Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Trang | 8 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giá[r]

Trang | PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM BIỂU DIỄN

SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC 1 Kiến thức cần nhớ

Điểm M a b ; biểu diễn số phức z = a + bi 2 Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Phƣơng pháp:

Cách 1: Tính số phức z dựa vào phép đổi thông thường Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức z x yi x y , R có điểm biểu diễn M x y ; - Bước 2: Thay z = x + yi điều kiện đề tìm x y, M

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn w + 2z = i biết w = - i Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z Giải:

Gọi z a bi a b , R biểu diễn số phức z, ta có:

      2

2 2 2

2

a a

i a bi i a b

b b

   

 

          

  

 

Vậy M1;1

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi số phức z x yi x y , R có điểm biểu diễn M x y ;

- Bƣớc 2: Thay z = x + yi vào điều kiện cho dẫn đến phương trình liên hệ x,y - Bƣớc 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: Ax + By + C = +) Phương trình đường tròn: 2

2

x y  ax by c  +) Phương trình parabol:

yax bx c xay2by c +) Phương trình elip:

2

2

x y a b 

Ví dụ: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:|z (3 ) | 2i  A Đường trịn tâm I3, 4  bán kính R =

Trang | C Đường trịn tâm I3, 4  bán kính R =

D Đường tròn tâm I3, 4 bán kính R = Giải:

Giả sử ta có số phức z = a + bi Thay vào |z (3 ) | 2i  có:

|a bi  (3 ) | 2i  | (a  3) (b 4) | 2i 

2 2

(a 3) (b 4) (a 3) (b 4)

         

Chọn đáp án A 3 Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, cho M điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0 Xem số phức

2

1

Z z

z

 

   

  Tìm tập hợp điểm M cho Z số thực A. Trục tung (hay trục hồnh ) , khơng kể điểm O

B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y1 D. Đường thẳng x1 Lời giải

Trường hợp Z số thực Phần ảo

   

2

2 2

2

2

0,

1 0,

0,

x y

xy

x y xy x y

y x

x y

 



 

          

    



Tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z - Trục tung , khơng kể điểm O

- Trục hồnh, khơng kể điểm O

Chọn A

Bài 2: Trong mặt phẳng phức, cho M điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0 Xem số phức

2

1

Z z

z

 

   

  Tìm tập hợp điểm M cho Z số ảo A. Đường trịn tâm O, bán kính R1

B. Đường trịn tâm I 0;1 bán kính R1 C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Trang |

 2 22 2 2

1

x y x y

      

Tập hợp điểm M đường tròn tâm O, bán kính R1 Chọn A

Bài 3: Cho , iz Z z iz   

 , z x yi với x y,  Tìm tập hợp điểm M cho Z số thực A Trục tung ngoại trừ điểm A 0;1 B Trục hoành ngoại trừ điểm A 0;1

C Đường thẳng y1 D.Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có:  

1

; ,

1

i x yi zi

z x yi x y R Z

zi i x yi

                          2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

1

1 1

1 2

1 1

y xi y xi yi xi y xi

Z

yi xi y xi y xi y xi

xi y x i xi y x y xi

y x i y x y x

                                    

Z số thực  x 0,y0

Ta có z yi y, 1

 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trục tung ngoại trừ điểm A 1;0 Chọn A

Bài 4: Cho , iz Z z iz   

 , z x yi với x y,  Tìm tập hợp điểm M cho Z số ảo

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm A 0;1 B. Đường tròn tâm O, bán kính R1

C. Đường thẳng y1 D. Đường thẳng x1 Lời giải

Số phức Z số ảo khi:

 

2 2 2

2 2

1 1

0,

1

x y x y

x y y x                  

 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm  0;1

Trang | Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có mơ đun

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1 B. Đường trịn tâm O 2; , bán kính R1 C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Gọi M điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b,  Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M đường trịn tâm O, bán kính R1

Chọn A

Bài 6: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có phần thực

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1 B. Đường trịn tâm O 2; , bán kính R1 C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M đường thẳng D x: 1 Chọn D

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có phần ảo -1

A. Đường trịn tâm O, bán kính R1 B. Đường trịn tâm O 2; , bán kính R1 C. Đường thẳng y 1

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M đường thẳng :y 1 Chọn C

Bài 8: Tìm mặt phẳng tập hợp   điểm M biểu diễn số phức z cho Z z z

Trang | A. Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc đường trịn tâm O, bán kính R2

B. Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc đường trịn tâm O, bán kính R1

C. Đường trịn tâm O, bán kính R1 D. Trục hồnh x Ox' ngoại trừ điểm gốc Lời giải

Đặt z x yi z, 0 với x y, 

Ta có: Z z x yi x yi 42x yi2

z x yi x y



       

 

 2   2 

2

4

x x y y x y i

Z

x y

    

 



Z số thực:  

2 2

2

2

4 0

0

y x y y x y

x y x y

        

 

 

 



  



Do   gồm :

- Trục hoành x Ox' ngoại trừ điểm gốc - Đường tròn tâm O, bán kính R2 Chọn A

Bài 9: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: z 2 z i

A 2

3

x y  y  B x1 2 y12 4

C

2

1

4

x y

  D.3x24y2360

Lời giải

Cách Đặt z x yi z, 0 với x y, R

Ta có: 2   2 2

2

3

z  z i x y  x  y x y  y 

Cách Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM

Với B 1; điểm biểu diễn số i Do ta có: OM 2BM MO

MB

  

Ta suy tập hợp điểm M đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:

O

OI IB

J JB

  

2 0;

3

I 

  

Trang | Phương trình đường trịn :  

2

2 2

2 0

3 3

x y  y  x y  y 

 

Chọn A

Bài 10: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: 1  z z i A. Đường thẳng y x

B. Đường trịn tâm I 0;1 , bán kính R1 C. Đường thẳng y1

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Cách Đặt z x yi z, 0 với x y, R

Ta có: 1    z z i 1 x2y2 x2y12  y x Cách Gọi A ảnh B ảnh i A:    1;0 ,B 0;1 Ta có: 1   z z i MA  MB MAMB

Do tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB y x Chọn A

Bài 11: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: za z  a aa

A. Đường trịn tâm A , bán kính R AO B. Đường trịn tâm A , bán kính R2 C. Một hyperbol vng góc

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: za z  a aa z a2  a2  1 Gọi A điểm biểu diễn số phức a mặt phẳng phức

Ta có:  1  MA2  OA2  AM2 OA2 AM AO

Do đó, tập hợp điểm M đường trịn tâm A , bán kính RAO Chọn A

Bài 12: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: 2 2

z a z a

Trang | C. Một hyperbol vng góc

D. Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: z2a2 z2a2 z2z2 a2a2      zz zz  aa a a  2 Đặt: z x yi

a  i

  

  



Ta có:  2 2x 2yi 2  2 i xy

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia