Sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH LÊ VĂN BÌNH ĐỀ TÀI SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10 TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 06/2003 CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hường dẫn khoa học PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Người chấm nhận xét Người chấm nhận xét Luận văn Thạc só bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ngày ……… tháng ……… năm 2003 Có thể tìm Luận văn Thư viện Trường Đại Học Bách Khoa Đại học Quốc gia Tp Hồ chí minh BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc -oOo - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên Ngày tháng năm sinh Chuyên ngành Khóa : : : : LÊ VĂN BÌNH 08/02/1978 Xây dựng DD&CN 2000 I TÊN ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG Phái Nơi sinh Mã số : : : Nam Bình Định 23.04.10 BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG • Nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp dải hữu hạn • So sánh phương pháp dải hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn • • • • • Nghiên cứu lý thuyết phương pháp dải hữu hạn với toán ứng suất phẳng, toán uốn Sử dụng phần tử dải hữu hạn bậc cao toán phẳng lý thuyết đàn hồi Khảo sát thành phần ứng suất, chuyển vị toán phẳng so sánh kết với lời giải phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp giải tích Xây dựng chương trình tính toán toán phẳng với phương pháp dải hữu hạn Nhận xét kết kết luận phương pháp dải hữu hạn III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : : 29/11/2002 07/6/2003 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT VII HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT : : : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ NHẬN XÉT CÁN BỘ NHẬN XÉT PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Nội dung Đề cương Luận văn thạc só Hội đồng chuyên ngành thông qua PHÒNG QLKH – SĐH Tp.HCM ngày ……… tháng ……… năm 2003 CHỦ NHIỆM NGÀNH PGS.TS CHU QUỐC THẮNG LỜI CẢM ƠN Chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Công ty Xây dựng Giao thông Sài Gòn – Sở Giao thông Công chánh Tp Hồ Chí Minh Ông Giám đốc Xí nghiệp Tư vấn Xây dựng Giao thông Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho làm việc học tập suốt năm qua Chân thành cảm ơn PGS.TS Chu Quốc Thắng hướng dẫn giúp đỡ tận tình cho hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn người thân, bạn bè đồng nghiệp động viên chia sẻ với khó khăn công việc trình học tập nghiên cứu Trường Lê Văn Bình MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Tổng qua phương pháp FSM 1.3 Quá trình phát triển FSM giới CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH BÀI TOÁN CỦA PHƯƠNG PHÁP FSM .6 2.1 Lựa chọn hàm chuyển vị 2.2 Thaønh lập hàm chuyển vị .8 2.2.1 Phần chuỗi hàm chuyển vị 2.2.2 Phần hàm dạng hàm chuyển vị 10 2.3 Thaønh lập phương trình FSM nguyên lý toàn phần dừng 16 2.3.1 Các hàm chuyển vị 17 2.3.2 Biến dạng 17 2.3.3 Ứng suất 18 2.3.4 Cực tiểu tổng 18 2.4 Trình tự phân tích toán FSM 21 2.5 Phương pháp FSM với toán chịu uốn 22 2.5.1 Daûi uốn hình chữ nhật 23 2.5.2 Dải uốn dạng cong 28 2.6 FSM với toán phẳng lý thuyết đàn hồi 31 2.7 Phương pháp FSM với toán ứng suất phaúng 34 2.7.1 Dải ứng suất phẳng hình chữ nhật 36 2.7.2 Dải ứng suất phẳng cong 41 2.8 Lắp ghép phần tử – ma trận độ cứng & vectơ tải tổng thể 44 2.9 Ví dụ tính toán 47 CHƯƠNG III : SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HOÀI 56 3.1 Phép nội suy 56 3.2 Dải bậc cao với đường nút 57 3.2.1 Ma trận độ cứng phần tử 58 3.2.2.Vectơ tải trọng phần tử 60 3.3 Dải bậc cao với đường nút 72 3.4 Lời giải lý thuyết đàn hồi 74 3.5 So sánh FSM với kết tính toán giải tích FEM 78 3.6 Nhận xét kết 81 3.7 Nhận xét phương pháp FSM 90 CHƯƠNG IV : XÂ Y DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 91 4.1 Xây dựng mô hình thuật toán 91 4.2 Chuẩn bị lieäu 93 4.3 Tính toán ma trận độ cứng phần tử vectơ tải trọng phần tử 93 4.4 Lắp ghép ma trận độ cứng vectơ tải tổng thể 95 4.5 Đưa vào chuyển vị cưỡng 97 4.6 Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính 98 4.7 Tính toán thành phần nội lực 98 4.8 Chương trình tính toán 99 CHƯƠNG V : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103 TÀI LIỆU THAM KHAÛO 104 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD) 1.1 Đặt vấn đề Để giải toán học vật rắn biến dạng tổng quát cần thiết phải tìm 15 ẩn hàm (gồm phương trình cân nội, phương trình liên tục, phương trình quan hệ ứng suất – biến dạng) phải thỏa mãn điều kiện biên động học tónh học Điều rõ ràng không thực toán tổng quát khó khăn mặt toán học Vì có nhiều phương pháp tính đời nhằm giải vấn đề Có thể chia làm hai nhóm phương pháp tính phương pháp giải tích phương pháp số, phương pháp số tỏ tốt việc tính toán kết cấu phức tạp Hiện phương pháp số ứng dụng nhiều phân tích kết cấu phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM) Tuy nhiên phương pháp có ưu khuyết điểm định toán cụ thể Đề tài hướng đến việc giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) Phương pháp sử dụng hữu hiệu loại kết cấu có mặt cắt ngang không đổi chạy dọc theo hai trục cố định loại cầu dầm hộp, mỏng, dày, kết cấu dạng lăng trụ Vì nghiên cứu phương pháp tính nên người viết phân tích cụ thể sở lý thuyết phương pháp việc thành lập phương trình tính toán ứng với nhiều loại phần tử khác so sánh với phương pháp tính khác mức độ xác, độ hội tụ nghiệm tìm được, khối lượng tính toán khả tự động hóa tính toán 1.2 Tổng quan phương pháp FSM Như biết phương pháp phần tử hữu hạn công cụ mạnh mẽ linh hoạt việc phân tích kết cấu phát triển nhanh chóng ứng dụng giải nhiều toán học Tuy nhiên kết cấu có đặc tính hình học thông thường điều kiện biên đơn giản, phân tích phương pháp phần tử hữu hạn cách đầy đủ không cần thiết thường dẫn đến việc phân tích toán bậc cao để thu nghiệm tốt Chính kích thước toán xác đòi hỏi nhiều công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, bà i toán giải cách cứng nhắc phải thực nhiều bước tính toán trung gian dài dòng tốn thời gian Điều thể rõ toán THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG phân tích kết cấu trạng thái tónh (static analysis) vật rắn chiều hay toán phân tích dao động ổn định kết cấu không gian Do cần lựa chọn phương pháp tính giảm bớt khối lượng tính toán cách sử dụng linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích loại kết cấu mong muốn Từ vấn đề nêu trên, gần phát triển phương pháp phân tích kết cấu thỏa mãn yêu cầu toán phương pháp dải hữu hạn Trong phương pháp này, kết cấu chia thành dải (strip) miền (subdomain) chiều lăng trụ (prism) lớp (layer) mà dải có cặp cạnh đối diện (2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với biên kết cấu Do đặc tính phương pháp, kết cấu thường có dạng hình học không thay đổi dọc theo hai trục tọa độ để kích thước mặt cắt ngang dải (hoặc lăng trụ hay lớp) không thay đổi từ đầu đến cuối Vì kết cấu dầm cầu dạng hộp (box girder bridge) loại mỏng (voided slab) dễ dàng chia thành dải lăng trụ, hay loại kết cấu vỏ dày nhiều lớp đẳng hướng thuận tiện chia thành lớp để nghiên cứu Phương pháp dải hữu hạn xem trường hợp đặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn cách sử dụng hàm gần chuyển vị (displacement approach) Không phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn sử dụng hàm chuyển vị đa thức tất chiều mà phương pháp sử dụng đa thức đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác chuỗi đạo hàm riêng liên tục với điều kiện chuỗi phải thỏa mãn điều kiện tiên (priori) điều kiện biên biên dải (lăng trụ, lớp) Công thức tổng quát hàm chuyển vị