Ôn tập chương II Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Lý thuyết 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạn[.]
Ôn tập chương II: Bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Bất phương trình bậc hai ẩn • Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng sau: đó: ax + by < c; ax + by > c ax + by ≤ c; ax + by ≥ c x, y ẩn, a, b, c số cho trước với a, b không đồng thời • Cho bất phương trình bậc hai ẩn ax + by < c (*) Mỗi cặp số (x0; y0) cho ax0 + by0 < c gọi nghiệm bất phương trình (*) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình (*) gọi miền nghiệm bất phương trình Nghiệm miền nghiệm bất phương trình dạng ax + by > c; ax + by ≤ c ax + by ≥ c định nghĩa tương tự • Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng cịn lại (khơng kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by > c • Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn: Bước Vẽ đường thẳng d: ax + by = c Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng Bước Lấy điểm M(x0; y0) không nằm d (thường lấy gốc toạ độ O c ≠ 0) Tính ax0 + by0 so sánh với c Bước Kết luận: + Nếu ax0 + by0 < c nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by < c + Nếu ax0 + by0 > c nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by > c Hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y hệ gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình • Miền nghiệm hệ bất phương trình giao miền nghiệm bất phương trình hệ • Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: + Trong mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm + Phần không bị gạch sau miền nghiệm cần tìm • Giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức bậc F(x , y) = ax + by miền đa giác A1A2…An giá trị F(x , y) đỉnh đa giác B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) x y 1 b) x c) 3y 0 x y 2x y Hướng dẫn giải: a) Dựng đường thẳng x y 1 Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có 0 1 mệnh đề sai Miền nghiệm miền không chứa điểm (0 ; 0), khơng tính đường thẳng biên b) Dựng đường thẳng x 3y Lấy điểm (–1 ; 1) ta có: 1 3.1 mệnh đề 2 Miền nghiệm miền chứa điểm (–1 ; 1) kể đường thẳng biên c) x y 2x y ⇔3.(x + y) 2.(2x – y + 1) ⇔ x – 5y ≤ –2 Dựng đường thẳng x – 5y = –2 Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có – = ≤ –2 mệnh đề sai Miền nghiệm miền không chứa điểm (0 ; 0), kể đường thẳng biên Bài Một gian hàng trưng bày bàn ghế rộng 60m2 Diện tích để kê ghế 0,5m2, bàn 1,2m2 Gọi x số ghế y số bàn kê (x ≥ 0, y ≥ 0) a) Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế b) Chỉ ba nghiệm bất phương trình Hướng dẫn giải: a) Diện tích kê x ghế y bàn 0,5x + 1,2y (m2) Diện tích khơng thể lớn 60m2 nên ta bất phương trình cần tìm: 0,5x + 1,2y ≤ 60 hay 5x + 12y ≤ 600 b) Lấy ví dụ cặp giá trị (10 ; 10), (30; 15), (24; 40), ta có: 10 + 12 10 = 170 ≤ 600 mệnh đề 30 + 12 15 = 330 ≤ 600 mệnh đề 24 + 12 40 = 600 ≤ 600 mệnh đề Vậy (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) ba nghiệm bất phương trình 5x + 12y ≤ 600 Bài Một gia đình cần 900 đơn vị protein 400 đơn vị lipit thức ăn ngày Mỗi kg thịt bò chừa 800 đơn vị protein 200 đơn vị lipit Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipit Biết gia đình mua nhiều 1,6 kg thịt bò 1,1 kg thịt lợn, giá thịt bị 250 nghìn/kg thịt lợn 160 nghìn/kg Tính xem gia đình cần mua kg loại thịt để chi phí Hướng dẫn giải: Giả sử ngày gia đình mua x kg thịt bị y kg thịt lợn Điều kiện ≤ x ≤ 1,6; ≤ y ≤ 1,2 Lượng protein lipit thức ăn hàng ngày là: P = 800x + 600y ≥ 900 (đơn vị) L = 200x + 400y ≥ 400 (đơn vị) 0 x 1,6 0 y 1,2 Từ đó, ta có hệ bất phương trình: 8x 6y 2x 4y Miền nghiệm hệ bất phương trình giới hạn tứ giác ABCD, đó: A(0,225 ; 1,2), B(1,6 ; 1,2), C(1,6 ; 0,2), D(0,6 ; 0,7) Số tiền mua thức