Hướng dẫn học sinh làm quen với bài toán xác định thiết diện của hình chóp

MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………….2 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI………………………………………………… II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU……………………………………………2 III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU…………………………………………2 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU……………………………………2 B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………………4 I CƠ SỞ LÍ LUẬN…………………………………………………………4 II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………………………………………5 III HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP…………………………………6 IV HIỆU QUẢ BƯỚC ĐẦU CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……16 C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……………………………………… 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….18 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình mơn tốn trung học phổ thông, cuối lớp 10 học sinh phải tiếp cận với kiến thức lạ Phần lớn học sinh bỡ ngỡ có thái độ bng xi, ngày em gần gủi với nhiều trò chơi vơ bổ để quên công việc học tập cần thiết Đặc biệt phân mơn hình học thực gây vơ vàn khó khăn cho học sinh em bước sang phần “hình học khơng gian”, từ “Chương II – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG” lớp 11 Qua thực tế giảng dạy thấy cần tạo cho học sinh tự tin định để em có thêm tình u với phần hình học khơng gian Cụ thể học sinh học phần thiết diện hình chóp, em thường vẽ hình sai chưa có hướng để thực tốn Vì tơi mạnh dạn đưa đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài cung cấp cho học sinh số dạng xác định thiết diện hình chóp giúp em phần dễ dàng cách tư Đề tài góp ý nhỏ cho đồng nghiệp thiết kế giảng III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng đề tài nghiên cứu toán xác định thiết diện hình chóp phạm vi kiến thức quan hệ song song IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết Củng cố khái niệm giao tuyến hai mặt phẳng, số kết song song hai đường thẳng không gian Nghiên cứu dạng tốn xác định thiết diện hình chóp 2 Phương pháp thu thập thông tin, thống kê, xử lí số liệu Thu thập thơng tin thơng qua nhiệm vụ giao cho học sinh như: Bài tập vận dụng lớp, tập nhà Thống kê số lượng học sinh hoàn thành nhiệm vụ, biết vận dụng để từ đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm Lấy ý kiến phản biện từ đồng nghiệp Điều chỉnh nội dung phương pháp để sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu cao B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN [1], [2], [3], [4] Giao tuyến hai mặt phẳng ( P) (α) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có ∆ đường thẳng chung chứa tất điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng viết ( P) ∩ ( α ) = ∆ Giao tuyến hai mặt phẳng liên quan đến song song đường thẳng mặt phẳng Cho mặt phẳng (α) ( P) song song với đường thẳng d d Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng có giao tuyến với mặt phẳng d ∆ ∆ đường thẳng đường thẳng song song với đường thẳng (α) Giao tuyến hai mặt phẳng liên quan đến song song hai mặt phẳng Cho mặt phẳng Nếu mặt phẳng (α) ( P) song song với mặt phẳng (β) có giao tuyến với mặt phẳng giao tuyến với mặt phẳng ∆2 với đường thẳng (β) đường thẳng ∆2 (α) đường thẳng đường thẳng ∆1 ∆1 có song song Thiết diện hình chóp cách xác định Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng phần chung hình chóp mặt phẳng Để xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng bước sau: ( P) ta thực Bước Xác định đoạn giao tuyến (Phần giao tuyến nằm mặt hình chóp) mặt phẳng ( P) với mặt hình chóp có Bước Hình đa giác tạo thành đoạn giao tuyến thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P) II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi bước sang phần hình học khơng gian học sinh ngại vẽ hình, em thường vẽ hình sai, vẽ hình khơng có nét đứt vẽ hình khơng thống Một phận học sinh trung bình vẽ hình tạm ổn chưa thể định hình tốn III HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP [1], [2], [3], [4], [5] Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua ba điểm Trong dạng tập khai thác công việc tìm hai điểm chung khác mặt