Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Như đã biết trong lý thuyết đàn hồi, một vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng thay mặt phẳng của nó thì mọi điểm của tấm đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó trạng thái ứng suất

Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi Chương BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 5.1 Các phương trình tốn phẳng lý thuyết đàn hồi 5.1.1 Bài toán ứng suất phẳng Như biết lý thuyết đàn hồi, vật thể dạng mỏng chịu tải trọng thay mặt phẳng điểm trạng thái ứng suất phẳng Khi trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị điểm biểu diễn vectơ sau đây: x z y t Hình 5-1 Phần tử chịu ứng suất phẳng {δ } = [δ x , δ y , δ xy ]T Vectơ ứng suất : Vectơ biến dạng : {ε } = [ε x , ε y , ε xy ]T Vectơ chuyển vị : {u} = [u, v ]T Các thành phần vectơ hàm biến độc lập x,y Phương trình định luật Hooke dạng ngược : {δ } = [D ] {ε } Trong ma trận số đàn hồi [D ] có dạng sau : ⎡ d11 [D] = C1 ⎢d 21 ⎢ ⎢ ⎣ d 12 d 22 0 ⎤ ⎥ ⎥ d 33 ⎥ ⎦ ( 5-1) Ở trường hợp vật liệu đẳng hướng : d11 = d 22 = 1; d12 = d 21 = C ; d 33 = với C1 = E C = ν −ν E - modun đàn hồi; ν - hệ số poison 5.1.2 Bài toán biến dạng phẳng 5-1 − C2 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi Nếu vật thể có hình lăng trụ dài vơ hạn chịu tải trọng phân bố không thay đổi theo chiều dài lăng trụ (ví dụ đập trọng lực) y z x Hình 5-2 Phần tử chịu biến dạng phẳng Khi chọn trục z trục lăng trụ, điểm lăng trụ trạng thái biến dạng phẳng vectơ biến dạng : {ε } = [ε x , ε y , ε xy ]T vectơ chuyển vị : {u} = [u, v]T So với toán ứng suất phẳng, bỏ qua khác biệt cụ thể thành phần ứng suất biến dạng theo phương z, phương trình toán giống Sự khác biệt có nội dung thành phần ma trận số đàn hồi [D ] công thức định luật Hoooke Cụ thể, với vật liệu đẳng hướng giá trị C1 C ma trận [D ] xác định theo công thức sau : C1 = ν (1 − ν ) E ; C2 = (1 + ν )(1 − 2ν ) −ν ( 5-2) Do ta thấy toán ứng suất phẳng biến dạng phẳng trường chuyển vị xác định thành phần chuyển vị u v theo phương x y hệ toạ độ vng góc Các đại lượng ứng suất, biến dạng thành phần hàm hai toạ độ điểm x, y nên toán tốn chiều Ta gọi chung toán phẳng lý thuyết đàn hồi Khi giải tốn phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị, vật thể rời rạc hố tập hợp hữu hạn phần tử phẳng liên kết với số xác định điểm nút Mỗi nút có bậc tự thành phần chuyển vị nút theo phương x y Số lượng hình dạng phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết tính tốn Dạng phần tử thường dùng tam giác, tứ giác 5.2 Bài toán phẳng với phần tử tam giác 5.2.1 Các hàm dạng 5-2 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi q6 k q5 q2 q1 y q4 q3 i j x Hình 5-3 Phần tử tam giác Xét phần tử tam giác hình bên Đây phần tử có điểm nút i, j, k đỉnh tam giác, nút có bậc tự thành phần chuyển vị cua nút theo phương x, y Tập hợp bậc tự nút vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e {q}e = [q1 q2 q3 q4 q5 q6 ]T Chuyển vị điểm (x,y) biểu diễn theo hàm chuyển vị sau : u ( x, y ) = α + α x + α y v ( x, y ) = α + α x + α y u ( x, y ) - chuyển vị