ăn hàng ngày là: T = 250x + 160y (nghìn đồng) Xét giá trị T đỉnh tứ giác ABCD, ta có: Tại A(0,225 ; 1,2), với x = 0,225 y = 1,2 T = 250.0,225 + 160.1,2 = 248,25; Tại B(1,6 ; 1,2), với x = 1,6 y = 1,2 T = 250.1,6 + 160.1,2 = 592; Tại C(1,6 ; 0,2), với x = 1,6 y = 0,2 T = 250.1,6 + 160.0,2 = 432; Tại D(0,6 ; 0,7), với x = 0,6 y = 0,7 T = 250.0,6 + 160.0,7 = 262 Giá trị nhỏ T 248,25 đạt (x ; y) = (0,225; 1,2) Vậy gia đình cần mua 0,025 kg thịt bị 1,2 kg thịt lợn y 2x x Bài Biểu diễn hệ toạ độ miền nghiệm hệ bất phương trình x 2y x y Từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F(x , y) = –x – y với (x ; y) thoả mãn hệ bất phương trình Hướng dẫn giải: Dựng đường thẳng y + 2x = 8, x = 4, x – 2y = 3, x + y = Do tọa độ điểm (3; 0) thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm (3; 0) không kể đường thẳng d1 kể đường thẳng d2 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác giới hạn điểm: 5 2 ; ; 3 3 19 ; ; (4 ; 0); (4 ; –3) 5 Lần lượt tính giá trị F(x , y) đỉnh tứ giác, ta có: 5 2 F ; 1; 3 3 19 21 ; F ; 5 F(4 ; 0) = -4; F(4 ; -3) = -1 5 2 Vậy, giá trị lớn F -1 đạt ; (4 ; -3); giá trị nhỏ 3 3 F 21 19 đạt ; 5 Bài Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau: x 2y a) x 3y 2 x y y 2x 10 x 5 b) y x y Hướng dẫn giải: a) Dựng đường thẳng x – y = 2; x – 2y = x + 3y = –2 Điểm (1 ; 0) nghiệm ba bất phương trình x – 2y > 0; x + 3y > –2 x – y ≤ Miền nghiệm hệ miền khơng bị gạch hình (Đường nét liền miền nghiệm gồm biên, đường nét đứt không gồm biên) b) Dựng đường thẳng y – 2x = 10; x = –5; y = x + y = Xét điểm (–4 ; 6) nghiệm bốn bất phương trình x – 2y > 10; x > –5; y > x + y < Miền nghiệm hệ miền khơng bị gạch hình Bài Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: x y 2 x y 1 3 3y x Hướng dẫn giải: 3x 2y Ta có hệ bất phương trình rút gọn: 2x 3y 2x 3y Dựng đường thẳng: d1: 3x + 2y = 0; d2: 2x +3y = 6; d3: 2x – 3y =2 Do tọa độ điểm (1; 1) thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm (1; 1) không kể đường thẳng d1, d3 kể đường thẳng d2 Miền nghiệm hệ miền khơng bị gạch hình Bài Một hộ dân dự định dùng tối đa 8ha rừng để trồng keo bạch đàn Nếu trồng keo cần 20 cơng thu 300 triệu đồng, trồng bạch đàn cần 30 công thu 400 triệu đồng Hỏi cần trồng loại với diện tích để thủ lãi cao nhất, với tổng số công không 180? Hướng dẫn giải: Gọi x (ha) diện tích trồng keo, y (ha) diện tích trồng bạch đàn Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Tổng diện tích khơng q ha, tức x + y ≤ (ha) Số công cần cho x keo 20x (công) Số công cần cho y bạch đàn 30y (cơng) Vì tổng số cơng khơng q 180 nên ta có bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 hay 2x + 3y ≤ 18 Số tiền thu T = 300x + 400y (triệu đồng) x y Ta cần tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình x y 2x 3y 18 cho T = 300x + 400y đạt giá trị lớn Miền nghiệm hệ bất phương trình biểu diễn miền tứ giác OABC với O(0 ; 0), A(0 ; 6), B(6 ; 2), C(8 ; 0) Xét giá trị T đỉnh tứ giác, ta có: Tại O(0 ; 0), với x = y = T = 300.0 + 400.0 = 0; Tại A(0 ; 6), với x = y = T = 300.0 + 400.6 = 400; Tại B(6 ; 2), với x = y = T = 300.6 + 400.2 = 600; Tại C(8 ; 0), với x = y = T = 300.8 + 400.0 = 400 Suy giá trị lớn T = 600 x = 6, y = (toạ độ điểm B) Vậy cần trồng keo bạch đàn để thu lợi nhuận lớn B.2 Bài tập trắc nghiệm Bài Cho bất phương trình 2x + y > Khẳng định sau đúng: A Bất phương trình cho có nghiệm nhất; B Bất phương trình cho vơ nghiệm; C Bất phương trình cho có vơ số nghiệm; D Bất phương trình cho có tập nghiệm [3 ; +∞) Hướng dẫn giải: Đáp án B Bất phương trình bậc hai ẩn 2x + y > có vơ số nghiệm, biểu diễn vơ số điểm nằm nửa phẳng có biên đường thẳng 2x + y = Câu Phần khơng bị gạch hình vẽ hình sau biểu diễn miền xy20 nghiệm hệ bất phương trình 2x y A B C D Hướng dẫn giải Đáp