Bài 2 Tập hợp Các phép toán trên tập hợp A Lý thuyết 1 Tập hợp • Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản trong toán học Để chỉ x là một phần tử của tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc là x thuộc A)[.]
Bài Tập hợp Các phép toán tập hợp A Lý thuyết Tập hợp • Tập hợp (cịn gọi tập) khái niệm toán học Để x phần tử tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc x thuộc A) Để x phần tử tập hợp A, ta viết x ∉ A (đọc x khơng thuộc A) • Biểu diễn tập hợp cách: + Liệt kê phần tử tập hợp + Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Ví dụ: Biểu diễn tập hợp B gồm số tự nhiên có chữ số chia hết cho + Liệt kê phần tử: B = {0; 3; 6; 9} + Chỉ tính chất đặc trưng phần tử: B = {x ∈ ℕ | ≤ x ≤ x ⁝ 3} • Minh hoạ tập hợp biểu đồ Ven Mỗi phần tử thuộc tập hợp biểu diễn chấm bên vịng kín, cịn phần tử khơng thuộc tập hợp biểu diễn chấm bên ngồi vịng kín Ở hình dưới, phần tử thuộc tập hợp A a, b, d; phần tử không thuộc tập hợp A c • Một tập hợp khơng có phần tử nào, có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu Chú ý: Khi C tập hợp rỗng, ta viết C = , không viết C = {} Tập hợp tập hợp • Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập tập B, kí hiệu A ⊂ B Ta đọc A chứa B Quy ước: Tập hợp rỗng tập tập hợp Chú ý: + A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) + Khi A ⊂ B, ta viết B ⊃ A, đọc B chứa A + Nếu A tập B, ta viết A ⊄ B Ví dụ: Cho hai tập hợp A = {n ∈ ℕ | n ⁝ 9} B = {n ∈ ℕ | n ⁝ 3} Chứng minh A ⊂ B Hướng dẫn giải Với số tự nhiên n ∈ A n chia hết cho ⇒ n = 9k = 3.(3k) (k ∈ ℕ) ⇒ n chia hết cho 3, tức n ∈ B Do A ⊂ B Tính chất: + A ⊂ A với tập hợp A + Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C • Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai tập hợp A B nhau, viết A = B Ví dụ: Cho tập hợp C gồm tứ giác có cạnh tập hợp D gồm hình thoi Ta thấy: + Mọi tứ giác có cạnh hình thoi, tức C ⊂ D + Ngược lại, hình thoi có cạnh nhau, tức D ⊂ C Do hai tập hợp C D Giao hai tập hợp: • Tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi giao A B, kí hiệu A ∩ B Vậy A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Tập hợp A ∩ B minh hoạ phần gạch chéo hình Ví dụ: Tìm giao tập hợp A = {x ∈ ℕ | 18 ⁝ x} B = {x ∈ ℕ | 30 ⁝ x} Hướng dẫn giải Tập hợp A gồm số tự nhiên thỏa mãn ước 18 Khi A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Tập hợp B gồm số tự nhiên thỏa mãn ước 30 Khi B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy A ∩ B = {1; 2; 3; 6} Hợp hai tập hợp: • Tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B, kí hiệu A ∪ B Vậy A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Tập hợp A ∩ B minh hoạ phần gạch chéo hình Ví dụ: Tìm hợp tập hợp A = {x ∈ ℕ | 18 ⁝ x} B = {x ∈ ℕ | 30 ⁝ x} Hướng dẫn giải Tập hợp A gồm số tự nhiên thỏa mãn ước 18 Khi A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Tập hợp B gồm số tự nhiên thỏa mãn ước 30 Khi B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30} Phần bù hiệu hai tập hợp: • Cho A ⊂ B Tập hợp phần tử B mà phần tử A gọi phần bù A B, kí hiệu CBA Vậy, A ⊂ B ta có CBA = {x | x ∉ A x ∈ B} Tập hợp CBA mô tả phần gạch chéo hình Ví dụ: Tìm phần bù tập hợp A = {x ∈ ℕ | 10 ⁝ x} B = {x ∈ ℕ | 30 ⁝ x} Hướng dẫn giải Tập hợp A tập số tự nhiên thỏa mãn ước 10 Khi A = {1; 2; 5; 10} Tập hợp B tập số tự nhiên thỏa mãn ước 30 Khi B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy CBA = {3; 6; 15; 30} • Tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A \ B Vậy A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} Tập hợp A \ B minh hoạ phần gạch chéo hình Ví dụ: Tìm phần bù tập hợp A = {x ∈ ℕ | 20 ⁝ x} B = {x ∈ ℕ | 30 ⁝ x} Hướng dẫn giải Tập hợp A tập số tự nhiên thỏa mãn ước 20 Khi A = {1; 2; 4; 5; 10; 20} Tập hợp B tập số tự nhiên thỏa mãn ước 30 Khi