g t ới SH ( ) m ộ t l p v ậ t liệu đ ặ t t r ê n b n k h ô n g g i a n

Khi L c ó h ì n h d n g b ấ t kì p h n g t rì nh ( b ) c ó h ệ s ố t h a y đồi d o v ậ y t a t ì m n g h i ệ m x ấ p xỉ c ủ a t o n t h u ầ n n h ấ t h o T n g t ự n h p h ầ n s d ụ n g c c kết q u ả t r o n g [22] gi trị g ầ n đ ú n g c ủ a h ệ s ố p h ả n x đ ợ c t í nh bời c ô n g t h ứ c s a u :

t r o n g đ ó H)j" đ ợ c x c đ ị n h ( 3 ) IV K É T L U Ậ N

N h v ậ y , c h n g n y đ ã đ ề c ậ p đ ế n hai t o n : Bài t o n 1: S ự p h ả n x ạ, k h ú c x c ủ a s ó n g S H b i ê n p h â n c h i a c ó đ ộ n h m c a o

Bài toán 2: S ự p h ả n x c ủ a s ó n g SH b i ê n c ó đ ộ n h m c a o * về m ặ t t o n h ọ c hai bài t o n n y đ ợ c đ a v ề t o n bi ê n

c a o đ ợ c x ấ p xỉ b i t o n p h ả n xạ k h ú c xạ c ủ a s ó n g SH m ộ t l p v ậ t liệu

C c k ế t q uả c h ín h :

- T c gi ả đ ã t ự d ẫ n p h n g t r ì nh t h u ầ n n h t h o b i ê n ( h o ặ c b i ê n p h â n c h i a ) h ì n h r ă n g c a T r n g h ợ p n y k h ô n g đ ợ c k h ả o s t t r o n g [14] v k h ô n g s u y m ộ t c c h t r ụ c t i ếp t c c k ết q u ả c ù a

- Tì m đ ợ c h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c x c ủ a s ó n g S H b i ê n p h â n c h i a ( h a y b i ê n ) h ì n h r ă n g c a

-Đối với t r n g h ợ p b i ê n t n g q u t , d ự a v o c c k ế t q u ả t r o n g [22] đ ã t ì m đ ợ c c c c ô n g t h ứ c t í nh c c gi trị g ầ n đ ú n g c ủ a h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c x c ủ a s ó n g SH

H n g n g h i ê n c ứ u t i ế p t h e o :

- Ti ế n h n h k h ả o s t c c t r n g h ợ p cụ t h ể v ề d n g đ n g c o n g L T đ ó rút c c kết l u ậ n v ề s ự ả n h h n g c ủ a d n g đ n g c o n g L l ên h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c xạ

- X c đ ị n h c c x ấ p xỉ c a o h n c ủ a h ệ s ố p h ả n xạ, k h ú c x c ủ a s ó n g S H b i ê n ( h a y b i ê n p h â n c h i a ) c ó độ n h m c a o

- M r ộ n g t o n c h o s ó n g hai t h n h p h ầ n

- N g h i ê n c ứ u c c t o n t r u y ề n s ó n g t r o n g m i ề n c ó b i ê n ( h a y bi ên p h â n c h i a ) c ó đ ộ n h m c a o

KẾT LUẬN

Nội d u ng c ủ a đ ề tài là:

1 Tìm c c c n g t hức c ủ a vận tốc s ó n g Rayl ei gh môi trường đ n hồi n é n có biến d n g trước

2 Cơ s t oán h ọ c c ủ a công thức xấ p xỉ Mali schewsky

3 S ự p h ả n xạ, k h ú c xạ c ủ a s ó n g SH biên có đ ộ n h m cao C c kết q u ả c ủ a đ ề tài:

Xây dựng đ ợ c công t hức c vận tốc s óng Rayl ei gh mỏi trường đ n hồi đ ả n g h ớn g né n đ ược có biến d n g trước

- Ch ứn g minh đ ợ c rằng: x ấ p xỉ Malischevvsky x ấ p xỉ tốt c ủ a giá trị x c c ủ a v ậ n t ốc s ó n g Rayleigh t rong không gian I? [-1 0.5] t ập c c khai triển Taylor c ủ a vận tốc s ó n g Rayleigh đ ế n c ấ p ba c c giá trị t huộc đ o n [-1, 0.5]

- Tìm c c h ệ s ố p h ả n xạ, khúc xạ c ủ a s ó n g SH biên có độ n h m cao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J D A c h e n b a c h VVave p r o p a g a t i o n in E l a s t i c S o l i d s Nor t h- Ho l l a n d P u b l i s h i n g C o m p a n y , A m s t e r d a m - N e w Y o r k - O x f o r d 19 [2] A B e n s s o u s a n , J L L i o n s , G P P a p a n i c o l a o u A s y m p t o t i c a n a l y s i s for p e r i o d i c s t r u c t u r e N o r t h - H o l l a n d P u b l i s h i n g C o m p a n y A m s t e r d a m

[3] L Be r g ma n n , Ul t rasoni cs a n d their Scientiíìc a nd Techni cal Appli­ cations, J o h n VViley & S o n s , Ne w York 1948

[4] L M B r e k h o v s k i k h W a v e in l a y e r e d m e d i a N e w York, A c e d e m i c P r e s s ,

[5] G S B r o w n , A s c a t t e r i n g r e s u l t f or r o u g h s u f a c e h a v i n g s ma l l h e i g h t b u t a r b i t r a r y s l o p e , VVave Mot i on, Vo l ( 9 ) No -

[6] D e s t r a d e M.(2003) "Rayleigh w a v e s in s y mme t r y p l a n e s of crystals: explicit s e c u l a r e q u a t i o n s a n d s o m e explicit w a v e s p e e d s " Mech Materials. 35, - 9

[7] Gu n t e r Mei nar dus , Approxi mati on of Functions: Th e o r y a n d Numerical Met hods, Spri nger-Verl ag Berl i n/ Hei del berg/New York, 1967

[8] M A H a w w a , O R A s f a r ? M e c h a n i c a l - W a v e í i ltering in a P e r i o d i c a l l y C o r r u g a t e d E l a s t i c P l a t e

A S M E J V i b A c o u s t V o l 1 ( 9 ) -

[9] C La n c z o s , Applied Anal ysis, Prentice-Hall Inc Ne w Jer s y, 1956

[10 ] Malischevvsky p G (2000) " C o m m e n t to "A n e w í ormul a for velocity of Rayl ei gh w a v e s " by D Nke mzi [ Wave Motion 26 ( 1997) 199-205]" W ave

Motion. 31, 93- 96

[11] Malischevvsky p (2004) "A not e on Rayl ei gh w a v e velocities a s a íunction of t he mat erial p a r a me t e r s " Geotisica Internacional, 43, 507- 509 [12] P.G Mal i schewsky, C o m p a r i s o n of a p p r o x i ma t e d s ol ut i ons for t he P h a s e velocity of Rayl ei gh w a v e s ( C o m m e n t on ‘Cha r a c t e r i z a t i o n of

s u r í a c e d a m a g e vía s u r í a c e a c o u s t i c vvaves'), N a n o t e c h n o l o g y 16 ( 2005) 995 - 996

[13] Muskhelishvili,N.1.(1953) Si ngul ar lntegral Equat i ons Noordhoff- Gr oni ngen

[14] J N e v a r d a n d J B K e l l e r H o m o g e n i z a t i o n of r o u g h b o u n d a r i e s a n d i n t e r í a c e SAM J A p p l M a t h Vo l ( 9 ) No 6 - [15] Nkemzi D (1997) "A n e w í ormula for t he velocity of Rayleih wa v e s "

W a v e Motion, 26, 199-205

[16] O g d e n R w (1984) Non-linear elastic deíormations. Dover publications INC

[17] O g d e n R w a n d P h a m c V (2004) "On Rayl ei gh vvaves in i ncompr ess i bl e ortotropic elastic solids" J.Acoust Soc Am 115(2) 530- 533

[ ] Ph a m c v a n d O g d e n R w (2004) "Fomul a s for t he Rayleigh w a v e s p e e d in orthotropic el asti c solids" Ach.Mech. 56(3) 247- 265

[ ] P h a m Chi Vinh (2004) "On a í ormul a for t he Rayl ei gh w a v e s p e e d in p r e - s t r e s s e d el ast i c solids" P r o c i Nat Conf on Mech Def Bodies.

1009-1018;

[20] P h a m c V a n d Og d e n , R w (2004) "On t or mul as for t he Rayleigh vvaves s p e e d " , W av e Motion. 39, 191-197

[21] P h a m c .V a n d O g d e n R w (2005) "On a ge n e r a l í or mul as for the Rayl ei gh w a v e s p e e d in orthotropic elastic solids" Meccanmca. 40 147-161

[22] P h m Chí V ĩ n h , S ự p h ả n x v k h ú c x c ủ a s ó n g S H l ớp c ó b i ế n d n g b a n đ ầ u k h ô n g t h u ầ n n h ấ t , T p ch í C Học T.VIII ( ) , S ố 3, -

[23] M R a h m a n , T Michelitsch, A not e on t he í ormul a for t he Rayleigh wa v e s p e e d , W a v e Motion ( 2006) 272 - 276

[24] Rayl ei gh L (1885) "On w a v e s p r o p a g a t e d al ong t h e p l a n e s u r í a c e of t he a n el astic solids" Proc Roy Soc London A, 17, 4-11

[26] I.G Roy, Iteratively a d a p t i v e regularization in i nve r s e model i ng with Ba ye s i an outlook appl i cat i on on geophys i c a l dat a, I nve r s e Probl Sci E n g 13 ( 2005) 655 - 670

[27] O C S t i c k l e r , S c a t t e r i n g f r o m a s o f t sl i ght l y r o u g h s u r í a c e W a v e - Mot i on Vol 13 ( 9 ) , No 1 - 2

[28] Ting, T.C.T (2002) "A uniíĩed formalism for el ast ost at i c or s t e a d y State motion of c o m p r e s s i b l e or i ncompr ess i bl e anisotripic el asti c materials"

Int J Solids a n d Structures 39 5427- 5445

[29] w Yang Z.-M Li w Shi B-H Xie, M-B Yang, On auxet i c materỉals J Mater Sci 39 (2004) - 3279

Tun tập cơng trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lằn tltứ

Thái ỈSguyên, 25-26/8/2006

Công thức vận tốc sóng Ravleigh mơi trường đàn hồi đăng hướng, nén được, có bỉên dạng trước

Phạm Chí Vĩnh

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đ H Q G Hà Nội Nguyễn Thị Thu

Tnrờng Đại học Lártì Nghiệp

T ó m tắ t Bài báo nghiên cứu sóng mặt Rayleigh mơi trường đàn hồi đăng hướng, nén ăược, có biến dạng trước Sừ dụng phưomg pháp hàm biến phức, tác giả tìm cơng thức vận ÍOC sóng Rayleigh ưong mơi tncờng đàn đảng hướng, nén được, có biển dạng mcởc Cóng thức nàv cho biết phụ thuộc cùa vận tóc sóng Rayleigh vào tham so vật liệu các tham 50 biến dạng trước Các í óc giả tìm điểu kiện cần đù cho tịn nhát sóng Rayleigh mơi tnrờng đan hồi đắng hướng, nén được, có biến dạng trước.

1 Mở đầu

Sóng mặt Rayleiah môi trườns đàn hồi đẳns hướns nén được Rayleieh [12] nghiên cứu từ thê kỳ qua Kê từ đến nav, sóns mặt Rayleigh môi trườnơ đàn hồi khác đề tài cho nhiều nghiên cứu khoa học, bời nhừnơ ứns dụng to ỉớn cùa nhiều lĩnh vực khác khoa học kỷ thuật như: địa chấn học, vật lý địa câu, khoa học vật liệu cỏns nehệ viễn thông

Đối với sóng mặt Rayleieh, vận tốc sóne đại lượng quan trọnơ Theo Malischewsky [3], vận tốc sóns Rayleish đại lượnơ (a

íundam etal quantily) nhà nehiên cứu ừonơ địa chấn học, vật lý địa cầu

các lĩnh vực khác cùa vật lý quan tâm.

Theo Nkemzi [5], hàm Green nhiều tốn động đàn bán khơng gian có liên quan đến nghiệm cùa phương trình tán sẳc sóng Ravleieh, nên việc tìm cơng thức ( dạng hiên ) vận tốc sóng Ravleieh vừa có ý

nghĩa lý thuyết vừa có ý nehĩa ứng dụng

Đối với môi trường đàn hồi đẳnơ hướne, cỏnơ thức vận tốc sóng Rayleieh được tìm Malischevvky [2], Pham Ogden [8] Đối với vật liệu dị hướne

Công thức vận tóc sóng Rayleigh mơi rrường đàn hồi đãng hướng, nén được, có biến dạng trước

939

x3=0, cơng thức vặn tốc sóna R ayleish tim bời Tina [14], D estrade [1]

Đôi với vặt liệu trực hướng khỏnơ nén được, công thức vận tơc sóng Rayleigh được tim bời Ogden Pham [7] dựa lý thuyểt phươne trình bậc ba Đôi với

vật liệu trực hướng nén được, cơng thức vặn tốc sóns R ayleigh tìm bời Pham Ogden [9, 11] Gần đây, cơng thức vận tốc sóns R avleigh mịi trường đàn đãne hướnơ, khơna nén được, có biển dạne trước tìm bời Pham [10]

M ục đích cùa báo thiết lập cơnơ thức vận tịc sóng R ayỉeigh ong

mơi trườnơ đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước phương pháp sử dụng hàm biến phức.

2 Các phưong trình bản

Xét vật thể đàn hồi đẳnơ hướns nén mà trạng thái tự nhiên ( khơng có ÚT12suất) chiếm bán không sian x z < Giả sử vật chịu biên dạng ban đầu nhất, tức là:

Xj =Xj Xj , x2 =X2X2, x3 = Â3X3 Xi = const,i = 1.2.3 (1)

Sau chịu biến dạn2 ban đầu (1), vật thề chiếm bán khôns gian x2 < Xét chuyển động phẳns ưons mặt phẳns (Xj, x:) với thành phần chuyền dịch sau:

Uj = U i(xj,x2,t),i = 1,2, u3 =0 (2)

ữ o n g t thời gian

Khi bị qua lực khối, phương trinh chuyên dịch [6, 13]:

Aomiu m + A0212iu i.22 + (A-01122 + ^ o :n :)u2.i: = PU1 ( A q j j t ) *f A 0-,112 )Uj 12 + -^01212^ 2.11 "^^02222^2.22 ~ p ^

tro n s p m ật độ khối lượng vật liệu trạng thái ban đầu dấu chấm (trên)

chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chi đạo hàm theo biến không gian (Xj), các thành phần tenxơ hạng bổn Aoyki xác định bời công thức [6, 13]:

940 Pham Chi Vinh, Nguyên Thi Thu

w = W(X1,/.: ,/.3) hàm lượng ưèn đơn vị thề tích, J = /.1/.,/.3. Khi mỏi trường khơng có biến dạng trước, thành phần A^ijkJ ưở thành [6, 13]:

^Oiiii — “i“ u, Aqịi^ — ^

?.,ỊẤ mỏđun đàn hồi vặt liệu.

ứng suất mặt X:=const tính cơng thức [6, 13]:

0*12 ^02121^1.2 ^02112^2.1 » ®22 ^02222 ^2 ■* y^0l!22^l I » ^"3"* = ^ Đê đơn eiản tron 2 trình bày ta sử dụns ký hiệu sau:

&tj ~~ Ạịff (&ỈÌ ~~ Ăqiiị ,&22 = Ăq2222 ’&ĩ2 ~ a l\ =y^OI!i:)

y\ ~ -^01:12»/2 ^02121 ~ ^02112

Khi hệ phươnơ trình (3) trở thành:

^11^1.11 (ữi2 y* )^2.12 “ I

'/lli2.u +aZ2U2.Z2 + (a \2 + ỵ*)u\.\2 = /**:

Từ (6) (7) ứn2 suất mặt x2=const xác định bịri cơna thức: ơ r =

ƠM = + / - W:.1

<72’ = a i:Mi I + a r M2: (9)

Từ điều kiện cần đủ để hệ (8) eliptic mạnh (strongly elliptic) [6]? ta có:

a u > 0,Ơ22 >0,ỵì >0,ỵ2 >0 (10)

3 Phương trình tán sắc

G iả sử sónơ mặt Rayleish truyền theo hướng 0Xi, ta tìm nghiệm hệ (8)

dưới dạng:

lí, = exp[ifax, +i(kxl-Cũt)) 1(2 = A2 exp[/Ảxr, + /'(£*! - Cút)]

trone đó: Ai, A: hàng số, Củ\2i tần số só n e ? k số sóng, s số cần tim

Để trường chuyển dịch sóng Rayleigh tắt dằn theo chiều sảu, tức là:

lim Uị = 0,/ = 1,2 (12)

X I - * - *

Công thức vận tốc sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi đãng hướng, nén được, cỏ biến dạng trước

941

Thay (11) vào (8) ta được

(arn + ỵ s z -pc'-)(yt + a , y - - p c '- ) - ( a v + ỵ ):s2 = ^ c=>cs4 + bsz + a =

ữong đó: c = a =/ ,

a = (au - pc'-){-/\- pc'-)

2ố = a „ ( a 11 - pc'-) + y,(y\ - pc'-)-ị(xxì + y.)1 (15)

Từ(14) ta có: s , v = = jg ìlZ£-klZlÈl (16)

c a2

s - + s '-= _ (ô.;+/ã ): - « r ( g i - p g : ) - y : ( r | - p c : ) (17)

c a 22ỵ2

Dựa vào (13) ta chúng minh vận tốc són2 Rayleigh c thoả bất đẳng thức sau:

0<pc' <mm(ỵ,,au) = ỵl (18)

T phưong trình (14) ta tìm s 1} s2 cho lms,<0 (i= l,2 ) Với Si (i= l,2 ) ta tìm n sh iệm riêng tuơng ứng có dạnơ (1 1) M ột tổ hợp tuyến tính

cùa nghiệm riêng trường chuyên dịch sóns Rayleigh, tức là:

=[Cj exp(iksìx ,) + C2 exp(ifo2Jc2)]exp[i(fc| -ũ)t\

u2 = [q!c J exp(ikSjX2 ) + q2C2 ex p (ik s: x2)]exp[i(kx! — cot] (19)

ưong Ci, c 2 hàns số (được xác định từ điều kiện biên), qi, q: xác

định bời côna thức sau:

(«, - r j ; - p c ’ ) m («„*,■■> (20)

(ar_+ỵ.)sl (ỵĩ + ữ 22si2 - pc )

G iả sử m ặt biên X: tự với ứng suất Khi đó, theo (9) ta có:

ỵ 2ul2 + ỵ.u2 J = x2=0

ỵ 2uỉ + ỵ.u2 ] = x2=0 (2 1)

Đó điều kiện biên để xác định hằne số Ci, c 2. Thay (19) vào điều kiện biên (21) ta có:

[/:^i y• Q Y-'2—^

[2 + a 2lqxsx ]c, + [2 + a 12q2s2 ]c = (22) Đề hệ (22) có nghiệm khơng tầm thườne với Cj, c định thức hệ phải khác không Sau sổ phép biến đổi sử dụng (16), (17), roi giản ước hai vế

942 Pham Chi Vinh, Nguyên Thi Thu

(“ 11 - P c : jỊ?2(y, - p c : ) - y :

J-, ị ỵ ) - [ ( _ 2) 2] I— ——T Ị— — (23)

+ ~ I p22la M - P c J - “ l3 J>/a ll ~ P C VVl - P c = °

v a 22 )

Phưomg trình (23) phương trình tán sắc sóng Rayleiah Ưons mơi trường đàn hỏi đăng hướns, nén được, có biến dạng trước.

4 Cơng thức vận tốc sóng

Đặt x = -àT ; = - > l (24)

pc 6

và ý 6 = Khi (23) có dạng sau: ^(.r) = (25) F(x) = {ơx-\)[(yjz - v : ) . r +

trons đó: Y ỵ 1 , - , - (26)

(— Lí- = - ) : [(<?,,ơ ;: -C íỉ2 ) x - a l2y ^ x - l V - x - l

«11*22

Xét phươnơ trình (25) mặt phẳns phức C: F(z) = (27) F(z) — (ơz — l)[(ỵtỵ2 -ỵ.2)z-ỵj2] +

ơv, V, y - / - / - (28)

( — ) -[(<*,!<*:; -»i ; ) - - g ; ; / iVor-lVT^T

trong yj ƠI - 1, V - — n h n s nhánh hàm bậc hai Khi z e R

(27) trùng với phương trình (25) Phương trình (27) gọi dạng phức phươns trình tán sắc (23) Như chi đây, phương trình (27) chi có một nghiệm nhắt khác — nghiệm thực

ơ

Ta sử dụnơ ký hiệu sau:

I = [ Ị , l ] , S = { z e C , z Ể l } ; JV(z0) = { r e , < | r - r0|< ff} (29)

ơ

trong e sổ dương đủ nhỏ, Zo điểm cùa mặt phang phức c Nếu hàm / ( r ) chinh hình miền Q c c ta viết: / ( z ) € H(Cl).

Từ (28) ta dễ dàng khẳng định hàm F(z) có tính chất sau:

- (/,) F(z)eH(S)

Công thức vận tóc sóng Raỵỉeigh mơi rncờng đàn hịi đảng hướng, nén được, có biên dạng trước

943

(/j) F(z) = 0{r) khiịzỊ->x

(fi) F( z) liên tục ơẻn L từ bén ưái vả từ bên phái với giá trị biên là:

F*(t) = (ơt-l)[(y,y, — y 2)t - y,y2]+ i -H M ỉ_Ị2 | a na ;2 - a l, 2)t -a ,,Y ,Ị

V a 11a 22 )

.Vỡt- lVl - t

F' (t) = (ơt - l)[(y,r2 - Y*2} - YiY; (aua ,, — ot122 )t — ct,,y, Ị(31)

\ crt ìVT7

Đặt:

g(t) =

\_

Vơt — (yI7-> — y• ”Ịt — yJy■> -T- 11 — Ị(ciJIC1 ■>■> — C£p”^ — jjvl — t

_ v a n a 23 / _ Vỡt—TỊ(yịỴ2 - Y• ~ ^ — y y2 ]“ * “ [(a ua :: ~ a i:" )* “ a ::YI]>/l- t

(32)

Khi ta có: g ( t ) = , l + icp(t) v ,; , t e L_

l-cp(t) (33)

trone đó: ọ(t) =

<77,71ì J

- a zzy\j\-t

[ ( r i / : - / - 2) ' - / , / : [jcn-i

(34) F-{t) = g{t)F-(t\teL

Từ (30)-(32) suy ra:

Xét hàm r(z) định nghĩa bời cơng thức: r W « -L jl2 ẵ * í!> 2 m ị t-z

Dễ dàng chứna minh ràne hàm r(z) thỗ mãn tính chất sau: (Y|) r(z)eH (S)

(yj) r(co) = 0

(y 3) r(z) = - ị log(z - - ) + Q0 (z), z € N ( - ) r(z) = n ,( z ) ,z e N (l)

(35)

944 Pham Chi Vinh, Ngưy en Thi Thu

trong f ì ơ(r), Q,(r) hàm bị chặn ưone lân cặn iV(—), A'(l)của các ơ

điểm z0 = l / ,z =1 (xem Muskhelishvili [4], tiết 29) Chú ý ràng, để chứng minh khẳng định ( / 3) , cằn sử dụng điều sau đây:

lo g g (-4 = M\logg(l) = cr

Xét hàm <p(z) xác định sau:

<D(r) = e x p r ( z )

Từ (/,)-(/,) suy ra: ( ) 0(z)eH(S)

( ệ 2) > ( r ) * V z g

(ự>}) <D(z) = ( 1) khi \z\ - » +O0

(37)

(38)

(A ) <D(r)« z - —1 -1

expQí (z),z€A r(—) <X>(z) = e x p n ,(z),ze JV(1)

Sử dụng công thức Plemelj [4], dễ dàne chứns minh hàmO(r) thoả mãn điều kiện sau biên sau ( xem Muskhelishvili [4], tiết 35):

a r ( = g(0<&‘ ( ,f e £ (39) Xét hàm Y(z) xác định qua /r(z),0(z) sau:

Y(z) = F(z)/<Ị>(z) (40)

Từ ( / ,) - C/4), (35), (rt) - (A ) (40) ta có: (y«) Y(z)eH(S)

(y2) Y(z) = (z 2) khi |z|->+co (y3) Y(z) bị chặn N ( - ) N(l) (y4) Y + (t) = Y"(t),t G L

Từ tính chất O i) “ (>'4) cùa hàm Y(z) suy Y(z) chỉnh hình tồn bộ mặt phẳng phức trừ điểm z = — và 2 = 1 Nhưng từ (y3) ta thấy đày là

ơ

mặt phẳng phức ( xem [4]) Do đó, theo định lý Liouville mở rộnơ [6] kết hợp với tinh chất (y>) ta có:

Y(z) = P{z) (41)

trong P(z) đa thức bậc z. Từ (40) (41) ta có:

F ( r ) = ( r ) J > ( r ) 7(42)

vì ( z ) * 0Vz € s( tính chất (ợ>2)) O (r ) -> X z - > — ,0 (1 ) ^ (

ơ

(&)), nên từ (42) suy ra: F(z) = O o P(z) = S u Ị —I u {1} (43) Từ (43) ta thay thay cho việc giải (23) ta aiải phưans trinh P(z) = 0.

Từ (27) (28) ta thấy /■(—) = từ (43) suy ra: />(—) = (44)

ơ ơ

Từ (38) (42) ta có: P(z) = F(z)exp[-r(r)] (45)

Mặt khác từ (33) ta có: logg(0 = 2iartgcpự) = 2/0(0 (46) Ị Ị

theo (36) (46) thì: - r ( z ) = — f—-—6(t)dt (47)

* = ị i - L

c

-Công thức vận tắc sóng Rayleigh mỏi trường đàn hịi 945

đãng hướng, nén được, cỏ biến dạng trước

Khai tnền —ỉ— lân cận điểm r = X ta c ó :

t ■

1 , í r_ _ v í l

— = 1+7 + Ị T + - - Z ~ r1 1 z z „-0 z (48)

(49) ■é’ ỉ

Thay (48) vào (47) ta được: - r ( z ) = ỵ,-7Ìr

n=0 “

Ị I

trong đó: In = — ịtnỡ(t)dt,n = 0,1,2 (50)

n í

ơ

Từ(49)tacó: e~r{:) = + — + —r + ỡ(z 3) (51)

z z~ trong a0, a! số cần xác định Ta có:

= ( - r ( z ) ) y ri:> (52)

946 Pkam Chi Vinh, Nguyên Thi Thu

a =I.\ ô, = 7ằ ã 71

Khai triẻn Vor —\,-Jz — : = X thav vào (28) ta được: F(z) = Az'~ -B: + C + 0(:~')

ưong đó: A = ơ

(53)

(54)

B = ơỵ,ỵ,+ỵ,ỵ2 + ^ [2a„a= + (ơ + \ịccuct„ -or,;: )]

5 a r : ( ơ \ z\ ữ.,a„

/ ì a zi — -r — lana„ - a n J-r - - (55)

8 1^4 J 12 j

Thế (51) (54) vào (45) ta có:

P(z) = Azz +(a0A-B)z + Ẩal- a oB + C (56)

Như trẽn đâ biết để tim vận tốc sóns Rayỉeiơh ta phải tìm nehiệm thực lớn cùa phươns trình bậc hai P(z)= ưons miền su \ — u {l}.

M Theo (44) phương trình P{z) = có hai nshiệm :

- I - B ĩ

“1 ơ < A 4 0 ơ

Vì Z\ <1 nên bị loại.

Thay A, B xác định bời (55) vào (57) ta có:

(57)

ơ7 ,/2 + 1:: \aua lz+ ]- {ơ - iịa, -1

(/^1/2 — /• l-*" ~ (^11^22 — ^1: )

vơ llơ 22 /

/ = y - Jlogg(/)ế* = - \0{t)dt

c c

(58)

trong đó: ơ ơ (59)

5 Điều kiện tồn nghiệm sóng Rayleigh

Ta chứng minh định lý điều kiện cằn đù đề tồn nhắt sóns Rayleigh ưong mịi trường đàn hồi, đẳne hướng, nén được, có biến dạne trước

Định lý:

Già sứ ỵ * khi điểu kiện cần đù để tồn nhắt sóng Rayỉeigh mơi tnrờng đàn hoi, đắng huớng, nén điỉực, có biển dạng tncớc Ẩ>0 Khi vận tóc sóng Ray leigh đicợc tinh bỏng công thức (58).

Chứng minh:

Từ nhừng kết ưên ta nhặn thấy:

(i) Sự tồn sóng Rayleiah mơi tnrờnơ đàn hồi đẳna hướnơ nén được, có biên dạng trước tương đương với A ^ z >1 ưong Zo tính theo cơng thức (58).

(ii) Néu sóns Ravleiơh tồn Ưons mơi trườnơ đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạns trước nhất.

Cơng thức vận tóc sóng Raỵleigh mỏi trường đàn hồi 947

đắng hướng, nén được, có biển dạng trước

Sử dụns: (55) ý ơ > ta dễ dàne chứnơ minh được: B - — >

ơ .2 lơ ơ) (60)

(i) Điểu kiện cần: Giả sử A>0, ta phải chim2 minh sór)2 Ravleish tồn hay Zo>l.

Vì hàm arcta biến thiên từ - Jt / đến 71 / nên theo (50):

< / < - — — (61)

° 2(7

Do từ (61) ý đến A>0 ta suy ra:

ơ \ ơ

Theo (57) suy ra: z0 > /

Vì hàm F(z) gián đoạn khoảng (l /ơ.l) nên phương trình (27) khơng có

nghiệm khoảng (l / , l ) , z0 Ể ( l / , l ) Vì zo ( d o y.5* ) nên từ

suy Zo>l.

(ii) Điều kiện đừ. Giả sử sóng mặt Rayleigh tồn môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước ta chứng minh A>0.

Theo nhận xét (i) sóne Rayleigh tồn trons mơi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, có biến dạng trước thi A * Zo >1.

948 Pham Chi Vinh, Nguy ên Thi Thu

B 1 1 1 B T 1 1 T

— — o —- I I

A ơ 2ơ ơ A 2 2ơ

Mà I0 >

-k2 2 G suy Z o< l, trải với giả thiết Z o> l, do A>0. Tài liệu tham khảo

[1] D esữ ade M (2003) "R ayleigh w aves in sym m etry planes o f crvstals: explicit secular equarions and some explicit wave speeds" Mech Materials, 35, 931-939. [2 ] M alischew sky p G (2000) HC om m ent to "A ne\v íorm ula for velocity o f R ay leish

w aves" by D N kem zi[W ave M otion (1 9 ) 199-205]” ÌVave Motion, ,9 -9 [3] M alischew sky p (2004) "A note on R ayleigh w ave velocities as a íUnction o f the

m aterial param eters" Geo/ỉsica Iníem acionaỉ, 43, 587-509

[4] M uskhelishvili, N I (1953) Singiilar Integral Equaríons, X oordhoff-G roningen [5] X kem zi D (1997) "A new íorm ula for ửie velocity o f R avleih w aves" IVave

M otion, 26, 199-205

[6] O sd e n R w (1984) Non-linear elasĩic/orm ations, D over publications INC

[7] O eden R w and Pham , c , V (2004) "O n R ayleieh vvaves in m com pressible orto ữ o p ic elastic solids" J Acoust Soc Am., 115(2), 530-533

[8] P ham c V and O sd e n , R \v (2004) "O n íorm ulas for ứie R ayleieh w aves sp e ed ”, ỈVaveMotion, 39, 191-197

[9] P ham c v and O sd e n R w (2004) "Fom ulas for ứie R ayleigh w ave speed in orthoừ opic elastic so lid s” Ả c h M e c h56(3), 247-265

[10] P ham C hi V inh (2004) "O n a íorm ula for ứie R a y le ish w ave speed in p re-sư essed elastic solids" Proc h Nat Conf on Mech Def Bodies, 1009-1018;

[11] P ham c .V and O s d e n R w (2005) "O n a general íorm ulas for ứie R ay leieh w ave speed in orthotropic elastic solids" Meccannica, 40, 147-161

[12] R ayleigh L (1885) "O n w aves p ro p ae ate d alone ứie plane surface o f the an elastic solids" Proc Roy Soc London A , 17, 4-11

[13] R oxburơh o G and O sd e n R w (1994) "Stability and V irbration o f pv e-S essed com pressible elastic plates" Int J Engng Sci. 32, 427-454

[14] T ing, T C T (2002) "A unified íorm alism for elastostatic or steady State m otion o f com pressible or m com pressible an iso m p ic elastic m aterials" Int J Solids and

”0r H c n - c c m m e r c t a i rssearcr, a n d e ^ c a : j •or re p ro d u c tio n or d s t n b u t i o n or c o r n me r c r a

-ccĩT;T.erciaỉ re se a rch and e d u catỉon al U3ê in c iiid in g .7 ‘ :o- ;r Ị r s t r u c ĩlo n at yc j:* instUutlor* ssr:d:

'CUĨ‘S :r2ĩvcu knovv and provlding a ccp'; :c ,'CU' •

-a d r v r v : : “ t o r

• :'0 n ’ s*.■’ ib J *.: c r

-■ r^rr in:r or iic-Drs'^7

- - :■■■' • -í í- -rsc :

Siie c r e p o s i c o r y 2- s prohioited For e x c e p íio n s 03." T ba so u q h t ỉor s u c n u s e througn E ls e v ie r s p-L-^-isĩ

Available Online at www.sciencedirect.com

ScienceDirect MÌUũẢonúửí

ELSEV1ER L ltrasonics 45 (2tX)ó) 7"-xl

Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh vvave velocitv

Pham Chi Vinh a*\ Peter G Malische\vskv b

Faculty of M iĩiưm aùiĩ \fechor.ics anà ĩntormatics Hanoi Lniversity o/Science ỊỊJ Sgvyert Trai S:r 7:.;/• ! \ r V : \ ĩn stilu ie/o r Geosciences Friedrich~Schiỉỉer Cniversitv Jtna Burg it? II 0~~49 Jena, Gcrnutr

A \ailable O nline 28 Juiy 2006

A bstract

An approach ỉor obtaining approximaúons of the Ravleish \vave velocity created by the principle of least scuares is iniroduced Ir view of ihis approach Malischewsky's approximation of the Rayleieh wave velocity for Poisson raiios V r -1.0.5] propoxrđ c l::í

recently [3] is explaineđ It is shown that Malischewsky*s approximation obtained by trial and error is lalmostl ideniical \\iih the or.í esiablished by this approach

è 2006 Else\ier B.v All riỉỉhts reserved PACS: 43.20.Jr: 43.35.Pt

Kevnords: Rayleieh wave velocity; The principle o f least sạuares, The best approxim aũon

1 Introduction

RayieÌ2h waves p ro p a sa tin s over the surĩace o f elastic half-spaces are a \vell-known and p rom inent teature of the wave theory Its velocitv c is a íu ndam ental quantitv which interests researchers in ultrasonics, seismology, and in other fìelds o f physics and m aterial sciences In the homoeeneous half-space, c is írequency-independent, it depends onlv on the velocity a o f longitudinal waves and

Ịi of shear waves A ccordins to Lord Rayleigh [1 ] the veloc- ity of these suríace waves follo\vs from the solution o f a cubic equation \vhich has been text-book kno\vled2e for manv years In the meantime a lot o f approxim ations of this velocity vv hich is \vithout a d o u b t íundam ental and essential, appeared in the literature (see e.g [2] and [3]) It is therefore surprising, that only recently a convenient and simple form of the exact solution, \vhich is possible but not trivial, has been published b\ Malischevvsky [4.5]

Correspondinsỉ author Tel.: +S4 5532164: fax: -i-84 8588817 E-mailtìddresses: pc\m h'ú vnu.edu.vn (P c Vinh), p.mali>7.uni-jtfna d í (P.G Malischewsky)

004I-624X/S - see íroni m atter © 2006 Elsevier B.v All rights reserved doi: 10.1016/j.ultras.2006 07.001

and Pham Chi Vinh and Oọden ‘ó : The existence oĩ’ ar explicit íorm ula for tho Rayleish \vave velociĩy ir a halr- s p a c e is u s e í u l as a test case in invertine seophysica! daia [7j and for differerìt applications in non-cestructive testins [3j Because this íorm ula is not yet well-known within the ultrasonic com m unity, it would be usetul to present this in the fram ework of this article The exact solution which contains cubic roots will not render superAuous approxi- mate solutions for the practical vvork in the laboratory or elsexvhere The oldest kno\vn approxim ation oí' Beramann [21 is verv eood for positive Poisson ratios V but complete!'

íails for nesative V M aterials with n e s a :i\e Poisson raĩio> so-called auxetic m aterials reallv exist (see e.2 a nev review by Y ans et al f8ì) and may become increasinỉỉh interesting in m aterial sciences This \vas the m otivation o f Malischevvsky [3] to search for an approxim ation beir.2

78 p.c I ưỉh P.G \íưlischtrxsky ! ưỉtrasonics 45 '2006 / 77-81 a sưaÌ£htforward and m athem atically \vell rounded proce-

dure for obtaining the best result in all cases under consid- eration We present here a simple ap p ro ach created by the lcast-square principle vvhich fulfiis these requirem em s and demonstrate its application to Malischewsky*s approxim a- tion iỵ. It should be noted that R ahm an an d Michelitsch '9 have recentlv published an a lie rn a ũ v e aD proxim ation on the basis o f Lanczos* approxim aĩion ‘1 r The íìnal fọr- mula is more com plicated than M alischew sky’s one \Ve postpone a com parison o f both íorm ulas with the exact solution to the end o f paraarap h

A paper with discussion o f alỉ existins approxim ations in ihe light o f the approacn proposed here is in preparation

2 Exact ĩormula for the Rayleigh wave velodty in a half- space

By usine M alischewsky,s notaũon [5~ we obtain the fol- lovvins expression for the Rayleish wave velocity:

*> Ị" _ *>(Ị _ 6v)l r' V = c Ịj = v V V V v; = Ị ; - v ỉụ V - ~v = = =

3 [ i'h3(y) J (1) \vhere y = (1 - 2v)/2l - v) = {p/ u\ an d w ith the auxiliary íimctions:

h:i?) = V 33 - 186;- - 3217“ - 192;-

h{y) = 17 — 45*/ — h][y) (2)

In íormula (1) the main values o f the cubic roots are to be used

3 Least-square approach

As mentioned there is a need to o ò ta in analytical approximate expressions o f the Ravieigh w ave speed Yfv) tor the practical \vork in the laboratory or else\vhere: \vhich are reasonably simpler than the exact one an d yet are accu- rate enoush This is m athem aticallv, related to the approx- imation problem of a given tunction \vhich can be formulated as follows:

Let X be a normed linear space and V be a subset of X

For a 2Ĩven / € X determ ine an element e € r such that

for all h £ V (3)

here the Symbol ị|ụ,ị d e n o te s the n o r m o f ự £ X. If the problem (3) has a solution then the elem ent g is called a best approxim ation o f /v v ith respect to V. If V is a íìnite dimensional linear subspace or a com pact subset o f X, then the problem (3) has a solution (see e.g [10]) M oreover, if X is strictly convex (i.e o — ù ' < 2 vvhenever jọỊl = ỊỊ^II = and ọ ^ yịt) and r is a íìnite dim ensional linear subspace o f X, then problem (3) has precisely one solution (see e.s [10]) Since x(v) can be considered as an element o f the space L 2[(i.bị í - ^ a ^ b ^ 0.5) vvhich consists of all functions m easurablc in (o,b). \vhose squared

value is intearable on 'a.b' in the sense o f Lebesaue we can consiđer the case \vhen X = L~\t.h'. \Ve reeall that

L [a.b] is a norm ed linear space whose norm is deíined as

folIo\vs:

> =Ị y ọ:(v)dv| ọ€ L-O.b' Then the problem (3) becomes:

Let V be a subset o f Lr[a.b\. For

Let V De a suDset or L"[a.ồ\ hor a 2Ĩven tunction / £ L [a,b], determine a íunction g € ỉ such that

J i/*(v) ~ ? v)Ị; dv = Ị ' f '\' - h ■: 'ỏ The Eq 151 expresses the principỉe 01 ieast squares* The

quantity \fĩ(h) where

I{h) = LAV) — /i(v)]2dv. h € V i 6j represents the deviation o f the funciion h from the íuncĩion

f on the interval [(a.b] or the distance beĩ\veen lỉ and ; in

L z[a,b). The equalitv (5) sh o u s that the besi approxim ation

v) (if exists) m akes the deviaiion tuncũonai I íìI minimum The quantity / = \ Jỉ' g)/{b - a) is called the averase error o f the appro.ximate solution ^(v) o f the problem (5» on

[a,b). It is noted that L [a.b] is a Hilbert space so iĩ is

strictly convex (see [10]) Thus the problem (5| has a un* ique solution in the case that V is a íìnite dimensional sub* space of Lr[a,bị The subset Vo f L?{ci.b) is chosen such that ^(v) has a simple type Since polynom ials arc considcrcd as the simplest íunctions V is norm ally taken as thc set of polynom ials of order not bisser than n — \vhich is a lin- ear subspace o f L [a.b) and has dim ension n. lí' I is a tìnite dim ensional linear subspace vvith the basis /i|l v)./ỉ2(v) for solvins problem (5) we represent /lí V) as a

lin-ear com bination of h\(v),/j: (v) /ỉ„(v):

n

= ỵ ^a ,h :,v )

Then the íunctional I(h) becomes a íuncĩion of the n

variables ci\.a-> _,a„ and probiem |5( is leaded 10 a

s>s-tem of n linear equations for CI\.(12 a„ \vhich has a unique solution In the case that r is a com pact SCI of

L \a ,b ), for example V contains íunctions havins the

form:

n

Kvơ) v->’ ^ P- b '■&)

<=1

v v h er e h, {v) a r e g i v e n e l e m e n t s o f L \ a b ] l i Ạy) arc p r j - scribed dift'erentiable functions o f V in [a.bị thc tunctional

I(h) then becomes a diíĩerentiable íunction o f V in the closed interval [a.bị so it attain s its minimum in and the problem (5) leads to solvins the equation (non-lin- ear in eeneral):

l\} ') = 0,1 € (ứ b )

p.c Vĩnh P.G Malischeivsky I Llirasonics 45 2006 / 77-81 Mathematical basis of \Ialischew sky’s approximation