cho tích đa thức chuỗi Vì dải toán chiều giảm xuống toán chiều Hàm chuyển vị viết nhö sau : r w = ∑ f m ( x )Ym (1.1a) m =1 Tương tự cho trường hợp “dải” lăng trụ, toán ba chiều giảm xuống thành toán chiều : r w = ∑ f m ( x, z )Y m (1.1b) m =1 Đối với “dải layer” toán ba chiều phân tích toán chiều : r w=∑ m =1 t ∑f mn ( z ) X m Yn (1.1c) n =1 THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Trong biểu thức trên, chuỗi cắt bớt bậc thứ r số hạng thứ t; f m ( x), f m ( x, z ), f mn ( z ) biểu thức đa thức với số không xác định cho số hạng thứ m n chuỗi X m , Ym tương ứng chuỗi thỏa mãn điều kiện biên theo phương x y rõ hàm độ võng phương Chính bậc tự hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm Bài toán trở nên đơn giản Các dạng kết cấu sau minh họa cách chia phần tử theo dải áp dụng phương pháp tính toán FSM (Plate Strips) 11 12 13 (QuadrilateralFinitePrisms) 10 (b) Tấm rỗng khoét lỗ tròn (a) Tấm phẳng 10 12 11 (c) Cầu dầm hộp cong (d) Tấm dày nhiều lớp (Shell Strips) (Finite Layers) Hình : Các loại kết cấu tính toán FSM Tư tưởng chủ yếu phương pháp FSM tương tự phương pháp FEM tìm dạng gần ẩn hàm miền Ve thuộc miền V Tuy nhiên dạng Ve phương pháp FSM có tính chất không thay đổi toàn miền V áp dụng toán nêu Các miền Ve liên kết với đường gọi đường nút (nodal line) Các thông số đường nút gọi bậc tự phần tử xem ẩn số cần tìm THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Để rõ phương pháp này, ta xem bảng so sánh khác phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp dải hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp dải hữu hạn (FEM) (FSM) Có thể áp dụng phân tích kết cấu với dạng hình học, điều kiện biên vật liệu khác Là công cụ mạnh linh hoạt Trong toán tónh, thường áp dụng cho kết cấu với gối tựa có hai cạnh đối diện nhau, có gối tựa đàn hồi trung gian, đặc biệt cầu Trong toán động, thường sử dụng cho kết cấu với điều kiện biên gối tựa rời rạc Thường có số lượng phương trình nhiều ma trận có dải rộng (bandwith) tương đối lớn Có thể không tìm lời giải giới hạn công cụ tính toán Số lượng phương trình ma trận có dải hẹp, đặc biệt cho toán có cặp gối tựa đối Do thời gian tính toán nhiều để tìm lời giải tương đối xác Số lượng kiện đưa vào lớn dễ Số lượng kiện đưa vào gây lỗi lầm Đòi hỏi tự động đường lưới việc giảm kích thước hoá việc phủ lưới phát sinh tải trọng toán phân tích Số lượng liệu xuất lớn bao gồm tất Dễ dàng rõ chuyển vị ứng chuyển vị nút ứng suất phần suất cần tìm xuất kết tử Các phần tử bậc thấp không cách xác có ứng suất xác nút ứng suất trung bình nội suy Đòi hỏi số lượng lớn yếu tố cốt lõi khó khăn để lập trình Thông thường cần có kỹ thuật tính cao phải dùng đến phương pháp thu gọn khối lượng hay phương pháp lặp để giảm yêu cầu THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 Cần số nhỏ yếu tố cốt lõi dễ lập trình Bởi cần vài trị riêng thấp nên từ đến số hạng chuỗi cho kết xác, giải ma trận ma trận trị riêng chuẩn LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Nhận xét : Khi tỉ số a/b lớn, có nghóa chiều dài lớn nhiều lần so với chiều cao, kết tính toán FSM gần đến nghiệm lời giải giải tích Khi a/b nhỏ lời giải giải tích sai lệch nhiều so với phương pháp FSM Điều tương tự kết ứng suất khảo sát BIỂU ĐỒ ĐỘ LỆCH GIỮA GT VÀ FSM THEO TỈ SOÁ a/b (%) 100% 90% 80% 85.91% 70% 60% 58.68% 50% 40% 31.45% 30% 25.03% 20% 21.22% 12.65% 10% 6.24% 0% 0.25 0.5 10 20 a/b 3.7 NHẬN XÉT PHƯƠNG PHÁP FSM Từ phân tích nêu ta thấy chất phương pháp FSM mô tả toán học công cụ toán học túy để giải Chính ẩn số [δ m ] tìm giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính ý nghóa mặt vật lý (trong FEM ẩn số tìm chuyển vị nút đó) Vì áp dụng phương pháp toán học để mô tả toán nên giải mô hình toán học mà áp dụng cho số toán định, có toán phẳng lý thuyết đàn hồi trình