Bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Lý thuyết 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng sau ax + by < c; ax + by > c ax[.]
Bài 1: Bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Bất phương trình bậc hai ẩn • Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng sau: đó: ax + by < c; ax + by > c ax + by ≤ c; ax + by ≥ c x, y ẩn, a, b, c số thực cho trước với a, b không đồng thời Ví dụ: +) 5 x 2y có dạng bất phương trình bậc hai ẩn x y với a , b 3 c = + 3x khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn, khơng có dạng bất y phương trình bậc hai ẩn • Cho bất phương trình bậc hai ẩn ax + by < c (*) Mỗi cặp số (x0 ; y0) cho ax0 + by0 < c gọi nghiệm bất phương trình (*) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp tất điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình (*) gọi miền nghiệm bất phương trình Nghiệm miền nghiệm bất phương trình dạng ax + by > c; ax + by ≤ c ax + by ≥ c định nghĩa tương tự Ví dụ: Xét bất phương trình 2x + y ≤ 3: + (1 ; 1) nghiệm bất phương trình + = ≤ mệnh đề + (–2 ; 10) không nghiệm bất phương trình (–2) + 10 = ≤ mệnh đề sai + (2 ; –5) nghiệm bất phương trình – = –1 ≤ mệnh đề Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn • Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng cịn lại (khơng kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by > c Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by ≤ c ax + by ≥ c miền nghiệm nửa mặt phẳng kể đường thẳng d Ví dụ: Đường thẳng d: 2x – 3y = chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng hình Hỏi nửa mặt không bị gạch (không kể đường thẳng d) miền nghiệm bất phương trình nào? Hướng dẫn giải: Lấy giá trị nằm nửa mặt phẳng khơng bị gạch, ví dụ điểm M(3 ; –1) Thay toạ độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng d, ta thấy: 2xM – 3yM = – (–1) = > Như vậy, M nghiệm bất phương trình 2x – 3y > 6, miền khơng bị gạch (khơng kể d) miền nghiệm bất phương trình 2x – 3y > Vậy miền không bị gạch (không kể đường thẳng d) miền nghiệm bất phương trình 2x – 3y > • Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn: Bước Vẽ đường thẳng d: ax + by = c Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng Bước Lấy điểm M(x0; y0) không nằm d (thường lấy gốc toạ độ O c ≠ 0) Tính ax0 + by0 so sánh với c Bước Kết luận: +) Nếu ax0 + by0 < c nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by < c +) Nếu ax0 + by0 > c nửa mặt phẳng chứa điểm M (không kể d) miền nghiệm bất phương trình ax + by > c Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x + 3y < x + 3y ≤ + Vẽ đường thẳng d: x + 3y = + Lấy điểm O(0; 0) Ta có: + = < + Vậy: Miền nghiệm bất phương trình x + 3y < nửa mặt phẳng chứa điểm O không kể đường thẳng d Miền nghiệm bất phương trình x + 3y ≤ nửa mặt phẳng chứa điểm O gồm đường thẳng d B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Điểm điểm A(5 ; – 1), B(2 ; 2), C(1 ; 1) nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10? Hướng dẫn giải: Lần lượt thay toạ độ điểm A(5 ; – 1), B(2 ; 2), C(1 ; 1) vào bất phương trình, ta có: +) – (– 1) = 11 < 10 mệnh đề sai Do điểm A khơng nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10 +) – = < 10 mệnh đề Do điểm B nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10 +) – = < 10 mệnh đề Do điểm C nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10 Bài Một gian hàng trưng bày bàn ghế rộng 60 m2 Diện tích để kê ghế 0,5 m2, bàn 1,2 m2 Gọi x số ghế y số bàn kê (x ≥ 0, y ≥ 0) a) Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế b) Chỉ ba nghiệm bất phương trình Hướng dẫn giải: a) Diện tích kê x ghế y bàn 0,5x + 1,2y (m2) Diện tích lớn 60m2 nên ta bất phương trình cần tìm: 0,5x + 1,2y ≤ 60 hay 5x + 12y ≤ 600 Vậy bất phương trình bậc hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế là: 5x + 12y ≤ 600 b) Ví dụ ba nghiệm bất phương trình cặp giá trị (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) Thật vậy: Thay x = 10, y = 10, ta có: 10 + 12 10 = 170 ≤ 600 mệnh đề Do (10; 10) nghiệm bất phương trình Thay x = 30, y = 15, ta có: 30 + 12 15 = 330 ≤ 600 mệnh đề Do (30; 15) nghiệm bất phương trình Thay x = 24, y = 40, ta có: 24 + 12 40 = 600 ≤ 600 mệnh đề Do (24; 40) nghiệm bất phương trình Vậy (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) ba nghiệm bất phương trình 5x + 12y ≤ 600 Bài Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) x y 1 ; b) x y 2x y Hướng dẫn giải: a) Vẽ đường thẳng d1: x y 1 Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có 0 1 mệnh đề sai Miền nghiệm miền không chứa điểm (0 ; 0), không kể đường thẳng d b) x y 2x y ⇔ 3(x + y) ≥ 2(2x – y + 1) ⇔ 3x + 3y ≥ 4x – 2y + ⇔ x – 5y ≤ –2 Vẽ đường thẳng d3: x – 5y = –2 Lấy điểm (0 ; 0) Ta có – = ≤ –2 mệnh đề sai Miền nghiệm miền không chứa điểm (0 ; 0), kể đường thẳng d3 B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cặp số sau nghiệm bất phương trình – 2(x – y) + y > 3? A (4; – 4); B (2; 1); C (– 1; – 2); D (4; 4) Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có: – 2(x – y) + y > ⇔ – 2x + 3y > Xét đáp án A: – 2.4 + 3.( – 4) = – 20 < 3, không thoả mãn bất phương trình – 2x + 3y > 3, cặp số (4; – 4) khơng nghiệm bất phương trình Đáp án B: – 2.2 + 3.1 = – < 3, khơng thoả mãn bất phương trình – 2x + 3y > 3, cặp số (2; 1) không nghiệm bất phương trình Đáp án C: – 2.(– 1) + 3.(– 2) = – < 3, khơng thoả mãn bất phương trình – 2x + 3y > 3, cặp số (– 1; – 2) không nghiệm bất phương trình Đáp án D: – 2.4 + 3.4 = > 3, thoả mãn bất phương trình – 2x + 3y > 3, cặp số (4; 4) nghiệm bất phương trình Câu Miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ phần tơ đậm hình vẽ nào, hình vẽ sau (kể bờ)? A B C D Hướng dẫn giải Đáp án là: A Xét đường thẳng x + y = qua điểm A(2; 0) B(0; 2) Lấy điểm O(0; 0) ta có: + = < Do đó, miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng x + y = (đi qua điểm A, B) chứa điểm (0; 0), kể đường thẳng Vậy miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ phần tô đậm đáp án A Câu Phần tơ đậm hình vẽ (kể đường thẳng d) biểu diễn miền nghiệm bất phương trình A – 2x + y ≥ 0; B 2x + y ≥ 0; C – 2x – y ≥ 1; D x + 2y ≥ Hướng dẫn giải Đáp án là: A Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng: y = ax + b Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) qua hai điểm có tọa độ (0; 0) (1; 2) Ta có hệ phương trình 0 a.0 b a ⇒ y = 2x a.1 b b Vậy đường thẳng có phương trình – 2x + y = Xét điểm A(0; 2) thay vào phương trình đường thẳng ta được: – 2.0 + = > Vì điểm A(0; 2) thuộc miền nghiệm bất phương trình Vậy phần tơ đậm biểu diễn miền nghiệm bất phương trình – 2x + y ≥ (kể đường thẳng d) ... có: +) – (– 1) = 11 < 10 mệnh đề sai Do điểm A khơng nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10 +) – = < 10 mệnh đề Do điểm B nằm miền nghiệm bất phương trình 2x – y < 10 +) – = < 10 mệnh... phương trình – 2(x – y) + y > 3? A (4; – 4); B (2; 1); C (– 1; – 2); D (4; 4) Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có: – 2(x – y) + y > ⇔ – 2x + 3y > Xét đáp án A: – 2.4 + 3.( – 4) = – 20 < 3, không... 2(2x – y + 1) ⇔ 3x + 3y ≥ 4x – 2y + ⇔ x – 5y ≤ –2 Vẽ đường thẳng d3: x – 5y = –2 Lấy điểm (0 ; 0) Ta có – = ≤ –2 mệnh đề sai Miền nghiệm miền không chứa điểm (0 ; 0), kể đường thẳng d3 B.2 Bài