Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Như đã biết trong lý thuyết đàn hồi, một vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng thay mặt phẳng của nó thì mọi điểm của tấm đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó trạng thái ứng suất

Chương 5

BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

5.1 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

5.1.1 Bài toán ứng suất phẳng

Như đã biết trong lý thuyết đàn hồi, một vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng thay mặt phẳng của nó thì mọi điểm của tấm đều ở trạng thái ứng suất phẳng Khi đó trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị của mọi điểm được biểu diễn bởi các vectơ sau đây:

Hình 5-1 Phần tử chịu ứng suất phẳng

Vectơ ứng suất : { } []Txyyx δ δδ

Vectơ biến dạng : { } []Txyyx ε εεε = , ,Vectơ chuyển vị :{ }[ ]T

vuu = ,

Các thành phần trong các vectơ này chỉ là hàm của 2 biến độc lập x,y Phương trình định luật Hooke ở dạng ngược là : { }δ =[ ]D .{ }ε

Trong đó ma trận các hằng số đàn hồi [ ]D có dạng như sau :

[ ]

Ở đây trường hợp vật liệu là đẳng hướng thì :

1−ν= E

E - modun đàn hồi; ν - hệ số poison

5.1.2 Bài toán biến dạng phẳng

Nếu vật thể có hình lăng trụ dài vô hạn và chịu tải trọng phân bố không thay đổi theo chiều dài lăng trụ (ví dụ đập trọng lực)

vectơ chuyển vị : { }[ ]Tvuu = ,

So với bài toán ứng suất phẳng, nếu bỏ qua sự khác biệt cụ thể đối với thành phần ứng suất và biến dạng theo phương z, thì các phương trình của 2 bài toán này rất giống nhau Sự khác biệt chỉ có ở nội dung các thành phần ma trận các hằng số đàn hồi [ ]D

trong công thức định luật Hoooke

Cụ thể, với vật liệu là đẳng hướng các giá trị C1 và C2 trong ma trận [ ]D được xác định theo các công thức sau :

Khi giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị, vật thể được rời rạc hoá bằng một tập hợp hữu hạn các phần tử phẳng liên kết với nhau tại một số xác định các điểm nút Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị của nút đó theo 2 phương x và y Số lượng và hình dạng các phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Dạng của phần tử thường dùng là tam giác, tứ giác

5.2 Bài toán phẳng với phần tử tam giác

5.2.1 Các hàm dạng

Hình 5-3 Phần tử tam giác

Xét phần tử tam giác như hình bên Đây là phần tử có 3 điểm nút i, j, k là các đỉnh của tam giác, mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị cua nút đó theo 2 phương x, y Tập hợp các bậc tự do của cả 3 nút này là vectơ chuyển vị nút của phần tử { }q e

eqqqqqqq = 1 2 3 4 5 6

Chuyển vị tại một điểm (x,y) được biểu diễn theo các hàm chuyển vị sau :

( )

( )xy

u , - chuyển vị theo phương x;

( )xy

v , - chuyển vị theo phương y

Vectơ chuyển vị tại một điểm biểu diễn dưới dạng ma trận như sau :

( )

gọn hơn: {u( )x,y }=[P( )x,y ]{ }α Trong đó :

( )

yxpyxpy

{ }

Trong đó:

Trong đó :

−=

( )

Thực hiện phép đạo hàm dễ dàng nhận được:

[ ]

02

Do độ dày của tâm là không đổi nên tích phân trên dễ dàng thực hiện được vì ma trận [ ]B và [ ]D chỉ gồm các hằng số, vì vậy :

[ ] [ ] [ ][ ]KBDBtdatA[ ] [ ][ ]BTDB

Khai triển các phép nhân ma trận ta được :

[ ]

Trong đó các thành phần k có giá trị trong bảng sau : ij

g (gx,gy là không đổi) Ta có:

{ }[( )]{ }

p (giả sử px,py không đổi) Theo công thức :

{ }p [N( )xy ]{ }pdsS

Te =∫ ,hay :

{ }

-Do nhiệt độ :

{ }p [ ] [ ]BD{ }edvV

Với vật liệu đẳng hướng ta có :

{ }()

α - hệ số giãn nở vì nhiệt; T - dộ biến thiên nhiệt độ

trong đó:

C - là hằng số; 2

A - diện tích tam giác i, j, k

5.3 Bài toán phẳng với phần tử hình chữ nhật

5.3.1 Các hàm dạng

i (0,0)l (0,b)y

j (a,0)xk (a,b)

Hình 5-4 Phần tử hình chữ nhật

Xét phần tử chữ nhật trong mặt phẳng x, y như hình trên, phần tử có 4 điểm i, j, k và e là các đỉnh của hình chữ nhật Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo x và y, tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút của phần tử { }q e ta có :

{ }

Hoặc

( )

( )

{ux,y }=[P( )x,y ]{ }αTrong đó :

( )

xP

{ }

Các hàm dạng thành phần có công thức như sau : ⎟

⎠⎞⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

abxyNk =

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

axby

[ ] [ ]B =∂.[N( )x,y ]

Cụ thể :

5.3.2 Ma trận độ cứng

Ma trận độ cứng được tính theo công thức :

Trong đó các k được xác định như sau : ij

k34 =k16 k67 =k18

62 2213

1735 k

−−= λ

1436 k

6 2215

abk =− +λ

1537 k

Cabk =− λ+

1238 k

6 2 22

2244 kk =

1845 kk =

3 2222

2846 kk =

1823 k

6 2 22

2648 kk =

1625 k

6 2226

bak =− +λ

1256 kk =

1427 k

6.2 2228

1458 kk =

5.3.3 Vectơ tải trọng nút

Vectơ tải trọng nút của phần tử được xác định tương tự như phần tử tam giác - Do lực thể tích : { }

g (gx, gy không đổi)

{ }∫[( )]{ }∫∫

Do lực bề mặt: tương tự phần tử tam giác, các lực được chia đều cho hai đỉnh mà trên đó có lực chịu tác dụng của lực phân bố

trong đó : [ ] [ ] [ ]Se = D . Be công thức cụ thể như sau :

[ ]

Như vậy với phần tử hình chữ nhật, ứng suất biến thiên theo x và theo y