A s kn ow n b y t r i a l a n d e r r o r M a l i s c h e w s k y [ ' h a s o b i a i n e d a g o o d a p p r o x i m a ũ o n o f t h e R a y l e i s h w a v e v c lo c ity in i h e r a n g e o f P o i s s o n v a l u e s ] w h i c h is x m-v) = 0.874 - 196v - 0 ? -r - 0 55v3 (10)

N o \ v vve a p p l y t h e l e a s t - s q u a r e a p p r o a c h p r e s e n t e d above to g i v e a n e x p l a n a t i o n for this a p p r o x i m a t i o n S i n c e the a p p r o x i m a t i o n 10) is o b t a i n e d b y c a r r y i n e o u t a T a y - lor e x p a n s i o n o f í i m c t i o n .Y( V) d e í ĩ n e d b y t 1) u p t o t h e t h i r d p o \v e r a t i h e v a l u e v0 a n d b v t r i a l a n d e r r o r it is shovvn t h a t a m o n g p o l y n o m i a l s o f t h i r d o r d e r o b ĩ a i n e d by e x p a n d i n g AI V) i n t o a T a y i o r s e r i e s u p t o t h e t e r m o i' th ird p o \ v e r a t v a l u e s V [ - ] , .vm(v ) d e v i a t e s t h e l e a s t fr o m í u n c t i o n .Y(v) in t h e i n t e r v a l [ - ] , it c a n b e s a i d t h a t a m o n g t h e s e p o l y n o m i a l s , x m( v) is t h e b e s t a p p r o x i m a - tion o f .vf v) i n t h e i n t e r v a ! [ - ] ( i n t h e s e n s e o f l e a s t sq u a r e s ) T h a t m e a n s t h a t -Ym(v) is t h e s o l u t i o n o f t h e p r o b - lem (5) in \ v h i c h / t V ) = .V(V) a = - b = a n d V is a se t o f e l e m e n t s f i [ v y ) h a v i n s t h e ĩ o r m :

.V ( ? ) - -— • V

h ( v ỵ ) = x { y ) T (v - v) - - (v - v):

X •' ( v ) y

(lli

in \v h ic h V€ [ - 1.0 ] is c o n s i d e r e d a s a p a r a m e t e r H e r e b y yf kì{y) w e d e n o t e t h e d e r i v a t i v e o f o r d e r k o f ,v(v) vvith r e - sp e ct t o V.It is e a s y t o o b s e r v e t h a t i n t h i s c a s e K i s a c o m - p a c t s u b s e t o f L \ - ] \ v h o s e e l e m e n t s a r e o f t h e f o r m ( I I ) t h a t s i m i l a r t o (S) \ V h e n h i v y ) t a k i n g t h e f o r m (1 ) the íunctional Iịlĩ) becomes a íiin ction o f V, den o ted by I{y) T a k i n s i n t o a c c o u n t 1 ỉ ỉ í, (6) a n d 11) it is n o t dif- ficult t o v e r i í y t h a i h y ) is a d i í ĩ e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f y in the i n t e r v a l [ - , ] s o it h a s a m i n i m u m in [ - ] í t h i s is a l s o o b s e r v e d b y t h e f a c t t h a t V is a c o m p a c t s u b s e t o f L : [ - ,0 ]) By u s i n g 1) 16 Ị a n d ( 1 ) w e h a v e

Uy) = ^2fiív)

/= (12)

f,( v ) = {.v'?JCv)]-(f0.5 - V)7 + (1 — y ỹ ì /

h(y) = : Cv);: í(0.5 - yý + [\-ryÝ)/20 m = Ịr">(v)!:Ị(0.5 - v ) + (1 -.v)-'l/3 m = 3Ị.v(v)j: /

/j(y ) = r(!lCv).t(ỉ;0 ’)'(0.5 - y)6 - (1 + v)*}/36

/ * w = * ( " O ) t < J ) ( v ) [ ( - y Ý - (1 + >-)S] /

m = x C v V ” Cv)[(0.5 - y ) - ,;i -T } ' ) * ' \ Ị \ /sCv) = r(\ v ) ( m „ r ' - 3mi>' - 3m:y - m;,)/3

/,{ y ) = x i" iv ) x :-'(yY Ị0.5 - y)J - (1 + v)J]/4

/io(y) = Jc(y).r,:'C‘)i(° - »')■’ - (1 + >’)ì/3

/i:(y) = Jt(y)x ''(y)r(0.5->•)' - —

/ i :•(.'■) = —x C*')(moy — ”1 ) /:-»(y) = —2 m o x { ỳ ) .4 \ * J —• f \ ỉ ' v ) = m

' = / •

13)

r ( v ) d v , / = ni.

I n o r d e r t o f i n d t h e m i n i m u m o f t h e f u n c t i o n / ( r ) in t h e c o m p a c t i n t e r v a l [ - ] \ve h a v e t o f i n d c r i t i c a l p o i n t s o f / ( v) ( t h e r o o t s o f e q u a t i o n / ' ( v ) = l in t h e o p e n i n t e r v a l ( - , ) , t h e n c o m p a r e t h e v a l u e s o f H y ) a t t h e s e v a l u e s w i t h / í - ) a n d / ( ) F r o m ( ) a n d ( ) \ve h a \ e

I V, = o y Ị 14

/ n C v ) = ^ 2‘0 ) ( m 1v

w h e r e

? ( y ) x (4; ( y ) [ ( - v ) + (1 — v )~ j /

í*(3'ừ)!2!(0.5 v)6

-ọzfy) =.r:2'(y}jrí3'(y)[(0.5-V)5 - -.vỹ; 10 - V : '(v);: ' ( - y f - - v r ; o :.(’v) = Í t ' ív b r: (v)' 0.5 - V — (1 - V, ,

- t ! 'j)':Ỵ0.5 - }): - I - vf;

ọ j y ) = 3x.y)x Cv)

PsCv) = ^::,Cv).t'4)Cv) + (xí3,Cv))::;(0.5-V)6 - (1 -y)\/?6

- X ~ (v).rl3,(y)[(0.5 - v)5 -f — V'5i 6

ọ 6(y) = > v í v ) x i : i y ) - x : ( y ) x :" l v ) ] { ị - y Ý - - y V ] / \ 5 - A-1 V v).rr3 Cvỵ(0.5 - vjJ - - y '3

o- VI = ’.r vi.tJ t v) —X V,’ Í0.5 — VI — ỉ - V ’ 12 - x(y)x J;Cv)[(0.5 - yỳ' - - y

Ọị(v) = X (,>•'/{woVJ — 3mxv — ?/n->V — m‘ ?

- X v ) ^3 /MựV — ni Ị V — n i ' }; 3

ọ 9(v) = Ix V:(y)x ĩ>(v) ~r (x ■ (\ ' : 70.5 — v)" — 11 — >•)'

- X (y)x2'{y)[{Q.5 - yỷ - - V ■;

ọ | ! v ) = -Ti v ) t ( v ) - r x (l i V X - \ ' - y - • - y ’ ?

— ,r(v).T ív)’;0.5 - V ■ — n — v)*_

ợ Mív) = x~ ( y) ( 2m\ V - m; - m ,y~) — t : ‘,_V; /MỊ - m ,v»

<?rCv) = ỉ-rừ)*r,: ) - (-r Cv'■■ !(0.5 - y) - (1 - v; : - 3x(y)j 'Xv)

<p13(>') = t':Xv)(m0y - m , )T 2wo.r 1;Cv)

</>uCv) = -2mo.t l!(v)

Ị

By usins (1) (2), (14) (15) for numerically solving equation / '( v) = in the intcrval ( - ) we find iis throc r o o t s :

p c Vinh P.G \faỉischew sky / Ultrasonics 45 '2006 / 77-81 Bv usina 112i and 113»:

/(yj) = 8.9 X 10'6 /ív:ì = 3.85 X lo-5.

Ky-.) — 1.81 X 10‘6 / -1) = 0.00072 / 0.5) = 0.0052.

50>? is the value vvhich m akes /I ;•) m in im u m in the interval [-1.0.5] Substituting y = = 0.10644 im o 1111 \ve have

gịv) = h\\\Yy)

= 0.874027 + 0.195608V - 0.042523 h - - 0.0569549v3 (16) It is shovvn from í 10: and í!6 i th at vw(v) and ?1V) are almosi totally identical \vith each Oĩher So Malische\vskv's approximate expression 11«J| can be considered as the best approximation of the Rayleigh \vave velocity in the interval [-1,0.5], in the sense o f least squares, with respect to the compact set V sho\vn above

We have calculated the averase erro r and the absolute error's maximum for MalischeNvskv^s approxim ation Table

Averaee error / of ihe approxim ations in dtfferent intervals a b : / =

y j l (b - a / d e íìn e d bv (ó ,

Intenals o f V Malischtf\vsky's I. Rahm an-M icheỉitsch”s / ■-1.-0.5J 0.00:39 0.0012

ị-0 5.0' 0.0009S 0.0032 [0.0.5] 0.00025 0.00:0

[-1.0.53 0.0015 0.0023

Table 2

Absclute error‘s maximum / o ỉ the apprcxim ations in dirTereni intsrvals: / = max -JT, v) - VJ ẹi v; is the approxim auon oiA 1V)

Iruervals of V Malischewsky‘s / R ahm an-M ichelitsch's

> - 5' 0.0031 0.002? > 0; 0 :1 0.0035

'0.0.5' 0.U009-1 0.00325

-1 5' 00? 0.0035

Fie l Perceniaee error í) of Malischewsky’s (solid line) and R ah m an - Michdiisch’s (dashed line) approxim ation ổ = |l - ftw)/.r(v)Ị X 100% ffv) is the approximation of v(v)

according to I lõi and R ahm an-M ichelitsch‘s one respcc- tively, for diíĩerent subintervals o f PoissorTs ratio and for the vvhole interval as well (see Tables I and 2) It is o b \io u s that R ahm an-M ichelitsch’s approxim ation is bcttcr for the interval [ - l - j but worse for the other intcrvaỉẳ Malis- chewskỵ’s is especially 2G0d for non-auxetic materiai> aj alreadv noted bv Rahm an and Michelitsch

For completeness, also the percentaae crror «' = 11 —gị v)/.xtv)| X 100% was calculated tbr both approxima- tions and is presented as a funciion o f Poisson s rario in Fia 1, here g ív) is the approxim ation o f \1v) The meĩhod of R ahm an and Nlichelitsch can be proíĩtably applied ir those cases where the exact solution is noĩ a\ailabie Conclusions

By the least-square approach it is shoxvn ĩhat Malis- chewsky’s approxim ation can be considered as the best approxim ation o f the Rayleiah \vave velocity in the interval [-1 ,0 ] in the sense o f least sauares vviĩh respect to the class o f T aylor expansions o f \1v) up to the third pcnver at the values y € [-1

It should be noted thai the least-square upprouch prc- sented here is applicable for noi only the case vvhere the explicit exact íorm ulas o f the Rayleiọh \vave specd are known but also the case in \vhich the explicit exact tbnm i- las o f the R ayleish wave speed are not available This will be discussed separately elsewhere