phẳng đề u cầu mặt hình chóp, để từ có đoạn giao tuyến ABCD C N M B Ví dụ Cho tứ diện Lấy điểm nằm hai điểm , điểm C D P D A nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm cho hai MN BD đường thẳng không song song với Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( MNP ) Dấu hiệu khai thác: Do hai đường thẳng mà nằm mặt phẳng ( BCD ) MN BD không song song với nên chúng cắt Giải: Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Khi ta có: ( BCD ) ( ABD ) , gọi I giao điểm hai đường thẳng Q , gọi giao điểm hai đường thẳng MN IP ( MNP ) ∩ ( BCD ) = MN ( MNP ) ∩ ( ACD ) = NP ( MNP ) ∩ ( ABD ) = PQ ( MNP ) ∩ ( ABC ) = QM Vậy thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( MNP ) và BD AB MNPQ tứ giác S ABCD ABCD M Ví dụ Cho hình chóp có đáy hình bình hành Lấy điểm N S A B A nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( CMN ) Dấu hiệu khai thác: Do điểm CM M nằm hai điểm AD nằm mặt phẳng chúng cắt ( ABCD ) A B nên hai đường thẳng không song song với nhau, từ Giải: Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Khi ta có: ( ABCD ) ( SAD ) , gọi , gọi P I giao điểm hai đường thẳng giao điểm hai đường thẳng IN ( CMN ) ∩ ( ABCD ) = CM ( CMN ) ∩ ( SAB ) = MN ( CMN ) ∩ ( SAD ) = NP ( CMN ) ∩ ( SCD ) = PC thiết diện hình chóp S ABCD S ABCD cắt mặt phẳng ABCD ( CMN ) CM và AD SD tứ giác Vậy CMNP M hình bình hành Lấy điểm Q N A D A B nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm , điểm nằm Ví dụ Cho hình chóp có đáy hai điểm phẳng ( MNQ ) S C Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt N M A D Dấu hiệu khai thác: Do điểm nằm hai điểm , điểm nằm MN BC MN CD A B hai điểm nên cặp đường thẳng , nằm mặt phẳng ( ABCD ) không song song với nhau, từ chúng cắt Giải: ( ABCD ) MN CD E Trong mặt phẳng , gọi giao điểm hai đường thẳng , MN BC F giao điểm hai đường thẳng Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Khi ta có: ( SBC ) ( SCD ) , gọi , gọi P R FQ giao điểm hai đường thẳng EQ giao điểm hai đường thẳng ( MNQ ) ∩ ( ABCD ) = MN ( MNQ ) ∩ ( SAB ) = NP ( MNQ ) ∩ ( SBC ) = PQ ( MNQ ) ∩ ( SCD ) = QR ( MNQ ) ∩ ( SAD ) = RM SB SD Vậy thiết diện hình chóp MNPQR S ABCD cắt mặt phẳng ( MNQ ) ngũ giác Ví dụ Cho hình chóp S ABCD định thiết diện hình chóp Dấu hiệu khai thác: Do điểm SE Lấy điểm S ABCD E E cắt mặt phẳng nằm tam giác CD nằm mặt phẳng chúng cắt SCD nằm tam giác ( ABCD ) SCD ( ABE ) Xác nên hai đường thẳng không song song với nhau, từ Giải: Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Khi ta có: ( SCD ) , gọi ( ABCD ) ( SBF ) ( SAC ) ( SCD ) F , gọi , gọi , gọi , gọi J M N SE giao điểm hai đường thẳng I giao điểm hai đường thẳng giao điểm hai đường thẳng giao điểm hai đường thẳng 10 AC BE giao điểm hai đường thẳng ME SI và BF và AJ CD SC SC ( ABE ) ∩ ( ABCD ) = AB ( ABE ) ∩ ( SAB ) = AB ( ABE ) ∩ ( SBC ) = BM ( ABE ) ∩ ( SCD ) = MN ( ABE ) ∩ ( SAD ) = NA Vậy thiết diện hình chóp ABMN S ABCD cắt mặt phẳng ( ABE ) tứ giác Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng chéo Trong dạng tập khai thác cơng việc tìm giao tuyến mặt phẳng đề u cầu mặt hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ có đoạn giao tuyến Ví dụ Cho tứ diện (α) ABCD Lấy điểm mặt phẳng qua điểm Xác định thiết diện tứ diện M M nằm hai điểm B và song song với hai đường thẳng ABCD cắt mặt phẳng 11 (α) C Giả sử AB CD Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng mặt phẳng (α) (α) mặt phẳng song song với đường thẳng (α) AB ( ABC ) có điểm chung nằm mặt phẳng M ( ABC ) ( ABC ) nên giao tuyến mặt phẳng mặt phẳng đường thẳng qua CD M AB điểm song song với đường thẳng (Tương tự với đường thẳng ) Giải: Trong mặt phẳng ( ABC ) M ( BCD ) M ( ABD ) N , kẻ đường thẳng qua điểm Q AC AB thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm CD N BD thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm AB AD P thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: song song với đường song song với đường song song với đường ( α ) ∩ ( ABC ) = MQ ( α ) ∩ ( BCD ) = MN ( α ) ∩ ( ABD ) = NP ( α ) ∩ ( ACD ) = PQ Vậy thiết diện tứ diện MNPQ ABCD cắt mặt phẳng 12 (α) hình bình hành Ví dụ Cho hình chóp BD CD Giả sử SB (α) S ABCD Gọi giao điểm hai đường chéo mặt phẳng qua