bày Tuy nhiên phương pháp đặc biệt có hiệu kết cấu lắp ghép hàng loạt nhau, chẳng hạn toán cầu… Trong chọn hàm chuyển vị, FSM phải lựa chọn dựa vào điều kiện biên toán nên không mang tính tổng quát, so với FEM FSM yếu nhiều THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 90 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG CHƯƠNG IV XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Do thời gian thực chương trình có hạn nên người viết lập ngôn ngữ lập trình Matlab6.0 để tận dụng khả tính toán sẵn có Chính điều nên hạn chế khả tự động hóa hiển thị đồ họa cần thiết chương trình tính toán kết cấu Tuy nhiên thuật toán cho dù viết ngôn ngữ Trong thời gian tới người viết phát triển ngôn ngữa Visual C để nâng cao tính chuyên nghiệp chương trình lập trình hướng người sử dụng Chương trình gồm module liệu nhập, module thư viện loại phần tử mẫ u (LO2, HO2, HO3), module tính toán ma trận cứng ma trận tải trọng phần tử, module giải phương trình đại số, module tính toán thành phần nội lực xuất kết dạng số đồ họa Ngoài có đoạn chương trình phục vụ tính toán tích phân số theo phương pháp Gauss tính tích phân kép theo phương pháp SimSon… 4.1 Xây dựng mô hình thuật toán Từ sở lý thuyết tính toán kết cấu phương pháp dải hữu hạn, ta khái quát bước tính toán sau: - Chuẩn bị liệu nhập cho toán - Tính toán ma trận độ cứng phần tử, vectơ tải phần tử - Lắp ghép ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể - Đưa vào điều kiện chuyển vị cưỡng - Giải hệ thống phương trình đại số tìm thông số đường nút - Tính toán thành phần ứng suất, biến dạng chuyển vị phần tử Một toán sử dụng phương pháp FSM tổng quát thực theo bước Các bước tính toán từ (1) đến (4) cho toán tónh lẫn toán động Đối với toán phân tích tần số dao động, bước (5) (6) thay bước tính toán nghiệm trị riêng Trong giới hạn đề tài này, không xét đến toán dao động phương pháp FSM phân tích kết cấu mà giới hạn toán phẳng lý thuyết đàn hồi Tuy nhiên, chương trình lập áp dụng tính toán cho kết cấu thỏa mãn điều kiện áp dụng phương pháp THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 91 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG FSM để áp dụng cần hiệu chỉnh vài giá trị phần chuẩn bị liệu cho chương trình Sơ đồ khối chương trình BẮT ĐẦU (Start) ĐỌC DỮ LIỆU NHẬP (Read Data Input) LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC SỐ HẠNG CỦA CHUỖI (Loop on Number of Terms) NHẬP CÁC HỆ SỐ TẢI TRỌNG CHUỖI (Read Fourier Load Coefficient) LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC PHẦN TỬ DẢI (Loop on Number of Strip) TÍNH TOÁN MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG PHẦN TỬ (Form Siffness and Load Matrix for Strip) LẮP GHÉP VÀO MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG TỔNG THỂ (Assemblage of Stiffness and Load Matrix) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÌM THÔNG SỐ ĐƯỜNG NÚT (Solution of Simultaneous Equation) XUẤT CÁC THÔNG SỐ CHUYỂN VỊ ĐƯỜNG NÚT (Output Displacement Parameters) TÍNH TOÁN CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT, CHUYỂN VỊ (Output Internal Forces) KẾT THÚC (Stop) THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 92 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG 4.2 Chuẩn bị liệu Bước chuẩn bị liệu bao gồm công việc sau: • Định nghóa thông số hình học kết cấu • Định nghóa thông số đặc trưng vật liệu kết cấu • Đánh số thứ tự cho phần tử dải cho bậc tự đường nút nút Việc đánh số cần liên tục đảm bảo dễ dàng cho việc tham chiếu đến phần tử cho bước kếp tiếp • Mô tả điều kiện tải trọng chuyển vị ban đầu • Thiết lập ma trận số [b] • Thiết lập ma trận chuyển đổi toạ độ theo tọa độ đường nút [n] • Lựa chọn hàm chuyển vị dải cho toán • Lựa chọn phần tử mẫu để tính toán Đối với toán phẳng thường không cần phải lập ma trận [n] 4.3 Tính