Bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ A Lý thuyết 1 Định nghĩa 1 1 Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu – Góc giữa hai vectơ OA , OB là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là OA,OB – Tích v[.]
Bài Tích vơ hướng hai vectơ A Lý thuyết Định nghĩa 1.1 Tích vơ hướng hai vectơ có điểm đầu – Góc hai vectơ OA , OB góc hai tia OA, OB kí hiệu OA,OB – Tích vơ hướng hai vectơ OA OB số thực, kí hiệu OA OB , xác định công thức: OA.OB OA OB cos OA,OB Ví dụ: Cho tam giác ABC cạnh 2a có đường cao AH Tính tích vơ hướng AB.AC Hướng dẫn giải: Vì tam giác ABC nên BAC = 60° ⇒ AB,AC = BAC = 60° Ta có: AB.AC = AB AC cos AB,AC ⇒ AB.AC = AB.AC.cos BAC = AB.AC.cos60° = 2a.2a 1.2 Tích vơ hướng hai vectơ tùy ý = 2a2 Định nghĩa: Cho hai vectơ a , b khác Lấy điểm O vẽ vectơ OA a,OB b (Hình vẽ) + Góc hai vectơ a , b , kí hiệu a,b , góc hai vectơ OA , OB + Tích vơ hướng hai vectơ a b , kí hiệu a b tích vơ hướng hai vectơ OA OB Như vậy, tích vơ hướng hai vectơ a b số thực xác định công thức: a b = a b cos a,b Quy ước: Tích vơ hướng vectơ với vectơ số Chú ý: +) Nếu a,b = 90° ta nói hai vectơ a , b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b +) a,b = b,a b ⊥ a Khi a b = a b cos90 = +) Tích vơ hướng hai vectơ hướng tích hai độ dài chúng +) Tích vô hướng hai vectơ ngược hướng số đối tích hai độ dài chúng Ví dụ: Cho tam giác vng cân ABC có AB = AC = a Tính tích vơ hướng AB.AC , AC.CB Hướng dẫn giải: + Vì tam giác ABC vng cân, mà AB = AC ⇒ Tam giác ABC vuông cân A ⇒ AB ⊥ AC ⇒ AB.AC = AB AC cos90 = AB AC = + Ta có: BC = AB2 AC2 = a2 a2 = a 2 ⇒ AC.CB = AC CB cos AC,CB = a a cos135° = a a = –a Tính chất Với hai vectơ a , b số thực k tùy ý, ta có: +) a b = b a (tính chất giao hốn); +) a b c a.b a.c (tính chất phân phối); +) ka b k a.b a kb ; 2 +) a ≥ 0, a = ⟺ a = Trong đó, kí hiệu a a = a biểu thức gọi bình phương vơ hướng vectơ a Ví dụ: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh: AB.CD BC.AD CA.BD Hướng dẫn giải: Ta có: AB.CD = AB CA AD = AB.CA AB.AD (tính chất phân phối) BC.AD = BA AC AD = BA.AD AC.AD = AB.AD AC.AD (tính chất phân phối) CA.BD = CA BA AD = CA.BA CA.AD = CA.AB AC.AD (tính chất phân phối) AB.CD BC.AD CA.BD AB.CA AB.AD AB.AD AC.AD CA.AB AC.AD = AB.CA CA.AB AB.AD AB.AD AC.AD AC.AD (tính chất giao hốn kết hợp) =0 ⟺ AB.CD BC.AD CA.BD (đpcm) Một số ứng dụng 3.1 Tính độ dài đoạn thẳng Nhận xét: 2 Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: AB AB Do độ dài đoạn thẳng AB tính sau: AB = AB 3.2 Chứng minh hai đường thẳng vng góc Nhận xét: + Cho hai vectơ a b khác vectơ Ta có: a b = ⟺ a ⊥ b Hai đường thẳng AB CD vng góc với AB.CD + Hai đường thẳng a b vng góc u.v , u ≠ 0, v ≠ 0, giá vectơ u song song trùng với đường thẳng a giá vectơ v song song trùng với đường thẳng b Ví dụ: Cho hai vectơ a b vng góc với a , b Chứng minh hai vectơ a – b a + b vng góc với Hướng dẫn giải: Vì a b vng góc với ⟺ a b = Ta có: a b a b = 2a = 2.12 + – 2 2 2 2a.b a.b b = 2a a.b b = a a.b b =0 Vì tích hai vectơ a – b a + b nên chúng vng góc với B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B không thuộc AB, biết 4OM2 = AB2 Sử dụng kiến thức vectơ, chứng minh MA ⊥ MB Hướng dẫn giải: Ta có: 4OM2 = AB2 ⟺ (2OM)2 = AB2 ⇔ 2OM AB ⇔ MA MB AM MB 2 2 ⇔ MA 2MA.MB MB AM 2AM.MB MB 2 2 ⇔ MA 2MA.MB MB AM 2AM.MB MB ⇔ MA2 2MA.MB MB2 AM2 2AM.MB MB2 ⇔ MA2 2MA.MB MB2 AM2 2MA.MB MB2 ⇔ 4MA.MB ⇔ MA.MB ⇒ MA MB ⇒ MA ⊥ MB (đpcm) Bài Cho tam giác ABC có I trung điểm AB Chứng minh đẳng thức: CA2 + CB2 = 2CI2 + Hướng dẫn giải: Ta có: AB2 AB2 VP = 2CI + 2 ⇔ 2VP = 4CI2 + AB2 ⇔ 2VP= (2CI)2 + AB2 2 2CI AB ⇔ 2VP = ⇔ 2VP = CA CB AC CB 2 2 2 2 ⇔ 2VP = CA 2CA.CB CB AC 2AC.CB CB ⇔ 2VP = CA 2CA.CB CB AC 2CA.CB CB ⇔ 2VP = 2CA 2CB ⇔ 2VP = 2CA 2CB2 = VT AB2 ⇒ CA + CB = 2CI + (đpcm) 2 2 Bài Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, A = 60° Sử dụng kiến thức vectơ, tính độ dài cạnh BC Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có: BC AC AB 2 ⇒ BC AC AB = AC 2AC.AB AB Ta có: 2 2 AC AC = AC2 = (2a)2 = 4a2 AB AB = AB2 = a2 AC.AB = AC AB cos AC,AB = AC.AB.cos BAC = 2a.a.cos60° = 2.a.a = a2 2 ⇒ BC = 4a2 – 2a2 + a2 = 3a2 2 ⇒ BC2 = BC = BC = 3a2 ⇒ BC = 3a = a B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho a b khác vectơ Xác định góc hai vectơ a b a.b a b A 180; B 0; C 90; D 45 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Ta có: a.b a b cos a,b Mà theo giả thiết a.b a b , suy cos a,b 1 a,b 180 Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC A AB.AC 2a ; B AB.AC a2 ; a2 C AB.AC ; a2 D AB.AC Hướng dẫn giải Đáp án là: D Xác định góc AB,AC góc A nên AB,AC 60 (do tam giác ABC đều) a2 Do AB.AC AB.AC.cos AB,AC a.a.cos 60 Câu Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh BC Tính AM.BC b2 c2 ; A AM.BC c2 b2 ; B AM.BC c2 b2 a C AM.BC ; c2 b2 a D AM.BC Hướng dẫn giải Đáp án là: A Vì M trung điểm BC suy AB AC 2AM Khi AM.BC 1 AB AC BC AB AC BA AC 2 2 1 b2 c2 AC AB AC AB AC AB AC2 AB2 2 ... a – b a + b vng góc với Hướng dẫn giải: Vì a b vng góc với ⟺ a b = Ta có: a b a b = 2a = 2.12 + – 2 2 2 2a.b a.b b = 2a a.b b = a a.b b =0 Vì tích hai vectơ a –. .. a.b b = a a.b b =0 Vì tích hai vectơ a – b a + b nên chúng vng góc với B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B không thuộc... cos AC,AB = AC.AB.cos BAC = 2a.a.cos60° = 2.a.a = a2 2 ⇒ BC = 4a2 – 2a2 + a2 = 3a2 2 ⇒ BC2 = BC = BC = 3a2 ⇒ BC = 3a = a B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho a b khác vectơ Xác định góc hai vectơ