Acknowledgements

T h e \ v o r k vvas d o n e d u r i n o t h e í ì r s i a u t h o r ‘s v isit o f t\vo m oruns to the lnstituie ror Geoscier.ces hricdrich- Schiller University Jena \vhich \vas supporteđ by a D A A D G n t No A/05/58097 He is very graietul to the D A A D for the íìnancial supporx A dditionally he thanks Prof Peter G Malischevvsky and all coỉleasuỉs of the Institute for Geosciences who helped to make his stav a success

Reĩerences

[1‘ L Ravleigh, On w a\es propacated alonc th í pi.tr.c M.ri.uí <■:’ 1' elastic soiid Proc R Soc Lond A ! (ISS51 -J-11

[2’ L Beremann Ulưasonics and their Scienũiìc and Technica! Appli­ cations John \Viley & Sons New York 19-iS

[3] P.G Malische\vsk\ Com parison o f appro\irr.j*.iJ

pnase velocity c f Ravleich waves (Commem on ‘CharacuTÌzjí:or *"!" surface dam ase via surface acoustic vvaves’) Nanoiechnolo-j\ 16 (2005) 995-996

[4] P.G Malischevvskv Comment to “ A new íormula for the \eIocity of Rayleieh waves” by D Nkemzi [\Vave Motion 26 1199") 199-205 \Vave M otion 31 (2000) 93-96

[5] P.G Malischevvsk) Aunine A noie on Ra>!eigh-\vr.e ;i<

funcúon o f the material param eters Geofĩs In: í 2u<t-i• 5o~ 509 r6] Pham Chi Vinh R w Oaden On íbrmuias for thc K.1 >ieign w;ive

Sf>eed NVave Motion 39 (2004) 191-19“

[7j G Rov Iterativelv adaptive re2ulariza;ion in intrr^c tr- w;:r

B a v « ia n o u tlo o k - a p p lic a ú o n on c e o p h v iic a ! tÍJM I ■ P r '

p.c Vinh P.O \íniischewskv / Cllrasonics 45 2006 81

T w Vang z -M L' \v Shi B-H Xie M-B V ans, On auxeiic m atenals J Maier Sci 39 (201MI 3269-32"9

’9* M Rahman T Micheliisch A note on the torm ula for ;he Raỵleish \*a\e speed Wave Motion 45 i2006i z~2-l~6.

10' G unter Meinarduả Apprc.ximaiion o:‘ FLnc;ions; T.‘.íor> and Numerìcal Nlethods Sprinaer-Veriaỉ Beriin H«r:deiberg/ Ne-A York 196"

11' c Lanczos Applied Ar.aiysis Prentice-Hall Ir.c Nevv Jer'> 1956.

949

Tuyển ĩập cơng trình Hội no hỉ khoa học toàn quắc Cơ học Vật răn biên dạng thử

Thải Nguyên, 25-26/V2006

Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH đối vói biên

có độ nhám cao

Phạm Chí vinh, Đỗ Xuân Tùng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiẻn-ĐHOG Hà Nội

T ó m t i t : Bài báo nghiên cửu s ụ phàn xạ khúc xạ cúc sóng ổàn hồi SH cci với biên, biền phân chia có âộ nhám cco Đe nghiên cứu t ả i toán các lác già ấã sử d u n z pnưuiĩ? V 'nÓD ihuàn nhắt hcà Các phương ninh thuắn

r.hàt h o đâ ỔĨỈỢC ú m Aó c h o th y: tạ i x v x i b ậ c kh ô n g , t i to n d ẫ n ăẻr việc kháo sà: s ự Dr.àn xạ khúc x a sónơ S H đũi vớ i m ột lớp \'ộĩ liêu ổả t

rrẻn bán kr.ơr.g 27 j n (hoặc nàm hci ốn kr.ỏns zijnj Các hệ sc phàn xz

khúc xạ sỏnơ S H ăã x c âinh cách chinh xác rrono ms&n? hợc

b iê n có h ìn h rã n v đ ợ c rinh g n â ú n g Trong rrsờ rĩg h ợ p lổ n s quái.

I M đầu:

Nghiên cửu tốn truyẽn sóns ons mơi truờns đản hồi có ý nzhĩa thực tế to lớn Các két nshiẻn cứu áp dụns o n s nhiều lĩnh VỊX khác khoa học vả kĩ thuật nhu: địa chấn học thăm dò vả tin: kiểm khoáns sán trons độn2 lực học cỏns trình, trone xảy đựns cỏn2 trinh Tror.2 50 tốn truyền SĨĨÌ2 tốn phán xạ ichủc xạ cùa sỏns đản hoi bièn hav biên phản chia quan ưọns Phàn lởn nehiẻn cửu trước đảv đổi với biẻn biên phản

chia p h ẩ n2 (xem chãns hạn [1] [3]) Gần đảv có m ột 50 Cỏn2 trinh nahiẻn cứu sự phản xạ, khúc xạ sóns đàn đỏi với biên (hav biên phản chia ) C0ĨÌ2 tuần hồn, có biên độ nhị nhiêu so vói chu kì cnăns hạn [4] [5] [7] Tuy nhiên,

ư o n s thực tế xuất biên hay biẻn phản chia cone tn hồn, tro n2 chu

ki nhỏ nhiều so với biên độ Ta sọi nhừne biển hay biển phản chia vậv lả biên hav biên phàn chia có độ nhám cao Dưới đảv nehiẻn cửu phàn xạ khúc xạ sóns SH địi vói biên hav biên phản chia thuộc loại nàv

II Phưcmg pháp nhât hoá đơi vói biên hay biên phân chia có độ nhám cao

1 Trường hợp biên hay biên phản chia dạng tơng qt Xét tốn biên sau:

950 Phạm Chi '''ình Đo Xuân ĩùr.g

* = Kl)

LlI B i ê n phàn chia cỏ độ uhảm cno

Xét toán biên: Tim U(x z) xic định trons mặt phẳns xoz theả phươnơ ữinh:

( c L \) x - ( c U z), -Á u = f(x,z) z = h(x /s)

\ ’à điều kiện biên sau:

[u] = [ơ.u - ] = z = h ( x / 8)

> _ p - c , (x, z) £ D , t(z > h(x/ E))

G _ (x,z) £ D_.(z < h ( x / e ) )

Tronsđó: G.À = <!.

'-_ . G ỉi hãn2 sô f(x.z) lả hàm số cho ưước

(1)

(2)

(*)

Tưcms tự ta xét bải tốn biên rèn bán khơn2 21 an D_ sau: Tìm hàm Ư(X z) (x ,z )e D _ cho:

(G _.L\)X -r (c U z)z -Á U = f(x,z) với z > h (x /e ) Và điều kiện biên sau: U n = với z = h(x/e)

(3) (4) Nghiệm toán (1), (2) hay (3) (4) rõ ràng phụ thuộc vào tham 50 Vi

eiả th iết E « 1 nên 13 m u ổ n biết d n s điệu cùa n e h iệ m e —> 0 :

u r;' = lim u

Nshiệm U(CJ được2ỌÌ là xấp xi bậc khơn2 cùă nehiệm xác hay cịn

gọi “nghiệm hoa” toán biên (1), (2) (hay (3), (4)) Phương

trình xác định Ư (0j đ ợ c 2ỌÌ ‘'p h n s trình h o ’\

Su- phàn xạ khúc xạ CÚJ sóng SH đỏi xởi biên cỏ đậ nhảm C- Ũ

có phương trình thuàn nhảt hcá điéu kiện bièn ĩhuán nhải hcá nrơns ứr.2 đổi với toán (1) (2) (3), (4) lả:

Đối với bải tốn (1) (2) ta có: u,:'(x.z) khơns phụ thuộc vảo v=x £ iả nsrũệm bải toán sau:

: = f z > 0

Gs t z ) u ^ ■ = : - A < < (5)

c_ u £ -r ơ_ .11 £ - Â_ u1 = ỉ z < -A

u (0), (ơ ).u (20) liên tục ưèn 2=0 Z=-A

Đổi với bải toán (3) (4) ta có: u '0í (x, z) lả n shiệm bải toán sau: c _ u'^; - G_ u '■ = f z >

( c'.u'z: ' )- - > ' ) = f<y- - V ) - A < z < (6)

u ' l i ê n rục z =0

= Z=-A

ơon2 c (z) (ơ ) {/.} tinh bởi:

, ;/y '( z ) - y - ; (z) i - ! v i z ) - y , ( z ) ] '

G (z) = -—— -— — :

V G - c

-c z > 0

(ơ} = < C _ z < - A

G [y2(z)- y, (z )]- [i-f y (Z)- y ; (z)Ị-A < z < 0

 - z > 0

(/.} = < /._ !< -A

[/._ [y: (z) - y ; (z)]-r /._ [l + y , (z) - y (z)Ị-A < z < 0 ò y J (z) y (z) hai hàm neược hàm z =h(y)

2 Trưcnĩg h ợ p biên ha}' b iên p h â n c h ia có d n g h ì n h rủ n g c a

Ta xét riêng trucms hợp nàv (xem H.2) bời hay gặp thực tẻ vả có

nhiều ím e dụna Kết q u ả cùa k h n e SUY trực tiếp từ lóp đ n g COP.2

khả vi mụcl.

T uy lập luận tro n s mục hoàn toàn tư n s tự [6] đảy cần ý răng::

952 Phan: Ch: lĩnh Đ ỗX'Ján Tùr.g

yà y : (z) - — 7- y : (z) = 1, a, b h ằn s số(xem K.2) a - b

A r

0

í = d

_1

h p• ! ‘ n1— 1

k ~ ỉ

- T

• » - P - H

K2 B iẻiỉ pliàiỉ c h ú Cữ CỈỌ112 ỉiinỉi r ả n s Ctf3.