toán ma trận độ cứng phần tử vectơ tải trọng phần tử Theo phần lý thuyết, ma trận cứng phần tử vectơ tải trọng phần tử tính toán công thức tổng quát sau đây: [S ]mn = ∫ [B]Tm [D ][B]n dV {F }m = ∫ [N ]Tm {q}dA Với toán phẳng, tích phân tích phân kép toàn bề mặt diện tích dải Như biết, việc tính toán dạng tường minh ma trận độ cứng thực không tìm dạng nguyên hàm tổng quát Do tính toán gần phương pháp tích phân số Dưới trình bày số phương pháp để tính tích phân kép (a) Phương pháp hình thang b Giả sử cần tích tích phân I = ∫ f ( x )dx a Chia đoạn [a,b] thành N đoạn nhỏ bề rộng h = a −b N Đặt f = f (a ) , f i = f ( a + ih ) b → I = ∫ f ( x) dx = a h ( f + f + f + K + f N −1 + f N ) Coù thể phát biểu phương pháp hình thang dạng khác: THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 93 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 h I≈ x I≈ GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG v ( x1 ) v ( x N −1 ) v(xN )  v( x0 )   ∫ f ( x0 , y ) dy + ∫ f ( x1 , y) dy + K + ∫ f ( x N −1 , y ) dy + ∫ f ( x N , y) dy  u ( x )  u ( x1 ) u ( x N −1 ) u (xN ) hx [G( x0 ) + 2G ( x1 ) + K + 2G( xN −1 ) + G( xN ) ] Trong G( xi ) = h ∫ f ( x , y )dy = [ f (x , y v(xi ) y i i i, ) + f ( xi , yi ,1 ) + + f ( xi , yi , N −1 ) + f ( xi , yi , N ) ] u ( xi ) hy = [v ( xi ) − u ( xi )] N (b) Phương pháp SimSon 1/3 b v(x) Tính tích phân kép I = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy a u (x) Đặt G( x) = v(x) ∫ f (x, y )dy u( x ) b ⇒ I = ∫ G( x) dx a chia thành N đoạn h = a −b N đặt f = f ( a ) , f i = f ( a + ih ) ⇒I = h ( f + f1 + f + f + f + + f N − + f N −1 + f N ) (c) Phương pháp tích phân Gauss b Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx a Áp dụng tích phaân Gauss b N a i= I = ∫ f ( x ) dx ⇒ I ≈ ∑ wi G ( x i ) Giữa hệ tọa độ toàn cục x hệ tọa độ địa phương ξ có quan heä: ξ = −1 + x − x x mac − x Khi x = a → ξ = +1 Khi x = b → ξ = −1 THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 94 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Do viết tọa độ địa phương là: N −1 i =0 I = ∫ G(ξ)dξ ⇒ I ≈ ∑ wi G(ξi ) Trong wi , x i trọng số tọa độ điểm Gauss thứ i Giá trị số G( x i ) tính điểm laø: G( xi ) = v( xi ) ∫ f (x , y )dy i u ( xi ) 4.4 Lắp ghép ma trận độ cứng vectơ tải tổng thể Các ma trận cứng phần tử sau tính toán hệ tọa độ phần tử chuyển đổi hệ tọa độ tổng thể ma trận chuyển đổi tọa độ [n] lắp ghép vào ma trận cứng tổng thể kết cấu Đối với phương pháp FSM, có diện chuỗi hàm riêng hàm chuyển vị kết nối số hạng chuỗi, việc lắp ghép phần tử thường phức tạp so với FEM Ta xem xét ba trường hợp khác việc lắp ghép ma trận độ cứng phần tử vectơ tải phần tử (a) Phần tử dải hữu hạn với trường hợp tựa đơn đầu Trong trường hợp này, số hạng chuỗi không kết nối với ma trận cứng phần tử tính toán, lắp ghép giải cách riêng lẻ Vì vậy, đường nút (hoặc nút) dải thứ (i) có liên hệ tương ứng với đường nút I J kết cấu, số hạng thứ m chuỗi gồm thành phần ma trận [S ]mm( i) cộng vào ma trận độ cứng tổng thể sau: Nút (I - 1) I (I-1) I I+1 … J J+1 … (J-1) [S 11 ]mm( i) [S 12 ]mm( i) [S 21 ]mm(i ) [S 22 ] mm(i ) (I+1) … … (J -1) J J+1 THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 95 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG (b) Phần tử dải hữu hạn với điều kiện biên tổng quát Trong tất điều kiện biên ngoại trừ trường hợp hai tựa đơn xét trên, sử dụng phần tử dải (strip), số hạng khác chuỗi không tách riêng nữa, ma trận độ cứng thành lập cách tổng quát từ công thức (2.30) Lắp ghép vào ma trận độ cứng tổng thể dải thứ (i) điển sau: Nút I-1 I 1…m Số hạng I+1 … J-1 n r J 1…m J+1 n r I-1 1…m I n [S 11 ] mn(i) [S 12 ]mn( i) [S 21 ] mn( i) [S 22 ]mn(i ) r I+1 J-1 1…m J n r J+1 (c) Phaàn tử dải layer với điều kiện biên tổng quát Đối với phần tử dải lớp (layer), layer xếp theo thứ tự liên tục đánh số phần tử nên đánh số theo thứ tự liên tục Vì nút layer thứ (i) liên hệ với nút I kết cấu nút liên hệ tương ứng với nút I+1 Việc xếp layer điển hình viết: [S ]mnpq(i ) = (∫ [B ] T mn [D][B ] pq d ( vol) )( i) THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 96 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 Nút I-1 I 11 12…1t…mn Số hạng GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THAÉNG I+1 …pq… rt 11 12 …1t…m I+2 … pq … rt I-1 11 12 … 1t … I mn [S 11 ]mnpq(i ) [S 12 ]mnpq( i) [S 21 ]mnpq( i) [S 22 ] mnpq( i) pq… rt 11 12 … I+1 1t … mn pq… rt J+2 Trong r t tổng số số hạng tương ứng sử dụng cho hai chuỗi hàm 4.5 Đưa vào chuyển vị cưỡng Đối với toán có chuyển vị cưỡng phải đưa vào phương trình để giải Không giống FEM, ma trận độ cứng tổng thể tính FSM nhìn chung giải trực tiếp không cần đưa vào điều kiện biên Tuy nhiên trường hợp điều kiện biên thật tồn dọc theo cạnh theo chiều dọc dải (vì tính đối xứng điều kiện tải trọng), ma trận độ cứng phải hiệu chỉnh Giả sử ta có hệ thống phương trình để giải sau: THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 97 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11  k11 k  21 k 31   M k n1 k 12 k 13 k 22 k 31 M k n2 k 23 k 33 M k n3 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG K k n   d   p1  K k n  d   p      K k n  × d  =  p   M  M  M      K k nn  d n   p n  (4.1) Giả sử d có giá trị chuyển vị cưỡng α Cách hiệu chỉnh ma trận độ cứng đơn giản hai bước Đầu tiên ta nhân số hạng tương ứng với d nằm đường chéo ma trận độ cứng với số lớn khoảng từ 106 ÷ 1010 Sau số hạng bên phải (4.1) tương ứng p thay tích số hệ số đường chéo chuyển vị cưỡng α Ma trận độ cứng giữ nguyên kích thước xếp số hạng ban đầu Khai triển phương trình thứ hệ phương trình ta có: k 31 d + k 32 d + k 33 ×10 10 d + L + k n d n = k 33 ×1010 × α (4.2) Chia hai vế (4.2) cho k 33 × 1010 , ta có: k 31 k 32 k 3n d1 + d + d3 +L + dn =α 10 10 k 33 × 10 k 33 × 10 k 33 ×10 10 (4.3) Các hệ số k ij giữ nguyên giá trị so với ban đầu xem số hạng trước d j xem 0, phương trình viết lại: d3 =α (4.4) Như xem ta đưa vào chuyển vị cưỡng α 4.6 Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính Cách giải hệ thống phương trình đại số có nhiều cách khác Đối với Matlab việc đơn giản không đưa 4.7 Tính toán thành phần nội lực Giải hệ phương trình đại số tuyến tính tìm thông số nút [δ ]m Ma trận tính biến dạng biết [B]m Biến dạng tính cho phần tử theo công thức sau: {ε} = ∑ [B] m {δ} m r m =1 Ma trận tính ứng suất phần tử xác định theo định luật Hooke: {σ} = [D] {ε} Hàm chuyển vị xác định từ công thức: THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 98 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THAÉNG { f } = ∑ [N ]m {δ}m r m =1 Để tính chuyển vị điểm thuộc kết cấu, ta cần thay tọa độ địa phương điểm vào hàm chuyển vị tương ứng phần tử chứa điểm 4.7 Chương trình tính toán Đây đoạn chương trình viết Matlab6.0 để tính toán cho toán phẳng liên kết tựa đơn hai đầu, sử dụng phương pháp FSM CHUONG TRINH CHINH % % Chuan bi du lieu % clear all format long clc nstrip=4; % tong so dai nstripline=2; % so duong nut cho dai nlinedof=2; % bac tu cua duong nut nline=nstrip+1; % tong so duong nut sdof=nline*nlinedof; % tong so bac tu cua he thong a=5; % chieu dai dai b=0.5; % chieu rong dai Ex=2e5; % modun dan hoi theo phuong x Ey=2e5; % modun dan hoi theo phuong y t=0.01; % be day tam vx=0.3; % he so poatxong theo x vy=0.3; % he so poatxong theo y Gxy=Ex/2/(1+vx); % modun dan hoi truot D=TinhD(Ex,Ey,vx,vy,Gxy); % % Ket noi cac duong nut % for i=1:nstrip nodes(i,1)=i; nodes(i,2)=i+1; end % -ff=zeros(sdof,1); % vecto luc cua he qq=zeros(sdof,1); kk=zeros(sdof,sdof); % ma tran cung cua he k=zeros(nstripline*nlinedof,nstripline*nlinedof) ; % ma tran cung phan tu