theo phương x; v( x, y ) - chuyển vị theo phương y Vectơ chuyển vị điểm biểu diễn dạng ma trận sau : ⎧α ⎫ ⎪α ⎪ ⎪ 2⎪ x y 0 ⎤ ⎪α ⎪ ⎪ ⎪ {u (x, y )} = ⎡ ⎢0 0 x y ⎥ ⋅ ⎨α ⎬ ⎣ ⎦ ⎪ 4⎪ ⎪α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α ⎪ ⎩ ⎭ ( 5-3) gọn hơn: {u (x, y )} = [P( x, y )]{α } Trong : [ p( x, y )] [0] ⎤ [P(x, y )] = ⎡ ⎢ [0] [ p( x, y)]⎥ ⎣ ⎦ [ p(x, y )] = [1 x y ] ( 5-4) Nếu cho toạ độ toạ độ nút i, j, k phần tử xét ta có mối quan hệ : 5-3 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi {q}e ⎧q1 ⎫ ⎡1 xi ⎪q ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪ ⎪ q ⎪ ⎢1 x j =⎨ ⎬=⎢ ⎪q ⎪ ⎢0 ⎪ q ⎪ ⎢1 x k ⎪ ⎪ ⎢ ⎪q ⎪ ⎢0 ⎩ ⎭ ⎣ yi 0 xi yj 0 yk xj 0 0 ⎤ ⎧α ⎫ ⎪ ⎪ y i ⎥ ⎪α ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥⎨ ⎬ y j ⎥ ⎪α ⎪ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥⎪ ⎪ y k ⎥ ⎪α ⎪ ⎦⎩ ⎭ xk hay {q}e = [A]{α } Trong ma trận [A] hồn tồn xác định, hệ số xác định sau : {α } = [A]−1 {q}e Ma trận nghịch đảo có dạng: [A]−1 ⎡x j yk ⎢ y j ⎢ ⎢ xk = ⎢ 2A ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − xk y j − yk −xj 0 x k y i − xi y k y k − yi xi − x k 0 0 0 x j y k − xk y j y j − yk xk − x j 0 x k y i − xi y k y k − yi x j − xk xi y j − x j y i yi − y j x j − xi 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ xi y j − x j y i ⎥ yi − y j ⎥ ⎥ x j − xi ⎥ ⎦ Trong đó: ⎡1 xi A = det ⎢1 x j ⎢ ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ y j ⎥ = (x j y k − x k y j + x k y i − xi y k + xi y j − x j y i ) ⎥ yk ⎥ ⎦ A - diện tích tam giác có đỉnh i, j, k phần tử Ta viết gọn sau : [A]−1 ⎡ ⎢y ⎢ ik ⎢ x kj = ⎢ 2A ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 aj y ki 0 ak y ij xik x ji aj y ik y ki x kj y ik 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ak ⎥ y ij ⎥ ⎥ y ji ⎥ ⎦ Trong : xij = xi − x j = x j y k − x k y j y ij = y i − y j a j = x k y i − xi y k a k = xi y j − x j y i Suy : {u (x, y )}e = [P(x, y )][A]−1 {q}e hay : {u (x, y )}e = [N (x, y )]{q}e [N (x, y )] - ma trận hàm dạng xác định theo công thức sau : 5-4 ( 5-5) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi N j ( x, y ) N k ( x, y ) ⎤ ⎡ N i ( x, y ) N i ( x, y ) N j ( x, y ) N k ( x, y ) ⎥ ⎣ ⎦ [N (x, y )] = ⎢ Trong : [ ] y jk ( x − x k ) + x kj ( y − y k ) 2A [ y ki (x − xi ) + xik ( y − yi )] N j ( x, y ) = 2A N k ( x, y ) = y ij (x − x j ) + x ji ( y − y j ) 2A N i ( x, y ) = [ ( 5-6) ] Dạng rút gọn : (ai + y jk x + xkj y ) 2A (a j + yki x + xik y ) N j ( x, y ) = 2A (ak + yij x + x ji y ) N k ( x, y ) = 2A N i ( x, y ) = Cũng chuyển vị, thành phần biến dạng phần tử biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút {q}e sau : {ε }e = [B]{q}e Với ma trận biến dạng [B] xác định sau: [B] = [∂ ][N (x, y )] Trong toán phẳng ma trận [∂ ] cụ thể hoá: ⎡∂ ⎢ ⎢ ∂x [∂ ] = ⎢ ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎢ ∂y ⎣ ⎤ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ∂y ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎥ ⎦ Thực phép đạo hàm dễ dàng nhận được: ⎡ y jk ⎢ [B] = ⎢ 2A ⎢− x jk ⎣ − y ik y ij − x jk y jk xik xik − y ik − xij ⎤ ⎥ − xij ⎥ y ij ⎥ ⎦ ( 5-7) Theo công thức thành phần ma trận [B ] số nên thành phần biến dạng ứng suất có giá trị khơng đổi phạm vi phần tử 5.2.2 Ma trận độ cứng phần tử Ma trận độ cứng phần tử xác định công thức : [K ]e = ∫ [B]T [D][B]dv V 5-5 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi Do độ dày tâm khơng đổi nên tích phân dễ dàng thực ma trận [B ] [D ] gồm số, : [K ]e = [B]T [D][B]t ∫ da = t A.