B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy A \ B = {4; 20} Các tập hợp số: • Các tập hợp ℕ, ℤ, ℚ, ℝ tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực Ta có quan hệ sau: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ • Một số tập thường dùng tập số thực: Tập hợp ℝ {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} {x ∈ ℝ | a < x < b} Tên gọi kí hiệu Tập hợp số thực (−∞; +∞) Đoạn [a; b] Khoảng (a; b) {x ∈ ℝ | x > a} Khoảng (a; +∞) {x ∈ ℝ | x < b} Khoảng (−∞; b) {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} Nửa khoảng [a; b) Nửa khoảng (a; b] Biểu diễn trục số {x ∈ ℝ | x ≥ a} Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ ℝ | x ≤ b} Nửa khoảng (−∞; b] Kí hiệu −∞ đọc âm vơ cực (âm vơ cùng), kí hiệu +∞ đọc dương vô cực (dương vô cùng), a b đầu mút đoạn, khoảng, nửa khoảng Ví dụ: Đọc tên, kí hiệu biểu diễn tập hợp sau trục số: a) A = {x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 2}; b) B = {x ∈ ℝ | 3x − < 0} Hướng dẫn giải a) Tập A nửa khoảng [−1; 2) biểu diễn là: b) Ta có: 3x − < ⇔ x < 4 Tập B khoảng − ; biểu diễn là: 3 B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Xác định tập hợp số sau biểu diễn trục số: a) A = [−3; 3) ∪ (−1; 4); b) B = (−1; 3) ∩ [0; 5]; c) C = ℝ \ (5; +∞); d) D = (−2; 2] ∩ [1; 3) Hướng dẫn giải a) Ta có: [−3; 3) = {x ∈ | − ≤ x < 3} (−1; 4) = {x ∈ ⇒ A = [−3; 3) ∪ (−1; 4) = {x ∈ | − < x < 4} | − ≤ x < 4} ⇒ A = [−3; 4) biểu diễn là: b) Ta có: (−1; 3) = {x ∈ | − < x < 3} [0; 5] = {x ∈ ⇒ B = (−1; 3) ∩ [0; 5] = {x ∈ | − ≤ x ≤ 4} | ≤ x < 3} ⇒B = [0; 3) biểu diễn là: c) Tập hợp C biểu diễn phần tử thuộc tập số thực ℝ không thuộc tập (5; +∞) nên C = (−∞; 5] biểu diễn là: d) Ta có: D = (−2; 2] = {x ∈ ⇒ D = (−2; 2] ∩ [1; 3) = {x ∈ | − < x ≤ 2}và [1; 3) = {x ∈ | ≤ x < 3} | ≤ x ≤ 2} ⇒ D = [1; 2] biểu diễn là: Bài Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 học sinh giỏi, 20 học sinh xếp loại hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa học lực giỏi vừa có hạnh kiểm tốt Hỏi lớp 10A có bạn khen thưởng, biết muốn khen thưởng bạn phải đạt học lực giỏi có hạnh kiểm tốt? Hướng dẫn giải Gọi G tập hợp bạn đạt học lực giỏi, T tập hợp bạn đạt hạnh kiểm tốt Số học sinh khen thưởng số phần tử tập hợp G ∪ T Ta đếm số phần tử G (15 bạn), sau đếm số phần tử T (20 bạn) Nhưng số phần tử G ∩ T (10 bạn) lại đếm lần Vậy số phần tử G ∪ T 15 + 20 – 10 = 25 Có 25 bạn khen thưởng B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho A = {x ∈ | x ≤ 5} Tập A tập hợp tập sau: A {1; 2; 3; 4; 5}; B {0; 1; 2; 3; 4}; C {0; 1; 2; 3; 4; 5}; D {1; 2; 3; 4} Hướng dẫn giải Đáp án là: C Các số tự nhiên nhỏ gồm: 0; 1; 2; 3; 4; nên tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Câu Cho A = {a; b} Số tập A là: A ; B 2; C 3; D Hướng dẫn giải Đáp án là: D Các tập tập hợp A ∅, {a}, {b}, {a; b} Tập A có phần tử nên số tập A 22 = tập hợp Câu Cho A = {1; 3; 4; 7} B = {3; 5; 7; 10} Tập A \ B là: A {1; 4}; B {3; 7}; C {5; 10}; D ∅ Hướng dẫn giải Đáp án là: A Xác định tập hợp A \ B cách lấy phần tử thuộc A không thuộc B Do đó: A \ B = {x ∈ A | x ∉ B} = {1; 4} ... {x ∈ ℕ | 10 ⁝ x} B = {x ∈ ℕ | 30 ⁝ x} Hướng dẫn giải Tập hợp A tập số tự nhiên thỏa mãn ước 10 Khi A = {1; 2; 5; 10} Tập hợp B tập số tự nhiên thỏa mãn ước 30 Khi B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}... = [1; 2] biểu diễn là: Bài Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 học sinh giỏi, 20 học sinh xếp loại hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa học lực giỏi vừa có hạnh kiểm tốt Hỏi lớp 10A có bạn khen thưởng,... sau đếm số phần tử T (20 bạn) Nhưng số phần tử G ∩ T (10 bạn) lại đếm lần Vậy số phần tử G ∪ T 15 + 20 – 10 = 25 Có 25 bạn khen thưởng B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho A = {x ∈ | x ≤ 5} Tập A tập