f=zeros(nstripline*nlinedof,1); % ma tran tai phan tu f0=zeros(sdof,1); %tai nut index=zeros(nstripline*nlinedof,1); % vecto ma hoa chuyen vi nut cho deltastrip=zeros(nstripline*nlinedof,1); %vecto chuyen vi phan tu % % Luc tai nut % syms y f0(1)=3/4**int(sin(pi*y/a),y,0,a); % luc tac dung len nut huong xuong % % Lap tren tat ca phan tu THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 99 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG % syms x y C1=1-x/b; C2=x/b; Yu=sin(pi*y/a); Yv=cos(pi*y/a); Nm=TinhNm(a,b,C1,C2,Yu,Yv); Bm=TinhBm(a,b,C1,C2,Yu,Yv); S=Bm'*D*Bm; % -Tich phan so -for i=1:nstripline*nlinedof for j=1:i k(i,j)=tpso(a,b,S(i,j))*t end end for i=1: nstripline*nlinedof for j=1:i k(j,i)= k(i,j); end end % -Lap ghep ma tran cung -for i=1:nstrip % Lap tren tat ca phan tu nd(1)=nodes(i,1); % Duong nut thu nhat cua phan tu thu i nd(2)=nodes(i,2); % duong nut thu hai cua phan tu thu i index=feeldof(nd,nstripline,nlinedof); %bac tu phan tu he toan cuc kk=LapghepK(kk,k,index) ; % Lap ghep ma tran cung end for i=1:sdof ff(i)=qq(i)*ff(i) + f0(i); end delta=inv(kk)*ff; % Giai he phuong trinh dai so tuyen tinh % Tim ket qua noi luc, ung suat -for i=1:nstrip % Lap tren tat ca phan tu nd(1)=nodes(i,1); % duong nut thu nhat cua phan tu thu iel nd(2)=nodes(i,2); % duong nut thu hai cua phan tu thu iel index=feeldof(nd,nstripline,nlinedof); %bac tu phan tu he toan cuc for ii=1:nstripline*nlinedof deltastrip(ii)=delta(index(ii)); end dispstrip=Nm*deltastrip; strain=Bm*deltastrip; stress=D*strain; disp=double(subs(subs(dispstrip,x,b/2),y,a)); strain=double(subs(subs(strain,x,b/2),y,a/2)); stress=double(subs(subs(stress,x,b/2),y,a)); end CHUONG TRINH CON % % Tinh ma tran cac ham dang Nm % function Nm=TinhNm(a,b,C1,C2,Yu,Yv) syms x y Nm(1,1)= C1*Yu; Nm(1,2)= 0; Nm(1,3)= C2*Yu; THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 100 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG Nm(1,4)=0; Nm(2,1)=0; Nm(2,2)=C1*Yv; Nm(2,3)=0; Nm(2,4)=C2*Yv; % % Tinh ma tran tinh bien dang Bm % function Bm=TinhBm(a,b,C1,C2,Yu,Yv) syms x y Bm(1,1)=diff(C1,x,1)*Yu; Bm(1,2)= 0; Bm(1,3)= diff(C2,x,1)*Yu; Bm(1,4)=0; Bm(2,1)=0; Bm(2,2)=C1*diff(Yv,y,1); Bm(2,3)=0; Bm(2,4)=C2*diff(Yv,y,1); Bm(3,1)=C1*diff(Yu,y,1); Bm(3,2)=diff(C1,x,1)*Yv; Bm(3,3)=C2*diff(Yu,y,1); Bm(3,4)=diff(C2,x,1)*Yv; % % Tinh tich phan so S(i,j) % function [TPS]=Tpso(a,b,H) syms x y M=14; %so khoang theo phuong x N=14; %so khoang theo phuong y A=0;% can duoi B=b;% can tren hx=(B-A)/M; TPS=0; for i=0:M dx=A+i*hx; c=0; d=a; hy=(d-c)/N; s=0; for j=0:N dy=c+j*hy; fff=subs(subs(H,x,dx),y,dy); w=4; if fix(j/2)*2 ==j w=2; end if (j==0) | (j==N) w=1; end s=s+w*fff; end s=(s*hy)/3; w=4; if fix(i/2)*2==i w=2; end THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 101 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG if (i==0) | (i==M) w=1; end TPS=TPS+w*s; end TPS=(TPS*hx)/3; % % Lap ma tran chi so Index % function [index]=feeldof(nd,nstripline,nlinedof) edof = nstripline*nlinedof; k=0; for i=1:nstripline start = (nd(i)-1)*nlinedof; for j=1:nlinedof k=k+1; index(k)=start+j; end end % % Lap ghep ma tran cung tong the % function [kk]=LapghepK(kk,k,index) edof = length(index); for i=1:edof ii= index(i); for j=1:edof jj=index(j); kk(ii,jj)=kk(ii,jj)+k(i,j); end end % -Ket thuc chuong trinh - THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 102 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP CAO HỌC XDDDCN K11 GVHD : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG CHƯƠNG V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận Như phân tích phương pháp dải hữu hạn trình bày chương II chương III, ta thấy ưu điểm phương pháp việc phân tích kết cấu dầm cao, vách, kết cấu dầm cầu hộp… lời giải lý thuyết đàn hồi không đáp ứng yêu cầu toán Phương pháp mở rộng cho toán dao động ổn định tấm, sử dụng dải lớp (layer) hay dải lăng trụ (prism) để tính toán kết cấu dầm hộp, móng nhiều lớp, dầm cao, kết cấu trụ tròn xoay nhiều lớp Phần tử dải bậc cao áp dụng làm toán trở nên nhỏ gọn mà đảm bảo độ xác cần thiết Đặc biệt sử dụng dải bậc cao cho loại kết cấu nhiều lớp mà lớp có đặc trưng vật liệu khác phần tử có biến thiên đột ngột trường chuyển vị Khi lập trình tính toán thông thường ta sử dụng phần tử bậc cao để giảm khối lượng nhập liệu cho toán để tránh sai sót nhận kết xuất tốt Tính chất FSM việc áp dụng toán học để mô tả toán học Do khó khăn mô tả kết cấu phức tạp tổng quát Dó nhiên FSM so sánh với FEM khả giải toán, nhiên nhiệm vụ phải nghiên cứu tất phương pháp áp dụng tính toán kết cấu, qua thấy phương pháp sau cải tiến 5.2 Kiến nghị Do phương pháp FSM phương pháp phát triển gần nên việc áp dụng tính toán kết cấu chưa phổ biến rộng rãi Nhưng qua phân tích ta thấy ưu điểm phương pháp tính toán số kết cấu định nêu Do cần thiết áp dụng phương pháp thay cho phương pháp phần tử hữu hạn số toán phù hợp Đề tài nghiên cứu đến vấn đề nhỏ phương pháp ứng dụng tính toán toán đơn giản mục đích sử dụng phần tử bậc cao để tính toán qua thấy mức độ xác việc sử dụng phần tử THỰC HIỆN : LÊ VĂN BÌNH – LỚP CH XDDDCN-K11 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO Y.K Cheung, Finite Strip Method in Structral Analysis, Pergamon Press, 1976 M.S.Cheung, Akhras, G and Wenchang Li, Combined Boundary Element/ Finite Strip Analysis of Bridges, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol 120, No 3, March 1994 M.S Cheung, Wenchang Li, S.E Chidiac, Finite Strip Analysis of Bridges, St Edmundsbury Press, 1996 Cheung, M.S., Akhras, G and Li, W.C Finite Strip Method for Thermal Buckling Analysis of Thick Composite Plates, Proceedings, Third Canadian Conference on Computing in Civil Engineering, Montreal, August, 1996, pp 484-493 Akhras, G., Cheung, M.S and Li, W., Elasto-Plastic Finite Strip Analysis of a Box Girder to Simulate a Ship's Hull, Proceedings, Complas V, Computational Plasticity, Fundamentals and Applications, Barcelona, 17-20 april 1997, pp 2021-2026 Akhras, G., Cheung, M.S and Li, W., Geometrically Nonlinear Finite Strip Analysis of Laminated Composite Plates, Composites Part B Engineering Journal, Vol.29B No.4, pp 489-495, 1998 Cheung, M.S , Akhras, G and Li, W., Thermal Buckling Analysis of Thick Anisotropic Composite Plates by Finite Strip method, Structural Engineering and Mechanics, 1998 Cheung, M.S , Akhras, G and Li, W , A Finite-Strip method for Elasticplastic Post-buckling Analysis of Thin-walled Structures under Pure Bending, Structural Engineering and Mechanics, Vol 8, No.3, Sept 1999 S P Timoshenko, Theory of Elasticity, International Student Edition, 1984 10 S P Timoshenko, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill International Editors, 1976 11 C.T Wang, Applied Elasticity, McGraw-Hill Copany, INC, 1953 12 Rao S.S, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, 1989 13 Chu Quốc Thắng, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1997 14 Đỗ Kiến Quốc, Đàn Hồi ỨngDụng, Nhà xuất đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2000 ... dải hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn • • • • • Nghiên cứu lý thuyết phương pháp dải hữu hạn với toán ứng suất phẳng, toán uốn Sử dụng phần tử dải hữu hạn bậc cao toán phẳng lý thuyết đàn hồi. .. Ví dụ tính toán 47 CHƯƠNG III : SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HOÀI 56 3.1 Phép nội suy 56 3.2 Dải bậc cao với đường... 2.6 FSM VỚI BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Như biết toán phẳng lý thuyết đàn hồi gồm có 02 toán: (a) Bài toán ứng suất phẳng Khi vật thể có dạng chịu tải trọng tác động nằm mặt phẳng tấm,