[B]T [D][B] ( 5-8) A Khai triển phép nhân ma trận ta : [k ]e ⎡k11 ⎢ ⎢ Ct⎢ = ⎢ 4A ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ k12 k13 k14 k15 k 22 k 23 k 24 k 25 k 33 k 34 k 35 k 44 k 45 k 55 k16 ⎤ k 26 ⎥ ⎥ k 36 ⎥ ⎥ k 46 ⎥ k 56 ⎥ ⎥ k 66 ⎥ ⎦ ( 5-9) Trong thành phần k ij có giá trị bảng sau : k11 = y jk + λx jk 2 k12 = −C x jk y jk − λy jk x jk k13 = − y ik y jk − λx jk xik k14 = C xik y jk + λy kj x jk k15 = y jk y ij + λx jk xij 2 k 23 = C x jk y ik + λy ik x jk k 24 = − x jk xik − λy jk y ik k 25 = −C x jk y ij − λy jk xij k 26 = xij x jk + λy jk y ij λ = k 34 = −C xik y ik − λy ik xik k 35 = − y ik y ij − λxik xij k 36 = C xij y ik + λxik y ij k 44 = xik + λy ik k16 = −C y jk xij − λx jk y k 22 = x jk + λy jk k 33 = y ik + λxik k 45 = C xik y ij + λy ik xij k 46 = − xik xij − λy ik y ij k 55 = y ij + λxij 2 k 56 = −C xij y ij − λxij y ij k 66 = xij + λy ij 2 − C2 đại lượng C1 C xác định tuỳ theo ứng suất phẳng biến dạng phẳng 5.2.3 Vectơ tải trọng nút Vectơ tải trọng nút xác định loại tải trọng sau gây : ⎧g x ⎫ ⎬ (gx,gy không đổi) ⎩g y ⎭ -Do lực thể tích : {g } = ⎨ Ta có: 5-6 ( 5-10) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi {p}e ⎧N i g x ⎫ ⎧g x ⎫ ⎪N g ⎪ ⎪g ⎪ ⎪ i y⎪ ⎪ y⎪ ⎪N j g x ⎪ At ⎪ g x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T = ∫ [N ( x, y )] {g }dv = ∫ ⎨ ⎬tda = ⎨ ⎬ N jgy ⎪ ⎪g y ⎪ V A⎪ ⎪N g ⎪ ⎪g ⎪ ⎪ k x⎪ ⎪ x⎪ ⎪g y ⎪ ⎪N k g y ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( 5-11) Trong : A - diện tích tam giác i, j, k; t - bề dày phần tử - Do lực bề mặt : ⎧ px ⎫ ⎬ (giả sử px,py không đổi) ⎩ py ⎭ {p} = ⎨ Theo công thức : {p}e = ∫ [N (x, y )]T {p}ds S hay : {p}e ⎧N i px ⎫ ⎧ px ⎫ ⎪N p ⎪ ⎪p ⎪ ⎪ i y⎪ ⎪ y⎪ ⎪N j px ⎪ t.Lij ⎪ p x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ∫⎨ ⎬tdl = ⎨ ⎬ N j py ⎪ ⎪ py ⎪ Lij ⎪ ⎪N p ⎪ ⎪0⎪ ⎪ k x⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎪N k p y ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ( 5-12) Trong L ij chiều dài cạnh nối đỉnh ij Trong trường hợp có thêm cạnh khác chịu lực tác dụng bề mặt ta làm tương tự Vectơ lực nút tổng lực tác dụng cạnh -Do nhiệt độ : {p}e = ∫ [B ]T [D]{ε }e dv V Trong : ⎧1 ⎫ {ε } = αT ⎪1 ⎪ ⎨ ⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ {p}e = [B]T [D]{ε }tA Với vật liệu đẳng hướng ta có : 5-7 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi {p}e ⎧ y jk ⎫ ⎪− x ⎪ ⎪ jk ⎪ ⎪ ⎪ Eαt.T ⎪ − y ik ⎪ = ⎨ ⎬ 2(1 − ν ) ⎪ xik ⎪ ⎪ y ij ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − xij ⎪ ⎩ ⎭ ( 5-13) α - hệ số giãn nở nhiệt; T - dộ biến thiên nhiệt độ 5.2.4 Ma trận ứng suất Do hàm chuyển vị tuyến tính nên biến dạng số phần tử Từ thấy ứng suất khơng đổi phần tử, ta có : {σ }e ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨σ y ⎬ = [D ]{ε }e = [D ][B ]{q}e = [S ]{q}e ⎪ ⎪ ⎩σ xy ⎭ ( 5-14) Trong đó: [S ] = [D][B] [S ] - ma trận ứng suất Sau thực phép nhân ma trận [S ]e ⎡ y jk C1 ⎢ = C y jk 2A ⎢ ⎢− λx jk ⎣ − C x jk − y ik y ij C xik − x jk λy jk − C y ik λxij C y ij − λxij xik − λy ik đó: C1 , C - số; λ= − C2 ; A - diện tích tam giác i, j, k 5.3 Bài toán phẳng với phần tử hình chữ nhật 5.3.1 Các hàm dạng 5-8 − C xij ⎤ ⎥ xij ⎥ − λy ij ⎥ ⎦ ( 5-15) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi q4 k q3 l (0,b) q3 k (a,b) b l y q4 q4 q4 q3 q3 i j x i (0,0) j (a,0) a Hình 5-4 Phần tử hình chữ nhật Xét phần tử chữ nhật mặt phẳng x, y hình trên, phần tử có điểm i, j, k e đỉnh hình chữ nhật Mỗi nút có bậc tự thành phần chuyển vị theo x y, tập hợp bậc tự vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e ta có : {q}e ⎧q1 ⎫ ⎪q ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪q ⎪ =⎨ ⎬ ⎪q ⎪ ⎪q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪q ⎪ ⎪q ⎪ ⎩ 8⎭ Hai chuyển vị thành phần điểm có toạ độ x,y biểu diễn hàm chuyển vị xấp xỉ sau: u ( x, y )⎫ ⎧α + α x + α y + α xy ⎫ ⎬ =⎨ ⎬ ⎩v( x, y )⎭ e ⎩α + α x + α y + α xy ⎭ {u (x, y )}e = ⎧ ⎨ Hoặc {u (x, y )}e ⎡1 x y =⎢ ⎣0 0 xy 0 0 x y 0⎤ {α } xy ⎥ ⎦ {u (x, y )} = [P(x, y )]{α } Trong : [ p( x, y)] [0] ⎤ [P(x, y )] = ⎡ ⎢ [0] [ p( x, y)]⎥ ⎣ ⎦ Các ma trận: [ p(x, y )] = [1 x y xy ] Thực phép đồng chuyển vị nút từ ta xác định vectơ {α} 5-9 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi {q}e ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ =⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 0 0 0 a 0 0 0 0 ⎤ ⎧α ⎫ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎪α ⎪ ⎨ ⎬ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥ ab ⎥ ⎪α ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪α ⎪ ⎥ ⎦ ⎪α ⎪ ⎥⎩ ⎭ 0 a a b ab 0 0 0 a b b 0 0 0 b ( 5-16) Tức : {q}e = [A]{α } Nghịch đảo ma trận [A] ta có : [A]−1 0 ⎡ ab ⎢− b b ⎢ ⎢− a 0 ⎢ −1 ⎢1 = ab ⎢ ab 0 ⎢ ⎢ −b b ⎢ −a 0 ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ a 0⎥ ⎥ −1 ⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ 0 a⎥ ⎥ − 1⎥ ⎦ Véctơ {α } = [A]−1 {q}e Từ suy ra: {u ( x, y )} = [P( x, y )][A]−1 {q}e Hay: {u ( x, y )} = [N ( x, y )].{q}e Trong [N ( x, y )] ma trận hàm dạng ⎡Ni ⎣0 [N (x, y )] = ⎢ Ni Nj 0 Nj Nk 0 Nk Nl 0⎤ Nl ⎥ ⎦ ( 5-17) Các hàm dạng thành phần có cơng thức sau : ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ N i = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ a⎠ ⎝ b⎠ Nj = x ⎛ y⎞ ⎜1 − ⎟ a ⎝ b⎠ Nk = xy ab Nl = y⎛ x⎞ ⎜1 − ⎟ b⎝ a⎠ Ma trận tính biến dạng xác định theo công thức : 5-10 ( 5-18) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi [B] = [∂] [N (x, y )] Cụ thể : ⎡∂ ⎢ ⎢ ∂x [B] = ⎢ ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎢ ⎣ ∂y ⎤ 0⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎡Ni ⎢ ∂y ⎥ ⎣ ∂⎥ ⎥ ∂x ⎦ ⎥ Nj Nk Ni Nj Nk 0⎤ Nl ⎥ ⎦ Nl ( 5-19) Thực phép đạo hàm đơn giản, ta có : y (b − y ) ⎡− (b − y ) ⎢ [B] = ⎢ − (a − x) −x 0 ab ⎢− (a − x) − (b − y ) −x (b − y ) x ⎣ −y ⎤ x (a − x)⎥ ⎥ y (a − x) −y ⎥ ⎦ 0 5.3.2 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng tính theo cơng thức : [K ]e = ∫ [B]T [D][B]dv V Kết