Với chủ ý ưêrụ tiến hành rư ơn tự ưon2 [6] đổi với biên phản chia hình rảns cưa có độ nhám cao toán thuân hcá cỏ dạns sau:

= f z > 0

ƠỄ u(-^ -r (c/.u‘i í - e \ / _ I; = ỉ -A< z < í")>

G _ U ^ - r u (i ; = f z < -A u (0), (ơ ).u (zG; liên tục z = z =-A

Hồn tồn rương tự, tốn thn hố địi với biên hinh răn2 cưa có độ

nhám cao là:

G ,.u ;u ' + A.u (Ì j - Â u <:; = f z >

trong đó:

G u£> u (:) = f -A< z < u (0), u (z0) liên tục z=0

u (z0; =0 z =-A /(a + b) b /(a + b ) l

G e = — - + — - I

(S)

-1

ỵ _v b + a.ơ_ ỵ V b.x 2Â_

(ơ) — -— H -, (Ã) = - — -ỉ -—

Sự phàn xạ kr.úcxạ cùa sóng SH đéi với bỉẻn có độ nhảm cao 953

Ta nhỊin thày đặc trưng hình học bièn p hán chia hav biẻn hình rảiìs cư a

nên biêu ửiức c , ,c , (/.) bims số cố đinh, khác với trườn2

h ọ p tòng quát bièu thức nàv hàm c ù a

n Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên hav biên phân chia có độ nhám cao

ỉ Đặt tốn

Xét khơng gian vỏ hạn oxYz 2ồm hai bán không sian đản hồi D D_ phản chia mặt s có phươD2 trình z =k(x.'e ), ƯOD2 h tuần hồn theo biến y=x/E với chu ki Ki hiệu D vả L hình chiếu vns 2ĨC D _ s mật phan2 xcz Khi ữons mặt phins xcz Đ (dìu khơn2 e:an ữèn) D_ (bán không sian dưới) phản chia bci đưỜD2 ccns L có phưons ưình = h(y) Giả thiết L lả đườn2 ccn2 có độ nhám C £0 tức lả < E « 1.

Giả sử mịi trường đảng hưcraz_ nén được, đặc tnms bói số Lamé LL mật độ khỏi ỉượns p :

_ ru p (x,z) E D

^ p=<Z p- ỉ : : (9)

L L _ L i _ p _ p _ hãn2

Như đâ biết thành phản chun dịch SĨIÌ2 SH có dạns:

u x = u , = u Y = ủ = ủ = ủ (x , z, :) (10)

Do ủ £ Y cần quan lảm đén mặr phẳns xoz

Giả sử rrons bán khơn2 sian ưẻn cho sóng tới SH cỏ biên độ đơn vị:

ủỹ = exp.i.(K x.sinG-K_-z.co5 0-co.t) (11) tronơ đỏ: lả eóc tới 0) tản sỏ sóna (cho ưước).

o : li

K = — , c :_ =

c V

D-Các toán đặt là:

Bải toán 1: Hãy nghiên cửu phản xạ, khúc xạ cùa sóne tới ( 11) đỏi với biên phân chia L có độ nhám cao

954 Phạm Chi Lĩnh, Đ ỗ X u n Tùng

Bải toán 2: Hày kháo xát phản xạ sóns tới (11) bièn L có độ nhám

cao

2 Phương trình điểu kiện biên

Thay (10) vào phưcms trình chuyên độns Lamé chuvén địch [1] t2 đirợc phương trình sau ù(x z, t ) :

(U -Ũ A H u - Ù ) = p ^ - z = h(y) (12) ct

Từ (10) dễ thấy thành phẩn khác khônơ tenxơ ứns suất lả:

G xy = Ị i ủ x , gzỴ = LLÙ, (1 ) Gọi I , véc tơ ửns suảt tiết diện có véctơ pháp tuyến ri vả qua điếm M Các thành phần ưẻn ox.oY.oz ĩirơns ims lả: I X, I V, I Z Từ (10) với chú V n(n x n ,), G „ = G = = ^ = (13) ta cỏ:

- X + u x*2 =0

I ; = c n x + ^ = 0 4)

I v = G xỴ H x T Ơ v i l = U ủ x J l , - f U ủ z J l = u ủ Do vectơ I_ phải liên rục ưèr L nén suy tz:

[ u ủ j = z = h(v) (15)

N2oài ủ phải liên tục ưên L nên:

[ủ]=0 z=h(y) (16)

Vậv ủ phải thoả phương trình (12) điều kiện liên tục( 15), (16). Do Sỏn2SH đ iều hoà theo thời s ia n nên ta tim ủ d n s sau:

ủ = U (x.z,s).exp(-i.G ).t) (17) Thay (17) vào (12) (15), (16) ta có:

(u.Ux) ^ P z) z ip.co: Ư = z ?= h(y) (18)

[u]=0, [p.uj=0 z = h(y) (19)

Bài toán ( ỉ 8), (19) tốn biên (1), (2) thay bời u ,

được thay p.co2 f (x ,z ) =

Sự phán xạ khúc xạ sóng Srỉ đơi với biên có ổộ nhám cao 955

Một cách tuơns tự dẻ dàng thàv rằD2 toán đln đèn bải toán biên sau:

T ìm hàm U(x.z, s ) thoả phưcrns trình;

( u U x ) Ẫ + ( ^ U Z) - p _ o r U = > h ( y ) (20)

Và điểu kiện biên: u , = z = h(v) (2 )

N h đả nói ĩrèn, toán đẫn đển bải toán biên (ỉ) (2) (?), (4) nahiẻn cửu o n a phẩn n

Theo kết củ a phần II tirơna ứng với toán 1, ta có tốn thuản nhắt sau:

Bài toán 1°: T im u(x_z) cho:

uu t u=t K:.u = o z>0

u s ( z ) u v - ( ( L i ) u , ) z - {p).co: u = - A < z < (22) UVT -r -i- K ^.u = z < - A

u , ( |Ạ u z liẻn tục z =0, z =-A

tro n2 đó: K = Q K_ = —-— Ò _ = —^ C - = ——- (23)

c;_ c:_ p p.

f/ y ; ( z ) - y , ( z ) l - [ y ; ( z ) - y , ( z ) ] ', ;

u (z) = ; - - :— - - : - : (24)

l .u- .u- )

(u) = [y2 (z) - y, ( z ) Ị u -r [l + y (z) - y , ( z ) Ị u (25)

(p) = [ y , ( z ) - y 1(z)Ịpi +[l + y , ( z ) - y : (z)]p_ (26)

T ns tự tu n s ứ n a với tốn ta có tốn 2° sau: Bài tốn 2J: Tìm hàm u(x.z) thoả m àn phưcms trình sau:

UW TUC TK :.U = z > (27)

( H u z ) í = ° - A < z < ũ (28)

và điều kiện biên: u , u z liê n tụ c z = (2 )

u2 = z =-A (30)

956 Phcm Chi lĩnh ĐoXiiân 1 L-.g

Bài toán 1.': T im hám u(x,z) nghiệm phirơna trình:

- u = - K :.u = z > (51)

LI U„ -r ( u \ u = - ^p) cd2 12 = - A < z < (52)

- u = - K :.u = < - A (55)

và thoả điều kiện lién tục z =0 z =-A:

u , (ji).uz liên tục z =0, z =-A (34)

„ Ị"a/(a -i-b) b/(a + b)T’

ư o n s đ ó : u e = j — —- — - - — — — P 5)

L -u - .u

-{ v ) = — U ( b Ị ỉ i T a , u ) l (p; = —!— ( a p * - £ p ) (36)

2-rb ‘ ' a - b

C hú ý rans o n2 tn rờ n s hợp nảy 11 e ÍỊiỳ ịp'j lả h in s số

Bải tốn 2?: Tìm hàm u(?lz) nshiệm hệ sau:

u u t u>t K: u = z > (37)

u _ + K Ỉ u = - A < z < (35)

u u , liẻn tục z =0 (39)

u_ = z = -A (40)

Nìiận xét: v ẻ mặt học, việc thav tốn bời tốn 1' có n eh la là: thav m ột môi trường vô hạn 2ồm hai bán khơn2 sian phản chia bịi m ột đườns co n2 có độ nhám cao m ột m tn rờ n s 2ỏm m ột lóp vật liệu nằm d a hai bán không gian với biên phân chia phẳns

Tương tự thay thẻ tốn bời tốn có nehĩa: thav m ột bán khỏri2

sian có biên đư n s c o n s có độ nhám cao bãns m ột mỏi trườ ns 2Ôm m ột lớp vật liệu đặt bán k hòne gian với biên biên phân chia phãns

Ta cũns có n h n s nhận xét tươnơ tự địi với tốn 1, L có d ạns hình cưa

3 S ự phàn xạ, khúc xạ sóng S H đối Y&i biên phản hình cưa

Sư phàn xạ khúc xạ sóng SH đoi vói bièn cỏ độ nhàm cao

Dè dàn2 thảv rãuơ 5Ĩn2 phán xạ Up vả só n s khúc xạ u~ cỏ d ạn2. sau:

uậ = c.e*4\e 4- z ị_ =K cosô (41)

u " = \ \ e L^"x e = K _ c o s a (42)

& sọi ỉà só c khúc xạ h ầ n s số cần x ic định đ ’jợ c sọi lả hệ sổ phản xạ khúc xạ (của SĨR2 tói (11))

Chú ý rằng: ệ = K ^ sin G = K _ s i n a (43)

A

> : >* » i s

\y

1 B ÍO C L SH ú ứ l V O I l o p v i t i c u

/T'

(^ ^ ì ị í I I i !

H ỉ a p b ã i o k^i>c xa c

N hư vậv, trư n s chuyển dịch u bán khôn2 sian D , lả:

u ’ = u : r u ; = e , i x (C.ei U - e - L U ) Í44)

Dễ d àn s thẩv rằns: nghiệm tỏ n2 quát (32) là:

u = (B l ei;-ỉ - B : e’ i;"z ).ei ị ; (45)

tro n s đ ó : Â = y ( < p > Ũ31 - Lie4: ) ' < u > (46)

Tiếp theo, sử dụn2 điều kiện liên rục (34) ta hệ phươns trình ản sau: B + B , = C - r l

(47) Bị.e*u A + B,.eiXA - \v.e’4- A =

B , e 'UA - B , e ° - A - r ^ - ^ w e ' - - A =

95S Pham Chi lĩỉzh ĐoXuàĩĩ Tùr.g

c = PJ~ R-S w - m-s‘P-q

r m - n q r.m -n q (48)

ơ o n g đó: m = a .e (4Sa)

Sử dụng điều kiện biẻn(39) (40) ta thu hệ p hư ns trình ẳn đẻ xác định hệ số phản xạ:

Đó c n s thức xác định hệ số phản xạ sỏns tới SH (11) có biên độ đơn vị sóc tới lả

5 S ự phản xạ, khúc xạ sóng SH đổi vói biền phản chia cỏ độ nhám cao: trườìig hợp chung

Chú ý rằ n s tro n s trư n s hợp biên phản chia có d ạn s hình học tuỲ ý hệ số p h n a Trình hố đổi với lóp s iử a k h ỏ n s phải h ằne số mà chúne hàm số z Do vặv, ta khơns thê tìm n sh iệ m xác cùa phươnơ trình mà tìm n sh iệm xắp xi chúns Các kết tính tốn giá trị xấp xi cùa hệ số phản xạ, khúc xạ cho bời (3.15), (3.16) tro n e [8]

6 S ự phản xạ cùa sóng S H đổi vói biên có độ nhám cao: trườìĩg hợp chung

Tưcms tự Ưone mục 5, sử dụng két tro n2 [8] giá trị eân đ ú n s hệ số phản xạ tính bời c n s thức sau:

Bj - B : = c-s-l

ị Bj - B : = ( C - l) c o s G (50)

Giải hệ ữ ẻn được:

C05 — e - s i n — e c =

: 6 C ' — e

Sư phàn xạ khúc xạ CÙJ sóng SH đci với biên có đỏ nhám CZD 9:9

X .4 K ^ i ị .11 m ?

ẽ = e :i - - A U ì -— ÌL- ( ) ụ_.u_jỉ£'-H;Ị''

ơ o n g H:;Ni xác định bới (3.11) ona [8]

Tài Liệu tham khảo

[1] A chenịach J D ( i 973> ír<jVí?propaganon in Eidsnc Soliàs, N o n h -H o ilan PubLishinã

Company, Amsterđam-New York-Oxíịrá

[2] B enssousan A., L io n s J L., P apanicolaou G p (1978) Asympĩoric anah-ĩis fo r

periodic Sĩrucrure, N o n h -H o lla n d P ublishine C om pany, AmsierdanL

[3] B rekhovskikh L M (1960) Wave in ỉar;ered media N ew York- A cedem ic Press [4] B rov,n G s (19SQ) "A sc a n srũ i2 result for r o u s h suĩace h2vin2 sraaii heiehr but

arbitrarv siope” ft'a\ e M oĩion. V ol.12 No 475-4S3

[5] H a w v a M A A sía r o R (1996) "Mechanicai-VVave Ê k erin s m P en o d ic aiiy C orm gaied E lasđ c P ia ts '1 Ả SM E J Vib.Acousĩ. V o l.llS 16-20

[6] N ev ard J and J.B JC eiIer J B (1997).” H o m o2en izan o n o f ro u sh boim đaries and m te if2c e '\ S.L \Í J A vp l.M a th , V ol.57, N o 1660-16S6

[7] S nckler c (1 991) ^Scanerinơ ố o m a s o n slish tiy roueh s-uiĩace" ĩỉa r e Morion

V oi 13 Xo 211-221

Đ Ạ I HỌGíQUỔC GIA HÀ N Ộ I

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN

Đ Ỗ XUÂN TÙNG

S ự P H Ả N X Ạ , K H Ú C XẠ CỦ A SÓ N G SH Đ Ố I V Ớ I B IÊ N C Ó Đ ộ N H Á M CAO

N g h n h : C học

C n h n g d ẫ n : P G S T S P h m C h í V ĩn h

TĨM TẮT CÁC CỊNG TRÌNH NCKH CÙA CÁ NHÀN

Ngành: Cơ học

Chuyên ngành: Cơ hoc vát rán biến dang

Bài báo 1

1 Tên tác gia: Phạm Chí Vĩnh, Nguvẻn Thị Thu Năm: 2006

3 Tên báo: Công thức vận tốc SĨĨ12 Rayleish trons mịi trườns đàn hồi đản2 hướns nén được, có biến cỉan.2 trước.

4 T ẻìì tạ p c h i, sơ , trciìlg: Tun tập cơng trình hội nghị khoa học Tồn quốc

Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ Thái Nguyên 25-26/ 8/2006 trang 938 - 948. Tóm tắt cịnơ trình bằnơ tiếne Việt:

Bài báo nghiến cíni sóng mặt Rayleigh mơi frưịnơ đàn hỏi đànạ hướng

nén được, có biên dạng trước Sừ dụngphươtigpháp hàm biên phức, tác già đã tìm cơng thức rận íóc sóng Ravleigh mỏi trưịmg đàn clăỉìơ

hướng, nén được có biên dạng trước Cóng thức cho biéĩ phụ thuộc cua

vận ĩôc sóng Ravleigh vào tham sơ vật liệu tham sơ bìéỉĩ dạno trước 0 . 0 • • • <— Các tấc già tìm điều kiện cần xà đủ cho tơn ìĩháĩ sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi đăng hướng, nén được, có biên dạng trước. Tiếne Anh

Title: An explicit íormula for the Rayleigh \vave speed in pre-stresseđ compressible elastic solids

Joumal, no, pases: Proc of the Eighth Nat Conf on Deformable Bodies, Thai Nguyen 25 - 26/08/2006, pp 938 - 948

The paper d eals w ith R ay leig h ( su ríac e ) \vaves in p re-stressed co m p re ssib le elastic solids A íorm ula for ĩhe R ayleigh w ave speed in explicit form is obtained u sin s the m ethod o f com plex variable lìinctions A n e c essary and su fficien t d itio n for the (unique) ex isten ce o f R avleioịi vvaves in pre-stressed c o m p re ssib le elastic m edia is found

Bài báo 2

1 Tên tác giả: Pham Chi Vinh and Peter G Malischevvsky Năm: 2006

3 Tên báo: Cơ sờ toán học xấp xỉ Malische\vskv cùa vận tốc sóno

Rayleiơh

4 T ên tạp ch í số , trang: U ltra so n ics (2 0 ) 7 - 81 Tóm tắt cơn.2 trình tiếns Việt:

Bài báo siới thiệu phươns pháp tìm cơns thức xấp xi cùa sóns Rayleieh dựa neun lý bình phươns tối thiểu Sừ dụns phươne pháp nàv tác sia chứns minh rằns: xấp xi Malischewsky xem xấp xi tốt cua

2Ìá trị xác cùa vận tốc sóns Rayleish trone khơnơ gian l ? [ -1, 0.5] tập khai triển Taylor cùa vận rốc sóne Rayleigh đến cấp ba giá trị thuộc đoạn [-1 0.5]

6 Tiếns Anh

V-Title: Explanation for Malischewsky's approximate expression for the Ravlei.sh \vave velocity

Joumal no pases: Ultrasonics 45(2006) 77- 81 Summarv:

An approach for obtainina approximations of the Rayleigh \vave velocitv created bv the principle of least squares is introduced In view of this approach Malische\vsky's approximation of the Rayleieh wave velocity for Poisson ratios in [-1,0.5]

proposed quite recently is explained It is sho\vn that

Bài báo 3

1 Tèn tác giả: Phạm Chí Vĩnh Đổ Xuân Tùns

2 Năm: 2006

3 Tèn báo: Sự phản xạ khúc xạ cùa sóns SH biên có độ nhám cao

4 Tên ĩụp chí sơ , tra n g : Tuyển tập cơng trình hội nghị khoa học Toàn quốc

Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ Thái Nguyên, 25-26/ 8/2006 trang 949 - 959. Tóm tắt cơng trình bằns tiếng Việt:

Bài báo nghiẻn círu phàn xạ khúc xạ sỏne đàn hồi SH đối vôi biẻn biên phân chia có độ nhám cao Đe nshiên cứu toán n \ tác giả đà sừ dụng phương pháp hố Các phirơns trình hố đà tìm Sử dụng phươns trình hệ số phản xạ khúc xạ cùa sóns SH đà tìm

6 Tiếne Anh

Title: ReAection and reíraction of SH vvaves to the boundaries vvith hieh roughness

Joumal no, paees: Proc of the Eiehth Nat Conf on Deíoimable Bodies Thai Nguven 25-26/08/2006 pp 949 - 959

Summarv:

The paper deals with the retlection and reíraction of SH \vaves to the boundaries with hieh roushness In order to stucỉv these problems

S C IE N T iC PROJECT BRA.NCH: Mechanics

P R O JE C T C A T E G O R V : Vietnam National University Level

1 Title: Some problem s of theory of elasticity and theory of plasticity Code: QT-06-05

3 Managing Institution: University of Science

4 Implementing Institution: Faculty of Math., Mech And lnf Collaborating Institutions:

6 Coordinator: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh Key implementers:

8 Duration: One year (from 3/2006 to 3/2007)

9 Budget: 20.000.000 VND

10 Main results:

- Results in Science and technology:

- Obtained the íorm ula for Rayleigh wave speed in com pressible isotropic elastic media with pre-stresses

- Proved that M alischew sky's approximation can be considered as the best approxim ation of the Rayleigh wave velocity in the interval [-1, 0.5], in the sense of least squares with respect to the class of Taylor expansions of the Rayleigh wave velocity up to the third pow er at the values belong to [-1,0.5]

- Found the reílection and refraction coefficients of SH v/aves to the boundaries with high roughness

- Results in practical application: Obtained results have a wide applỉcation

in various íields of Science and technology

- Results in training: To have a part in training one B S c and one M S c - Publications: three papers

PHIẾU ĐẢNG KÝ

KẾT QUẢ NGHIÊN c ú u KH-CN

Tên đề tài :

Một sơ tốn lý thuyết đàn hồi lý thuyết dẻo

Mã số: QT-06-05

Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đ H KH T N

Địa chỉ: 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội Tel: 58 11 35

Cơ quan quản lý đề tài: Đ H Q G H N Địa chỉ:

Tel:

Tổng kinh phí thực chi: 20.000.000 V N Đ

Trong đó: - Từ ngân sách Nhà nước: 20.000.000 V N Đ - Kinh phí trường:

- V ay tín dụng:

- Vốn tự có:

- Thu hồi:

Thời gian nghiên cứu: 01 năm

Ị Thời gian bắt đầu:3/2006 Ị

I Thời qian kết thúc:3/2007 Ị

Tên cán phối hợp nghiên cứu: PG S TS Phạm C hí Vĩnh: C hủ trì Ths Bùi Thanh Tú: Th am gia

I Ths Nguyễn Thị Khánh Linh: Tham gia

Số đăng ký đề Số chứng nhận đăng ký B ảo mật:

Ị tài kết nghiên cứu: a Ph ổ biến rộng rãi:

I b Ph ổ biến hạn chế:

c B ảo mật:

I Ngày-

1 - - ■>1 Ị

- Chứng minh rằng: xấp xỉ Malischevvsky xấp xỉ tốt

giá tri xác vận tốc sóng Rayleigh khơng gian 0.5] đối với tập khai triển Taylor vận tốc sóng Rayleigh đến cấp ba các giá trị thuộc đoạn [-1, 0.5]

- Tìm được cá c hệ sơ' phản xạ, khúc xạ sóng S H biên có độ nhám cao

Kiến nghị quy mô đối tượng áp dụng nghiên cứu:

Áp dụng cơng thức vận tốc sóng Rayleigh để phát vết nứt, hư hỏng vật liệu có ứng suất trước.

Sử dụng công thức hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên có độ nhám cao để giảm bớt tán xạ sóng (âm) tới.

ì

Chủ nhiệm đề

tài

Thủ trưởng quan chủ trì đề

tài

Chủ tịch Hội đánh giá

chính thức

Thủ trưởng

quan quản lý đề

tài

Họ tên píỉ OẤì

I t ó IrQn

u Yaqh Cọĩ>

/ * '

Học

hàm hoc

vị

&S.TỊ.

1 C rỉ.ư f.-"

Ị A r* V

tilAAHÍ* HHL.ri NÍTmíĨỊE rRƯỎNG B A N

Kí tên

Đóng

dấu \ ( * ĩ ì k ỹ

K \ ' Tư ,

/ u

u