án là: A Vẽ đường thẳng d2: 2x – y + = Ta có đường thẳng qua hai điểm (0; 2) (– 1; 0) Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – + > thoả mãn bất phương trình 2x – y + > Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm bất phương trình Vậy miền nghiệm phần nửa mặt phẳng chia đường thẳng d2 chứa gốc toạ độ O(0; 0) Vẽ đường thẳng d1: x + y – = Ta có đường thẳng qua hai điểm (0; 2) (2; 0) Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có + – < thoả mãn bất phương trình x + y – < Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm bất phương trình Vậy miền nghiệm phần nửa mặt phẳng chia đường thẳng d1 chứa gốc toạ độ O(0; 0) Vậy phần khơng bị gạch hình đáp án A biểu diễn miền nghiệm hệ bất xy20 phương trình 2x y Câu Cho bất phương trình 3x + + 2(y – 2) < 2(x + 1) miền nghiệm bất phương trình khơng chứa điểm sau đây? A (0; 0); B (1; 1); C (1; – 1); D (4; 2) Hướng dẫn giải Đáp án là: D 3x + + 2(y – 2) < 2(x + 1) ⇔ 3x + + 2y – < 2x + ⇔ x + 2y – < Xét đáp án A ta có: + 2.0 – < thoả mãn bất phương trình x + 2y – < 0, điểm (0; 0) thuộc miền nghiệm Xét đáp án B ta có: + 2.1 – < thoả mãn bất phương trình x + 2y – < 0, điểm (1; 1) thuộc miền nghiệm Xét đáp án C ta có: + 2.( –1) – < thoả mãn bất phương trình x + 2y – < 0, điểm (1; – 1) thuộc miền nghiệm Xét đáp án D ta có: + 2.2 – > khơng thoả mãn bất phương trình x + 2y – < 0, điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm Câu Phần không bị gạch hình vẽ hình sau biểu diễn miền x 2y nghiệm hệ bất phương trình 2x y A B C D Hướng dẫn giải Đáp án là: A 1 Vẽ đường thẳng d1 : x – 2y = 1, đường thẳng qua hai điểm 0; (1; 0) 2 Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 = < thoả mãn bất phương trình x – 2y < Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm bất phương trình Miền nghiệm nửa mặt phẳng chia đường thẳng d1 chứa gốc toạ độ O(0; 0) Vẽ đường thẳng d2: 2x – y + = 0, đường thẳng qua hai điểm (0; 2) (– 1; 0) Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – + > thoả mãn bất phương trình 2x – y + > Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm bất phương trình Vậy miền nghiệm phần nửa mặt phẳng chia đường thẳng d2 chứa gốc toạ độ O(0; 0) Vậy phần không bị gạch hình đáp án A biểu diễn miền nghiệm hệ bất x 2y phương trình 2x y Câu Cặp số sau khơng nghiệm bất phương trình 5x – 2(y – 1) ≤ 0? A (0; 1) ; B (1 ; 3); C (– 1; 1); D (– 1; 0) Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có 5x – 2(y – 1) ≤ ⇔ 5x – 2y + ≤ Xét đáp án A: Thay cặp số (0; 1) vào bất phương trình ta có 5.0 – 2.1 + = thoả mãn bất phương trình 5x – 2y + ≤ Cặp số (0; 1) nghiệm bất phương trình Đáp án A sai Xét đáp án B: Thay cặp số (1; 3) vào bất phương trình ta có 5.1 – 2.3 + = không thoả mãn bất phương trình 5x – 2y + ≤ Cặp số (1; 3) khơng nghiệm bất phương trình Đáp án B Xét đáp án C: Thay cặp số (– 1; 1) vào bất phương trình ta có 5.( – 1) – 2.1 + = – thoả mãn bất phương trình 5x – 2y + ≤ Cặp số (– 1; 1) nghiệm bất phương trình Đáp án C sai Xét đáp án D: Thay cặp số (– 1; 0) vào bất phương trình ta có 5.( – 1) – 2.0 + = – thoả mãn bất phương trình 5x – 2y + ≤ Cặp số (– 1; 0) nghiệm bất phương trình Đáp án D sai ... b) Dựng đường thẳng y – 2x = 10; x = –5 ; y = x + y = Xét điểm (–4 ; 6) nghiệm bốn bất phương trình x – 2y > 10; x > –5 ; y > x + y < Miền nghiệm hệ miền khơng bị gạch hình Bài Biểu diễn miền nghiệm... 5x – 2(y – 1) ≤ 0? A (0; 1) ; B (1 ; 3); C (– 1; 1); D (– 1; 0) Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có 5x – 2(y – 1) ≤ ⇔ 5x – 2y + ≤ Xét đáp án A: Thay cặp số (0; 1) vào bất phương trình ta có 5.0 –. .. điểm (–1 ; 1) ta có: 1 3.1 mệnh đề 2 Miền nghiệm miền chứa điểm (–1 ; 1) kể đường thẳng biên c) x y 2x y ⇔3.(x + y) 2.(2x – y + 1) ⇔ x – 5y ≤ –2 Dựng đường thẳng x – 5y = –2 Thay