BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP

Trang 1

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HèNH CHểP

Đồng Thái Lâm – www.mathvn.com

1 Thiết diện của hình chóp

1.1 Thiết diện qua ba điểm cho trước

1.1.1.Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp

Cách giải:

Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước

Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng

chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại

Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt các

cạnh của hình chóp

* Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào

của hình chóp để dễ xác định

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SA,

BC, CD Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP)

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB Gọi M, N là trung điểm của

SB và SC Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A’; B’; D’ nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD Xác định

thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’D’)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD

lấy điểm M sao cho KM không song song với BD Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM)

Bài 5: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên

trung điểm DC lấy điểm Q Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt phẳng (MNQ)

Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện của hình

chóp với mặt phẳng (BMN)

Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC Gọi trung điểm SC là M , trên SB lấy

điểm N sao cho 3SN = 2NB Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (DMN)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB

và AD Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)

Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a Gọi M là

trung điểm AB Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số diện tích thiết diện với BCD

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (BCN)

1.1.2.Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp

Xác định giao tuyến của các mặt, xác định giao điểm của đường nối hai điểm trên 2

cạnh đã cho với giao tuyến Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ ba

trên mặt đã cho với các cạnh của hình chóp Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng

thuộc một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc

mặt phẳng cắt Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đường chéo nhau cần xác định một mặt

phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho

Bài 1: Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC sao cho BN = 2NC, K là trọng

tâm của tam giác ACD Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK)

Trang 2

Đồng Thái Lâm www.mathvn.com

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD Trên SA lấy điểm M, SB

lấy điểm N sao cho MN//AB Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SCD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Lấy M, N trên AC và AD sao cho AM = 3MC, AN =2ND, O là điểm

nằm trên đường trung tuyến BB’ của BCD sao cho OB’=2OB Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNO) với tứ diện

Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song Gọi M và P

là trung điểm của SA và BC G là trọng tâm tam giác SCD Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MPG)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD Trên AD và SC lấy hai điểm E và F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC

Gọi K là trọng tâm của tam giác SAB Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Trên các đoạn thẳng AD và SC lấy hai điểm E và F Gọi K là điểm

bất kỳ nằm trong tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK)

Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi M và N là hai điểm trên cạnh BC và CD E là điểm bất kỳ trong tam

giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN)

1.1.3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác

Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai

điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F ,M là trung điểm của BD , CD và BC Trên AE, AF lấy hai điểm

I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F là trọng tâm của các tam giác SBC, và SCD M là trung điểm

của SA Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lượt nằm trong tam giác BCD và tam

giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD M là trung điểm của SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác

SBC và tam giác ACD Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)

1.1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau

Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm nào

Xác định giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao

điểm của đường thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh BD, BC, CD Trên AE, AF, AG lấy các

điểm M,N,P sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD) Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm

trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)

Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P biện luận nghiệm hình của bài toán

Trang 3

cạnh nào của hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm

trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận

nghiệm hình của bài toán

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD trên mp(SAB), mp(SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo

bởi ba đỉnh tương ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)

1.1.5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp

Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra mặt ngoài của hình chóp bằng cách xác định

giao tuyến của mặt phẳng chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc

cạnh của khối chóp

Xác định giao điểm của đường thẳng giao tuyến với đường thẳng nối hai điểm của mặt

phẳng thiết diện cho trước

Chuyển về bài xác định thiết diện có các điểm cho trước nằm trên mặt của hình chóp đã

nêu trên

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD Gọi G là trọng tâm

của ABD, I là trung điểm của SG Xác định thiết diện với chóp cắt bởi mặt phẳng (CDI)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi I = AC  BD, O là trung điểm SI,

gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diện cắt bởi hình chóp với mặt phẳng (MNO)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là trung điểm của AG, M và N lần lượt

là trung điểm của BC và BD Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI)

Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho

2AI = IG, M và N lần lượt là trung điểm của CD và AD Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI)

Bài 5: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho AI

= 2IG, M và N lần lượt là các điểm trên AB và CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG Gọi

M và N là trung điểm của AB và BC Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)

M và N là trung điểm của BC và CD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)

M và N là trung điểm của AB và CD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)

M và N là trung điểm của SA và BC Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)

M và N là trung điểm của SA và SC Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)

www.mathvn.com

Trang 4

1.2.Thiết diện song song

Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đường thẳng chứa cạnh nào của hình chóp Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tương ứng

và tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp

1.2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng

Xác định mặt phẳng chứa một điểm đường cho trước, xác định đường thẳng đi qua điểm và song song với đường cho trước qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp

1.2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt

Dựng các đường thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trước với các mặt bên với

điều kiện các đường thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trước Xác định các giao điểm với các cạnh của hình chóp với các đường thẳng được xác định

1.2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau

Từ các điểm đã cho lần lượt dựng các đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau với điều kiện các đường thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh

Các bài tập minh hoạ cho thiết diện song song Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD M và N là hai điểm trên AB và CD,  là mặt phẳng qua MN và song

song với SA Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD,  là mặt phẳng qua MN và

song song với SC Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ()

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của

CD Giả sử AB  CD , mp() qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD

Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng () Thiết diện là hình gì ?

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là trung điểm của SB Xác

định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () trong hai trường hợp sau

a) () qua M và song song với SO và AD

b) () qua O và song song với AM và SC

Bài 5: Cho hình chóp SABC Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC Trên đoạn BM lấy

điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện Tìm thiết diện đó

Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi H là giao điểm các đường chéo của

đáy I là điểm trên đoạn AH Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I và song song với các

đường thẳng SA và BD cắt hình chóp

Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ ý trên AB

Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường AM và BN cắt hình chóp

Bài 8: Cho hình chóp SABC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh SB Trên đoạn

thẳng SM lấy điểm E Mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường thẳng AM, SG Tìm thiết diện tạo bởi mp() cắt hình chóp

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi H là giao điểm của hai đường chéo

đáy Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC cắt hình chóp

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, M

là điểm trên đoạn AC Mặt phẳng P đi qua M song song với các đường thẳng AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện Tìm thiết diện đó

Bài 11: Cho hình chóp SABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC Trên đoạn AM

ta lấy điểm H Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện Hãy tìm thiết diện đó

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành Gọi H là giao điểm các đường chéo

đáy Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp

Trang 5

Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo

tỉ số BE:EC = 2 : 1 Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các

cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các

cạnh AB, AD Trên đoạn AC lấy điểm K Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp

Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm SC, H là giao

điểm các đường chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm của SC , M là một điểm

di dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với BC Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD Khi nào thiết diện là hình bình hành ?

Bài 18: Cho tứ diện ABCD gọi G1; G2 ; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB Tìm thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G1G2G3

1.3.Thiết diện vuông góc

1.3.1.Thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng

Mặt phẳng được xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề đó mặt phẳng cũng được xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song với nhau, biết một

điểm thuộc nó và một đường thẳng vuông góc với nó Do vậy mặt phẳng được xác định khi biết một

điểm thuộc nó và một đường vuông góc với nó cho ta xác định được một mặt phẳng đi qua một điẻm

vuông góc với một đường thẳng và có thể phát biểu thành mệnh đề như sau : “Nếu n đường thẳng

trong không gian cùng đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng  cho trước thì chúng

đồng phẳng”

Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp sảy ra :

Trường hợp 1: Nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d và a không song song với b thì

ta có (P) // a và (P) // b (Có thể (P) chứa một hoặc hai đường thẳng đó) Vận dụng các phương pháp xác định thiết diện song song đã nêu trước để xác định thiết diện

Trường hợp 2: Nếu không có hai đường thẳng cùng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt

nhau cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm cho trước Mặt phẳng được xác

định chính là (P) sau đó vận dụng các kiến thức đã nêu xác định thiết diện

Chú ý : Đế xác định đường thẳng thứ hai trong trường hợp hai cần nắm trắc định lí ba đường vuông

góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB  AD, AB  AC, AD  AC, gọi G là trọng tâm tâm tam giác BCD

Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) đi qua G và vuông góc với AD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều có SA (ABC) Gọi () là mặt phẳng qua C và

vuông góc với SB Xác định thiết diện của hình chóp với mp()

Bài 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA  (ABC) Xác định thiết diện của tứ diện cắt

bởi mặt phẳng qua S và vuông góc với BC

Trang 6

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA (ABCD) Gọi (P) là mặt phẳng qua A

và vuông góc với SB Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện là hình gì ?

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA (ABCD) Gọi (P) là mặt phẳng qua A

và vuông góc với SC Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện là hình gì ?

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD có ACBD = O, SO  mp(ABCD), gọi I là trung điểm của

SO Xác định thiết diệt của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua I và vuông góc với SA

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và AB//DC Có SA mp(ABCD) Xác

định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng () qua A và vuông góc với SC

1.3.2.Thiết diện đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Xác định thiết

diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A,B và vuông góc với mặt phẳng (SCD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi E và F lần

lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng

đi qua E, F và vuông góc với mặt phẳng SCD

lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAD Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng

lượt là trọng tâm của hai tam giác SAC và SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song.Gọi M và N là

trung điểm của SA và SC Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa M,N và vuông góc với mp(SBD)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA mp(ABCD) gọi I là điểm trên đoạn SA sao cho 2AI = IS J là

điểm trên đoạn DC sao cho DJ = 2 JC Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua I,J và vuông góc với mặt phẳng (SBD)

www.mathvn.com

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	147,75 KB