Bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Lý thuyết 1 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn • Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y Mỗi ng[.]
Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y hệ gồm số bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình 2x y (1) Ví dụ: Cho hệ bất phương trình sau: x 3y (2) Cặp số (x ; y) cặp (3; 1), (– 1; 0), (4; – 1) nghiệm hệ bất phương trình trên? Hướng dẫn giải: + Thay x = 3, y = vào hai bất phương trình hệ, ta có: + = > mệnh đề đúng; – = < mệnh đề Vậy (3; 1) nghiệm chung (1) (2), nghiệm hệ bất phương trình + Thay x = – 1, y = vào bất phương trình (1), ta có: (– 1) + = –2 > mệnh đề sai; (– 1) – = –1 < mệnh đề Vậy (– 1; 0) khơng nghiệm (1), khơng phải nghiệm hệ bất phương trình + Thay x = 4, y = –1 vào bất phương trình (2) hệ, ta có: + (– 1) = > mệnh đề đúng; – (– 1) = < mệnh đề sai Vậy (4 ; – 1) không nghiệm (2), khơng phải nghiệm hệ bất phương trình Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Miền nghiệm hệ bất phương trình giao miền nghiệm bất phương trình hệ • Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta làm sau: + Trong mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm + Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm Ví dụ: Biểu diễn mặt phẳng Oxy miền nghiệm hệ bất phương trình: x y 2 (H) x y 2x y 1 Hướng dẫn giải + Vẽ đường thẳng d1: x + y = –2, d2: x – y = d3: 2x – y = –1 (1) (2) (3) + Toạ độ điểm (0; 0) nghiệm bất phương trình (2) (3), khơng phải nghiệm bất phương trình (1) Gạch phần khơng thuộc miền nghiệm bất phương trình Miền nghiệm hệ bất phương trình miền khơng bị gạch kể đường thẳng d2 không kể đường thẳng d1 d3 Áp dụng vào toán thực tiễn Bài toán Một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều điều hồ chiều, với số vốn ban đầu khơng q 1,2 tỉ đồng Điều hoà hai chiều Điều hoà chiều Giá mua vào 20 triệu đồng / máy 10 triệu đồng / máy Lợi nhuận dự kiến 3,5 triệu đồng / máy triệu đồng / máy Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu thị trường không vượt 100 máy hai loại Nếu chủ cửa hàng, em cần đầu tư kinh doanh loại máy để lợi nhuận thu lớn nhất? Hướng dẫn giải Giả sử cửa hàng nhập x máy điều hoà hai chiều y máy điều hoà chiều (x ≥ 0, y ≥ x, y ∈ ℕ*) Vì nhu thị trường không 100 máy hai loại nên x + y ≤ 100 Số tiền để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng là: 20x + 10y (triệu đồng) Số tiền đầu tư tối đa 1,2 tỉ đồng = 200 triệu đồng nên ta có 20x + 10y ≤ 1200 hay 2x + y ≤ 120 x y Từ thu hệ bất phương trình: với x, y ∈ ℕ* x y 100 2x y 120 Lợi nhuận thu bán x máy điều hoà hai chiều y máy điều hoà chiều là: T = 3,5x + 2y (triệu đồng) Bài toán đưa về: Tìm giá trị x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) cho T đạt giá trị lớn Trước hết, ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (I) miền tứ giác OABC với toạ độ đỉnh O(0 ; 0), A(0 ; 100), B(20 ; 80), C(60 ; 0) Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 3,5x + 2y đạt giá trị lớn đỉnh tứ giác OABC Lần lượt thay toạ độ điểm O, A, B, C vào biểu thức T, ta được: Với x = 0, y = T = 3,5.0 + 2.0 = 0; Với x = 0, y = 100 T = 3,5.0 + 2.100 = 200; Với x = 20, y = 80 T = 3,5.20 + 2.80 = 230; Với x = 60, y = T = 3,5.60 + 2.0 = 21 Ta thấy giá trị lớn T = 230 x = 20 y = 80 Vậy cửa hàng cần đầu tư 20 máy điều hoà hai chiều 80 máy điều hoà chiều để thu lợi nhuận lớn • Tổng quát: Giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) biểu thức bậc F(x , y) = ax + by miền đa giác A1A2…An giá trị F(x , y) đỉnh đa giác B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận x y 2 x y Bài Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau: 3 3y x Hướng dẫn giải: 3x 2y Ta có hệ bất phương trình biến đổi thành hệ: 2x 3y 2x 3y Dựng đường thẳng: d1: 3x + 2y = 0; d2: 2x + 3y = 6; d3: 2x – 3y =2 Do tọa độ điểm (1; 1) thỏa mãn bất phương trình hệ nên miền nghiệm bất phương trình hệ nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm (1; 1) kể đường thẳng d1, d3 không kể đường thẳng d2 Miền nghiệm hệ miền khơng bị gạch hình Bài Một cửa hàng có kế hoạch nhập hai loại máy tính A B có giá 10 triệu đồng 20 triệu đồng, với số vốn ban đầu không tỉ đồng Lãi thu bán máy loại A 2,5 triệu đồng, máy loại B triệu đồng Cửa hàng ước tính nhu cầu tiêu thụ khơng q 250 máy Tìm số lượng máy tính loại mà cửa hàng cần nhập để lợi nhuận thu lớn Hướng dẫn giải: Gọi số máy loại A, B cần nhập x, y (x ≥ 0, y ≥ x, y Do nhu cầu