ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Điểm đặc biệt của họ đồ thị m C y f x m , 1) Điểm ; , A A m A A A x y C y f x m Nếu ta coi , 0 A A f x m y là phương t[.]
ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Điểm đặc biệt họ đồ thị: Cm : y f x, m 1) Điểm A x A ; y A Cm y A f x A , m Nếu ta coi f x A , m y A phương trình theo ẩn m số giá trị tham số m số đồ thị qua điểm A 2) Điểm cố định họ điểm mà đồ thị qua: M0 x0 , y0 Cm , m y0 f x0 , m , m 3) Điểm mà họ khơng qua điểm mà khơng có đồ thị họ qua với tham số: M0 x0 , y0 Cm , m y0 f x0 , m , m Nhóm theo tham số áp dụng mệnh đề sau: Am B 0, m A 0, B Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C Am B 0, m A 0, B Am2 Bm C 0, m A 0, B 0, C A 0, B2 AC II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm điểm cố định đồ thị y x mx x m Giải Gọi M x0 ; y0 toạ độ điểm mà đồ thị qua m Ta có y0 x03 mx02 x0 m, m x02 1 m y0 x03 x0 0, m x 1, y0 x0 x0 1, y0 y0 x0 x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M 1; M ' 1; Bài tốn Tìm điểm cố định đồ thị y x m x 6m Giải Gọi M x0 ; y0 toạ độ điểm mà đồ thị qua m x 2 Ta có y0 y0 x02 m x0 6m x0 2 x0 m x02 x0 x0 , m , m 3 x0 0, x0 x0 x02 x0 y0 y0 x0 Vậy M 3;2 điểm cố định đồ thị Bài tốn Tìm điểm cố định đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y mx 3mx 2m 1 x m Giải y ' 3mx 6mx 2m 1, m m Ta có y y x 1 2m 10 m nên đường thẳng qua CĐ, CT y ' x 3 2m 10 m m x 10 x x 1 3 3 Từ suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định A ;3 Bài toán Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y mx 2m qua điểm cố định đường cong C : y x x x Giải Ta có y mx 2m m x Với giá trị m, đường thẳng cho qua điểm cố định A 2; 4 Vì toạ độ điểm A thoả mãn phương trình y x 3x x nên A thuộc C : đpcm Bài toán Chứng minh đồ thị y 1 m x 1 m x 4mx m qua điểm cố định thẳng hàng Giải Gọi M x0 ; y0 điểm cố định đồ thị: y0 1 m x03 1 m x02 4mx0 m, m y0 x03 x02 x0 m x03 x02 , m x03 x02 x0 1 y0 x0 3x0 Ta chứng minh (1) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f x x 3x x f liên tục , ta có f 6 85 0, f 1 0, f 1 0, f 11 nên (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng 6; 1 , 1; , 0;2 Từ (1) x03 3x02 x0 nên (2) y0 x0 Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y x Bài toán Chứng minh đồ thị hàm số y m 1 x m , m xm tiếp xúc với đường cố định điểm cố định Giải Gọi M x0 ; y0 điểm cố định: y0 m 1 x m x0 m , m m 1 x0 m y0 x0 m , x0 m, m x0 y0 m x0 1 y0 0, x0 m, m x0 0, y ' 1 Ta có y ' m2 x m , x m y ' 1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định M 0; 1 , có tiếp tuyến chung y x Bài tốn Tìm điểm mà đồ thị y mx không qua x 9 Giải Gọi M x0 ; y0 điểm mà đồ thị không qua: y0 x0 x mx0 , m x0 x0 9, y0 1 x0 9, mx0 y0 x0 , m Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x x 0, bỏ điểm A 0; 1 Bài tốn Tìm điểm đường thẳng d : x mà đồ thị y x 3mx 2m2 x m2 5m không qua Giải Gọi M 1; y d điểm cần tìm: y 3m 2m m 5m 1, m 3m 8m (1 y ) 16 3(1 y) y Vây điểm cần tìm M 1; y với y Bài toán Cho hàm số y 13 13 3 x x x 16 Tìm đồ thị hàm số điểm có toạ độ số nguyên Giải Chuyển hệ trục đến gốc I 1;2 với I điểm uốn Hàm số y x x x 16 thành: Y f X X X 5 6 Điều kiện X , Y Z phải có: X X 5 chia hết cho X X 5 chia hết cho 2, nên cần xét X X 5 chia cho Với X 3K X 3K K Z X X 5 chia hết cho Với X 3K K Z X X 5 khơng chia hết cho Vậy có vơ số điểm đồ thị có toạ độ ngun điểm có hồnh độ thoả: x 3k 1, x 3k với k