sau : [K ]e ⎡k11 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ C1t ⎢ = ab ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ k12 k13 k14 k15 k16 k17 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 k 27 k 33 k 34 k 35 k 36 k 37 k 44 k 45 k 46 k 47 k 55 k 56 k 57 k 66 k 67 k 77 k18 ⎤ k 28 ⎥ ⎥ k 38 ⎥ ⎥ k 48 ⎥ k 58 ⎥ ⎥ k 68 ⎥ k 78 ⎥ ⎥ k 88 ⎥ ⎦ Trong k ij xác định sau : k11 = b + λa k12 = ab(λ + C ) k13 = k15 = − k 66 = k 22 k 34 = k16 k 67 = k18 k 35 = k17 k 68 = k 24 ab k 36 = k14 k 77 = k11 b + λ a k 37 = k15 k 78 = k16 λ a − 2b k14 = − 5-11 k 33 = k11 λ − C2 ( 5-20) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi k16 = −ab λ + C2 k 38 = k12 b − 2.λ.a k17 = k18 = ab k 22 k 44 = k 22 λ − C2 k 45 = k18 a + λ.b = k 46 = k 28 k 23 = k18 k 24 = k 47 = k12 a − 2.λ.b k 48 = k 26 k 25 = k16 k 26 = − k 55 = k11 a + λ b k 56 = k12 k 27 = k14 k 28 = k88 = k 22 k 57 = k13 λ.b − 2.a k 58 = k14 5.3.3 Vectơ tải trọng nút Vectơ tải trọng nút phần tử xác định tương tự phần tử tam giác ⎧g x ⎫ ⎬ ⎩g y ⎭ {g} = ⎨ - Do lực thể tích : a {p}e = ∫ [N (x, y )] {g}dv = ∫ T V (gx, gy không đổi) ⎧N i g x ⎫ ⎧g x ⎫ ⎪N g ⎪ ⎪g ⎪ ⎪ i y⎪ ⎪ y⎪ ⎪N j g x ⎪ ⎪g x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪N j g y ⎪ t.ab ⎪ g y ⎪ ∫ ⎨ N k g x ⎬ tdx.dy = ⎨ g x ⎬ 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪g y ⎪ ⎪N g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k y⎪ ⎪g x ⎪ ⎪N e g x ⎪ ⎪g ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y⎭ ⎩N e g y ⎭ ( 5-21) Do lực bề mặt: tương tự phần tử tam giác, lực chia cho hai đỉnh mà có lực chịu tác dụng lực phân bố 5-12 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi p2 l k p1 i j Hình 5-5 Sơ đồ quy tải trọng nút {p}e = {p}e jk + {p}e ke ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ p b⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p b⎪ =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ p1 a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p1 a ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 5.3.4 Ma trận ứng suất Ma trận ứng suất : {σ }e ⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨σ y ⎬ = [S ]e {q}e ⎪ ⎪ ⎩σ xy ⎭ : [S ]e = [D ].[B ]e công thức cụ thể sau : −C2x y C2x − y C2(a − x)⎤ ⎡ − (b − y) − C2(a − x) (b − x) C1 ⎢ [S]e = ⎢−C2(b − y) − (a − x) C2(b − y) − x C2 y x −C2 y (a −b) ⎥ ⎥ ab ⎢ − λ(a − x) − λ(b − y) λ(b − y) λx λy λ(a − x) − λy ⎥ − λx ⎦ ⎣ Như với phần tử hình chữ nhật, ứng suất biến thiên theo x theo y 5-13 ( 5-22) ... Dạng phần tử thường dùng tam giác, tứ giác 5.2 Bài toán phẳng với phần tử tam giác 5.2.1 Các hàm dạng 5-2 Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi q6 k q5 q2 q1 y q4 q3 i j x Hình 5-3 Phần tử... tích tam giác i, j, k 5.3 Bài toán phẳng với phần tử hình chữ nhật 5.3.1 Các hàm dạng 5-8 − C xij ⎤ ⎥ xij ⎥ − λy ij ⎥ ⎦ ( 5-15) Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi q4 k q3 l (0,b) q3 k (a,b)... điểm x, y nên toán tốn chiều Ta gọi chung toán phẳng lý thuyết đàn hồi Khi giải tốn phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị, vật thể rời rạc hố tập hợp hữu hạn phần tử phẳng liên kết