điểm O Xác định thiết diện hình chóp Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng O O mặt phẳng (α) (α) S ABCD mặt phẳng CD cắt mặt phẳng ( ABCD ) (α) ( ABCD ) nên giao tuyến mặt phẳng mặt phẳng đường O CD thẳng qua điểm song song với đường thẳng (Tương tự với đường SB thẳng ) Giải: Trong mặt phẳng O , kẻ đường thẳng qua điểm song song với P, Q AD, BC CD đường thẳng , cắt đường thẳng điểm 13 có điểm chung nằm mặt phẳng (α) ( ABCD ) và song song với hai đường thẳng song song với đường thẳng ( ABCD ) AC ( SBC ) Q ( SCD ) M Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm SB SC M thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm CD SD N thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: song song với đường song song với đường ( α ) ∩ ( ABCD ) = PQ ( α ) ∩ ( SBC ) = QM ( α ) ∩ ( SCD ) = MN ( α ) ∩ ( SAD ) = NP S ABCD Vậy thiết diện hình chóp MNPQ PQ MN với hai đáy cắt mặt phẳng (α) hình thang Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua hai điểm song song với đường thẳng Trong dạng tập khai thác công việc tìm giao tuyến mặt phẳng đề yêu cầu mặt hình chóp có chứa đường thẳng song song với nó, để từ có đoạn giao tuyến 14 Ví dụ Cho tứ diện hai điểm A ABCD B M Gọi Giả sử AC song với đường thẳng (α) CD trung điểm cạnh , lấy điểm M,P mặt phẳng qua hai điểm P nằm song (α) ABCD a Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng P b Xác định vị trí điểm để thiết diện hình bình hành Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng M mặt phẳng (α) (α) mặt phẳng song song với đường thẳng ( ACD ) AC ( ACD ) có điểm chung nằm mặt phẳng (α) ( ACD ) nên giao tuyến mặt phẳng mặt phẳng đường thẳng AC M P qua điểm song song với đường thẳng (Tương tự với điểm ) Giải: ( ACD ) a Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm AC N AD đường thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng ( ABC ) , kẻ đường thẳng qua điểm Q AC BC thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: P M song song với song song với đường ( α ) ∩ ( ACD ) = MN ( α ) ∩ ( ABC ) = PQ ( α ) ∩ ( BCD ) = MQ ( α ) ∩ ( ABD ) = PN Vậy thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng 15 (α) MNPQ hình thang với hai đáy PQ MN MNPQ MN , PQ MN = PQ b Hình thang có hai đáy hình bình hành Do MN đường trung bình tam giác PQ = AC Vậy P Ví dụ Cho hình chóp N nằm hai điểm C trung điểm cạnh S ABCD song song với đường thẳng D SA Lấy điểm Giả sử AB , từ MN = PQ nằm hai điểm A mặt phẳng qua hai điểm S ABCD b Xác định điều kiện đường thẳng Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng mặt phẳng (α) M nên AC B , điểm M,N a Xác định thiết diện hình chóp (α) ACD MN = (α) MN cắt mặt phẳng để thiết diện hình thang mặt phẳng song song với đường thẳng 16 (α) SA ( SAB ) có điểm chung nằm mặt phẳng ( SAB ) M nên (α) giao tuyến mặt phẳng mặt phẳng SA M song song với đường thẳng ( SAB ) đường thẳng qua điểm Giải: a Trong mặt phẳng ( SAB ) , kẻ đường thẳng qua điểm Q SA SB đường thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng ( ABCD ) , gọi I M song song với giao điểm hai đường thẳng ( SAC ) Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm SA SC P thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: I MN song song với đường ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN ( α ) ∩ ( SAB ) = MQ ( α ) ∩ ( SBC ) = QP ( α ) ∩ ( SCD ) = PN (α) S ABCD AC MNPQ Vậy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng tứ giác MNPQ MQ PN b Tứ giác hình thang hai đường thẳng song song với PQ MN hai đường thẳng song song với MQ PN SA * Nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng PN SA song song với đường thẳng Khi đường thẳng song song với mặt phẳng ( SCD ) (Vơ lí) * Nếu hai đường thẳng MN PQ song song với hai mặt phẳng 17 ( ABCD ) , ( SBC ) MN , PQ chứa hai đường thẳng có giao tuyến đường BC MN BC thẳng nên đường thẳng song song với đường thẳng MN BC Ngược lại đường thẳng song song với đường thẳng hai mặt phẳng ( α ) , ( SBC ) MN , BC chứa hai đường thẳng có giao tuyến PQ PQ MN đường thẳng nên đường thẳng song song với đường thẳng MN BC Vậy đường thẳng song song với đường thẳng Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng Trong dạng tập khai thác cơng việc tìm giao tuyến mặt phẳng đề yêu cầu mặt hình chóp khơng song song với nó, để từ có đoạn giao tuyến Ví dụ Cho tứ diện cạnh BD Giả sử ABCD (α) có tất cạnh mặt phẳng qua điểm 18 M a Gọi M trung điểm song song với mặt phẳng ( ACD ) a Xác định thiết diện tứ diện b Tính diện tích thiết diện ABCD Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng ( ABD ) mặt phẳng thứ ba song song với (α) cắt mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng cắt hai mặt phẳng ( α ) , ( ACD ) ( ACD ) Khi theo hai giao tuyến Giải: ( ABD ) a Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm AD AB P đường thẳng , cắt đường thẳng điểm ( BCD ) Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm CD BC N thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: ( α ) ∩ ( ABD ) = PM ( α ) ∩ ( ABC ) = NP b Ta có Vậy song song với đường ABCD cắt mặt phẳng đường trung bình tam giác S∆MNP song song với ( α ) ∩ ( BCD ) = MN Vậy thiết diện tứ diện MN M M 3 1  = MN =  a ÷ = a 4 2  16 19 BCD (α) nên tam giác MNP 1 MN = CD = a 2 Ví dụ 10 Cho hình chóp nằm hai điểm C song với mặt phẳng mặt phẳng (α) S ABCD D ( SAD ) có đáy Giả sử (α) ABCD hình bình hành Lấy điểm mặt phẳng qua điểm Xác định thiết diện hình chóp M M song S ABCD cắt Dấu hiệu khai thác: Do mặt phẳng ( ABCD ) mặt phẳng thứ ba song song với (α) song song với mặt phẳng cắt hai mặt phẳng ( α ) , ( SAD ) ( SAD ) Khi theo hai giao tuyến Giải: ( ABCD ) Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm N AD AB đường thẳng , cắt đường thẳng điểm Trong mặt phẳng ( SCD ) , kẻ đường thẳng qua điểm Q SD SC thẳng , cắt đường thẳng điểm 20 M M song song với song song với đường ( SAB ) Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua điểm SA SB P thẳng , cắt đường thẳng điểm Khi ta có: N song song với đường ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN ( α ) ∩ ( SCD ) = MQ ( α ) ∩ ( SAB ) = NP ( α ) ∩ ( SBC ) = PQ S ABCD Vậy thiết diện hình chóp MNPQ PQ MN với hai đáy cắt mặt phẳng (α) hình thang IV HIỆU QUẢ BƯỚC ĐẦU CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sáng kiến kinh nghiệm tác giả giảng dạy cho lớp 11B trường THPT Tống Duy Tân năm học 2018 – 2019 tiết thiết diện hình chóp Sau lĩnh hội nội dung sáng kiến kinh nghiệm phần lớn học sinh tỏ tích cực hăng say tiết hình học Kết kiểm tra hầu hết học sinh đạt mục tiêu đề C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bài tốn xác định thiết diện hình chóp tốn khơng dễ dàng học sinh Tuy nhiên em rèn luyện từ điều nhỏ để 21 hình thành thói quen tốt tơi tin đơng đảo học sinh u q phần hình học khơng gian Khi áp dụng đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP” vào giảng dạy giải số vấn đề sau: Giúp học sinh chín chắn vẽ hình khơng gian, nắm dạng tốn xác định thiết diện hình chóp Phát triển tư tính sáng tạo học sinh hình học Tơi hy vọng kinh nghiệm góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung tốn xác định thiết diện hình chóp nói riêng Tôi cố gắng lúc soạn thảo đề tài này, nhiên điều kiện thời gian kinh nghiệm thân hạn chế nên khơng tránh thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tơi cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác LÊ VĂN DŨNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2010 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2014 Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên): Bài tập hình học 11, nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2013 Văn Như Cương (Chủ biên): Bài tập hình học 11 nâng cao, nhà xuất giáo dục, năm 2009 Trần Văn Hạo (Chủ biên): Chun đề luyện thi vào đại học hình học khơng gian, nhà xuất giáo dục, năm 2006 23 ... “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP” vào giảng dạy giải số vấn đề sau: Giúp học sinh chín chắn vẽ hình khơng gian, nắm dạng toán xác định thiết diện hình. .. dạn đưa đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài cung cấp cho học sinh số dạng xác định thiết diện hình chóp giúp em phần... tạm ổn chưa thể định hình tốn III HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÀM QUEN VỚI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP [1], [2], [3], [4], [5] Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua ba điểm Trong dạng tập