không 250 máy nên x + y ≤ 250 Số vốn bỏ để nhập máy 10x + 20y (triệu đồng) Ta có tỉ đồng = 000 triệu đồng Vì số vốn không tỉ nên 10x + 20y ≤ 000 hay x + 2y ≤ 400 Lãi thu bán hết hàng T = 2,5x + 4y (triệu đồng) ) x y Ta cần tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình với x, y x y 250 x 2y 400 cho T = 2,5x + 4y đạt giá trị lớn Miền nghiệm hệ bất phương trình biểu diễn miền tứ giác OABC với O(0 ; 0), A(0 ; 200), B(100 ; 150), C(250 ; 0) Xét giá trị T đỉnh tứ giác, ta có: Tại O(0 ; 0), với x = y = T = 2,5.0 + 4.0 = 0; Tại A(0; 200), với x = y = 200 T = 2,5.0 + 4.200 = 800; Tại B(100; 150), với x = 100 y = 150 T = 2,5.100 + 4.150 = 850; Tại C(250; 0), với x = 250 y = T = 2,5.250 + 4.0 = 625 Suy giá trị lớn T = 850 đạt x = 100, y = 150 (toạ độ điểm B) Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A 150 máy loại B để đạt lợi nhuận lớn Bài Một hộ dân dự định dùng tối đa rừng để trồng keo bạch đàn Nếu trồng keo cần 20 công thu 300 triệu đồng, trồng bạch đàn cần 30 cơng thu 400 triệu đồng Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu lãi cao nhất, với tổng số công không 180? Hướng dẫn giải: Gọi x (ha) diện tích trồng keo, y (ha) diện tích trồng bạch đàn Điều kiện x ≥ 0, y ≥ Tổng diện tích không ha, tức x + y ≤ (ha) Số công cần cho x keo 20x (công) Số công cần cho y bạch đàn 30y (cơng) Vì tổng số cơng khơng q 180 nên ta có bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 hay 2x + 3y ≤ 18 Số tiền thu T = 300x + 400y (triệu đồng) x y Ta cần tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình x y 2x 3y 18 cho T = 300x + 400y đạt giá trị lớn Miền nghiệm hệ bất phương trình biểu diễn miền tứ giác OABC với O(0 ; 0), A(0 ; 6), B(6 ; 2), C(8 ; 0) Xét giá trị T đỉnh tứ giác, ta có: Tại O(0 ; 0), với x = y = T = 300.0 + 400.0 = 0; Tại A(0 ; 6), với x = y = T = 300.0 + 400.6 = 400; Tại B(6 ; 2), với x = y = T = 300.6 + 400.2 = 600; Tại C(8 ; 0), với x = y = T = 300.8 + 400.0 = 400 Suy giá trị lớn T = 600 x = 6, y = (toạ độ điểm B) Vậy cần trồng keo bạch đàn để thu lợi nhuận lớn B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Phần khơng bị gạch hình sau biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bốn hệ A, B, C, D (không kể bờ) ? y A ; 3x 2y y B ; 3x 2y 6 x C ; 3x 2y x D 3x 2y 6 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Giả sử đường thẳng d có phương trình d: y = ax + b Dễ thấy đường thẳng d qua hai điểm (0; 3) (2; 0) Ta có hệ 3 a.0 b a 0 a.2 b b Vậy phương trình đường thẳng d: y = x + ⇔ 3x +2y = Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 2.0 = < Mà điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm bất phương trình Vậy bất phương trình có dạng 3x + 2y < Miền nghiệm nửa mặt phẳng nằm phía trục hồnh: y > Vậy phần khơng bị gạch hình vẽ biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương y trình 3x 2y Câu Trong cặp số sau, cặp không nghiệm hệ bất phương trình xy20 2x 3y A (0; 0); B (1; 1); C (– 1; 1); D (– 1; – 1) Hướng dẫn giải Đáp án là: C 0020 Xét đáp án A ta có: đáp án A thoả mãn hệ bất phương trình 2.0 3.0 11 Xét đáp án B ta có : đáp án B thoả mãn hệ bất phương trình 2.1 3.1 1 Xét đáp án C ta có : đáp án C không thoả mãn hệ bất phương 2.(1) 3.1 trình 1 (1) Xét đáp án D ta có : đáp án D thoả mãn hệ bất phương trình 2.(1) 3.(1) Vậy đáp án C Câu Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình sau đây? x 3y A ; 2x y x 3y B ; 2x y x 3y C ; 2x y x 3y D 2x y Hướng dẫn giải Đáp án là: C Thay x = 0, y = vào đáp án ta được: x 3y 0 3.0 Xét đáp án A: Vậy điểm O(0 ; 0) không thoả mãn 2x y 2.0 hệ bất phương trình Đáp án A sai x 3y 0 3.0 Xét đáp án B: Vậy điểm O(0 ; 0) không thoả mãn 2x y 2.0 hệ bất phương trình Đáp án B sai x 3y 0 3.0 Xét đáp án C: Vậy điểm O(0 ; 0) thoả mãn hệ bất 2x y 2.0 phương trình Đáp án C x 3y 0 3.0 Xét đáp án D : Vậy điểm O(0 ; 0) không thoả 2x y 2.0 mãn hệ bất phương trình Đáp án D sai ... y 2 (H) x y 2x y 1 Hướng dẫn giải + Vẽ đường thẳng d1: x + y = –2 , d2: x – y = d3: 2x – y = –1 (1) (2) (3) + Toạ độ điểm (0; 0) nghiệm bất phương trình (2) (3), khơng phải... khơng q 100 máy hai loại nên x + y ≤ 100 Số tiền để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng là: 20x + 10y (triệu đồng) Số tiền đầu tư tối đa 1,2 tỉ đồng = 200 triệu đồng nên ta có 20x + 10y ≤ 1200... phương trình miền khơng bị gạch kể đường thẳng d2 không kể đường thẳng d1 d3 Áp dụng vào toán thực tiễn Bài toán Một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều